2 Números racionales positivos

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1 Progrm Inmersión, Verno 0 Nots escrits por Dr. M Nots del cursos. Bsds en los pronturios de MATE 00 y MATE 0 Clse #: miércoles, de junio de 0. Números rcionles positivos. Consceptos básicos del conjunto de los números rcionles positivos Definición... El conjunto de los numero rcionles positivos, denotdo por Q +, est definido como { } Q + b, b N. En l frcción /b, el número se llm numerdor, mientrs el número b se llm denomindor. Ejemplo... Los siguientes números son rcionles positivos.,, 9, 9, 0, 4, 8, Note que los números rcionles positivos son otr mner de escribir los cocientes de números nturles. Por ejemplo, /. Decimos que un frcción /b es propi si < b e impropi si b. Ejemplo... Ls siguientes frcciones son propis: mientrs ls siguientes son impropis:.,, 9,, 4,, 999. Cundo trbjmos con frcciones, es, en muchs ocsiones, que ls frcciones tengn el mismo denomindor. Esto nos llev l siguiente definición. Definición..4. Dos frcciones son homogénes cundo tienen el mismo denomindor. Ejemplo... Decid cul de los siguientes pres de frcciones son homogénes:. y (son homogenes)

2 .. 4. y 4 y y (son homogenes) (no son homogenes) (son homogenes) Ejemplo... Encuentre un frcción equivlente /49 con denomindor. Solución: Note que 49. Ahor multiplique el numerdor y denomindor por pr obtener 49. L frcción / tiene denomindor y es equivlente /49. En muchs ocsiones, tenemos que identificr cundo dos números rcionles positivos (frcciones) son igules. Definición... Decimos que l frcción b es igul l frcción c d si y solo si d bc. Ejemplo..8. Note que, pues. Ejemplo..9. Determine si es igul 0. Respuest: Note que, mientrs que 0 0. Concluimos que 0. Cuándo obtenemos frcciones equivlentes un frcción dd? Note que y tmbién Ve lgun ptrón? Bueno, observe que ,

3 tmbién, y sí sucesivmente. De igul form, 0 4, tmbién 0 4, y sí sucesivmente. En generl, podemos ver que pr todo k 0. b k k b Simplificción de frcciones Decimos que un frcción /b está en su form más simple (o reducid) si y solo si DCM(, b). Definición..0. Decimos que dos nturles y b son reltivmente primos (o co-primos) si y solo si DCM(, b). En otrs plbrs, decimos que un frcción está /b está reducid si y solo si y b son reltivmente primos. Ejemplo... Note que l frcción / está en su form más simple, pues y son reltivmente primos. Considere l frcción /49. Note que por lo tnto, y 49, DCM(, 49) min(,0) min(0,) min(,0) Concluimos que /49 está en su form más reducid. frcción /. Note que Finlmente, considere l y. O se, DCM(, ). Concluimos que / no está reducid. Pr escribir un frcción /b en su form más simple, dividimos el numerdor y el denomindor por el divisor común myor de mbos (DCM(, b))

4 Ejemplo... Escrib / en su form más simple. Respuest: Note que DCM(, ) (mire el Ejemplo..). Entonces, dividiendo el numerdor y el denomindor por DCM(, ), obtenemos que / es l form reducid de /. / /. Otr form de simplificr frcciones es utilizndo fctorizciones prims: Ejemplo... Escrib 0/404 en su form más simple. Respuest: Note que Orden de frcciones positivs Dds dos frcciones /b y c/d, un de ls siguientes relciones es ciert b c d, b < c d, o b > c d. Esto nos permite ordenr ls frcciones de menor myor (o de myor menor, según se el cso). Ejemplo..4. Observe que <, >, < 4. Si dos frcciones son homogénes, entonces será menor quell que teng menor numerdor. En rroz y hbichuels, /b < c/b si y solo si < c. Ejemplo... Determine si / es menor que /. Solución: Encuentre frcciones homogénes equivlentes ls frcciones dds Como 9 < 0, entonces concluimos que / < /. Ejemplo... Escrib en orden scendente (de menor myor) ls siguientes frcciones. 4,, 0,. 4

5 Solución: Primero encontrmos mínimo común multiplo de los denomindores, i.e. MCM(,, 0, ). Pr esto, note que 0, por lo tnto, MCM(,, 0, ) 0. Luego, Ahor es clro que el orden es o se, 4 0 ( )4 ( ) 8 0 ( ) ( ) 80 0 ( ) ( )0 4 0 ( ) ( ) , 4 0, 8 0, 80 0,, 0, 4,. Es un hecho mtemático que entre dos frcciones positivs /b y c/d tles que /b < c/d, siempre podemos encontrr otr frcción e/f tl que b < e f < c d. En relidd existe un cntidd infinite de frcciones entre /b y c/d, pero un de ells es bien fácil de conseguir y está dd por l fórmul e f + c b + d. Ejemplo... Encuentre un frcción entre / y /. Respuest: Considere l frcción Note que < <.

6 Ejemplo..8. Encuentre un frcción entre / y /. Respuest: Considere l frcción Note que + +. < <. Note que si seguimos con este proceso, entonces podemos encontrr un cntidd infinits de frcciones entre / y /. Por ejemplo, y tenemos que < < <. Aplique el mismo proceso pr encontrr un frcción entre / y /, i.e Entonces, tenemos que < < < <. Continúe de est form pr obtener < < < < <.. Operciones en el conjunto de los números rcionles positivos Sum de números rcionles positivos Dds dos frcciones homogénes /b y c/b, l sum de ells está dd por Ejemplo... Note que b + c b + c. b Pr sumr dos frcciones no homogénes, podemos encontrr frcciones homogénes equivlentes ls frcciones considerr y luego sumr utilizndo l regl nterior.

7 Ejemplo... Note que Tmbién podemos utilizr l siguiente fórmul Ejemplo... Note que b + c d d + bc. bd Ls frcciones impropis tmbién pueden escribirse como un número mixto. Un número mixto es l sum de un número entero y un frcción propi. Ejemplo..4. Escrib 4/ como un número mixto. Respuest: Note que Ejemplo... Escrib / como un número mixto. Respuest: Note que 4() + 4()

8 Rest de números rcionles positivos Dds dos frcciones homogénes /b y c/b tles que /b > c/d, entonces l rest de ells está dd por b c b c. b Ejemplo... Note que 4 8. Pr restr dos frcciones no homogénes, podemos encontrr frcciones homogénes equivlentes ls frcciones considerr y luego restr utilizndo l regl nterior. Ejemplo... Note que Tmbién podemos utilizr l siguiente fórmul Ejemplo..8. Note que b c d. Multiplicción y división d bc. bd Ddos /b y c/d, definimos l multiplicción de frcciones como b c d b cd. Ejemplo... Utilizndo est definición, obtenemos 8

9 Si en un problem prece el producto de un frcción por l sum de dos frcciones, l operción se puede efectur de dos mners distints: Usndo distribución: ( c b d + e ) f b c d + b e f c bd + e bf cf bdf + de bdf cf + de. bdf Efectundo primero l operción de sum dentro del préntesis y luego se utiliz l definición de multiplicción: ( c b d + e ) ( cf f b df + ed ) df ( ) cf + ed b df (cf + ed) b(df) cf + de. bdf Ejemplo... Utilizndo distribución: ( 4 + )

10 Efectundo primero l operción de sum dentro del préntesis: ( 4 + ) ( 4 + ) ( ) 4 8. Antes de definir l división de frcciones, definimos el recíproco de un número diferente de 0. Definición... El recíproco de 0 es el número c tl que c. Ejemplo..4. Note que el recíproco de es /, pues (/). De igul form, el recíproco de /8 es 8/, pues (/8)(8/). División números rcionles positivos Dds dos frcciones /b y c/d, definimos l división de frcciones como Ahor, note que b c d b. c d Ejemplo... Note que b c d b c d d b c c d d c d bc d bc. Ejemplo... Supong que hor nos preguntn por ( 4 + ) ( ). 0

11 En este cso, note que ( 4 + ) ( ) ( ) ( ) + 8 () () + 4 ( ) ( ) () (0) 0.

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