Integrales paramétricas

Transcripción

1 5 Integrales paramétricas Página 1 de 29

2 1. uchas de las funciones que se manejan en Análisis atemático no se conocen mediante expresiones elementales, sino que vienen dadas a través de series o integrales. Un tipo particular de estas funciones son las llamadas integrales paramétricas o integrales dependientes de parámetros. Ejemplo de ellas son las expresiones del tipo donde Λ R p, [a, b] R, y F (λ) = b a f(λ, x) dx (λ Λ), f : Λ [a, b] R (λ, x) f(λ, x) es integrable Riemann en [a, b] para cada λ Λ. Página 2 de 29

3 El conocimiento de la regularidad y propiedades del integrando f nos permitirá decidir sobre la regularidad y propiedades de la integral paramétrica F, aún cuando no se disponga de una expresión explícita de F. Una técnica frecuentemente utilizada para el cálculo de determinadas integrales consiste en diferenciar o integrar una integral paramétrica auxiliar. Página 3 de 29

4 2. Tipos de integrales paramétricas 2.1. Simples Límites fijos Sean: Λ R p ; I = [a, b] R; y f : Λ [a, b] R (λ, x) f(λ, x) tal que f(λ, ) es integrable Riemann sobre I, para cada λ Λ. La función F (λ) = b a f(λ, x) dx (λ Λ) se llama integral paramétrica simple con límites de integración fijos y parámetro λ Λ. Página 4 de 29

5 Límites variables Sean: Λ R p ; a : Λ R, b : Λ R funciones acotadas, satisfaciendo a(λ) b(λ) (λ Λ); S(a, b) = { (λ, x) R p+1 : λ Λ, a(λ) x b(λ) } ; y f : S(a, b) R (λ, x) f(λ, x) tal que f(λ, ) es integrable Riemann sobre [a(λ), b(λ)], para cada λ Λ. La función F (λ) = b(λ) a(λ) f(λ, x) dx (λ Λ) se llama integral paramétrica simple con límites de integración variables y parámetro λ Λ. Página 5 de 29

6 2.2. últiples Sean: Λ R p ; R q, medible Jordan ; y f : Λ R (λ, x) f(λ, x) tal que f(λ, ) es integrable Riemann sobre, para cada λ Λ. La función F (λ) = f(λ, x) dx (λ Λ) se llama integral paramétrica múltiple con parámetro λ Λ. Página 6 de 29

7 Ejemplo (Integral paramétrica múltiple) Sean: F (λ) = Λ = ] π/2, π/2[, = { (x, y) R 2 : 0 x 1, 0 y x }, tan(λx) [ 1 + tan 2 (λy) ] { 0, λ = 0 dx dy = tan λ λ, λ 0. λ 2 Página 7 de 29

8 2.3. Reducción de integrales del tipo al tipo Sean: Λ R p ; a : Λ R, b : Λ R funciones acotadas, satisfaciendo a(λ) b(λ) (λ Λ); S(a, b) = { (λ, x) R p+1 : λ Λ, a(λ) x b(λ) } ; y f : S(a, b) R (λ, x) f(λ, x) tal que f(λ, ) es continua en [a(λ), b(λ)], para cada λ Λ. Se verifica: donde b(λ) a(λ) f(λ, x) dx = 1 0 g(λ, t)dt, g(λ, t) = f (λ, a(λ) + [b(λ) a(λ)] t) [b(λ) a(λ)] (λ Λ, t [0, 1]). Página 8 de 29

9 Demostración Para cada λ Λ, consideramos ϕ λ : [0, 1] [a(λ), b(λ)] t ϕ λ (t) = a(λ) + [b(λ) a(λ)] t. Esta aplicación es una biyección C con inversa C, y, por tanto, puede ser tomada como un cambio de variable para aplicar la regla de integración por sustitución: b(λ) a(λ) f(λ, x) dx = 1 0 f (λ, ϕ λ (t)) ϕ λ(t) dt = 1 0 g(λ, t) dt (λ Λ). Página 9 de 29

10 3. Continuidad de las integrales paramétricas 3.1. Simples Límites fijos Sean: Λ R p ; I = [a, b] R; y Si: f : Λ [a, b] R (λ, x) f(λ, x). Página 10 de 29

11 1. Λ es compacto, y 2. f es continua, entonces la integral paramétrica F (λ) = b existe y es uniformemente continua sobre Λ. a f(λ, x) dx (λ Λ) Página 11 de 29

12 Límites variables Sean: Λ R p ; a : Λ R, b : Λ R funciones que satisfacen a(λ) b(λ) (λ Λ); S(a, b) = { (λ, x) R p+1 : λ Λ, a(λ) x b(λ) } ; y f : S(a, b) R (λ, x) f(λ, x). Si: 1. Λ es compacto, y 2. a, b y f son continuas, entonces la integral paramétrica F (λ) = b(λ) a(λ) existe y es uniformemente continua sobre Λ. f(λ, x) dx (λ Λ) Página 12 de 29

13 3.2. últiples Sean: Λ R p ; R q, medible Jordan; y Si: f : Λ R (λ, x) f(λ, x). 1. Λ y son compactos, y 2. f es continua, entonces la integral paramétrica F (λ) = existe y es uniformemente continua sobre Λ. f(λ, x) dx (λ Λ) Página 13 de 29

14 Demostración Ya que se reduce a 3.1.1(sección 2.3) y éste es un caso particular de 3.2, basta probar 3.2. Demostración de 3.2 Puesto que f es continua, es continua en cada variable; luego, f(λ, ) es integrable Riemann sobre para todo λ Λ, y F existe. Página 14 de 29

15 Como Λ se supone compacto, sólo tenemos que comprobar que F es continua sobre Λ, es decir, que F es continua en cada λ 0 Λ. Pongamos = Si = 0, F es idénticamente nula, y no hay nada que probar. Por tanto, supondremos > 0. dx. Sea λ 0 Λ, y sea ε > 0. Al ser f continua en Λ, que es compacto (producto cartesiano de compactos), f es uniformemente continua en Λ. Así, existe δ > 0 tal que λ Λ y λ, x) (λ 0, x) < δ implica Claramente f(λ, x) f(λ 0, x) < ε λ λ 0 = (λ, x) (λ 0, x) (x ). (λ Λ, x ), Página 15 de 29

16 donde en el primer miembro tomamos la norma de R p y en el segundo la de R p+q. Luego, para λ λ 0 < δ podemos escribir F (λ) F (λ 0 ) = f(λ, x) dx f(λ 0, x) dx = [f(λ, x) dx f(λ 0, x)] dx f(λ, x) f(λ 0, x) dx ε < dx = ε, como queríamos demostrar Corolario Página 16 de 29 En las hipótesis de 3.1.1, y 3.2 anteriores, respectivamente, los límites siguientes existen y pueden calcularse como se indica, para λ 0 Λ:

17 b lím λ λ lím λ λ0 3.2 lím λ λ0 a b(λ) a(λ) f(λ, x) dx = b f(λ, x) dx = f(λ, x) dx = f(λ 0, x) dx; a b(λ0 ) a(λ 0 ) f(λ 0, x) dx; f(λ 0, x) dx. Página 17 de 29

18 4. Derivación de integrales paramétricas Los siguientes resultados de derivación de integrales paramétricas se conocen como Regla de Leibniz. Página 18 de 29

19 4.1. Simples Límites fijos Sean: Λ R p ; I = [a, b] R; y Si: f : Λ [a, b] R (λ, x) f(λ, x). 1. Λ es abierto, y 2. f es continua, con derivada parcial f/ continua en Λ I para algún i = 1,..., p (λ = (λ 1,..., λ p )), Página 19 de 29

20 entonces la integral paramétrica F (λ) = b a f(λ, x) dx (λ Λ) existe y es derivable respecto de λ i, teniéndose que F (λ) = b a f(λ, x) dx = b a f(λ, x) dx (λ Λ) Límites variables Sean: Λ R p ; a : Λ R, b : Λ R funciones acotadas, satisfaciendo a(λ) b(λ) (λ Λ); S(a, b) = { (λ, x) R p+1 : λ Λ, a(λ) x b(λ) } ; U abierto en R p+1 que contiene a S(a, b); y Si: f : U R (λ, x) f(λ, x). Página 20 de 29

21 1. Λ es abierto, y 2. a, b y f son continuas, con derivadas parciales a/, b/ y f/ continuas en sus respectivos dominios para algún i = 1,..., p (λ = (λ 1,..., λ p )), entonces la integral paramétrica F (λ) = b(λ) a(λ) f(λ, x) dx (λ Λ) existe y es derivable respecto de λ i, teniéndose que F (λ) = = = b(λ) a(λ) b(λ) a(λ) f(λ, x) dx f(λ, x) dx + b(λ) f (λ, b(λ)) a(λ) f (λ, a(λ)) (λ Λ). Página 21 de 29

22 4.2. últiples Sean: Λ R p ; R q, medible Jordan; y Si: 1. Λ es abierto; 2. es compacto; y f : Λ R (λ, x) f(λ, x). 3. f es continua, con derivada parcial f/ continua para algún i = 1,..., p (λ = (λ 1,..., λ p )), entonces la integral paramétrica F (λ) = f(λ, x) dx (λ Λ) existe y es derivable respecto de λ i, teniéndose que F (λ) = f(λ, x) f(λ, x) dx = dx (λ Λ). Página 22 de 29

23 Demostración Puesto que es un caso particular de 4.2, sólo demostraremos 4.2 y Demostración de 4.2 Como antes, suponemos > 0. Fijemos λ Λ. Queremos ver que existe F (λ)/, y se calcula como se afirma. Puesto que Λ es abierto, existe r λ > 0 tal que la bola cerrada de centro λ y radio r λ en R p, B(λ, r λ ) = {µ R p : λ µ r λ }, está contenida en Λ. Sea e i el i-ésimo vector unitario canónico de R p. Debemos demostrar: F (λ + ρe i ) F (λ) f(λ, x) lím = dx. ρ 0 ρ Página 23 de 29

24 La función ρ f(λ + ρe i, x) depende de x y está definida para ρ r λ, pues, en tal caso, λ + ρe i B(λ, r λ ) Λ: (λ + ρe i ) λ = ρe i = ρ e i = ρ r λ. Por el teorema de los incrementos finitos, F (λ + ρe i ) F (λ) = ρ = f(λ + ρe i, x) f(λ, x) dx ρ f(λ + θρe i, x) dx para cierto θ (0, 1), dependiente de x y de ρ [ r λ, r λ ]. Luego, F (λ + ρe i) F (λ) f(λ, x) dx ρ λ i f(λ + θρe i, x) f(λ, x) dx. Como f/ es continua en el compacto B(λ, r λ ), es uniformemente continua en dicho compacto. Así, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si ρ < δ < r λ y x, se Página 24 de 29

25 cumple Concluimos: Demostración de F (λ + ρe i) F (λ) ρ f(λ + θρe i, x) f(λ, x) < ε. f(λ, x) dx < ε dx = ε. Nos apoyaremos en 4.1.1, que está probado por ser un caso particular de 4.2. Puesto que a, b son continuas en Λ, S(a, b) U, y U es abierto, dado λ 0 Λ existen δ 0 > 0, h 0 > 0 tales que C 0 U, siendo aquí, C 0 = U(λ 0, δ 0 ) [a(λ 0 ) h 0, b(λ 0 ) + h 0 ] ; U(λ 0, δ 0 ) = {λ Λ : λ λ 0 < δ 0 } denota la bola abierta de centro λ 0 y radio δ 0 en R p. Página 25 de 29

26 Ahora, para λ λ 0 < δ 0 se tiene b(λ) a(λ) con I(λ) = f(λ, x) dx = I(λ) + I b (λ) I a (λ), (1) b(λ0 ) a(λ 0 ) f(λ, x) dx, I a (λ) = a(λ) a(λ 0 ) f(λ, x) dx, I b (λ) = b(λ) b(λ 0 ) f(λ, x) dx. La integral I(λ) tiene límites de integración fijos, luego le es de aplicación 4.1.1, donde reemplazamos Λ I por C 0 : Página 26 de 29 I(λ) λ=λ0 = b(λ0 ) a(λ 0 ) f(λ 0, x) dx. (2)

27 Veamos que I a (λ), I b (λ) son derivables en λ 0 respecto de λ i, y calculemos estas derivadas. Por analogía, basta considerar I b (λ). Sea e i el i-ésimo vector unitario canónico de R p. Se verifica: I b (λ) I b (λ 0 + ρe i ) I b (λ 0 ) λ=λ0 = lím ρ 0 ρ 1 b(λ0 +ρe i ) = lím f(λ 0 + ρe i, x) dx. ρ 0 ρ b(λ 0 ) Por el teorema de la media, existe ξ = ξ(ρ) [b(λ 0 ), b(λ 0 + ρe i )] tal que b(λ0 +ρe i ) b(λ 0 ) f(λ 0 + ρe i, x) dx = f(λ 0 + ρe i, ξ) [b(λ 0 + ρe i ) b(λ 0 )]. Página 27 de 29

28 Consecuentemente, I b (λ) λ=λ0 = lím ρ 0 [ b(λ0 + ρe i ) b(λ 0 ) = b(λ) λ=λ0 f(λ 0, b(λ 0 )). ρ ] f(λ 0 + ρe i, ξ) Aquí hemos usado la existencia de b(λ)/ en λ 0 y el hecho de que esto último se deduce de lo siguiente: lím f(λ 0 + ρe i, ξ) = f(λ 0, b(λ 0 )); ρ 0 lím ρ 0 (λ 0 + ρe i ) = λ 0 ; lím ρ 0 b(λ 0 + ρe i ) = b(λ 0 ) (pues b es continua en λ 0 ); b(λ 0 ) ξ b(λ 0 + ρe i ) implica lím ρ 0 ξ(ρ) = b(λ 0 ); y f es continua en (λ 0, b(λ 0 )). Página 28 de 29

29 Hemos probado: I b (λ) λ=λ0 = b(λ) λ=λ0 f (λ 0, b(λ 0 )). (3) Similarmente: I a (λ) λ=λ0 = a(λ) λ=λ0 f (λ 0, a(λ 0 )). (4) La combinación de (1), (2), (3) y (4) completa la demostración. Página 29 de 29