Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: CURSO
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- Pascual Moya Camacho
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1 EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO (ÁLGEBRA) Apellidos: Nobre: Curso: º Grupo: A Día: CURSO Opción A. Considera la atriz a a B a a que depende de un paráetro. a) [, puntos] Para qué valores de a tiene B inversa? Justifica la respuesta. b) [, puntos] Para a halla la inversa de B. a b. Se sabe que c d a b 6a b a) [ puntos] Calcula el valor de c d 6c d b) [, puntos] Enuncia las propiedades de los deterinantes que hayas usado en el apartado anterior.. [, puntos] Clasifica el siguiente sistea de ecuaciones lineales según los valores del paráetro real, x y z x y z x y z. Considera el sistea de ecuaciones que depende de un paráetro real a x y z x y z x ay z 6 (a) [, puntos] Discute el sistea según los valores de a. (b) [ punto] Resuélvelo para a 8. Opción B. [, puntos] Se dice que una atriz cuadrada de orden es ortogonal si su inversa A y su traspuesta A t coinciden. Dado un núero real x, Es ortogonal la atriz B siguiente? cos(x) sen(x) B sen(x) cos(x). [, puntos] Se dice que dos atrices A y B son seejantes cuando existe una atriz invertible P tal que AP PB. Prueba que las atrices A y B son seejantes.. [, puntos] Sea el sistea de ecuaciones x y yz x ()yz Estudia su coportaiento según los valores del paráetro.. [, puntos] Álvaro, Marta y Guillero son tres heranos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres heranos tendreos la isa cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 8 euros.
2 SOLUCIÓN DEL EXAMEN Opción A a a. Considera la atriz B a a que depende de un paráetro. a) [, puntos] Para qué valores de a tiene B inversa? Justifica la respuesta. b) [, puntos] Para a halla la inversa de B. (a) La atriz B tiene inversa cuando su deterinante sea no nulo: a a B a a a (a+)+a+a (a++a +a ) a a +a Que se anula para a. Es decir que tiene inversa para a {}. (b) Si a la atriz se convierte en: B Con deterinante B. Obteneos la atriz de adjuntos: Adj(B) La atriz traspuesta de los adjuntos será: Adj(B) t t Coo B Adj( B) se obtiene que la inversa de B es: B B a b. Se sabe que c d a b 6a b (a) [ puntos] Calcula el valor de c d 6c d (b) [, puntos] Enuncia las propiedades de los deterinantes que hayas usado en el apartado anterior. (a) Para calcular el valor del deterinante D lo descoponeos en suandos: D a b 6a b c d 6c d a 6a a b + c 6c c d a 6a b b 6a b + c 6c d d 6c d b 6a b b + + d 6c d d Coo el producto de la fila o coluna de un deterinante por un núero es igual al deterinante por ese núero, se puede sacar factor coún a los eleentos de las colunas de los deterinantes obteniendo:
3 D 8 a c a c +6 a c b d 6 b d a c b d b d Si dos filas o colunas son iguales se anula el deterinante: a b b a D 6 6 c d d c Si intercabiaos dos filas o colunas el deterinante cabia de signo, luego: a b a b a b D c d c d c d (b) Una de las propiedades de los deterinantes usadas en el apartado anterior es: Si los eleentos de una fila o coluna se descoponen en suandos, su deterinante es igual a la sua de deterinantes que tiene todas las deás filas o colunas iguales y uno de los dos suandos en la fila o coluna en cuestión.. [, puntos] Clasifica el siguiente sistea de ecuaciones lineales según los valores del paráetro real, x y z x y z x y z La atriz del sistea y la atriz apliada del sistea son: A A* El rg(a) es al enos ya que el enor Coo el valor del deterinante es A 7 7 que será nulo para ó Teneos los siguientes casos: y rg(a) rg(a*). Sistea copatible deterinado. A A* rg(a) y rg(a*) ya que existe un enor de orden no nulo: El sistea es por lo tanto incopatible A A* rg(a) rg(a*). El sistea es copatible indeterinado.
4 . Considera el sistea de ecuaciones que depende de un paráetro real a x y z x y z x ay z 6 (a) [, puntos] Discute el sistea según los valores de a. (b) [ punto] Resuélvelo para a 8. (a) La atriz del sistea y la atriz apliada son: A A* a a 6 Coo A (++a)(+a+) a se anulará cuando a 8. Si a 8 rg(a) rg(a*). El sistea es copatible deterinado, la intersección es un punto. Si a 8 A A* rg(a) rg(a*). El sistea es copatible indeterinado. () Para a 8, tal coo dijios, el sistea es copatible indeterinado, una de las ecuaciones es cobinación lineal de las otras dos y la despreciaos, toando z, queda el sistea: x y z x y λ x y λ y y + x y z x y λ x y λ x +y +6 Opción B. [, puntos] Se dice que una atriz cuadrada de orden es ortogonal si su inversa A y su traspuesta A t coinciden. Dado un núero real x, Es ortogonal la atriz B siguiente? cos(x) sen(x) B sen(x) cos(x) Para deostrar que B es ortogonal calculaos su inversa. Coo el deterinante es: cos(x) sen(x) cos(x) sen(x) B sen(x) cos(x). (cos x+sen x) sen(x) cos(x) luego B tiene inversa. Hallaos su adjunta: cos(x) sen(x) Adj(B) sen(x) cos(x) Calculaos su traspuesta: cos(x) sen(x) Adj(B) t sen(x) cos(x)
5 Calculaos su inversa: cos(x) B Adj(B) t sen(x) A sen(x) cos(x) Calculaos su traspuesta cos(x) sen(x) B t sen(x) cos(x) Evidenteente B t B, luego la atriz B si es ortogonal. [, puntos] Se dice que dos atrices A y B son seejantes cuando existe una atriz invertible P tal que AP PB. Prueba que las atrices A y B son seejantes. Si las atrices A y B son invertibles existirá una atriz invertible P: a b P c d verificando: a b a b.. c d c d Realizando los productos: a c b d a b a b c d Iponiendo la igualdad de atrices: a +c a b+d b a c b d Obteneos: b d a c Es decir: c P c d d Cuyo deterinante es: c d cd c d que es siepre distinto de cero salvo que sean c o d.. [, puntos] Sea el sistea de ecuaciones x y yz x ()yz Estudia su coportaiento según los valores del paráetro. Para estudiar su coportaiento según los valores del paráetro, debeos escribir las atrices asociadas:
6 6 A A* Calculaos el deterinante de A para hallar su rango y poder aplicar el teorea de RouchéFrobenius det(a) () donde heos restado a la ª fila la ª fila, y desarrollado el deterinante por los adjuntos de la ª coluna. Igualando a cero la expresión obteneos: det(a) () ó Si y Coo det(a), rg(a) rg(a*) nº de incógnitas y el sistea es copatible deterinado. Si, las atrices del sistea son: A A* rg(a) ya que el enor forado por eleento de la ª y ª colunas rg(a*) rg(a) pues la coluna añadida de coeficientes es igual a la ª coluna. El sistea es copatible indeterinado. Si, las atrices del sistea son: A A* rg(a) ya que el enor Calculeos rg(a*). Coo el deterinante. rg(a) rg(a*). El sistea es incopatible.. [, puntos] Álvaro, Marta y Guillero son tres heranos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres heranos tendreos la isa cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 8 euros. Sea x el dinero de Álvaro Sea y el dinero de Marta Sea z el dinero de Guillero
7 Que los tres juntan 8 euros, se traduce en: x + y + z 8 [] Que Álvaro diga a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres heranos tendreos la isa cantidad, Marta + / de Álvaro Guillero, se traduce en: y + x z [] Que Guillero Álvaro / de Álvaro, se traduce en: x x z z x [] Resolviendo el sistea: x + y +z8 y x z x z Si z x, lo sustituios en []: y + x x y x x x Sustituyendo en [] obteneos: x x x 8 x 8 x por lo tanto: y. z. 8 Es decir que El dinero de Álvaro es euros El dinero de Marta es euros El dinero de Guillero es 8 euros 7
8 EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO () Apellidos: Nobre: Instrucciones: Curso: º Grupo: A Día: CURSO a) Duración: HORA y MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicaente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicaente los cuatro ejercicios de la Opción B c) Contesta de fora razonada, escribe ordenadaente y con letra clara. d) Puedes usar calculadora (puede ser prograable o tener pantalla gráfica). Opción A. Sean las atrices A, B, C a) [, puntos] Indica los valores de para los que A es invertible. b) [ puntos] Resuelve la ecuación atricial XA B t C para. (B t es la atriz traspuesta de B).. Sea el siguiente sistea de ecuaciones λx+ y +z λ + x λy z x y + λ zλ a) [,7 puntos] Discútelo según los valores de. Tiene siepre solución? b) [,7 puntos] Resuelve el sistea para. α. Sean las atrices A y B α a) [, puntos] Calcula los valores de para los que la atriz inversa de A es A. b) [, puntos] Para, deterina la atriz X que verifica la ecuación A t X B, siendo A t la traspuesta de A. α. Dadas las atrices A α y B α a) [,7 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de. b) [,7 puntos] Para, resuelve la ecuación atricial AX B. Opción B. Sea la atriz A a) [, puntos] Coprueba que se verifica A A I. b) [, puntos] Calcula A. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).. Considera el siguiente sistea de ecuaciones (+)x y z x y +z x +yz a) [,7 puntos] Discútelo según los valores de. b) [,7 puntos] Resuélvelo para el caso.. Sea la atriz 8
9 A. k a) [ punto] Para qué valores del paráetro k no existe la inversa de la atriz A? Justifica la respuesta. b) [' puntos] Para k, resuelve la ecuación atricial (X +I) A A t, donde I denota la atriz identidad y A t la atriz traspuesta de A.. Considera el sistea de ecuaciones x + y + z + y + z + x + ( )y + z a) [ punto] Resuelve el sistea para. b) [ punto] Halla los valores de para los que el sistea tiene una única solución. c) [' puntos] Existe algún valor de para el que el sistea adite la solución,,? SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción A. Sean las atrices A, B, C a) [, puntos] Indica los valores de para los que A es invertible. b) [ puntos] Resuelve la ecuación atricial XA B t C para. (B t es la atriz traspuesta de B). a) A es invertible si su deterinante es no nulo A ( ++)(++) + Que igualando a cero nos da la ecuación: Con soluciones y. Luego para R{,} la atriz A es invertible.. b) Para resolver la ecuación atricial XAB t C ultiplicaos por la derecha por A para despejar X: XAA (B t + C)A X (B t + C)A. Para la atriz A se convierte en: A t El valor de la inversa es: A Adj(A ) A En el apartado anterior habíaos calculado A obteniendo, para : A + Obteneos la atriz traspuesta: A t La atriz de los adjuntos de la traspuesta será: 9
10 Adj(A t ) Luego la inversa de A es: A Calculaos (B t 6 + C) + 6 X (B t + C)A 6. Sea el siguiente sistea de ecuaciones λx+ y +z λ + x λz z x y + λ zλ a) [,7 puntos] Discútelo según los valores de. Tiene siepre solución? b) [,7 puntos] Resuelve el sistea para. a) Para discutir las soluciones del sistea utilizaos el Teorea de RouchéFrobenius. Siendo la atriz de coeficientes y apliada: λ λ λ A λ y A* λ λ λ λ Halleos el valor del deterinante de A: λ A λ ( +)(+) λ Que será nulo si Si λ rg(a) rg(a * ) nº de incógnitas, por el teorea de RouchéFrobenius el sistea es copatible y deterinado y tiene solución única. Si λ la atriz de coeficientes y apliada son: A y A* Coo existe un enor de orden, rg(a). Coo en la atriz apliada la ª y ª filas son proporcionales rg(a * ). Coo rg(a) rg(a * ) < nº de incógnitas, por el teorea de Rouché Frobenius el sistea es copatible indeterinado, y tiene infinitas soluciones. Por lo tanto el sistea siepre tiene solución b) Si λ en el apartado anterior heos discutido que es un sistea copatible indeterinado con rg(a) rg(a * ), luego una de las ecuaciones es cobinación lineal de las otras. Despreciaos la tercera y toaos paraetrizaos la incógnita z : x +y+z x + y λ x y z x y λ Si restaos a la ª ecuación la ª obteneos: x x
11 Sustituyendo el valor de x en la ª ecuación: + y λ y λ y λ La solución del sistea es: (x, y, z), λ, λ con λr.. Sean las atrices α A y B α a) [, puntos] Calcula los valores de para los que la atriz inversa de A es A. b) [, puntos] Para, deterina la atriz X que verifica la ecuación A t X B, siendo A t la traspuesta de A. a) Por el enunciado del problea sabeos que existe la atriz inversa de A: t A Adj(A ) A Con deterinante A + Obteneos la atriz traspuesta: A t α α La atriz de los adjuntos de la traspuesta será: Adj(A t ) α α Luego la inversa de A es: A α α α α α Coo del enunciado del problea teneos que: α A α A α α Igualando valores de térinos equivalentes obteneos el sistea: α 6 α α 9 α ±. α α α. α α α α. Luego α. b) Para resolver la ecuación atricial A t X B, ultiplicaos por la izquierda por (A t ) y aplicando la propiedad de que (A t ) (A ) t : (A t ).A t X (A t ).B X (A t ).B (A ) t.b En el apartado anterior heos averiguado que para α : A A (A ) t Luego:
12 X (A ) t.b Dadas las atrices α A α y B α a) [,7 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de. b) [,7 puntos] Para, resuelve la ecuación atricial AX B. Para estudiar el rango de A estudiaos su deterinante: α A α ( ++)(+ +) + α Que será nulo cuando +, ecuación que resolveos ediante la regla de Ruffini: Es decir que A () (+) Si α y α, teneos A, por tanto rango(a). Si α queda la atriz: Coo la segunda y la tercera filas son proporcionales a la priera rg(a). Si α queda la atriz: Coo el enor () rg(a). b) Para α, las atrices son A y B En el apartado anterior heos averiguado que A es invertible ya que su deterinante es: A.+ El valor de la inversa es: t A Adj(A ) A Obteneos la atriz traspuesta:
13 A t Que coincide con la atriz, es por lo tanto una atriz siétrica. La atriz de los adjuntos de la traspuesta será: Adj(A t ) Luego la inversa de A es: A Por lo tanto ultiplicando a la izquierda por la inversa de la ecuación atricial: A.AX A.B X A.B X A.B X.. Opción B. Sea la atriz A a) [, puntos] Coprueba que se verifica A A I. b) [, puntos] Calcula A. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). a) Calculeos: A ;.A Veaos que A A I, siendo I la atriz identidad de orden. A A coo queríaos ver. b) Sabeos que una atriz cuadrada A tiene atriz inversa B si A.B B.A I. Utilizando la igualdad A A I del apartado anterior, y sacando factor coún la atriz A por la derecha teneos (I A).A I, y por la definición de inversa teneos que A IA, es decir: A IA Se puede coprobar que: A.A. I.
14 . Considera el siguiente sistea de ecuaciones (+)x y z x y +z x +yz a) [,7 puntos] Discútelo según los valores de. b) [,7 puntos] Resuélvelo para el caso. a) Sea A respectivaente. y A * la atriz de coeficientes y la atriz apliada Para que el sistea tenga solución única, por el Teorea de RouchéFrobenius, rg(a) rg(a * ) nº de incógnitas, por tanto el deterinante de A tiene que ser distinto de cero. A [(+)+][+.(+)] + ()(+). Si A, teneos ()(+), de donde y. Para y el sistea es copatible y deterinado, y tiene solución única. Si Sea A la atriz de los coeficientes y A * la apliada. Veos que rango(a), pues las tres filas son iguales. En A coo, teneos rg(a). En A * coo, por tener la fila ª y ª proporcionales teneos rg(a * ). Coo rango(a) rango(a * ) < nº de incógnitas, por el Teorea de RouchéFrobenius el sistea es copatible e indeterinado y tiene infinitas soluciones. Si Sea A la atriz de coeficientes y A * la atriz apliada. En A coo, teneos rg(a). En A * coo ()(), rg(a * ). Coo rango(a) rango(a * ), por el Teorea de RouchéFrobenius el sistea es incopatible y no tiene solución. b) Si heos visto en el apartado anterior que rg(a) rg(a * ) < nº de incógnitas, y el sistea era copatible e indeterinado, es decir con infinitas soluciones. Para resolverlo toaos dos ecuaciones y dos incógnitas principales. Toaos las dos prieras ecuaciones, que sabeos que son independientes, por lo calculado en el apartado anterior. Toaos z coo paráetro y obteneos un sistea de dos ecuaciones con dos incógnitas:
15 x y z x y λ x y +z x y λ Restaos la ª ecuación de la ª obteniendo: λ x + x Sustituyendo el valor de x en la ª ecuación: λ λ y x++ λ Por lo tanto la solución del sistea es: λ λ (x, y, z),,λ. Sea la atriz A. k a) [ punto] Para qué valores del paráetro k no existe la inversa de la atriz A? Justifica la respuesta. b) [, puntos] Para k, resuelve la ecuación atricial (X +I) A A t, donde I denota la atriz identidad y A t la atriz traspuesta de A. a) Para hallar qué valores del paráetro k hacen no exista atriz inversa calculaos el deterinante, A y obligaos a que sea nulo. Calculaos el deterinante: A k (++k) (++) k [] Si A k k. Luego la atriz A no tiene inversa si k. b) En el apartado anterior heos averiguado que para k la atriz A tiene inversa, luego podeos ultiplicar la ecuación por la derecha por la inversa de la atriz A y a continuación restar la atriz identidad en abos iebros: (X +I) A.A A t. A (X +I) A t. A X A t. A I Sustituyendo k en la expresión [] del apartado anterior hallaos la atriz: Cuyo deterinante es A. Coo es no nulo exista la atriz inversa, A, que calculaos su inversa aplicando la fórula: t A Adj(A ) A Obteneos la atriz traspuesta: A t La atriz de los adjuntos de la traspuesta será: Adj(A t ) Luego la inversa de A es:
16 6 A Sustituios en la ecuación anterior: X A t. A I.. Considera el sistea de ecuaciones λ )y+z x +(λ y +z λ + x + y +zλ + a) [ punto] Resuelve el sistea para. b) [ punto] Halla los valores de para los que el sistea tiene una única solución. c) [, puntos] Existe algún valor de para el que el sistea adite la solución,,? b) Para halla los valores de λ para los que el sistea tiene una única solución consideraos la atriz de los coeficientes del sistea y la atriz apliada: A λ A* λ λ λ λ Para que haya solución única según el Teorea de RouchéFrobenius el sistea ha de ser copatible y deterinado, luego rango(a) rango(a*) nº de incógnitas. Para ello basta con que el deterinante de la atriz del sistea sea no nulo, A. A λ (+6)(9+λ+) λ+ Luego el sistea tiene solución única si λ. c) Para ver si existe algún valor de λ para que el sistea adita la solución,, debeos sustituir dichos valores en las ecuaciones del sistea y ver si es cierto. Sustituios: λ+ λ+ λ.. λ+ λ+ λ λ. λ λ Luego el valor buscado es λ a) Heos visto en el apartado (b) que si λ, A luego rango(a) <. Sustituios y obteneos A A*, rango(a). (++) (8++) 88, rango(a*)
17 Coo rango(a) rango(a*) < nº incógnitas, por el teorea de Rouché el sistea es copatible e indeterinado, y tiene infinitas soluciones. Coo el rango es, una de ellas es cobinación lineal de las otras dos, sólo necesitaos ecuaciones. Toaos la ª y la ª siendo z : x + y λ y λ En la ª ecuación queda: y λ Sustituyendo en la ª ecuación: x y λ λ La solución es: (x, y, z),, λ con R. λ λ 7
1. Calificación máxima: 2 puntos Calcular los siguientes límites (donde Ln significa Logaritmo Neperiano).
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