Unidad 1: Estadística Descriptiva.

Transcripción

1 Udad : Estadístca Descrptva..0 Cotedos, objetvos y palabras clave. Cotedos:.0 Cotedos, objetvos y palabras claves. Resume de co. Defcoes y propedades prcpales... Ejerccos resueltos, paso a paso. 3.. Ejerccos propuestos.. Meddas de poscó y dspersó. Defcoes y propedades prcpales... Ejerccos resueltos, paso a paso. 6.. Ejerccos propuestos. 4.3 Plateametos problemátcos para aplcacó de propedades Ejerccos resueltos, paso a paso Ejerccos propuestos Datos bdmesoales. Tablas de frecueca cojuta, margales y codcoales Ejerccos resueltos, paso a paso Ejerccos propuestos. 39 Objetvos: Palabras Clave: Aplcar correctamete los modelos de probabldad e el cálculo de probabldades e problemas de aplcacó. Calcular percetles. Recoocer la coveeca de la aplcacó de dstrbucoes límte cuado el tamaño de la muestra es muy grade. Poblacó, muestra. Varable cuattatva. Varables cualtatvas. Escalas de medcó. Frecuecas. Meddas de poscó. Meddas de dspersó. Dato bdmesoal. Dstrbucó Bdmesoal.

2 .. Resume de co. Defcoes y propedades prcpales. Se llama poblacó al cojuto de todos los objetos que costtuye el terés de estudo para u estadístco partcular. Ua muestra es cualquer subcojuto de la poblacó. Se llama muestreo a la técca de obtecó de la muestra. Tpos de muestreo: Probablístco, No probablístco. Muestreo Probablístco: muestreo aleatoro smple, muestreo sstemátco, muestreo estratfcado, muestreo por coglomerado. Muestreo o probablístco: muestreo por cuotas. El ete de trabajo de la estadístca es el dato. Se llama Estadístca a la ceca que se preocupa de estudar las varables y sus comparacoes o relacoes para eplcar su comportameto actual, posteror o ateror. Para esto últmo ha desarrollado la Estadístca Iferecal. El procedmeto básco de la estadístca (de terés partcular e estadístca descrptva) cosste e recabar, orgazar, aalzar e terpretar datos para etraer de ellos formacó lógcamete aceptable. El dato es u regstro de la varable de terés e el mometo e que ha falzado la epereca para observar el resultado que se logra. El regstro de este resultado se llama dato. Para que sea útl la formacó que se logra a partr de los datos sobre la base de la cual se hará la toma de decsoes, los datos debe orgazarse y mostrarse apropadamete. El tpo de datos dcará el método que se usará e su aálss. La característca que se va a estudar e los objetos de la poblacó se llama varable y será desgada por letras mayúsculas X, Y, Z, etc. Los valores de las varables será deotados por letras músculas y subídces e la forma, y, z, etc., desgado co ello el dato u observacó -ésma de la varable X, Y, Z, respectvamete. Las varables se clasfca e dos categorías geerales: varables cuattatvas y varables cualtatvas. Se llama varable cuattatva a aquella cuyos valores meddos e ua escala umérca (úmeros reales).

3 3 Se llama varable cualtatva a aquella cuyos valores represeta categorías o atrbutos, que puede clasfcarse segú u crtero o cualdad. Cada ua de las dsttas categorías e las que se puede presetar e ua tabla a las varables categórcas o umércas dscretas, es llamada clase. Las varables umércas cotuas se clasfca por tervalos de úmeros reales. El puto medo de cada tervalo se llama marca de clase. La tabla de frecueca es u ordeameto e flas y columas, de clases o tervalos co sus respectvas frecuecas, que srve para presetar los datos e forma resumda, facltado así cálculos de dcadores estadístcos y gráfcos. U gráfco es ua forma vsual de represetar y resumr datos de la tabla. Puede ser de varos tpos: gráfco crcular, gráfco de barras, hstograma, polígoo de frecuecas, dagrama de caja y bgote, etc... Ejerccos resueltos, paso a paso: Ejemplo.. Se obtuvo la sguete formacó sobre la atecó odotológca realzada a pacetes por alumos de cuarto a seto año de la U.A por mes, e la Facultad de dcha uversdad, durate los meses de Abrl a Dcembre 00. a. Idetfque: Elemeto de la poblacó, varable, tpo de varable, Tpo de escala b. Complete la tabla de frecuecas co su respectvo título. Aéele u gráfco adecuado c. Determe el porcetaje de pacetes ateddos e el mes de Octubre? d. Determe el úmero de pacetes ateddos a lo meos e septembre? e. Qué porcetaje de pacetes fue ateddo a lo más e Agosto?

4 4 Esquema de desarrollo: Resp.: Elemeto de la poblacó : Pacete ateddo por alumos de cuarto a seto año de la carrera de Odotología, Varable: Mes e que se efectuó la atecó. Tpo de varable: Cualtatva. Tpo de escala: Categórca ordal. a) Resp.: Tabla de frecuecas: Recuerda el sguete pla cuado procedes a solucoar estos problemas: Paso. Idetfcar los datos que etrega el problema. Paso. Idetfcar las pregutas del problema. Paso 3. Ivestgar coocmetos adcoales. Paso 4. Propoer y realzar las respuestas a las pregutas. Dstrbucó de pacetes de alumos de 4 o a 6 o año de la carrera de Odotología, segú mes de atecó, U. de Atofagasta, 00. Mes f N F Abrl 78 0, ,50579 Mayo 4 0, ,979 Juo 78 0, , Julo 97 0, , Agosto 8 0, ,75868 Septembre 8 0, ,7799 Octubre 53 0, ,8839 Novembre 43 0, ,96550 Dcembre 8 0, Total de 58 Presetacó de la gráfca de los datos de la tabla. Ejemplo. E u hosptal de la captal, se formo que de u total de 350 efermos, su dagóstco fue: 60 co Crross Hepátca, 4 co Ulcera Gástrca, 80 co Ulcera duodeal, co Gastrts erosva, 6 co Esofagts erosva, Yeyuts hemorrágcas, o precsado 0. Determe: a. Elemeto de la poblacó: b. Varable. c. Tpo de varable. d. Tpo de escala. e. Costruya ua tabla de frecuecas co su título correspodete. f. Presete estos datos gráfcamete.

5 5 Esquema de desarrollo. Paso. Auque parezca ua ssteca adecuada, lea el problema detedamete hasta comprederlo. Paso. Desarrollar las respuestas: a. Resp. Elemeto de la poblacó: U efermo del hosptal. b. Resp. Varable: Dagóstco c. Resp. Tpo de varable: Cualtatva d. Resp. Tpo de escala: Nomal e. Resp. Tabla de frecuecas co u título adecuado: Dstrbucó de efermos segú dagóstco e u hosptal de la captal Dagóstco f Crross hepátca 60 0,74857 Ulcera gástrca 4 0, Ulcera duodeal 80 0,54857 Gastrts erosva 0,06 Esofagts erosva 6 0, Yeyuts hemorrágcas 0, No precsados 0 0, Total de datos: 350 Obsérvese que por la poca formacó acerca de cuál es la captal a la que hace refereca estos datos, el mes y/o año e que fuero tomados, la fuete que tomó estos datos y alguos otros dcadores de terés, o se ha poddo detallar más esta epereca estadístca. Estos defectos debe corregrse. f. Resp. Presetacó de estos datos gráfcamete:

6 6 Ejemplo 3. Dada la gráfca de la fgura, a) Determe: a. El elemeto de la poblacó. b. La varable e estudo. c. El tpo de varable e estudo. d. El tpo de escala. b) Costruya ua tabla de frecuecas. Esquema de desarrollo: Paso. Ua vez más se sugere que sempre comece por efectuar ua lectura deteda del problema para lograr su total compresó ANTES de comezar a resolver. Paso. Desarrollar las respuestas: a. Resp. Elemeto de la poblacó: U ño co VIH(+). b. Resp. Varable: Patologías bucales. c. Resp. Tpo de varable: Cualtatva. d. Resp. Tpo de escala: Nomal. Resp. Tabla de frecuecas: Verfque cada valor de la tabla adyacete, propuesta como respuesta. Ejemplo 4. La tabla adyacete preseta el vel de colesterol total de 0 trabajadores de la Empresa Mera Cerro Colorado e Agosto de 005 ubcada a 5000 metros sobre el vel del mar. a) Escrba u título a la tabla adjuta y costruya u gráfco adecuado para presetar estos datos. b) Calcule e terprete la moda y el prmer cuartl del colesterol total. c) Aquellos trabajadores co vel de colesterol total gual o superor a 00 se cosdera co colesterol alterado. Qué porcetaje de trabajadores tee colesterol alterado? d) S el 5% de los trabajadores co más bajo colesterol total y el 30% de los trabajadores co más alto colesterol total so cosderado de alto resgo. Idque etre qué valores de colesterol total u trabajador o será cosderado de alto resgo.

7 7 Esquema de desarrollo. Paso. Leer el problema, detfcar e pocas palabras todo aquello que se pde hacer. Escrbr frases cortas. Teer clardad de que al fal se debe termar co ua respuesta a lo que se pde. Paso. Desarrollar las respuestas: a) Se pde: Escrbr u título a la tabla adjuta y costrur u gráfco adecuado a estos datos. Cuado se escrbe títulos de tabla es costumbre comezar co la epresó Dstrbucó de y a cotuacó se detfca el tpo de elemetos de la poblacó que ha sdo cotados como perteecetes a cada clase o tervalo de la tabla, e la columa de frecuecas absolutas. Luego se escrbe la frase segú y se agrega la varable e estudo (colesterol total e este caso). Segudamete se deja epresado e dóde se recoplaro los datos (Empresa Mera Cerro Colorado), el año y el mes. També es acosejable dejar costaca del lugar geográfco (regó, país: Atofagasta, Chle, por ejemplo) y cualquer otro dato que permta dferecar los datos de ua fecha y lugar co los de otra vestgacó dstta. El gráfco, que o es so ua epresó vsual de lo que cotee la tabla, queda como se muestra e la fgura adyacete. b) Se pde: Calcular e terpretar la moda y el prmer cuartl del colesterol total. a. La moda es el valor de mayor frecueca absoluta. La mayor frecueca absoluta e la tabla es 4 9. Por lo tato la moda debe ser u valor que perteece al tervalo ( 88,5; 5,5 ]. Puesto que esta varable está defda por tervalos, es varable cotua. Esto quere decr que la moda será calculada, para 4, co ( ) M o LI( ) + A + ( ) + ( ) 4 ( 4 4 ) LI(4) + A ( ) + ( )

8 8 4 ( 4 3) LI(4) + A ( ) + ( ) Reemplazado los valores de la tabla se obtee M o (9 ) 88, ( 9 ) + ( 9 ) Resp.: El colesterol total más frecuete e esta muestra de 0 trabajadores es de 0 udades (Esto epresa el cálculo y la terpretacó peddos por el problema). b. El prmer cuartl es el percetl 5, P 5, calculado como sgue 5 N 00 Q P5 LI( k ) + A k k k Debemos determar el orde del tervalo que cotee al cuartl Q. Esto se 5 hace co la epresó α, que represeta la cuarta parte del total de datos Así, α. E la columa de las frecuecas absolutas acumuladas N, cuyos valores so ascedetes por represetar acumulacó de observacoes desde la de más bajo valor, buscamos el prmer N que guale o supere a α 30. Éste resulta ser N 3 3. De aquí se deduce que el valor de k que detfca al tervalo que cotee al prmer cuartl es k 4.Por lo tato, la epresó co la que calcularemos el valor del prmer cuartl es 0 5 N 00 Q P LI + A LI + A 3 ( 30 N ) 5 (3) 3 (3) Buscado los valores correspodetes e la tabla obteemos ( 30 9) P

9 9 Iterpretacó: Cuado los datos ha sdo ordeados de meor a mayor, el prmer cuartl es la frotera que deja bajo sí a lo más al 5% del total de datos (este es el valor de α ) y a lo más sobre él al 75% del total de datos. Cálculo: El valor del prmer cuartl es de 87,7 udades de colesterol total. Resp. (Cálculo e terpretacó): El valor del Prmer Cuartl o Cuartl Iferor es de 87,7 udades de colesterol total y deja bajo sí a lo más al 5% de lo valores de colesterol total más bajo, y sobre este valor se ecuetra a lo más el 75% de los valores de colesterol total más alto. c) Se pde: El porcetaje de trabajadores tee colesterol alterado. Los trabajadores tee colesterol alterado cuado su vel de colesterol total es gual o superor a 00 udades. Decr 00 udades de colesterol total sgfca fjar ua frotera e la muestra de 0 observacoes para calcular qué porcetaje tee tato como o más de 00 udades de colesterol total. Es decr debemos calcular u percetl P de valor 00, descoocedo el valor de, y calcular qué porcetaje del total de datos tee valores meores que él. S prmero os abocamos a ecotrar cuátos datos, a lo más, so meores que el percetl que buscamos, etoces os estamos refredo al valor α calculado ates. E esa oportudad sabíamos que el percetl dejaba a lo más u 5% de los datos bajo sí y escrbíamos α 00 que puede ser escrto como α , que o es so el 5% del total de datos Sorpresa!!! S geeralzamos el razoameto ateror, descoocedo el porcetaje, dremos que s α, lo que se pde ecotrar es el valor de E resume, sabemos que P 00 y debemos ecotrar el valor de. Usado u polígoo de frecuecas, como el de la fgura, podemos lustrar lo que está sucededo. El percetl P 00 perteece al tervalo ( ] 88.5; 5.5. Por lo tato podemos escrbr

10 0 00 Nk α Lím.If. Ak 9 k 0 α despejado Puesto que este percetl deja bajo él a lo más etre 36 y 37 datos ( 36.3 para ser más eactos) que correspode al 36.3% del total de datos (0), y los trabajadores que tee colesterol alterado tee u colesterol total de 00 o más udades, se deduce que el 00 36,3 % 63, 87% tee colesterol alterado. ( ) Resp. : El 63.87% de los trabajadores de la Empresa Mera Cerro Colorado tee colesterol alterado. d) Se pde: Etre qué valores de colesterol total u trabajador o será cosderado de alto resgo. El eucado del problema dce: el 5% de los trabajadores co más bajo colesterol total y el 30% de los trabajadores co más alto colesterol total so cosderado de alto resgo Por lo tato, suavzado el hstograma de los datos de este problema, podemos obteer ua mage como la de la fgura. E ella podemos dejar froteras para detfcar las zoas de valores de colesterol total de alto resgo. Por la defcó de percetl, es claro que la frotera del superor del 5% más bajo de valores de colesterol total es el percetl 5, P 5. S por sobre la frotera feror del 30% de valores más altos de colesterol total está també los valores de colesterol de alto resgo, etoces el colesterol de alto resgo es de u 55% del total de valores posbles. E cosecueca el colesterol que NO ES DE ALTO RIESGO costtuye el 45% del total de valores posbles de colesterol total. La frotera superor de este tervalo es el percetl P. 70 Las froteras de este tervalo de colesterol total que NO ES DE ALTO RIESGO so los percetles P 5 y P 70. Calculamos estos percetles (esta vez o daremos tato detalle, debe revsarse la epresó de cálculo dada ates): ( 30 9) P ( 90 8) P

11 Estamos ahora e codcoes de respoder a lo peddo: Resp.: U trabajador o será cosderado co colesterol total de alto resgo cuado sus valores de colesterol total se ecuetre etre 87.7 y 5.3 udades. El tervalo de valores de colesterol total que o es de alto resgo es [ 87.7; 5.3 ]... Ejerccos Propuestos.. U estudate de efermería hace ua ecuesta e ua fábrca, a los 50 empleados que ahí labora, acerca de del úmero de cargas famlares de cada uo de ellos; los resultados fuero los sguetes: a. Idetfcar Poblacó aalzada. b. Elemeto de la poblacó. c. Característca e estudo. d. Tpo de dato aalzado. e. Costruya ua tabla de frecueca completa e clases de logtud aeádole título. f. Costrur u gráfco adecuado. g. Cuátos empleados tee ó cargas? Qué porcetaje represeta? h. Cuátos empleados tee a lo más 6 cargas? Qué porcetaje represeta?. cuátos empleados tee más de 4 cargas?. Para u estudo de ua deta de escaso cotedo proteco se tee u forme de la catdad de trógeo (e gramos) e 30 muestras de ora de 4 horas, e el cosultoro sur de la cudad de Atofagasta e juo de 00, co los sguetes resultados,8 3, 3,4 3,8 4,3 5, 7,5 8,4 8,9 9,5 3,0 3,3 3,5 4, 4,7 6,3 7,6 8,4 9,,0 3,0 3,4 3,7 4, 5,0 7,0 7,8 8,5 9,4,4 a. Idetfque: Poblacó, varable e estudo, tpo de varable, tpo de escala b. Costruya ua tabla de frecueca completa de 8 categorías, escrbédole u título para los datos etregados c. Cuátas muestras tee ua catdad de trógeo meor o gual a 8,8 gramos? d. Cuátas muestras tee ua catdad de trógeo mayor a 5. gramos? e. Cuátas muestras tee f. ua catdad de trógeo mayor a 5. gramos y meor o gual a 8.8 gramos? g. Qué porcetaje de muestra tee ua catdad de trógeo a lo más 0 gramos? h. Qué porcetaje de muestras tee ua catdad de trógeo mayor a 6.4 gramos?. Calcular e terpretar el percetl 30 j. Costruya u gráfco adecuado para presetar los datos de la tabla costruda e b) e terprételo.

12 3. Dado el gráfco crcular Preferecas de 30 persoas e actvdades deportvas a. Cuál es la varable e estudo? b. Qué tpo de varable es? c. Cuál es la frecueca absoluta del grupo de fútbol? d. Cuátas persoas o prefere el tes? 0% 0% 30% 40% futbol basquestbol atletísmo tes.. Meddas de poscó y dspersó. Defcoes y propedades prcpales. Llamaremos medda de poscó a aquel valor que resume algua cualdad de la varable e térmos de su poscó e el domo. Tal valor srve como represetate del total de observacoes respecto de esa cualdad. Las meddas de poscó usuales so: meda artmétca, moda y percetl. Se llama meda artmétca a la medda de poscó que se obtee sumado todos los valores de la varable e ua poblacó o e ua muestra, dvdda por el úmero total de datos cosderados. E datos o tabulados la meda artmétca,, de los valores,, 3,, como se calcula E datos tabulados, la meda artmétca de los observacoes,, 3,, agrupados e m categorías o tervalos co frecueca absoluta,, 3,, m, y clases o marcas de clase c, c, c 3,, c m está dada por m c Se llama meda artmétca total de las k subpoblacoes de datos () () () () ( k ) ( k ) ( k ) ( k ),,,..., ;,, 3,..., ; ;,, 3,..., a () () () () 3 k T k k j k j j

13 3 dode, j ( j), j,,..., k. Se llama moda al valor de la varable e el que se produce u mámo de la dstrbucó de frecuecas. Es llamado també dato más frecuete, valor más frecuete o valor típco. Este dstrbucoes co más de ua moda, éstas so llamadas multmodales o plurmodales. E datos o tabulados la moda es el dato más observado. E datos tabulados de varable categórca o umérca dscreta la moda es la clase de mayor frecueca observada. E datos tabulados de varable cotua la moda se calcula por la epresó + ( ) M o LI( ) A + ( ) + ( ) Aquí es la mayor frecueca absoluta, correspodete al tervalo de orde que cotee a la moda; y + so las frecuecas absolutas ateror y posteror, respectvamete; A es la ampltud del tervalo que cotee a la moda (el de orde ) y LI ( ) es el límte feror del tervalo que cotee a la moda. Se llama percetl al valor frotera que partcoa el ordeameto de las observacoes e a lo más u % bajo él y e u (00 ) % por sobre él. E datos o tabulados de la sguete forma:,,,, el percetl P se calcula como ua terpolacó leal ( ) ( ) P ( k ) ( k ) + k k ( ) dode ( + ) 00 es la poscó que ocupa el percetl P etre los datos [ ], [ ],, [ ] e forma o decrecete, de forma que [ ], [ ],, [ ], P, [ ],... k k + [ ] E datos tabulados el percetl P se calcula co la epresó. ordeados

14 4 N 00 P LI( k ) + A k dode es el úmero total de observacoes; 00 es el valor que permte detfcar al tervalo de orde k e el cual se ecuetra el percetl y hasta el cual va acumulados 00 datos; LI ( k ) es el límte feror del tervalo k ; Ak es la ampltud del tervalo k ; k k k es la frecueca absoluta del tervalo de orde k y Nk es la frecueca absoluta acumulada ateror a la del tervalo de orde k. Percetles mportates: o Medaa: Es el valor de la varable que partcoa la dstrbucó de datos e dos partes dejado e cada ua el 50% del total de datos. Se deota por Me, dode Me P50. o Cuartles: So valores de la varable que partcoa la dstrbucó de datos e cuatro partes dejado e cada ua el 5% del total de datos. Se deota por Q,,,3. So cuartles: Q P5 (lower quartl, cuartl feror o prmer cuartl), Q P50 (segudo cuartl o medaa), Q3 P75 (uper quartl, cuartl superor o tercer cuartl). o Qutles: So valores de la varable que partcoa la dstrbucó de datos e cco partes dejado e cada ua el 0% del total de datos. So qutles: P 0 (prmer qutl), P 40 (segudo qutl), P 60 (tercer qutl), P 80 (cuarto qutl). o Decles: So valores de la varable que partcoa la dstrbucó de datos e dez partes dejado e cada ua el 0% del total de datos. Se deota por D,,,...,9.So decles D P0 D P0,, D9 P90. Se llama medda de dspersó a aquella medda relacoa la mayor o meor cocetracó de los datos etoro a u valor cetral, geeralmete la meda artmétca So meddas de dspersó la varaza y la desvacó estádar. També el coefcete de varacó (relatva a la meda, por udades de meda ). Se llama varaza a la meda artmétca de los cuadrados de las dferecas etre los valores de la dstrbucó y su meda artmétca. Los valores de la varable puede estar represetados por las observacoes orgales (e caso de datos s tabular) o por sus clases (e caso de varable dscreta) o por sus marcas de clase (e caso de varable cotua). La varaza e datos o tabulados se calcula medate la epresó

15 5 Notacó ( ) X ( ) V ( X ) S La varaza e datos tabulados se calcula por la epresó dode es la frecueca absoluta, c es la clase o marca de clase del tervalo,,..., m, m es el úmero de clases o tervalos y es el úmero total de observacoes. Las udades de la varaza so el cuadrado de las udades de la varable orgal. Esto es, mts, cm, ltros, dólares, pesos, Kg, etc. Se llama desvacó estádar a la raíz cuadrada postva de la varaza Las udades de la desvacó estádar so las msmas udades de la varable orgal. Esto es, mts, cms, ltros, dólares, pesos, Kgs, etc. S m m ( c ) c X ( ) E datos o tabulados la desvacó estádar se calcula por la epresó S X ( ) ( ) E datos tabulados la desvacó estádar se calcula por la epresó S X m m ( c ) c co las terpretacó de símbolos tal como se ha hecho ates. Se llama coefcete de varacó al cocete etre la desvacó estádar multplcada por 00, y la meda artmétca. Este coefcete se mde e porcetaje. El coefcete de varacó se calcula co la epresó CV X S X 00% La varaza total de las k subpoblacoes de datos ( )

16 6 () () () (),,,..., ;,, 3,..., ; ;,, 3,..., () () () () 3 se calcula por la epresó ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) k S T k [ S + ( ) ] k.. Ejerccos resueltos, paso a paso: Ejemplo. La sguete tabla (prescdremos por ahora de su título para cetraros más e los procedmetos) correspode al porcetaje de cobre obtedo medate dos procesos de produccó, e dferetes muestras de meral; los resultados se muestra e sus respectvas tablas de frecuecas a) Determe e terprete la moda y el cuartl 3 del porcetaje de cobre e ambos procesos. b) S el 0% de las muestras co porcetaje de cobre bajo es cosderado como de baja ley, el 0% de las muestras co mayor porcetaje de cobre es cosderado como de buea ley y las demás muestras so cosderadas como de ley meda. Para ambos procesos determe: a. Cuál es el porcetaje de cobre mímo para que ua muestra sea cosderada de buea ley? b. Etre qué valores ua muestra será cosderada como ley meda? c. Cuál es el úmero estmado de muestras co ley meda? c) Determe la meda artmétca y la medaa del porcetaje de cobre e el proceso y compárelas co la moda. Cuál es su opó respecto a la smetría de la dstrbucó del porcetaje de cobre e el proceso? Se deja como quetud el msmo aálss para el proceso d) S cosderamos ambos procesos como uo solo. Cuál será el porcetaje de cobre promedo total? e) Determe u tervalo que cotega el 50% cetral de la dstrbucó del porcetaje de cobre de las muestras usado el proceso. f) Determe u tervalo cetrado e la meda artmétca y de ampltud desvacoes estádar. Qué porcetaje de observacoes tee valores de ley e este tervalo?

17 7 Esquema de desarrollo. Paso. Lea co detemeto el problema aalzado cada uo de los datos formatvos que da. Aalce qué se requere de usted e cada preguta. Cuado tega claro todo lo que se pde y lo que se da como formacó, aalce y provéase de otros elemetos o coocmetos que ecesta para resolver estos plateametos problemátcos. Dseñe plaes de solucó para cada caso. Falmete proceda a ejecutar la solucó aalzado y fudametado sus procedmetos, a la par de terpretar la aceptacó de los resultados que usted está obteedo. Paso. Preocúpese de detfcar claramete poblacoes, elemetos de estudo e esas poblacoes, varables, tpos de varable, estadístcos de poscó y de dspersó, e f, todo aquello que le permta eteder a cabaldad la stuacó problemátca tato como lo que se le está pdedo que resuelva. Paso 3. Desarrollo de las respuestas: a) Se pde: Determar e terpretar la moda y el cuartl 3 del porcetaje de cobre e ambos procesos. Para ello echamos mao de ua tabla de cálculos como la que se preseta e la fgura. E base a ella podemos calcular la moda del porcetaje de cobre logrado por el proceso : ( ) (5 8) Mo LI( ) A + ( ) + ( ) ( 5 8) + ( 5 3) Resp.: El porcetaje de cobre más frecuete obtedo por el Proceso es 0.055%. Ua vsualzacó gráfca de lo que hemos calculado se preseta e la sguete gráfca. E ella se ha utlzado u polígoo de frecuecas: El cuartl 3 del porcetaje de cobre obtedo por el proceso equvale al percetl 75 de esta varable. Por lo tato desde la msma tabla se obtee:

18 8 75 ( N) ( 7 3) P75 LI(3) + A Resp.: El cuartl 3 del porcetaje de cobre obtedo por el Proceso es 0.059%. Está lgeramete por debajo del puto medo del rago de varacó observado. Esto sgfca que hay ua lgera mayor agrupacó de porcetajes de cobre obtedos por el proceso e la mtad más baja de porcetajes del Proceso. A lo más el 75% de las muestras obtedas por el Proceso tee porcetaje de cobre meor o gual a y por sobre este valor a lo más el 5% de las muestras obtedas por el Proceso tee porcetaje de cobre mayor que S se aalza ahora, el Proceso de la msma maera se obtee: ( ) M o LI() + A 3 ( ) + ( ) ( 7) ( ) + ( ) Resp.: El porcetaje de cobre más frecuetemete obtedo por el Proceso es 0.066% (umércamete mayor que el obtedo por el Proceso es esto sgfcatvo?) El cuartl 3 del porcetaje de cobre obtedo por el proceso se logra també desde la tabla: 75 ( N3) ( 8.5 8) P75 LI(4) + A Resp.: El cuartl 3 del porcetaje de cobre obtedo por el Proceso es 0.074%. Está lgeramete por sobre el puto medo del rago de varacó observado. Esto era de esperarse s la dstrbucó de valores se pesa smétrcamete dstrbuda e el rago de varacó observado. Comparado co la obtecó de cobre lograda por el Proceso se adverte que este proceso obtee mejores porcetajes de cobre ( podría esto afrmarse co autordad?). A lo más el 75% de las muestras obtedas por el Proceso tee porcetaje de cobre meor o gual a y por sobre este valor a lo más el 5% de las muestras obtedas por el Proceso tee porcetaje de cobre mayor que

19 9 b) Se defe:. Muestras de baja ley: 0% de muestras co más bajos porcetajes de cobre.. Muestras de buea ley: 0% de muestras co más altos porcetajes de cobre.. Muestras de ley meda: las restates muestras. a. Se pde: Porcetaje de cobre mímo para que ua muestra sea cosderada de buea ley. El percetl P 0 es la frotera superor del tervalo que cotee al 0% de más bajo porcetaje de cobre o cobre de baja ley. Se puede deducr que s P 90 es la frotera feror de los porcetajes de ley más altos, etoces el tervalo que defe P ; P. u porcetaje de ley meda es [ ] 0 90 Co ua polígoo de frecuecas, como ates, se puede vsualzar també esta stuacó (ver fgura). Debemos calcular, etoces P 0, que es el porcetaje de cobre mímo para que ua muestra sea cosderada de buea ley. Por lo tato: EN EL PROCESO : Observado la tabla de la derecha se puede deducr que e este proceso P ( 7. 5) 8 Resp.: E el Proceso, el porcetaje de cobre mímo para que ua muestra sea cosderada de buea ley es %. EN EL PROCESO : Se puede deducr que el límte feror P 0 será

20 0 P 0 ( 7.6 7) Resp.: E el Proceso, el porcetaje de cobre mímo para que ua muestra sea cosderada de buea ley es 0.063%. Co estos porcetajes se puede observar que lo que se llama buea ley e el proceso tee frotera míma mayor que e el Proceso. b. Se pde: Etre qué valores ua muestra será cosderada como de ley meda. Para hacer esta determacó e ambos procesos debemos calcular el percetl P 90 ( P 0 ya está calculado. EN EL PROCESO : Observado la tabla de la derecha se puede deducr que e este proceso P ( 3.4 3) 4 E el Proceso, el porcetaje de cobre mámo para que ua muestra sea cosderada de buea ley es %. EN EL PROCESO : Se puede deducr que el límte feror P 90 será P 90 ( 34. 8) E el Proceso, el porcetaje de cobre mámo para que ua muestra sea cosderada de buea ley es %, que també es mayor al percetl equvalete del proceso. Resp.: Ua ley de cobre será declarada como ley meda s: E el Proceso : la ley perteece al tervalo [ 0.048; ]. E el Proceso : la ley perteece al tervalo [ 0.063; ]

21 c. Resp.: El úmero estmado de muestra e cada proceso está dado por: 36*0.7 E el proceso esα * 0.7 E el proceso es α c) Se pde: Opó respecto a la smetría de la dstrbucó del porcetaje de cobre S se observa detedamete las columas de frecuecas absolutas de ambos procesos se advertrá que se trata de dstrbucoes bajas e los etremos y más altas e la parte cetral. Puede verse també que so dstrbucoes umodales. Esto os lleva a pesar que s estas dstrbucoes de frecuecas mostrara smetría e sus gráfcas debería ocurrr que: el valor de la meda artmétca co el valor de la moda y co el valor de la medaa cocde EN EL PROCESO : Resp.: La meda artmétca del porcetaje de cobre e el proceso es m c La medaa del porcetaje de cobre e el proceso es 36 ( N k ) ( 8 3) P50 LI( 3) + A E la dstrbucó de los porcetajes de cobre e el proceso la moda fue Luego, M, y este smetría de la dstrbucó del porcetaje de cobre. 0 M e d. Resp.: El porcetaje de cobre promedo total es T

22 d) Se pde: U tervalo que cotega el 50% cetral de la dstrbucó del porcetaje de cobre de las muestras usado el proceso. Para hacer esta determacó debemos calcular los percetl P 5 y P 75 EN EL PROCESO : P P 5 75 ( 9.5 7) ( 8.5 8) Resp.: El tervalo que cotee el 50% cetral de la dstrbucó del porcetaje de cobre de las muestras e el proceso es [ ,0.074 ] e) Se pde: Determar, e el Proceso, u tervalo cetrado e la meda artmétca y de ampltud 4 desvacoes estádar, además de calcular el porcetaje de observacoes que tee valores e este tervalo. La detfcacó del tervalo peddo (ates que la determacó) requere u pequeño aálss. Que el tervalo esté cetrado e la meda,, sgfca que el puto cetro del tervalo es el valor de la meda artmétca de los valores de porcetaje de cobre obtedos por el Proceso. S la ampltud del tervalo es de desvacoes estádar de estas leyes, etoces la dstaca etre los límtes del tervalo peddo es de desvacoes estádar, S X. Además, la dstaca desde la meda artmétca (que es el puto cetro del tervalo) a los etremos es de desvacó estádar (la mtad). Por lo tato los límtes de este tervalo será S X y + S X tal como lo dca la fgura. La sguete tabla permte calcular la meda artmétca y la desvacó estádar de los valores de ley obtedos por el Proceso. De la tabla se deduce que 0, es la meda artmétca de las leyes obtedas por el Proceso y que la varaza es ( ) S X Por lo tato la desvacó estádar de las leyes obtedas por el Proceso S S %. 5 X es

23 3 Esto sgfca que el tervalo cetrado e la meda y de logtud desvacoes estádar es [ S ; + S ] [ 0,04788;0,0679 ] X X Para calcular el porcetaje de observacoes que tee valores de porcetaje de cobre e este tervalo debe observarse que el límte feror 0,04788 perteece al tervalo 0, 047;0, 053 (el orde del tervalo es k, prmer tervalo de la tabla). ( ] α 36 Bajo el percetl P 0,04788 hay 00 datos (o coocemos el porcetaje que estamos averguado). Etoces, utlzado los valores e la tabla y la epresó de cálculo de u percetl obteemos P ( α 5) 0, , ,006 α % 8 36 α Luego 7,48 00 Esto sgfca que bajo el percetl P P7,48 0, hay u 7,5% (apro.) del total de valores de ley obtedos por el Proceso. De la msma maera trabajamos co el límte superor, 0,0679, que perteece al tervalo 0, 059;0, 065 (el orde del tervalo es k 4, cuarto tervalo de la tabla). ( ] 36 j Bajo el percetl P j 0, 0679 hay α datos (o coocemos el porcetaje j que 00 estamos averguado). Etoces, utlzado los valores e la tabla y la epresó de cálculo de u percetl se obtee P j ( α 8) 0,0679 0, ,006 α 9,895 datos 3 36 j α 9,895. Luego j 83,047 83,05 %. 00 Esto sgfca que bajo el percetl P P83,05 0, 0679 hay u 83,05% del total de valores de ley obtedos por el Proceso. Por lo tato, e el tervalo ( P; P ( 0, 04788;0, 0679] j j hay 83, 05 7,5 65,9 por ceto del total de observacoes de ley obteda por el Proceso. Resp.: El tervalo cetrado e la meda artmétca y de ampltud desvacoes estádar de ley de cobre obteda por el Proceso es ( 0, 04788;0, 0679 ] cuyos límtes

24 4 está e porcetaje. Además, el porcetaje de observacoes que tee valores de ley este tervalo es 65,9 %... Ejerccos Propuestos.. La sguete formacó correspode a la Albúma total crculate (e gramos) e 30 pacetes terados e el Hosptal Regoal de Atofagasta: a. S el 40% de los pacetes co mayor albúma so cosderados aormales Cuál será su albúma total crculate míma para ser cosderado aormal? b. Determe la albúma total crculate más frecuete.. c. S e el Hosptal de Calama los pacetes tee ua albúma promedo de 5 gramos, co ua varaza de 70 gramos Cree usted que los pacetes de Atofagasta so más homogéeos e su albúma total crculate respecto a los de Calama? Justfque su respuesta.. E ua muestra de 35 barrles de yodo de ua empresa mera de Atofagasta se determa el valor del peso (e klos) e marzo 003, obteédose los sguetes resultados de la tabla. a. Idetfque los sguetes coceptos: ) Poblacó aalzada ) Elemetos de la poblacó ) Varable e estudo v) Tpo de varable. b. Costruya ua tabla de frecueca completa de 8 categorías e terprete 3, N 5, f 4, F 6. c. Costruya u gráfco estadístco adecuado para la tabla costruda e la parte a) e terprételo. d. Los barrles cuyo peso perteece al tervalo que cotee el 50% cetral de la dstrbucó de los pesos so cosderados adecuados. Determe dcho tervalo. e. S el strumeto que hace la medcó está defectuoso y etrega el valor del peso dsmudo e 0% de su verdadero valor más klos. Cuál será el peso medo corregdo? (use propedades) f. S el 33,5% de los barrles de meor peso y el 5,% de los barrles co mayor peso so devueltos para velar el lleado y el resto es embarcado. Determe etre qué pesos u barrl será embarcado. g. S e ua empresa mera de Tocoplla ua muestra de 50 barrles proporcoó u peso medo de 45.8 klos. Cuál será el peso medo total cosderado ambas empresas meras? h. Determe el porcetaje eacto de barrles co u peso etre 39.5 y 4.5 klos.. Cuál es el peso más frecuete de los barrles y la medaa? Que puede decr de la smetría de la dstrbucó de los pesos comparádolas co la meda artmétca?

25 5.3. Plateametos problemátcos para aplcacó de propedades. Los problemas de aplcacó que se propoe tee por objetvo poer al estudate frete a stuacoes e las cuales deberá dseñar apropadamete las respuestas, además de utlzar ua otacó adecuada RIGUROSAMENTE para aplcar las propedades eucadas al co de este capítulo. Resume de propedades más mportates.,,..., u cojuto de datos de los cuales coocemos su meda artmétca y su varaza S S X podemos resumr las sguetes propedades: a. Propedad leal de la meda artmétca: S cada observacó se trasforma e a + b y etoces y a + b y a + b y a + b, dode a y b so costates reales. b. es u cetro de gravedad: ( ) 0 c. ( ). k obtee su valor mímo cuado k d. S la muestra está partcoada e k submuestras de tamaños,, k co medas artmétcas coocdas,,..., k, etoces la meda artmétca total de la muestra completa se defe como: T k k k e. Sea X ua varable de la que se cooce su varaza S y sea Y ua ueva varable co valores y a + b dode a y b so costates coocdas, etoces S S a S y S S a S. Y a+ bx X Y a+ bx X f. S se tee k cojutos de datos co tamaños,, k, co medas,,..., k y varazas S, S, S k, respectvamete, etoces la varaza del cojuto de k datos se llama varaza total, y se calcula por la sguete epresó:

26 6 S ( ) + k k S T S T k [ S + ( ) ] k.3. Ejerccos resueltos, paso a paso: Ejemplo.. Los sueldos daros de trabajadores de ua pequeña empresa metalmecáca se muestra e la tabla. Debdo a las cotuas alzas de precos e el rubro almetco y trasporte, los trabajadores se orgaza para platearle al dueño de la empresa que cada sueldo se reajuste e u 5% más u boo de 3000 pesos. El dueño de la empresa acoge parcalmete la petcó de los trabajadores, le ofrece a cada trabador el sueldo peddo dsmudo e u 0%, s este queda e meos de pesos, e cambo a los queda co el sueldo peddo e más de les coserva el sueldo ateror y ofrece u boo de pesos. a. Cuál es el sueldo promedo que aspra los trabajadores? b. Cuál es sueldo promedo total que le ofrece el empleador? c. Es más heterogéeo el actual sueldo o el que pde los trabajadores? Esquema de desarrollo. Paso. Auque parezca ua ssteca adecuada, lea el problema detedamete hasta comprederlo. Paso. Idetfcar los datos que etrega el problema. El sueldo actual de los trabajadores que desgaremos por, el sueldo a que aspra los trabajadores que lo desgaremos Recuerda el sguete pla cuado procedes a solucoar estos problemas: Paso. Idetfcar los datos que etrega el problema. Paso. Idetfcar las pregutas del problema. Paso 3. Ivestgar coocmetos adcoales. Paso 4. Propoer y realzar las respuestas a las pregutas.

27 7 por y, el sueldo que ofrece el dueño de la empresa que lo desgaremos por : t, s el sueldo peddo es meor a $0.000, z, s el sueldo peddo es mayor a $0.000 Paso 3. Idetfcar las pregutas del problema: Sueldo promedo que aspra los trabajadores: y Sueldo promedo total que ofrece el dueño de la empresa: T Coefcete de varacó: S o del actual sueldo Cv 00%, Sy o del sueldo que a que aspra los trabajadores: Cvy 00% y Paso 4. Desarrollo de la respuesta: a. Sea es sueldos de los trabajadores, su sueldo promedo es Sea y el sueldo a que aspra los trabajadores y, Resp: Sueldo a que aspra los trabajadores y, ,5 b. El patró ua vez reajustado el sueldo ofrece: Sea ya el sueldo daro reajustado meor a $0.000, t ya 0.yA 0.9yA t 0,9 y A 0,9 6303, , 3 S el sueldo daro reajustado es mayor a $0.000, z su promedo es z ,465 y> 0000 Resp: El sueldo promedo total que ofrece el empleador es T , , ,65 0 c. 350,5879 CV 00 0, ,

28 8 y, s, 5 s, 5 350, , 7 y 4400,7 CV Y 00 0,0 00,0 093, 5 Resp: Efectvamete es más heterogéeo el actual sueldo de los trabajadores pues CV > CV. X Y Ejemplo. E ua empresa estatal este tres sdcatos, el de los Supervsores, el de los Igeeros de Ejecucó- Admstratvos y el de los Obreros. Los úmeros de trabajadores de los sdcatos de Supervsores, Igeeros de Ejecucó- Admstratvos y el de los Obreros, está e relacó :3:6. a. Hace dos años, los sdcatos egocaro co la empresa y obtuvero sueldos promedos de 3 mlloes, mlló doscetos ml y 700 ml pesos, respectvamete. El coefcete de varacó de los sueldos de cada sdcato fue gual a. Calcule para el total de trabajadores (Supervsores, Igeeros de Ejecucó-Admstratvo y Obreros):. El sueldo promedo.. La desvacó estádar de los sueldos. b. Este año la empresa se propoe que e la egocacó, el sueldo promedo total sea eactamete de mlló ceto vete ml pesos. Negoca por separado co cada sdcato. El prmero e egocar es el sdcato de Supervsores, el cual obtee u reajuste del 0%. El sdcato de Igeero de Ejecucó-Admstratvos, obtee u 8% de reajuste. El sdcato de Obreros, que aú o ha egocado, coocedor del propósto de la empresa y de los reajustes obtedos por los otros sdcatos, declara la huelga por cuato estma que bajo las actuales codcoes sus asocados quedará desfavorecdos. Cocuerda usted co la estmacó del sdcato de Obreros? Justfque su respuesta estadístcamete. Esquema de desarrollo. Paso. Lea el problema detedamete hasta comprederlo. Paso. Idetfcar los datos que etrega el problema. A : Número de Supervsores. : Número de Igeeros de Ejecucó Admstratvos. B : Número de Obreros. C : Promedo de sueldos de Supervsores. A : Promedo de sueldos de Igeeros de Ejecucó-Admstratvos. B

29 9 C : Promedo de sueldos de Obreros. CV : Coefcete de varacó de sueldos de Supervsores. A CV : Coefcete de varacó de sueldos de Igeeros de Ejecucó-Admstratvos. B CV C : Coefcete de varacó de sueldos de Obreros. A B C T A + B + C : Sueldo promedo total (del total de trabajadores de la empresa). Paso 3. Idetfcar las pregutas del problema: y : Sueldo promedo total e base a la petcó de los trabajadores. S T : Desvacó estádar total e base a la petcó de los trabajadores. y TE : Sueldo promedo total que ofrece la empresa.. Coefcete de varacó: S o Del actual sueldo CV 00%. Sy o Del sueldo que pde CVy 00%. y Paso 4. Desarrollo y respuesta a lo solctado: A : : : 3 : 6 B C A + A B + C 0 A 0 A : : : 3 : 6 B C A + B B + C 3 0 B 3 0. Luego, C 6 0 a , , A B SA SB CVA 00 SA A, CV 00 S SC CV 00 S A C C C C C B B B B Resp: Luego el sueldo promedo total de trabajadores (Supervsores, Igeeros de Ejecucó-Admstratvo) es de $ E efecto:

30 30 T b S T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 S T ( ) + 3 ( ) + 6 ( ) ( ) S T ,6 Resp. La desvacó estádar total (desvacó estádar del sueldo de todos los trabajadores de la empresa) es de $ ,6. c. Sea y TE el sueldo promedo total ofrecdo por la empresa y A. $ es el sueldo promedo actual obtedo por los Supervsores. A y B B ( ) ( ) ( ) y yC yc k % Resp: A los Obreros se les rebajaría el sueldo e u 4.5%. y C de las muestras e el proceso es [ ,0.074 ]

31 3 S T k [ S + ( ) ] k.3. Ejerccos Propuestos.. Ua fábrca vede dos tpos de artículos A y B. La catdad de artículos del tpo B producdos por la fábrca es la tercera parte que la del tpo A. El costo medo de los artículos del tpo A es de $4800. El costo medo total (artículos A y B jutos) es de $400. Se requere aumetar los precos de los artículos para lograr u costo medo total de $5550 reajustado e u3% el costo utaro de los artículos tpo A y aumetado K veces el costo utaro de los artículos tpo B. a. Cuál es el costo medo cal de los artículos del tpo B? b. Cuál es el valor de k? c. E qué porcetaje cambó el costo utaro de los artículos tpo B?.. E el mes de Marzo los trabajadores de ua empresa teía u sueldo promedo de $ co u coefcete de varacó del 5%. E el mes de Abrl se corpora uevos trabajadores a la Empresa, e u úmero gual al 0% de los estetes e Marzo. Los uevos trabajadores tee u sueldo promedo de $ y ua desvacó estádar de $ E Septembre se reajusta los sueldos de los trabajadores atguos e u 0% y se les etrega u boo de Festas Patras de $0.000, metras que para los uevos trabajadores el aumeto fue de u 0% co u boo de $k. Justfcado estadístcamete sus respuestas, respoda a las sguetes pregutas: a. Cuál es el porcetaje de aumeto de la plalla de sueldos del mes de Abrl e relacó a la del mes de Marzo? b. Cuál es la desvacó estádar de los sueldos, del total de los trabajadores, e el mes de Abrl? c. Cuál es el coefcete de varacó de los trabajadores atguos e el mes de Septembre? d. Determe el valor de k de modo que ambos grupos de trabajadores, uevos y atguos, tega el msmo promedo de sueldos. 3. U empresa realza su trabajo daro e tres turos: A, B y C: Los úmeros de trabajadores por turo está e la relacó 7:5:4, costtuyedo u total de 60 trabajadores. Los salaros por turo, so $8.000, $0.000, $.000, y sus correspodetes desvacoes estádar, so: $.00, $9.00, $.000, respectvamete. S la empresa pesa hacer u aumeto salaral segú el sguete crtero: reajuste del 5% más u boo de $4.000, para cada trabajador del turo A, reajuste del 8% para cada trabajador del turo B, y solo u boo de $700 para cada trabajador del turo C.

32 3 a. Coseguría la empresa hacer más homogéeos los sueldos de todos los trabajadores e su cojuto?. Justfque estadístcamete su respuesta. b. S la gereca establece que la plalla dara o debe aumetar más del %, por lo que decde modfcar el boo de los trabajadores del turo A. Cuál es el mayor boo, e catdades eteras, que puede otorgar al turo A, además del reajuste, para lograr el objetvo de la empresa..4. Datos bdmesoales. Tablas de frecuecas cojutas, margales y codcoales. Llamaremos dato bdmesoal,(, y ) al regstro que preseta ua característca cojuta de las varables X e Y, cotedas e el vector bdmesoal ( X, Y ). Para descrbr smultáeamete dos o más característcas estas queda represetadas e Tablas de frecuecas cojutas, cuya costruccó es smlar al caso udmesoal, depededo del orge de cada varable. Estudaremos solo el caso de dos varables, que llamaremos tabla de doble etrada Llamaremos frecueca absoluta cojuta al úmero de veces que se preseta cojutamete los valores y y j. Se represeta por j Co los valores de las varables como sus respectvas frecuecas, llamadas Frecuecas margales que se ecuetra a ubcadas al marge de la tabla de doble etrada podemos costrur dstrbucoes margales Ua dstrbucó codcoal es ua dstrbucó udmesoal de ua varable codcoada a u valor fjo de la otra varable, e la cual, a su vez se puede determar los dferetes estadígrafos de poscó y dspersó estudados..4. Ejerccos resueltos, paso a paso: Ejemplo.. Los sguetes datos correspode a la edad X (e años) y el ídce de productvdad Y (e porcetaje) de 40 temporeras de la haceda Los Aromos. a. Cuál es el promedo de edad de las temporeras cuyo ídce de productvdad está etre 40 y 60?

33 33 b. Cuál es el ídce de productvdad más frecuete de las temporeras cuya edad está etre 0 y 8 años. c. Afrmaría usted que la edad de las temporeras preseta mayor dspersó relatva qué el ídce de productvdad?. Justfque su respuesta. d. Determe el ídce de productvdad mímo del 30% superor de la dstrbucó de la productvdad de las temporeras cuya edad varía de 0 a 8 años. e. S el 0% de temporeras de meor edad so cosderados Prcpates y s el 0% de las temporeras co mayor edad so cosderadas Epertas, los demás temporeras so cosderados Normales. Etre qué edad las temporeras so cosderadas Normales? f. Determe el porcetaje de temporeras cuyo ídce de productvdad es meor o gual 65. g. Determe u tervalo cetrado e la meda artmétca de logtud dos errores estádar de estmacó para la edad de las temporeras. Esquema de desarrollo: Paso. Leer el problema: Se da ua tabla de doble etrada ehbedo su dstrbucó cojuta y las margales. Se trata de ua muestra de 0 persoas e las que se mde su edad ( X ) y su productvdad (Y ). Se pde: a. U promedo de edad codcoado a valores de productvdad. b. Ua moda de u ídce de productvdad codcoada a u rago de edad. c. Cálculo de u coefcete de varacó para comparar la dspersó relatva de la edad co la productvdad. d. U percetl del ídce de productvdad. e. Dos percetles para determar u tervalo. f. U porcetaje del total de datos asocado a u valor dado de u percetl. g. U tervalo de logtud dos errores estádar de estmacó cetrado e al meda observada de la edad. Paso. Idetfcar las varables: X : Edad de las temporeras de la muestra (e años). Y : Ídce de productvdad de la temporera. Paso 3. Desarrollar la respuesta co fudametos y respoder: a. Se preguta por el promedo de edad de las temporeras codcoada a ua productvdad está etre 40 y 60 5 c 376 6,86 años 4 4

34 34 Resp: La edad promedo de las temporeras cuyo ídce de productvdad está etre 40 y 60 es de 6,86 años. b. Se pde la moda del ídce de productvdad codcoado a aquellas temporeras cuya edad está etre 0 y 8 años ( ) M o LI( ) + A + ( ) + ( ) (6 5) ( 6 5) + ( 6 3) Resp: El ídce de productvdad de aquellas temporeras cuya edad está etre 0 y 8 años es de 65. c. Se debe verfcar s la edad de las temporeras preseta mayor dspersó relatva que el ídce de productvdad. Para realzar esto se debe calcular el coefcete de varacó de cada varable. Se trabaja, así, co los valores margales de la tabla dada. 5 c 064 6,6 años S X ( ) c 40 04, 6 5,0 años 40 Luego el coefcete de varacó de la edad X es: 5,0 CV X 00 9,7 6,6 Aálogamete, 4 d y

35 35 4 ( ) d y 45 0, S Y Luego el coefcete de varacó de Y es: 0,37 CV Y 00 37,04 55 Resp: El ídce de productvdad preseta mayor dspersó relatva que la edad de las temporeras, pues CVY > CVX. d. Se pde el ídce de productvdad mímo del 30% superor de la dstrbucó de la productvdad de las temporeras cuya edad varía de 0 a 8 años. Es decr debemos calcular el percetl 70, P 70 : 70 ( N) P LI(3) + A3 3 (,6 9) Resp: El ídce de productvdad mímo del 30% más alto, de valores de la dstrbucó de la productvdad de las temporeras cuya edad varía de 0 a 8 años es 7. e. Se pde etre qué edades se cosdera Normales, para esto, debemos calcular el percetl 0 y el percetl ( 0) ( 4) P 00 0 LI() + A , ( N3) 00 ( 3 3) P80 LI(4) + A , Resp: Las temporeras so cosderadas Normales etre las edades de 6, y 3,6 f. Se pde el porcetaje de temporeras cuyo ídce de productvdad es meor o gual que 65, esto quere decr que el valor del percetl de productvdad es 65. Se deduce, etoces,

36 36 que este u valor de porcetaje, α, tal que P α 65. E cosecueca, se debe hallar el valor de α. ( α ) ( ) P α α α 7,5 Resp: El porcetaje de temporeras cuyo ídce de productvdad es meor o gual 65 es de 7,5%. g. Se pde: Determar u tervalo cetrado e la meda artmétca y de ampltud desvacoes estádar para la edad de las temporeras Resp: Como e c) obtuvmos los datos la meda artmétca y la desvacó estádar el tervalo peddo está etre [ s; + s] [ 6, 6 5,0; 6, 6 + 5,0] [,5;3,0 ] Ejemplo. E el cosultoro Norte obtee la clasfcacó de 4 pacetes segú peso ( X, e kgs.) y su grupo etáreo (Y ). a. Calcular e terpretar: 3, 3,, 4. b. Cuál es el peso promedo de los pacetes? c. Cuál es la moda del grupo etaro? d. Determe el peso mímo del 30% superor de la dstrbucó del peso de los pacetes. e. Calcular el peso (kg.) promedo de los pacetes cosderados adultos. f. S el 0% de los pacetes adultos de meor peso so cosderados de Bajo peso y s el 0% de los pacetes adultos de mayor peso so cosderados Sobre peso y el resto so cosderados Normales. Etre que peso los adultos so cosderadas Normales? g. Para los pacetes Adulto jove, determe el porcetaje de pacetes co u peso mayor o gual a 83 klos. Fudamete su respuesta. h. Afrmaría usted que Ud. que el peso de los pacetes Adulto Jove es más homogéeo que el de los Adultos?

37 37 Esquema de desarrollo. Paso. Leer el problema. Paso. Idetfcar las varables: X : Peso (e kg.) del pacete. Y : Grupo etaro del pacete. Paso 3. Desarrollar la respuesta dcado fudametos y respoder. a. Idetfcamos cada frecueca y luego terpretamos Resp: 3 5, es decr hay 5 pacetes cuyo peso es mayor que 60 kg y meor o gual a 70 kg y está cosderado e el grupo etaro Adulto jove. 3 4, es decr hay pacetes cuyo peso es mayor que 50 kg. y meor o gual a 60 kg y está cosderado e el grupo etaro Adulto., hay pacetes cuyo peso es mayor que 50 kg. y meor o gual a 60 kg., hay pacetes e el grupo etaro Adulto mayor. b. Como os pde el peso promedo de los pacetes, trabajamos co las frecuecas margales para la varable peso ( X ) Resp: El peso promedo de los pacetes es de 7 c , c. Se pde la moda del grupo etaro. Resp: Notemos que el mayor grupo de pacetes perteece a la categoría de adulto, que es la moda e el grupo etaro. El peso mímo del 30% superor de la dstrbucó del peso de los pacetes, correspode al percetl 70: Aplcamos la fórmula del percetl

38 38 P ( 86, 8 86 ) 80,9 Resp: El peso mímo del 30% superor de la dstrbucó del peso de los pacetes es de 80,9 kg. O també podemos decr que el 70% de los pacetes tee u peso meor o gual a 80,9 kg. y 30% de los pacete tee u peso mayor que 80,9. d. Para realzar esta operacó, costrumos ua ueva tabla de frecuecas dode la columa de frecuecas absolutas correspode a la columa de los adultos Resp: Luego el peso promedo de los adultos es: y Adultos 8 c kg 6 e. Nos pde calcular el P 0 y el P 80 e el grupo adulto ( 6, 3) P , ( 48,8 35 ) P ,7 Resp: El peso Normal de u Adulto está etre 63, y 86,7 Kg. f. Se pde obteer es el porcetaje de pacetes Adultos jóvees co peso mayor o gual a 83 klos. Es decr 83 P α. Usado fórmula del percetl 50 α , dode α 00

39 39 Se debe despejar : ( 83 80) 0 49, ,5 98,6, 0.5 Resp: Como se pde determar el porcetaje de pacetes co u peso mayor o gual a 83 klos, el complemeto es (00-98,6)%,4%. g. Se pde: Calcular el coefcete de varacó del peso de los pacetes Adulto Jove y el de los Adultos, y compararlos. Luego, CVX y Adultos jóvees.97. Se calcula a cotuacó el coefcete de varacó de Adultos. Luego, CVX y Adultos Resp: Efectvamete el peso de los pacetes Adulto Jove es más homogéeo el de Adultos, puesto que CV > CV X y Adultos X y Adultos jóvees.4. Ejerccos Propuestos.. Los sguetes datos correspode a la edad X (e años) y el greso (semaal) Y, de 58 estudates uverstaros que labora e los dferetes supermercados de Atofagasta a. Itérprete: 3, 4, 34, 43. b. Cuál es el promedo de edad de los estudates cuyo greso semaal está etre y 5.000? c. Cuál es el sueldo más frecuete de los estudates cuya edad está etre 4 y 6 años? d. Afrmaría usted que los gresos de los estudates cuya edad está etre 4 y 6 años es más homogéeo que el greso de los

40 40 estudates cuya edad está etre 8 y 0 años?. Justfque su respuesta. e. S el 0% de los estudates de meor edad so cosderados Nuevos y s el 30% de los estudates co mayor edad so cosderados Atguos, los demás estudates so cosderados Normales. Etre qué edad los estudates so cosderadas Normales? f. Cuátos estudates o so cosderados atguos?. La sguete tabla muestra la dstrbucó de ostoes para cosecha regstradas e u cultvo e el año 998, segú el peso (e gramos) y tpos de ambete: a. Cuál es el peso promedo de los ostoes de mar? b. Qué porcetaje de ostoes e jaula flotate tee u peso mayo a 48 gramos? c. El peso de los ostoes de,mar es más homogéeo que es de laboratoro?. Justfque su respuesta, co el dcador adecuado d. De qué ambete es más frecuete que proceda los ostoes? e. Este smetría e la dstrbucó del peso e los ostoes de laboratoro? 3. La sguete tabla muestra la dstrbucó de 90 automóvles mportados por la Empresa Automotora Autocar cosderado el úmero de cldros y caballos de fuerza a. Cuál es el úmero promedo de cldro de los 90 automóvles? b. Calcular la catdad de automóvles co caballos de fuerza este etre 08 y 30? c. Se cree que los caballos de fuerza de los automóvles so más heterogéeo e aquellos automóvles de 5 cldradas que aquellos automóvles de 6 cldradas.