Cálculo de campos eléctricos por medio del principio de superposición.

Transcripción

1 Cálculo de campos eléctricos por medio del principio de superposición. En la clase anterior hemos introducido varios conceptos: Carga. Interacción entre cargas (Ley de Coulomb). Campo campo eléctrico. Representación gráfica de campos eléctricos (líneas de fuerza). Movimiento de una carga en un campo eléctrico. Principio de superposición. Potencial eléctrico, líneas equipotenciales. Y comenzamos a realizar algunos cálculos de campos y potenciales eléctricos para distribuciones de carga sencillas.

2 En la clase de hoy lo que haremos es: Calcular campos eléctricos para algunas distribuciones de cargas. Discretas: dipolo eléctrico Continuas: hilos cargados, discos, etc. En todos los casos, el principio fundamental de cálculo será el principio de superposición lineal.

3 Dipolo eléctrico. Un dipolo eléctrico consiste de dos cargas +q y q (igual magnitud) separadas una distancia d. Vamos a calcular el campo eléctrico para esta distribución de cargas. Inicialmente, calcularemos el campo eléctrico a una distancia x a lo largo de la bisectriz de la línea que une las cargas.

4 Los módulos de ambos campos en p son iguales, ya que el punto equidista de las cargas. Las componentes y del campo se anulan por simetría, y sólo sobrevive la componente x. De esto resulta:

5 carga del dipolo separación P = qd MOMENTO DIPOLAR

6 El momento dipolar es una propiedad muy importante de las moléculas, las cuales en general están formadas por una carga positiva y una negativa separadas por una distancia definida Ejemplo: NaCl El resultado experimental es 3.0x10-29 C.m, el electrón no ha sido completamente retirado del Na y agregado al Cl.

7 Si la distancia al punto x es mucho mayor que la separación d, podemos usar el desarrollo: En los puntos alejados de un dipolo, pero a lo largo de la bisectriz perpendicular de la línea que une las dos cargas, la magnitud del campo eléctrico producido por el dipolo varía como 1/r 3, mientras que el campo de una carga puntual lo hace como 1/r 2 (varía más lentamente ). Esto es porque en puntos distantes los campos de las dos cargas de igual magnitud y signo opuesto casi se cancelan mutuamente. La variación 1/r 3 de E para el dipolo también se obtiene para un punto distante a lo largo del eje x y para cualquier punto distante en general.

8 En el caso general:

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10 Potencial eléctrico del dipolo: Calculemos el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje y en el punto R sobre el eje x.encial Para un punto R lejos del dipolo (x>>a): La componente x del campo eléctrico en un punto sobre el eje x lejos del dipolo:

11 Dipolo en un campo eléctrico. Cuando se coloca un dipolo en un campo eléctrico, sobre cada carga se ejercerá una fuerza. Estas fuerzas sobre cada carga tienen sentidos opuestos. Para estudiar esta situación es conveniente definir el vector momento dipolar: d Sentido: de la carga negativa a la positiva.

12 OJO: el campo es externo (generado por otras fuentes), no el campo eléctrico del dipolo. Si el campo es uniforme, los modulos de las fuerzas sobre q 1 y q 2 son iguales. La fuerza neta sobre el dipolo es cero, pero el momento de torsión no es nulo y tiende a hacer girar al dipolo y alinearlo con el campo. El momento de torsión (o torque) con respecto al centro de masa es: y la dirección perpendicular a la página y hacia adentro (regla del tornillo). El campo externo tiende a hacer rotar el dipolo de forma tal de orientarlo con el campo.

13 Se puede determinar la energía potencial del sistema dipolo eléctrico - campo eléctrico externo como función de la orientación del dipolo en relación con el campo. (U=mgh) Ambas expresiones incluyen un parámetro asociado con el objeto colocado en el campo gravitacional (masa m, momento dipolar p) y la magnitud de los campos (g y E).

14 Las moléculas están polarizadas cuando existe una separación entre la posición promedio de las cargas negativas y la posición promedio de las cargas positivas dentro de la molécula. En algunas moléculas, como el agua, dicha condición siempre está presente: moléculas polares. Las moléculas que no poseen una polarización permanente se les conoce como moléculas no polares. La molécula de agua es eléctricamente neutra; no obstante, los enlaces químicos dentro de la molécula ocasionan un desplazamiento de la carga. El centro de la distribución de carga negativa está cerca del átomo de O, y el centro de la distribución de carga positiva está en algún punto a mitad de camino a lo largo de la línea que une a los átomos de H (X).

15 Carga neta negativa en el extremo del O de la molécula, Carga neta positiva en el extremo del H. Dipolo. El efecto es equivalente al desplazamiento de un electrón alrededor de sólo 4x10-11 m (aproximadamente el radio de un átomo de hidrógeno) las consecuencias de tal desplazamiento son profundas. El agua es un muy buen solvente para las sustancias iónicas como la sal (NaCl) porque la molécula de agua es un dipolo eléctrico Cuando se disuelve en agua, la sal se disocia en un ion de sodio positivo (Na + ) y un ion de cloro negativo (Cl - ), los cuales tienden a ser atraídos hacia los extremos negativo y positivo, respectivamente, de las moléculas de agua; esto mantiene los iones en solución. Si las moléculas de agua no fueran dipolos eléctricos, el agua sería un mal solvente, y casi toda la química que ocurre en soluciones acuosas sería imposible. Esto incluye todas las reacciones bioquímicas que hay en las formas de vida terrestres. En un sentido muy real, nuestra existencia como seres humanos depende de los dipolos eléctricos!

16 Una molécula simétrica (fi gura 26.21a) no tiene una polarización permanente pero puede ser inducida colocando la molécula en un campo eléctrico. Las cargas positivas se desplazara hacia la izquierda en relación con su posición inicial, y las cargas negativas se desplazara hacia la derecha. Polarización inducida.

17 Otra forma común de aprovechar la estructura dipolar del agua en la casa es cuando lava con agua y jabón. La grasa y el aceite están formados por moléculas no polares, que generalmente no son atraídas por el agua. El jabón contiene moléculas largas conocidas como surfactantes. En una molécula larga, las características de polaridad de un extremo de la molécula pueden ser diferentes de las del otro extremo. En una molécula surfactante, un extremo actúa como una molécula no polar y el otro como una molécula polar.. El extremo no polar puede fijarse a una molécula de grasa o de aceite, y el extremo polar puede hacerlo a una molécula de agua. Por lo tanto, el jabón sirve de puente, enlazando las moléculas de grasa y de agua. Al enjuagar, la grasa y el aceite se van con el agua.

18 Campos eléctricos/potenciales de distribuciones continuas de cargas. Estrategia: Elegir un elemento de carga arbitrario dq y calcular el campo de que produce en el punto de observación y luego integrar: dq se lo considera puntual, por lo cual: Principio de superposición: A veces se puede simplificar (mucho) el problema aprovechando las simetrías.

19 Una distribución de carga continua uniforme se describe por una densidad de carga. En el caso de una distribución lineal (filamento), cada elemento de longitud ds tiene una carga dq dada por: dq= ds densidad lineal de carga Para cargas superficiales y volumétricas:

20 Vamos a resolver ejemplos. 1- Alambre cargado infinito (distribución lineal de carga). El campo eléctrico producido por cada elemento de carga dq (o de longitud, ds) en p es: (dq = λds). Por simetría, a cada elemento ds situado a una distancia s de O le corresponde uno por debajo, localizado en s. Esto implica que la componente y del campo se anula, sobreviviendo solo la componente x, dadas por de.cosα.

21 El campo resultante en la dirección OP es entonces: Y ahora tenemos que empezar a usar geometría y relaciones trigonométricas. r = Rsec s = Rtg ds = Rsec 2 dα Sustituyendo e integrando entre α=0 y α=π/2 y multiplicando por dos (notar que la mitad superior e inferior del filamento dan la misma contribución. Opción dos: integrar entre α=π/2 y α=-π/2) obtenemos:

22 Para calcular el potencial:

23 Si el alambre fuera finito (longitud 2a), cambian los límites de integración. Si x >> a: Si la línea es muy larga, x 2 /a 2 tiende a cero. Entonces: Que es el resultado antes obtenido.

24 2- Anillo (delgado) de carga de radio R (distribución lineal). Nuevamente, podemos considerar que cada elemento ds tienen una carga dq dada por: El campo generado por dq en p es entonces : Cuando p esta en el eje axial, todos los puntos del anillo están a la misma distancia de p. Similarmente al caso anterior, al sumar todas las contribuciones dq, se anula la componente del campo perpendicular a z.

25 sobrevive solo la componente z, dadas por de.cosθ. q Si z >>> R, podemos despreciar R 2 frente a z 2, y obtenemos: Si z = 0, E = 0, lo cual es lógico por simetría.

26 3- Disco cargado (distribución superficial). La idea es pensar al disco como una superposición de anillos concéntricos. Y ahora tenemos que empezar a usar geometría y relaciones trigonométricas. El anillo de la figura, de radio w y espesor dw tiene una carga dada por : El campo eléctrico para un anillo delgado lo acabamos de calcular, por lo cual:

27 Y ahora debemos integrar entre w = 0 y w = R (radio del disco). z permanece constante. Si R >> z (o z tiende a cero), el segundo término del paréntesis tiende a cero y obtenemos: