Clase 2: Expresiones algebraicas

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Héctor Aguirre Vargas
hace 6 años
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1 Clse 2: Expresiones lgebrics Operr expresiones lgebrics usndo ls propieddes lgebrics de ls operciones sum y producto, propieddes de ls potencis, regls de signos y préntesis. Evlur expresiones lgebrics medinte remplzo de cd vrible por un vlor ddo. Clculr mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre expresiones lgebrics. Determinr un form fctorizd pr expresiones lgebrics. Usr ls fórmuls de fctorizción pr expndir expresiones lgebrics. Operr frcciones lgebrics usndo ls propieddes lgebrics de ls operciones sum y producto, propieddes de ls potencis, regls de signos y préntesis. Determinr un form simplificd pr frcciones lgebrics, medinte fctorizción y simplificción de fctores comunes.. Expresiones lgebrics.- Un término lgebrico es un producto entre coeficientes numéricos y constntes literles. Término Algebrico Coeficientes Numéricos b 5 2, b Constntes Literles 2.- Un expresión lgebric es un combinción de término lgebricos medinte ls operciones sum y rest. Expresión Algebric Términos Algebricos 2 3b 2, 3b 5+2b 3c 2 b 5, 2b, 3c 2, b 3.- Diremos que dos o más términos lgebricos son términos semejntes si tienen igul fctor literl. Términos Semejntes Fctor Literl 3b b 5 b b 2 7b b.. Reducción de Términos Semejntes Cundo un expresión lgebric posee términos semejntes, estos pueden ser reducidos un término lgebrico sumndo sus cntiddes numérics, como muestr el siguiente ejemplo

2 En l siguiente expresión lgebric existen dos pres de términos semejntes 5 2 b 3 4c+3 2 b 3 +3c = (5 2 b b 3 )+(3c 4c) (Asocir) = (5+3) 2 b 3 +(3 4)c (Fctorizr) = 8 2 b 3 +( )c (Sumr o Restr) = 8 2 b 3 c Este proceso permite reducir expresiones lgebrics que poseen términos semejntes. El lgoritmo pr relizr est reducción es siempre igul: socir, fctorizr y sumr/restr..2. Uso de Préntesis Si un expresión lgebric está dividid por el uso de préntesis, estos pueden ser elimindos medinte l propiedd distributiv. El siguiente teorem present los csos más comunes. Teorem. +(+b) = +b 2. +( b) = b 3. +( b) = b 4. (+b) = b 5. ( b) = +b 6. ( b) = +b En relción l teorem nterior, pr eliminr préntesis debes fijrte en el signo que tengn: Si es positivo, se elimin mnteniendo todos los signos que están dentro de él. Si es negtivo, se elimin cmbindo todos los signos que están dentro de él. En este ejemplo reduciremos un expresión simplificndo préntesis y términos semejntes, 2 {2b [3b (2 3b)]} = 2 2b+[3b (2 3b)] = 2 2b+3b (2 3b) = 2 2b+3b 2+3b = 4b En este ejemplo hemos introducido el uso de los préntesis redondos ( ), cudrdos [ ] y de llves { }..3. Evlución de Expresiones Algebrics Vlorr un expresión lgebric signific signr un vlor numérico cd vrible de los términos y resolver ls operciones indicds en l expresión pr determinr su vlor finl. Pr ello es necesrio tener presente el siguiente esquem I) Reemplzr cd vrible por el vlor signdo. II) Clculr ls potencis indicds III) Efectur ls multiplicciones y divisiones IV) Relizr ls diciones y sustrcciones Consideremos l expresión lgebric 5x 2 y 8xy 2 9y 3 y signmos los vlores x = 2 e y = 5x 2 y 8xy 2 9y 3 = 5 (2) 2 ( ) 8 (2) ( ) 2 9 ( ) 3 (Pso I) = 5 4 ( ) 8 (2) 9 ( ) (Pso II) = (Pso III) = 27 (Pso IV) Ejercicio (lumno). Si x = 2 e y = 2 3, clculr el vlor de l expresión 5x2 y 8xy 2 9y 3 2

3 2. Fctorizción Fctorizción es el proceso que permite reescribir un expresión lgebric como el producto de dos o más fctores. En este ejemplo l fctorizción depende de l existenci de un fctor común en cd uno de los términos que se están sumndo:. Fctor Común: Numérico. siendo el número 40 el fctor común. 2. Fctor Común: Término Algebrico. siendo el término lgebrico bc el fctor común. 3. Fctor Común: Expresión Algebric b+60c+20d = }{{} 40 (2 b+4c+3d) }{{} fctor fctor 2 bc+b 2 c+bc 2 = }{{} bc (+b+c) }{{} fctor fctor x(+b)+y(+b)+z(+b) = (+b) (x+y +z) }{{}}{{} fctor fctor siendo l expresión lgebric +b el fctor común. Ejercicio (lumno). Fctorice el término común en l siguiente expresión lgebric x(b+2) b 2+3(b+2). Tipos de fctorizción.- Diferenci de Cudrdos. 2 b 2 = (+b)( b) tmbién conocid como sum por l diferenci = (5+3)(5 3) 9x 2 4y 2 = (3x+2y)(3x 2y) 2.- Sum de Cubos. 3 +b 3 = (+b)( 2 b+b 2 ) 3.- Diferenci de Cubos. 3 b 3 = ( b)( 2 +b+b 2 ) 4.- Cudrdos Perfectos. 2 +2b+b 2 = (+b) 2 2 2b+b 2 = ( b) = (4+2)( ) 8x 3 +27y 3 = (2x+3y)(4x 2 6xy +9y 2 ) = (7 5)( ) 25x 3 27y 3 = (5x 3y)(25x 2 +5xy +9y 2 ) 4x 2 +2x+9 = (2x+3) 2 9x 2 24x+6 = (3x 4) 2 3

4 3. Productos Notbles Cd uno de los siguientes resultdos sigue de usr l propiedd distributiv, vle decir (+b)(c+d) = (+b) c+(+b) d = c+bc+d+bd Tipos de productos notbles. Cudrdo del Binomio (+b) 2 = 2 +2b+b 2 ( b) 2 = 2 2b+b 2 2. Cubo del Binomio (+b) 3 = b+3b 2 +b 3 ( b) 3 = b+3b 2 b 3 3. Sum por l Diferenci (+b)( b) = 2 b 2 4. Binomio con Término Común (x+)(x+b) = x 2 +(+b)x+b [Cudrdo del Binomio] (2x+3) 2 = (2x) 2 +2 (2x) = 4x 2 +2x+9 (3y 5) 2 = (3y) 2 2 (3y) = 9y 2 30y+25 [Cubo del Binomio] (x+2) 3 = x 3 +3 x x = x 3 +6x 2 +2x+8 (y 5) 3 = y 3 3 y y = y 3 5y 2 +75y 25 [Sum por l Diferenci] (5+3)(5 3) = (3x+2y)(3x 2y) = (3x) 2 (2y) 2 = 9x 2 4y 2 [Binomio con Término Común] (x+2)(x+3) = x 2 +(2+3)x+2 3 = x 2 +5x+6 (x+2)(x 3) = (x+2)(x+( 3)) = x 2 +(2+( 3))x+2 ( 3) = x 2 x 6 4

5 (x 2)(x 3) = (x+( 2))(x+( 3)) = x 2 +(( 2)+( 3))x+( 2) ( 3) = x 2 5x+6 Ejercicio (lumno).. Expndir el binomio ( 2x 3 x) Fctorizr el siguiente binomio x 6 +5x Frcción Algebric Un frcción lgebric es un expresión rcionl cuyo numerdor y denomindor son expresiones lgebrics. denomindor +b+bc 2 +b 2 numerdor Al igul que en los números nturles, es posible definir el m.c.d. (mínimo común denomindor pr el cso de expresiones lgebrics) y el m.c.m. de expresiones lgebrics. Pr ello debemos introducir el grdo de un expresión lgebric. El grdo de un término lgebrico es l sum de los exponentes de ls constntes literles. El término lgebrico 2 b 3 tiene grdo 2+3 = 5. El grdo de un expresión lgebric es el máximo de los grdos de los términos lgebricos que componen l expresión lgebric. L expresión lgebric 5 b 2 c+b+c 4 está compuest por tres fctores literles. Los grdos de dichos fctores son 5+2+ = 8, + = 2, +4 = 5 Luego, el máximo de ellos, 8 corresponde l grdo de l expresión lgebric. Dds A, B expresiones lgebrics se define el mínimo común múltiplo entre A y B, que denotremos m.c.m(a, B), como l expresión lgebric de menor grdo K que es múltiplo tnto de A como de B. Es importnte tener presente que m.c.m(a,b) es l menor expresión lgebric que es divisible tnto por A como por B. En prticulr, A y B son fctores de m.c.m(a,b). 5

6 Si A = b y n = c entonces A = b y A = c Luego m.c.m(a,b) = b c = bc. Si A = 2 b y n = b 2 entonces A = b y B = b b Luego m.c.m(a,b) = b b = (b) 2. Si A = y B = b entonces A = y B = b Luego m.c.m(a,b) = b = b. Si A = b y B = +b entonces A = b y B = +b Luego m.c.m(a,b) = ( b) (+b) = 2 b 2. Si A = 2 +2b+b 2 y B = 2 b 2 entonces A = (+b) (+b) B = (+b) ( b) Luego m.c.m(a,b) = (+b) (+b) ( b) = 3 b b b 2. Ejercicio (lumno). Determine el m.c.m. entre x 2 y 2 y x 2 +xy. Propieddes de ls Frcciones Propiedd Ejemplo A B C D = A C B D A B : C D = A B D C A C + B C = A+B C A B + C A D +B C = D B D A C B C = A B 2 b b b = (2 b)2 (b 2 +)(b ) = b b 3 b 2 +b b 2 b 2 : +b = b b 2 +b 2 = ( b)(+b) b 2 2 = 2 b 2 2 b 2 2 b b+ + +b b+ = (2 b)+(+b) = 2 + b+ b+ b + + = b( )+(+) = 2 +b+ b (+)( ) 2 2 b 2 b 2 = ( b) (+b) ( b) = +b Simplifique l siguiente expresión indicndo los vlores de x pr los cules está bien definid. x 3 +3x 2 0x x 3 4x 2 +4x Solución. Comenzremos fctorizndo el numerdor y denomindor x 3 +3x 2 0x x 3 4x 2 +4x = x(x+5)(x 2) x(x 2) 2 Restricción: x 0, x 2 = x(x+5) (x 2) x(x 2) 2 = x+5 x 2 6

7 Simplifique l siguiente expresión indicndo los vlores de y b pr los cules está bien definid. + b b Solución. Sumremos ls frcciones tnto en el numerdos como numerdor, + b b b+ = b b b = b+ b Restricción: 0, b 0, b Ejercicio (lumno). Opere y simplifique ls siguientes expresiones indicndo sus restricciones.. 2x x+ + 6x x

8 Ejercicios. Si = 2 y b = 3 clcule el vlor de ls siguientes expresiones ) + b) b + b 2 +b b 2. Usndo l propiedd distributiv, expndir ls siguientes expresiones ) (b+5)(b 6) b) ( x+ 6)( x+ 5) 3. Expndir los siguientes cudrdos de binomio ) ( 2 b 2 ) 2 b) 4. Fctorizr l form (x+)(x+b) ls siguientes expresiones ( 3x 3 x) 2 c) ) x 0 7x b) x 40 9x ( 2 3y 2 ) 2 y 5. Simplifique ls siguientes frcciones lgebrics ) 20(x 3 y 3 ) 5x 2 +5xy +5y 2 b) x2 5x+6 x 2 4x+3 c) d) (b 3b3 ) 2 3 b 2 27b 5 6. Opere y simplifique ls siguientes expresiones b ) 2 +b + +b b b+b 2 b) ( ) ( 2 : ) c) d) ( + 6 ( x x+ x+y x y ) ( : 3+ 6 ) ) : ( x2 xy y 2 ) x 2 y 2 7. Opere y simplifique ls siguientes expresiones indicndo ls restricciones. ) x + 2 x+ x 2 + 2x+6 x x+ b) b b +b +b b + b c) d) ( ) 2 8. Determine todos los números reles pr los cules 2 + = Referenci bibliográfic Precálculo: Mtemátics pr el cálculo, Jmes Stewrt 5ed. Precálculo: Mtemátics pr el cálculo, Jmes Stewrt 6ed. Dipositivs de nivelción, Instituto de Ciencis Básics UDP, versión

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