Qué es el CÁLCULO? LÍMITE Y CONTINUIDAD

Transcripción

1 Qué es el CÁLCULO? El Cálculo es la matemática de los cambios velocidades y aceleraciones. También son objeto del Cálculo las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitud de arco, centroide, curvaturas y una gran variedad de conceptos que han hecho capaces a los científicos, ingenieros y economistas de crear modelos para las situaciones de la vida real. Aunque las matemáticas previas al Cálculo también tratan las velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, etc, existe una diferencia fundamental entre ellas y el Cálculo. Mientras que las primeras son estáticas, el Cálculo es dinámico. Por ejemplo: Las matemáticas previas al Cálculo permiten describir la pendiente de una recta, pero para describir la pendiente de una curva es necesario el Cálculo. Las matemáticas previas al Cálculo permiten describir el área de un rectángulo pero para describir el área bajo la curva se necesita del Cálculo. Cada una de estas situaciones involucra la misma estrategia general - la reformulación de las matemáticas previas al Cálculo a través de un proceso de límite. Así pues, una forma de responder a la pregunta Qué es el Cálculo? es decir, el Cálculo es una máquina que conlleva tres estadios. El primero lo constituyen las matemáticas previas al Cálculo, con nociones como la pendiente de una recta o el área de un rectángulo. El segundo es el proceso del límite y el tercero es la nueva formulación propia del Cálculo, en términos de derivadas e integrales. LÍMITE Y CONTINUIDAD Límite de Funciones Un aspecto importante del estudio del cálculo es el análisis de cómo cambian los valores de una función, o los valores de salida, cuando se modifican los valores de entrada. La noción de límite es básica para este estudio. Suponga que los valores de entrada se acercan cada vez más a determinado número. Si los valores de salida correspondientes están cada vez más cerca de un número, entonces ese número se llama límite. La idea de límite de una función f es estudiar el comportamiento de f(x) cuando x se acerca a un valor determinado.

2 El límite de una función se puede obtener de forma intuitiva, usando una tabla de valores o mediante la gráfica de la función y el álgebra de límites. Mediante tabla de valores: Ejemplo 1: Consideremos la función. Qué ocurre con f ( x ) cuando x es próximo a? Algunos valores de f ( x ) para x cercanos a cinco están dados en la Tabla En la Tabla observamos que: f ( x ) se acerca a, cuando x se acerca a 5. Lo que en símbolo matemático escribimos: Ejemplo Consideremos la función. Qué ocurre con cuando x es próximo a? Solución: Dom f R En este caso la función no está definida para x =, es decir, el no posee imagen. Analizamos que ocurre con las imágenes para valores menores que y para valores mayores que.

3 Para tiende a por la izquierda se denota x 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 f(x) 14 15,6 15,96 15,996 15,9996 Se dice que f(x) tiende a 16 por la izquierda Lo cual se escribe y se lee límite por la izquierda de es 16 Para tiende a por la derecha se denota x,5,1,01,001,0001 f(x) 18 16,4 16,04 16,004 16,0004 tiende a 16 por la derecha, denotándose por lo que significa que el límite por la derecha de es 16. La gráfica nos muestra el comportamiento de Cuando x tiende a desde cualquier lado de, f(x) tiende a 16. En este caso decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a es 16, lo que escribimos Notar que mediante álgebra elemental es posible transformar en otra función de igual valor en la vecindad de x 4( x 4) f ( x) x 4( x )( x ) x 4( x ) g( x)

4 Si evaluamos g(x) se tienen los mismos valores que f(x) Para x < x 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 g(x) 14 15,6 15,96 15,996 15,9996 Para x > x,5,1,01,001,0001 g(x) 18 16,4 16,04 16,004 16,0004 Por lo que f(x) = g(x) en la vecindad de x. 4( x 4) = x x 4( x ) =16 x Ejemplo 3 Consideramos la función Qué sucede con los valores cuando x toma valores cercanos a? Solución: Ningún truco algebraico simplificará nuestra tarea; ciertamente, no podemos cancelar las x. Una calculadora nos ayudará a tener una idea del límite. Utilice su propia calculadora (en modo radianes) para verificar los valores en la tabla siguiente. La figura muestra la gráfica de. Nuestra conclusión, aunque admitimos que es poco firme, es que

5 En la siguiente Tabla aparecen algunos valores de correspondientes a valores de x cercanos a cero, por la izquierda de cero ( x < 0 ) y por la derecha de cero ( x > 0 ) En la Tabla podemos observar que se puede acercar a uno, tanto como se quiera, siempre que se elija x suficientemente próximo a x = 0, matemáticos escribimos x0 sen x = 1 sen x Esto se lee: El límite, de, x cuando x tiende a cero, es igual a 1 lo que en símbolos Obtención del límite usando la gráfica de f A partir de la gráfica de f deducir f ( x) x1 Observamos que

6 Ejemplo 5: Dada la siguiente gráfica Obtener: a) b) c) d) e) De la gráfica podemos observar que a) f ( x) 0 x( 1), b) f ( x) 1 x( 1) c) f ( x) x ( 1) no existe, porque cuando x se acerca a -1, los valores de f(x) se acercan a dos valores distintos el 0 y el 1. El límite de existir debe ser único. De los ejemplos anteriores podemos deducir: Teorema f ( x ) L i) f ( x ) existe xa xa ii) f ( x ) existe xa

7 iii) f ( x ) = xa f ( x ) = L. xa Para d) es decir, cuando f (x) Para e) Límite de una función La función f tiene el límite L cuando x tiende a, lo que se escribe xa f ( x) L Si el valor de f(x) se puede hacer tan cercano a L como se quiera, considerando a x suficientemente cerca de a (pero no igual a a) El procedimiento de comprobar límites de funciones mediante la definición resulta en algunos casos sumamente complicado. Estudiaremos procedimientos simples para evaluarlos, basados en ciertas propiedades de límites. Estas propiedades tratan, entre otras, con límites de sumas, diferencias, productos y cuocientes de funciones P 1) P ) siendo c una constante. Algebra de Límites P 3) Si c es una constante y f una función entonces P 4) Límite de un producto, es el producto de los límites de las funciones [ ] P 5) El límite de una suma (diferencia) de funciones es la suma (diferencia) de los límites de las funciones. [ ]

8 P 6) El límite de un cuociente de funciones es el cuociente de los límites de las funciones [ ], siempre que Lo anterior se resume en el siguiente cuadro Ejemplos Ejemplo 1) Calcular = = 4( = 19 Observamos que, en el ejemplo 1) el límite (cuando, es simplemente el valor de p en de la función polinómica Esta propiedad de sustitución directa es válida para todas las funciones polinómicas y todas las racionales cuyos denominadores no se anulen en el punto considerado

9 Ejemplo ) Hallar el límite Se ha visto que los límites de muchas funciones algebraicas se pueden calcular por sustitución directa. Cada una de las seis funciones trigonométricas también posee esta deseable propiedad. Ejemplo 3) Ejemplo 4) Otra Propiedad de Límite Propiedad: Sean : a R, x y g x f para x a f dos funciones tales que x g x Si Entonces existe Ejemplo 5 Aplicación de la propiedad anterior Consideremos la función f x x 1 x 1 Notemos que y En este caso al evaluar directamente nos queda arreglamos factorizando con Como gx x 1, x 1 x 1 por propiedad anterior se concluye que Ejemplo 6) Calcular

10 En este caso al evaluar directamente nos queda por lo que debemos arreglar la función en otra, de uno de los primeros ejercicios sabemos que Por lo que Ejemplo 7) Hallar el límite Debemos arreglar factorizando EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Utilizando las propiedades de límite determinar: x x3. x 6x 9 x Respuesta 33 Respuesta x1 x 6 Respuesta x 3x x 3x 5x 4x x 1 x0 3x x x 5 x1 x 1 Respuesta 6 Respuesta 1 Respuesta 4 7. x x x Respuesta 0 8. x x x 4 Respuesta 4

11 x 3 x x 8 x 3x 10 x 3x 5x Respuesta 1 Respuesta 1 }

12 Continuidad de una Función. La importancia de estudiar la CONTINUIDAD de las funcione nos permite conocer sus características y propiedades. Por sus propiedades las FUNCIONES CONTINUAS juegan un rol fundamental en el estudio de la Matemática y en particular del Cálculo. Definición Sea f x una función definida para todo x en un intervalo abierto que x a sí y sólo si f x f a contiene al número a. Entonces f es continua en Nota i) Para que una función sea Continua en un punto x a se deben satisfacer tres condiciones: f a debe estar definida, es decir, a Df en 1) ) f x existe xa 3) f x f a xa i) Si: 1) f a no está definida ó ) f x no existe ó xa 3) f x xa es Continua en x a. Ejemplos xa existe pero no es igual a f a, la función f no n n1 n a) Sea f x a x a1 x a x... an x a. En este caso diremos que la función es DISCONTINUA 0 (función Polinómica). n n1 n Como f x a b a b a b... a f b xb Polinómica es CONTINUA en o x b 1 n entonces la función

13 Toda Función Polinómica es continua en cualquier número real b) La función Racional es continua en todo su dominio (Es discontinua para aquellos valores de x que hacen que el denominador sea cero) c) Consideremos la función f x x 1 x 1 si si x 1 x 1 Como: 1) f está definida f 1 1 ) f x x1 3) f x f 1 x1 d) Como la función x discontinua en e) Consideremos la función f x, entonces es continua en x = 1 x 1 f no está definida en x 1, entonces es x 1 x x 1 Esta función está definida en x 0 x 0 porque los límites laterales son distintos, en efecto: x0 f x 0 f x 1, x0 f 0 1, x 0 pero en consecuencia es discontinúa en f ( x ) no existe x0 En los siguientes ejercicios, indicar para que valores de x, la función es continua 0 discontinua y si presentan discontinuidad reparable.