y' nos permite analizar el crecimiento o decrecimiento

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1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS La derivada de una función f (), en un punto = a, representa el valor de la pendiente de la recta tangente a dicha función, en el citado punto = a Ecuación de la recta tangente en el punto ( a, f ( a)) : y f ( a) = f ( a) ( a) 1 Ecuación de la recta normal en el punto ( a, f ( a)) : y f ( a) = ( a) f ( a) DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Se llama dominio de una función y, Dom(y), al conjunto de valores de la variable independiente para los que eiste la función + Ejemplo: y ( ) = Dom( y) = R - {} 1 La función y ( ) eiste para todos lo números 1 reales R ecepto el = 1 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Dada una función y ( ), su derivada ( ) de la función: y nos permite analizar el crecimiento o decrecimiento Si y ( ) = y ( ) presenta un óptimo local (máimo o mínimo) en conocer si es máimo o mínimo habrá que calcular la segunda derivada de y ( ) decir y ( ) : Si ( ) > y crecer decrecer Si ( ) < y Para, es es mínimo local La función pasa en de decrecer a es máimo local La función pasa en de crecer a Los máimos y mínimos dividen al dominio en regiones, en cada una de estas regiones hay que estudiar el signo de la primera derivada: Si y ( ) > y( ) Si y ( ) < y( ) es creciente en es decreciente en Ejemplo: y = 5 + y = 1 + Igualamos a la primera derivada y calculamos su raíz: y = = 1 Calculamos el valor de la segunda derivada en : y = 1 > 1 Por tanto, = es mínimo local y además la función es decreciente en 1, y creciente en,+ 1 1

2 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Dada una función y ( ), su segunda derivada y ( ) conveidad de la función: Si y ( ) = ( ) viceversa) en nos permite analizar la concavidad o y presenta un punto de infleión (cambio de cóncava a convea o Los puntos de infleión dividen al dominio en regiones, en cada una de estas regiones hay que estudiar el signo de la segunda derivada: Si y ( ) > y( ) Si y ( ) < y( ) es convea en es cóncava en Ejemplo: y = y = + 6 Igualamos a la segunda derivada y calculamos su raíz: de infleión y = = es punto 1 Para conocer la concavidad y conveidad, estudiamos el signo de la segunda derivada en las regiones, y,+, por lo que la función es estrictamente 1 1 convea para, + y estrictamente cóncava para, 1 1 APLICACIONES A LA ECONOMÍA Si representamos las funciones de ingreso, coste y beneficio, de producir y vender unidades de producto, como I ( ), C( ) y B ( ), respectivamente, entonces: El Ingreso Marginal [ I ( ) ] es el ingreso adicional que se consigue por vender una unidad más de producto El Coste Marginal [ C ( ) ] es el coste adicional necesario para producir una unidad más de producto El Beneficio Marginal [ B ( ) ] es el beneficio adicional que se consigue al producir y vender una unidad más de producto Ejemplo: Una empresa tiene como función de ingresos I ( ) = 5 q + 4, mientras que la función de coste es C ( ) = q La función de beneficios es B ( ) = I( ) C( ) = q + 6 La función de ingreso marginal es I ( ) = 5 La función de coste marginal es C ( ) = La función de beneficio marginal es B ( ) =

3 EJERCICIOS DE REPASO 1- Para cada una de las siguientes funciones, hallar: a) El dominio b) Zonas de crecimiento y decrecimiento c) Máimos y mínimos locales d) Intervalos de concavidad y conveidad Puntos de infleión e) Representación gráfica y = ; 1- y = ; 1- y = ln( 8) y = e 15- y = 16- y = ln y = 18- y = 19- y = y = ln( +1) Un empresario estima que el coste total de producir unidades de un cierto producto es de C ( ) = (en miles de euros) El precio de venta unitario es de p( ) = 49 (en miles de euros) Determinar el precio que corresponde al beneficio máimo Un empresario estima que el coste total de producir unidades de un cierto producto es de C = (en miles de euros) El precio de venta unitario es de ( ) 1 ( ) + p = 5 (en miles de euros) Determinar el precio que corresponde al beneficio máimo 4 Las funciones de ingresos y costes anuales por la venta y fabricación de unidades de televisores vienen dadas por: I( ) = 4, C ( ) = a) Hallar las funciones de ingreso y de coste marginal b) Cuál es el ingreso y coste marginal para = 1 1 y = 5? c) Epresar la función que da el beneficio anual d) Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máimo? Cuál es ese beneficio? 5 Las funciones de ingresos y costes anuales por la venta y fabricación de unidades de radiadores vienen dadas por: I = 7 8 ( ) ( ) = C + a) Hallar las funciones de ingreso y de coste marginal b) Cuál es el ingreso y coste marginal para = 1 8 y =? c) Epresar la función que da el beneficio anual d) Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máimo? Cuál es ese beneficio?

4 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 11- a) Dom(y)=R 1 1 b) Estrictamente creciente en (, ), + y estrictamente decreciente en, 1 c) Máimo local en = y mínimo local en = 5 5 d) Estrictamente cóncava en, y estrictamente convea en,+ Punto de 5 infleión en = a) Representación gráfica: 1- a) Dom(y)=R-{1} b) Estrictamente creciente en ( ) ( +, + ) en (, + ), y estrictamente decreciente c) Máimo local en = y mínimo local en = + a) Estrictamente cóncava en (,1) puntos de infleión b) Representación gráfica: y estrictamente convea en (,+ ) 1 No presenta 1- a) Dom(y)= { R/ > 4} b) Estrictamente creciente en (,+ ) 4 c) No presenta máimos ni mínimos d) Estrictamente cóncava en ( 4,+ ) No presenta puntos de infleión

5 14- a) Dom(y)=R b) Estrictamente creciente en (,+ ) y estrictamente decreciente en (,) c) Mínimo local en = d) Estrictamente convea en R No presenta puntos de infleión 15- a) Dom(y)=R + -{1} b) Estrictamente creciente en ( e,+ ) y estrictamente decreciente en (, e) c) Mínimo local en = e d) Estrictamente cóncava en (,1) y estrictamente convea en (,+ ) puntos de infleión 1 No presenta 16- a) Dom(y)=R b) Estrictamente creciente en (,+ ) y estrictamente decreciente en (,) c) Mínimo local en = 1 1 d) Estrictamente cóncava en,, + y estrictamente convea en , Puntos de infleión en = y =

6 17- a) Dom(y)=R-{-} b) Estrictamente creciente en ( 7 ) ( + 7, + ) decreciente en ( 7, + 7 ), y estrictamente c) Mínimo local en = + 7 y máimo local en = 7 d) Estrictamente cóncava en (, ) presenta puntos de infleión y estrictamente convea en (,+ ) No 18- a) Dom(y)=R-{1} b) Estrictamente decreciente en su dominio c) No presenta máimos ni mínimos locales d) Estrictamente cóncava en (,1) puntos de infleión y estrictamente convea en (,+ ) 1 No presenta 19- a) Dom(y)=R-{}

7 b) Estrictamente creciente en su dominio c) No presenta máimos ni mínimos locales d) Estrictamente cóncava en (,+ ) puntos de infleión y estrictamente convea en (,) No presenta 11- a) Dom(y)=R b) Estrictamente creciente en (,+ ) y estrictamente decreciente en (,) c) Mínimo local en = d) Estrictamente cóncava en (, 1) ( 1, + ) y estrictamente convea en ( 1,1 ) Puntos de infleión en = 1 y = 1 = 7 5 millones de euros = 1 5 millones de euros 4 a) I ( ) = 8, C ( ) = 1 + b) I(1) = 1; I(5) = ; C(1) =1; C(5) = 15 c) B ( ) = d) = 17 7 unidades B ( 177) = um 5 a) I ( ) = 7 16, C ( ) = b) I (8) = 57, I () = 8, C (8) = 54 8, C () = 6 c) B ( ) = d) = unidades B( 1148) = um

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