Física de Sistemas Complejos MAGNETISMO. Juan Carlos González Rosillo Jaime Merchán Martínez

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Gregorio Flores Nieto
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1 Física de Sistemas Complejos MAGNETISMO Juan Carlos González Rosillo Jaime Merchán Martínez

2 Cronología S. VI a.c S. XIX S. XX Tales de Mileto Maricourt Gilbert Coulomb Poisson 1824 Ampere, Gauss, Oersted, Biot y Savart Faraday Pierre Curie Weiss Goudsmity Uhlenbeck Brillouiny Von Bleck Heisenberg Neel

3 Qué es el magnetismo?

4 ORDEN FERROMAGNÉTICO Momento magnético espontáneo Dependencia con la temperatura. (Ley de Weiss-Curie) T<Tc => Orden Ferromagnético = χ M B = T C externo T c T>Tc => Ruptura del Orden Ferromagnético.

5 Magnetización como función de T En vez de la ley de Curie, estudiamos el fenómeno con la expresión completa de Brillouin, que para spín ½ toma la forma: Sustituyendo campo externo por el campo molecular

6 Definimos: La expresión de Brillouin se reduce a: M(T) para Níquel

8 ORDEN ANTIFERROMAGNÉTICO Spines ordenados antiparalelamente. Dependencia con la temperatura. (Temperatura de Neel)

9 TEMPERATURAS INFERIORES A LA DE NEEL Susceptibilidad perpendicular constante, independiente de la temperatura

11 Cómo son las excitaciones colectivas? Idea intuitiva: Sólo un spín cambiado. Realidad física: Ondas de spín: Magnones

12 Energía fundamental en aproximación Hartree-Fock: (con todos los estados con ) K K F Para r s > 5,45 domina la parte de canje TRATAMIENTO MÁS FORMAL HAMILTONIANO DE N ELECTRONES

13 Con conjuntos completos de números cuánticos de una sola partícula Y los elementos de matriz V : Expresados en función de las funciones de onda monoelectrónicas. Separamos el Hamiltoniano en Y aplicamos la aproximación Tight-Binding

14 : Hamiltoniano de una sola partícula Con esta aproximación, la función de Bloch se puede expresar como: Y utilizando la representación de Wannier, reescribimos en función de los operadores de creación y destrucción fermiónicos y escribimos : Energía de la banda en términos de los elementos de la matriz de transmisión.

15 Hamiltoniano de interacción Con un razonamiento análogo, podemos escribir la interacción electrón-electrón así: Siendo ahora V: La configuración ferromagnética (un electrón por nivel y todos con el mismo spín) favorece la parte de canje y minimiza la repulsión coulombiana. Y como es lógico, esta configuración es el ESTADO FUNDAMENTAL de un FERROMAGNETO.

16 Como ya hicimos en el tema anterior, podemos separar las contribuciones del hamiltoniano de interacción en directa y de canje. Para la parte DIRECTA, debe satisfacerse que Reduciéndose el hamiltoniano a: La parte del operador: ENERGÍA DE LA INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA ENTRE LAS DENSIDADES DE CARGA LOCALES

17 Para la parte de CANJE, debe satisfacerse que El hamiltoniano queda: Transformando la parte del operador: INTERPRETACIÓN FÍSICA DE TÉRMINOS Cuentan electrones con spín Diferencia entre e - con spín Provocan cambios de spín

18 Considerando la relación de conmutación Se puede ver que los operadores y cumplen las relaciones de conmutación del momento angular: Y podemos identificar: PODEMOS REEMPLAZAR LOS OPERADORES DE CREACIÓN Y DESTRUCCIÓN POR OPERADORES DE SPÍN Sumamos y restamos en la parte del operador de canje, y podemos escribirlo de la forma:

19 - con y es el Hamiltoniano de Heisenberg

20 HAMILTONIANO DE HEISENBERG Añadiendo el término de Zeeman, y cambiando la notación de sitios, podemos escribir el hamiltoniano de Heisenberg de la siguiente manera: Punto de partida de la teoría del magnetismo Simetría esférica en ausencia de Hext. Estado fundamental => Simetría axial (Ruptura espontánea de la simetría)

21 OTROS HAMILTONIANOS MODELO A partir del hamiltoniano de Heisenberg, se derivan fundamentalmente tres modelos de hamiltonianos: 1. Modelo anisotrópico de Heisenberg 2. Modelo de Ising (con J ij =0) 3. Modelo XY

22 ONDAS DE SPÍN EN FERROMAGNÉTICOS Objetivo: Analizar excitaciones de baja energía en el estado fundamental Visión clásica: Dipolos magnéticos localizados. Movimiento de un dipolo Movimiento coordinado de todos los dipolos Ondas de spín o MAGNONES

23 Para un tratamiento más formal Modelo de Heisenberg + Aproximación Tight-Binding Empleando podemos reescribir H:

24 Valor esperado del Hamiltoniano sin campo magnético externo: (Estado fundamental => ) Con N: número de posiciones en la cadena ν: número de vecinos más próximos Operador subida sobre = 0

25 Dinámica del operador invidual S j Ecuación de movimiento (Ecuación de Bloch) con Para resolverlo: Hext en eje z Cerca del GS: (baja T) ECUACIONES RESULTANTES

26 Combinando ambas ecuaciones con Desacople de primeros vecinos Rep. de Bloch

27 MOVIMIENTO DE PRECESIÓN EN TORNO A LA DIRECCIÓN DE ORIENTACIÓN DEL FERROMAGNÉTICO FORMA CUANTIZADA MAGNÓN

28 TRANSFORMACIÓN DE HOLSTEIN-PRIMAKOV Operadores bosónicos Sin cambiar las relaciones de conmutación entre los tres momentos angulares. Esto es lo que se llama Transformación de Holstein-Primakov. La ecuación de Sz se deriva de:

29 Desviaciones sobre el valor máximo S Asumimos excitaciones de baja energía, tal que y expandimos Operadores escalera Relación unívoca Operadores bosónicos

30 Hamiltoniano de Heisenberg bajo de excitaciones de baja energía Acoplamiento entre primeros vecinos (cambio de representación)

31 HAMILTONIANO PARA ONDAS DE SPIN EN FERROMAGNÉTICOS Interacción a primeros vecinos + Aproximación Tight-Binding cos

32 EXCITACIÓN TÉRMICA DE UN MAGNÓN Contribución al calor específico? Valor esperado de Paso al continuo Aproximación a baja temperatura cubo simple

33 Cambio de variable Integración en polares Contribución magnónica a la energía térmica: Contribución magnónica al calor específico:

34 COMPROBACIÓN EXPERIMENTAL: DISPERSIÓN MAGNÉTICA DE NEUTRONES Dispersión magnética ELÁSTICA Dispersión magnética INELÁSTICA Estructura magnética Espectro de magnones

35 Diagrama de difracción de neutrones del Fe. Las reflexiones observadas satisfacen la regla de índices para una estructura BCC

36 Espectro magnón de una aleación FCC de Co (92%Co-8%Fe) a temperatura ambiente. La línea continua representa la expresión teórica de dispersión, para vectores de onda ka<<1

37 ONDAS DE SPÍN EN ANTIFERROMAGNÉTICOS Conclusion: Existen varios sublattice con spines relativos opuestos

38 Ferromagnetos ANTIFERROMAGNETOS : Son los vectores de spin de las dos lattice

39 Cerca del GS Holstein-Primakoff Energia del antiferromagneto GS(?) Representacion de Bloch

40 Transformación Boliubov Reglas de conmutación de bosones

41 Hamiltoniano Antiferromagnético

42 Energías de Magnones Ferromagnetos Antiferromagnetos Ejemplo: Dispersion para MnF 2

43 Energia del GS en Antiferromagnéticos Energía de una configuración perfecta antiferromagnetica Contribucion de k=0

44 E = E z Max E z 0 CONCLUSION: El GS no corresponde con nuestra idea primitiva de orden antiferromagnétos.

45 ORDEN FERRIMAGNÉTICO DOS SUBCELDAS CON SPINES ORIENTADOS ANTIPARALELAMENTE Y DESCOMPENSADOS,LO QUE IMPLICA UN MOMENTO MAGNÉTICO TOTAL NO NULO EJEMPLO:

46 ESTRUCTURA ESPINELA mineral espinela MgAl2O4 8 posiciones tetraédricas: A 16posiciones octaédricas: B J AB > J AA, J BB

47 COMPORTAMIENTO DE LAS INTERACCIONES Los campos medios de canje que actúan sobre las redes de spins A y B son: con α,βγg constantes positivas y donde los signos -ponen de manifiesto la interacción antiparalela. La densidad de energía media de la interacción es igual a: Condiciones para minimizar energía:

48 TEMPERATURA DE CURIE Y SUSCEPTIBILIDAD

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