Módulo 14 Multiplicación de expresiones algebraicas. Exponentes

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1 Módulo 14 Multiplicción de expresiones lgebrics. Exponentes OBJETIVO: Identificr potenci, bse exponente de un expresión lgebric. Multiplicr dividir polinomios. Recordemos lguns definiciones básics. Un número o un letr, o vrios números letrs combindos entre sí medinte ls operciones de multiplicción o de división, o de mbs recibe el nombre de Término. Algunos ejemplos de términos son: -8, 4x, 5x, -7 x 5, 8 x 4 z. Si se tiene un grupo de letrs números seprdos por signos ms (+) o menos (-) entonces se puede descomponer en términos. Por ejemplo: l expresión 5 b -ª + 4c se puede descomponer en los términos: 5 b, -ª 4c. Si un término está compuesto de un número uno o más letrs, el número recibe el nombre de coeficiente. Por ejemplo: en b, es el coeficiente de b. Un expresión lgebric que contiene solmente un término se llm monomio. Un expresión lgebric que contiene exctmente dos términos se llm binomio. Un expresión lgebric que contiene exctmente tres términos se llm trinomio. En generl, ls expresiones que contienen más de tres términos se llmn polinomios. Potenci: Es l representción de un producto de fctores igules Ejemplo x x x x (x 1) ( x 1 ) ( x 1 ) Si n es un entero positivo, l notción exponencil que se define en l tbl, represent el producto del número rel multiplicdo n veces por si mismo. L expresión se lee l enésim potenci o simplemente l n. El entero positivo se llm exponente el numero rel, bse.

2 Notción exponencil El producto de un número rel que se multiplic por sí mismo se denot por x ó ó () (). Ejemplo: n Exponente Bse El exponente indic el número de veces que l bse se tom como fctor. Y el número n se llm l enésim potenci de. Por ejemplo, 4 es l curt potenci de o tmbién se lee l curt. Pr simplificr este tipo de expresiones se costumbr utilizr un notción brevid, tl que: x x x x x x x 5 Donde es llmd bse el número escrito rrib l derech del mismo, es llmdo exponente. Otrs forms de expresr son ls siguientes: x x ()()() De est form se puede llegr ls lees de exponentes que muestrn continución:

3 LEYES DE LOS EXPONENTES 1) Producto de dos potencis de l mism bse. m n m+ n 4 x ) El cociente de dos potencis de l mism bse. Elévese l bse un potenci igul l exponente del numerdor menos el exponente del denomindor. m n m n ) L potenci de un potenci. Elévese l bse un potenci igul l producto de dos exponentes. m n mn 5 10 ( ) ( ) 4) L potenci del producto de dos fctores. Encuéntrese el producto de cd fctor elevdo l enésim potenci n n n ( b) ( b) 5) L potenci de cociente de dos fctores. Encuéntrese el cociente de cd fctor elevdo l enésim potenci. b n n n b 5 5 5

4 Ejemplos: ) b b 4 b 7 f) (1 + i) 5 (1 + i) (1 + i) b) x x 5 x 5 x g) ( ) x x c) 4 d) h) (x 4 ) 5 x x e) 8x i) x ( ) ( x) 7 x x 5 8x x 6) Exponente cero, uno frccionrio EXPONENTE CERO. Si es un número rel diferente de cero, elevdo l cero es igul 1. o 1. Est severción puede demostrrse plicndo l regl del cociente de dos potencis de l mism bse. Considérese el siguiente cociente: m m m 1 m 0 5º 1 Resumimos ls lees en el cudro siguiente: Exponentes Enteros

5 Le: Ejemplo: Ls lees de los exponentes pueden generlizrse: Actividdes de prendizje Simplific escribe utilizndo exponentes positivos. 1. x 6 x -10

6 . 6x 4 7 1x 5-8. (6x 10 ) (x 4 ) 4. 4 ( 10-1 ) 6 (10 4 ) 5. El resultdo de ( ) 4 ) b) c) d) 7 16x x x x 8 4x es 8x 6. El resultdo de x 7 ) 4x b) 4x c) 4x 7 4 d) 4x 5 es Simplificr un expresión donde h potencis de números reles, signific cmbirl otr en que cd número rel prece solo un vez todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los denomindores representn números reles diferentes de cero. Simplificr: ) b) Solución: )

7 b) Multiplicción de expresiones lgebrics Recordndo l propiedd distributiv podemos hcer multiplicciones de un monomio por un polinomio. Por ejemplo: L expresión (1 x ²) indic el producto del monomio por el binomio (1 x ²), pr efectur est operción usmos l propiedd distributiv: (1 x ²) (1) (x ) x. Es decir multiplicmos el monomio por cd término del binomio. Otro ejemplo: - 5 (x + ) (-5) (x) + (-5) () - 5 x - 5 Observemos que en este ejemplo usmos préntesis en el -5 pr no tener complicciones en cunto los signos. Recomendmos hcer esto cundo trbjmos con coeficientes negtivos. Más ejemplos:

8 1. - x (+b) (-x) () + (-x) (b) - x x b. x (x -1) (x) (x) + (x) (-1) x x. x (x+) x (x) + x () x + x En los ejemplos usmos l le 1) de los exponentes vist nteriormente. Así como podemos multiplicr un monomio por un binomio, tmbién podemos multiplicr un monomio por un trinomio: 5x (x² - x + 4) 5x (x²) + 5x (x) + 5x (4) 15 x + 5 x ² + 0 x. Pr más ejemplos consultr Pr l multiplicción de polinomios, usremos un generlizción de l propiedd distributiv. Pr esto, trbjremos con el binomio (+b) con el binomio, (c+d). El producto de estos binomios lo expresmos sí: (+b) (c+d) Y procedemos multiplicr de l siguiente mner: ( + b) (c + d) (c + d)+ b (c + d) Es decir, el primer término del binomio (+b), que es, se multiplic por el otro binomio (c+d). Y de l mism form, el segundo término de (+b), que es b, se multiplic por (c+d). Si nuevmente plicmos l propiedd distributiv, cd término del miembro derecho de l iguldd, se tiene que: (+b) (c+d) c + d + b c + b d Este resultdo muestr el hecho de que el producto de dos polinomios, se puede efectur multiplicndo cd término de uno de los polinomios, por cd término del otro. Por ejemplo, l multiplicr (+b) (x++z), se tiene: (+b) (x++z) (x++z) + b (x++z) x + + z + b x + b + b z Siguiendo el nterior proceso el producto de (t+) (+b) es: (t+) (+b) t (+b) + (+b) t+tb++b

9 Del mismo modo, el producto (4x+) (+1) 4x (+1) + (+1) 4x + 4x + + A veces, el producto de polinomios puede simplificrse combinndo los términos. Por ejemplo, l multiplicr: ( x + ) ( x ) Hcemos lo mismo que ntes pero hor podemos identificr reducir los términos semejntes: ( x ) x ( x ) + ( x ) 4x 6x + 6x (x + ) x A veces, cundo se tienen polinomios con muchos términos, conviene rreglrlos uno encim de otro, ordenándolos de mor menor de cuerdo l grdo de cd polinomio. Por ejemplo, pr multiplicr: (x²+x-5) (x+4) Escribmos uno encim del otro, pr tener un rreglo como el siguiente: x + x 5 x + 4 Ahor, tomemos el primer término del de bjo del rreglo, x, multipliquémoslo por cd uno de los términos del de rrib: x + x 5 x x x x Enseguid, tomemos el segundo término, 4, repitmos el proceso nterior, comodndo los productos de cuerdo l grdo. x + x 5 x x x x 8x + 1x 0

10 Por último, sumemos los productos, término término: x + x 5 x x x x 8x + 1x 0 6x + 17x x 0 L verdd es que no necesitmos ordenr de mor menor grdo. Podemos hcerlo l revés; es decir de menor mor grdo. Lo importnte es que ordenemos de lgún modo, si lo que desemos es gilizr el proceso de multiplicción. Multipliquemos (x³-x²-x+6) (7x²+x-1). Vemos el proceso: x x x + 6 7x + 1x x 14x 7x + 4x 4 6x 4x x + 1x x + x + x x 8x 14x + 4x + 14x 6 Pr más ejemplos consultr Y Actividdes de prendizje 1. multiplic los siguientes polinomios: ) 9b 6b b) x (6x 9x + 1) c) b 4b d) mn (5n 4mn + m) e) (x ) (x + ) f) ( + b) ( b + b -b )

11 g) ( + b) (+ b) h) ( + r) ( + r) i) ( + ) (³ + ² + + 1). Determin el fctor desconocido ) b b 5 b) -x 4 z z c)... 4b -0 4 b c e) m (m +... )... + m f) ( +...) ( + 4) Clcul el áre de l figur siguiente: 5 x x 6 x x 4. Cuál es el áre de cd un de ls figurs? x m + 1 x + m + + División de Polinomios Ls operciones que se hn revisdo hst el momento, serán necesris pr dividir dos polinomios. Los polinomios son cerrdos bjo ests operciones; es decir, l sum, rest multiplicción de polinomios d como resultdo un

12 polinomio, pero esto no sucede con l división de polinomios. Esto signific que si se dividen dos polinomios, el resultdo no es necesrimente un polinomio. Ejemplo: el, es un polinomio x ² es tmbién un polinomio. De hecho, mbos son monomios. Si se dividen mbos polinomios de mner que el resultdo no x es un polinomio, debido que no responde l definición que se dió de polinomio. L división de monomios. Por ejemplo, pr dividir 15x entre 5x lo que se debe hcer es dividir los coeficientes de mbos monomios plicr l le de los exponentes pr l división: 15 x x x 1 x 5x Del mismo modo, l dividir 8x 6 entre 4x se tiene que: 8x 4x 6 x 6 x 4 De est form, es posible dividir un polinomio entre un monomio, seprndo en cocientes de monomios. Por ejemplo: 4 4 6x 9x + x 1x 6x 9x x 1x + 6x x + x 4 x x x x x Otro ejemplo de división: 5x + 4x + x 5x 4x + + 5x x x x x Como se ve, l expresión resultnte no es un polinomio. Observese que l división es distributiv sobre l sum; es decir 5x + 4x + 5x 4x ( 5x + 4x + ) 5x + 4x + 5x x x x x x x x x x En generl, si se tiene x +, entonces: z

13 x + 1 ( x + ) z z 1 x ( x + ) + z z z x + x + z z z lo cul muestr l vlidez de l propiedd distributiv sobre l sum. Esto permite que, l dividir un polinomio entre un monomio, se posible dividir cd término del 1x 9x + 6x polinomio entre el monomio. Por ejemplo: si se dese dividir, x entonces: 1x 9x + 6x 1x 9x 6x + 4x x + x x x x Como dividir polinomios entre polinomios. Recuérdese que, como en el cso de ls operciones con polinomios nteriores, conviene ordenr los términos de todos los polinomios que intervienen en l operción, del más grnde l más pequeño, de cuerdo l grdo. Recuérdese tmbién que, por definición de división, el producto del divisor el cociente es igul l dividendo. En prticulr, buscmos que el producto del primer término del divisor el primer término del cociente se igul l primer término del dividendo. Con ests ides puede empezrse l división x + 19x + 1x 8. Obsérvese que, como hor se tiene un polinomio entre un binomio, usr l propiedd distributiv no es buen ide, sí que se recurre l siguiente rreglo: x + 19x + 1x 8 El primer término del cociente es x² porque x³ entre x es igul x². De este modo, el rreglo qued como: x² x + 19x + 1x 8 Multiplíquese x² por (x+7) escríbse el producto bjo del dividendo: x² x + 19x + 1x 8 x³+14x²

14 Enseguid se debe restr. El resultdo de l rest es 5x², ( que x x 0 19x 14x 5x ), sí que colóquese: x² x + 19x + 1x 8 x³+14x² 5x² En seguid bájese el siguiente término del dividendo, 1x, junto 5x². x² x + 19x + 1x 8 x³+14x² 5x² +1x Ahor obsérvese que l expresión 5x² +1x es un nuevo dividendo, sí que se tom su primer término 5x² se divide entre el primer término del divisor, x. Est división es 5x, porque 5x² entre x es 5x. Colóquese este nuevo término del cociente: x² + 5x x + 19x + 1x 8 x³+14x² 5x² +1x Ahor multiplíquese este nuevo término del cociente por todo el dividendo, se escribe el producto como un nuevo dividendo. x² +5x x + 19x + 1x 8 x³+14x² 5x² +1x 5x² +5x Lo que sigue es restr los dividendos en el residuo. Es decir:

15 x² +5x x + 19x + 1x 8 x³+14x² 5x² +1x 5x² +5x -4x Y pr concluir l división se pone: x² + 5x - 4 x + 19x + 1x 8 x³+14x² 5x² +1x 5x² +5x -4x- 8-4x -8 0 Pr sber si es correct l división se multiplic el cociente que se obtuvo por el divisor puede comprobrse que este producto es igul l dividendo. En el cso de l división nterior, el residuo es cero. Esto signific que l división es exct o, que el divisor es un divisor excto del dividendo, sin embrgo esto no siempre sucede. H divisiones cuo residuo no es cero. Otro ejemplo: 5x - 1 x+ 15x² + 7x - 15x² +10x -x - -x - 0 Pr sber si l solución es correct, se multiplic el cociente por el divisor se verific que se igul l dividendo: (5x 1) (x+) 15x² + 7x Al ordenr los términos de un polinomio de mor menor grdo, se fcilit el proceso de división, porque los residuos sucesivos se vn orgnizndo de modo que l rest es csi inmedit. Por ejemplo, el polinomio: 4 5x x 4x + x 8 está ordendo prtir del término de mor grdo, 4, l de menor grdo. Cd término, prtir del de curto grdo, v bjndo de uno en uno: sí, después del

16 curto grdo, sigue el de tercer grdo, luego el de segundo sí sucesivmente. Cundo esto sucede, se dice que es un polinomio completo de curto grdo. El polinomio 7x³-15x² + 7x es completo de tercer grdo. Mientrs que el 4 polinomio x x 5 es un polinomio incompleto de curto grdo. Cundo se desee dividir polinomios incompletos, conviene escribir ceros en los lugres donde flten los términos del grdo correspondiente, pr fcilitr el proceso de división. 4 De este modo el polinomio x x 5, se escribirí como: 4 x + 0x + 0x x 5 Recuérdese que est form de rescribir el polinomio es sólo si se dese dividir entre otro polinomio. Por ejemplo, dividir (x² - 9) entre (x - ). Pr fcilitr el proceso de división pueden orgnizrse los polinomios de l siguiente mner: x + x- x² + 0x 9 x² - x x 9 x 9 0 Como ls divisiones entre polinomios no siempre son excts. En Aritmétic h un proceso pr cmbir ls frcciones impropis por un número mixto; Por ejemplo 1 1 o bien 10 1, en el que, en el primer cso , en el segundo cso, +. En álgebr, l expresión x que multiplic tres medios o bien x veces tres medios. x, signific Si en un división entre polinomios qued un residuo, se puede expresr de un modo similr, luego el cociente comprende un frcción que consiste de un residuo dividido por el divisor: Por ejemplo, en l división: 4x+ 8x + 8x el residuo muestr que l división no es exct, luego el cociente se puede escribir 8x + 1 como +. Otr consecuenci de que l división no se exct es 4x + 4x + que l comprobción no se concret l multiplicción del cociente por el divisor. Ahor est multiplicción h que sumrle el residuo pr obtener el dividendo: (4x+)+ (-1) 8x x+

17 Por ejemplo, l efectur l división siguiente: 7x + x -5 14x² - 9x x² - 5x 6x 10 6x ést no es exct porque el residuo es distinto de cero; est es l rzón por l que el dividendo no se puede expresr como un producto, sino como l sum: 14x² - 9x 10 (7x + ) (x -5)+5. Un expresión distint de este proceso es: 14x 9x x + + x 5 x 5 Actividdes de prendizje 1. Efectúe los siguientes cocientes: ) b) c) d) 5 6x x 8 18x 6x 5x 5x 10x Cuál es el cociente de? x +. Cuál es el resultdo de dividir x + 1 0? 4. Escribe el cociente efectú el cociente x x x 5x de cuerdo l propiedd distributiv

18 5. Cuál es el componente de l división que permite firmr si l división de polinomios es exct o no qué condición debe cumplir pr que lo se? 6. Llene los espcios que resuelven el cociente: x x²+0x+1 x³ - x² + x - 7. Efectúe l división z z z z z escrib un expresión pr el dividendo. 8. Efectúe l división escrib un expresión pr el dividendo. 9. El resultdo de 1w z 18w z 4wz 6wz 4 es: ) w w 4z b) 1w 18w 4z c) 4 w z + w z 4wz d) 4 5 w z w z 4w z 10. El resultdo de ( 1 9 ) ( ) ) b) c) 4 7 d) 4 1 es: