Tema 1: Estadística descriptiva. Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 1

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1 Tema 1: Estadística descriptiva Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 1

2 Introducción Objetivo: estudiar una característica o variable en una población. Ejemplos: Longitud de los peces de una cierta especie en un lago Marca de e-book preferida por un comprador Número de libros que un español lee al año A veces es imposible o demasiado caro observar la variable en toda la población, así que se extrae una muestra. Objetivo de la Estadística Descriptiva: Hacer una descripción sencilla (numérica o gráfica) de la información contenida en la muestra. Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 2

3 Clases importantes de variables estadísticas Variables cualitativas Son cualidades o atributos de los individuos. No son un número: no podemos operar con sus valores. Ejemplos: Sexo de un individuo: hombre o mujer Grado de reacciones secundarias a un tratamiento oncológico (alto, medio, bajo) Tiempo (soleado, lluvioso, parcialmente cubierto,...) en una zona A veces se asigna un número a cada una de las cualidades. Por ej., si la v. cualitativa es el sexo, podemos asignar a hombres el número 0 y a mujeres el número 1. Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 3

4 Tenemos una muestra de tamaño n: hemos observado n datos, que agrupamos en K categorías o clases. Ejemplo: Variable = Color de los coches que atraviesan un semáforo. Categoría= Rojo, verde, blanco, negro, otros K = Llamamos frecuencia absoluta al número de coches observados en cada una de las categorías: n 1 = 23, n 2 = 5, n 3 = 20, n 4 = 7, n 5 = 15 n = La proporción de datos observados en cada clase f i = n i n se denomina frecuencia relativa. Observemos que siempre f i 0 y f 1 + f f K = 1. Representaciones gráficas: diagrama de barras, diagrama de sectores. Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 4

5 Variables cuantitativas Miden algo cuantificable en cada individuo. Toman valores numéricos. Si la variable cuantitativa sólo puede tomar una cantidad finita o numerable de valores entonces es una variable discreta. Ejemplos: Número de hijos de una familia, número de goles de un equipo en cada partido, número de accesos diarios a una página web. Las variables continuas pueden tomar una cantidad infinita no numerable de valores. Ejemplos: La estatura de una persona, el nivel de alcohol en sangre de un individuo, el contenido en hierro de un mineral. En la práctica siempre hay un ĺımite de precisión en el número de dígitos con el que expresamos una variable continua. Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 5

6 Descripción gráfica de variables cuantitativas Variables discretas: diagrama de barras Ejemplo: Se realiza un examen tipo test con 5 preguntas a un grupo de estudiantes. N o respuestas correctas Frecuencia acumulada F i N o estudiantes (n i ) Frecuencia relativa f i 0 3 3/ / / / / /50 50 n = 50 1 Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 6

7 20 15 Recuento Respuestas 4 5 Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 7

8 Variables continuas: histograma Se agrupan los datos en una serie de clases o intervalos A 1,..., A k. Calculamos la frecuencia absoluta n i de cada intervalo A i (n o de observaciones en A i ). Cada dato debe pertenecer a sólo una clase. Se representan los ĺımites de los intervalos sobre el eje de abscisas. Luego se dibujan rectángulos cuya base es el intervalo y cuya altura es la frecuencia absoluta de cada intervalo (n i ). En la práctica, dadas unas observaciones, elegimos nosotros el ĺımite inferior del primer intervalo y la amplitud. Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 8

9 Ejemplo: En 1798 Cavendish estimó la densidad de la tierra utilizando una balanza de torsión. Sus 29 medidas de la densidad de la tierra, tomando la densidad del agua igual a 1, fueron Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 9

10 Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 10

11 Resumen numérico de datos cuantitativos Medidas de centralización, posición o localización Informan acerca de la posición alrededor de la cual se centran o distribuyen los datos x 1,..., x n (muestra aleatoria). media muestral= x = x P n 1+x x n i=1 n = x i n Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 11

12 La mediana es el dato que ocupa el lugar central respecto a los datos ordenados x (1), x (2),..., x (n). Si el tamaño muestral es impar (n = 2m + 1), med = x m+1. Si el tamaño muestral es par (n = 2m), med = x m + x m+1. 2 Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 12

13 Medidas de dispersión o variabilidad Dispersión respecto a la media La media es un valor representativo de la variable de interés en la población o en la muestra. Por tanto, es útil para comparar poblaciones o muestras entre sí. Sin embargo, lo bien o lo mal que la media represente a la muestra depende de la dispersión de ésta. Si los datos están agrupados cerca de la media, ésta será muy representativa de la localización de los datos. Por el contrario, si los datos están muy dispersos, la media no será un buen representante de las observaciones. Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 13

14 Ejemplo: Nota obtenida N o alumnos grupo A N o alumnos grupo B N o alumnos grupo C Grupo A Grupo B Grupo C Frecuencia Frecuencia Frecuencia Nota Nota Nota Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 14

15 Cuantificamos la dispersión de la muestra x 1,..., x n en torno a la media mediante la varianza muestral: v x = 1 n n i=1 (x i x) 2 = 1 n n i=1 x 2 i ( x) 2 = x 2 ( x) 2 La desviación típica se define como la raíz cuadrada de la varianza. Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 15

16 Dispersión respecto a la mediana Ordenamos las observaciones x 1, x 2,..., x n de menor a mayor: x (1), x (2),..., x (n). { mediana(x(1),..., x ( 1 n)) si n es par 2 Q 1 = Primer cuartil= mediana(x (1),..., x ( 1 (n 1))) si n es impar 2 Q 2 = Mediana { mediana(x( 1 2 Q 3 = Tercer cuartil= (n+2)),..., x (n)) si n es par mediana(x ( 1 (n+1)),..., x (n)) si n es impar 2 Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 16

17 El rango intercuartílico (RI) es la diferencia entre el primer y el tercer cuartil: RI = Q 3 Q 1. Si separamos los datos ordenados en cuatro grupos con el mismo número de observaciones, el RI mide la distancia entre los dos grupos más extremos. Para visualizar estas medidas de dispersión respecto a la mediana se utiliza el diagrama de caja (box plot). Es especialmente útil para comparar grupos de datos entre sí. Para construir el diagrama de caja de la muestra, calculamos Q 1, Q 2, Q 3, RI y los ĺımites inferior y superior del diagrama LI = La menor observación en el intervalo [Q RI, Q RI] LS = La mayor observación en el mismo intervalo Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 17

18 Ejemplo: Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 18

19 Estadística descriptiva de dos variables (bivariante) Ahora estamos interesados en dos variables estadísticas X e Y o un vector bidimensional (X, Y ) en cada individuo de una población. X x 1, x 2,..., x n Y y 1, y 2,..., y n } (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) La covarianza muestral entre X e Y se define como: cov x,y = 1 n n i=1 (x i x)(y i ȳ) = 1 n n i=1 x iy i xȳ = xy xȳ Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 19

20 A partir de la información muestral deseamos encontrar una relación funcional aproximada entre Y y X : Y g(x ). Por ejemplo, podemos estudiar un ajuste lineal entre Y y X. La recta de regresión de Y sobre X es la recta y = a + bx que minimiza el error cuadrático medio: ECM = 1 n n (y i a bx i ) 2. i=1 En tal caso se obtiene que los valores de a y b que minimizan el error cuadrático medio son: b = covx,y v x a = ȳ b x Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 20

21 El coeficiente de correlación r = ρ = covx,y vx v y mide el grado de relación lineal entre X e Y. Sólo puede tomar valores entre -1 y 1. Un valor de r cercano a 0 indica ausencia de relación lineal y x Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 21

22 A menudo la relación lineal y = a + bx no será la que mejor describa la relación entre X e Y, o simplemente no tendrá sentido. Una solución sencilla es transformar las variables Y y/o X mediante una función no lineal (log x, x 2, e x,... ) y calcular la recta de regresión entre las variables transformadas. Por ejemplo: Para encontrar los coeficientes de un ajuste de tipo logarítmico y = a + b ln(x) se calcula la recta de regresión de y sobre t = ln(x); Para encontrar los coeficientes de un ajuste de tipo exponencial y = ae bx se calcula la recta de regresión de t = ln(y) sobre x. Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 22