Estudio de las propiedades de un cristal piezoeléctrico. Analogía con circuitos resonantes.

Transcripción

1 Etudio de la propiedade de un crital piezoeléctrico Analogía con circuito reonante Juto, Dalmacio Balpardo, hritian aboratorio Dpto de Fíica FEyNUBA 9998 ( da entrega: de Noviembre) En eta práctica e etudió el comportamiento de un crital piezoeléctrico ometido a una tenión eléctrica de recuencia variable Tomando como bae la teoría de circuito reonante, e calcularon lo ditinto parámetro del crital compatible con cada modelo teórico propueto, a partir de medicione obre la tenión de alida y u deaaje para cada recuencia Finalmente, mediante conideracione etadítica determinamo cuál de lo modelo era el má apropiado [A] ntroducción El principal interé de lo enómeno piezoeléctrico reide en una analogía electromecánica caracterítica de cierto critale Al ometer un crital piezoeléctrico a deormacione mecánica, aparece en él una polarización que da origen a un campo eléctrico Análogamente, la aplicación de un campo eléctrico e acompaña de vibracione elática del material, conecuencia del denominado eecto piezoeléctrico invero De ete modo, al excitar uno de eto critale con un campo eléctrico alterno, el crital ocilará con la mima recuencia de excitación que el campo, y u amplitud tomará valore extremo para cierta recuencia, denominada de reonancia legado a ete punto, la analogía con lo circuito e hace inevitable (aunque rente a eta comparación, el crital piezoeléctrico preenta mayor etabilidad de recuencia, e decir, un pico de reonancia má etrecho que el que podríamo obtener empleando componente electrónico comune) Si bien el modelo del circuito Serie urge a priori como el indicado para decribir el enómeno, alguna conideracione acerca del montaje experimental dan lugar a otro modelo algo imilar, el de un circuito montado en Paralelo con un capacitor Nuetra tarea e vio entonce orientada a comparar lo dato experimentale con lo teórico para determinar cuán buena podía reultar cada modelización [B] Dearrollo experimental eonancia de un crital piezoeléctrico Dalmacio Juto, hritian Balpardo Se uaron para ete experimento :!"un generador de tenión alterna inuoidal de recuencia y amplitud variable!"un ocilocopio de do canale!"un dipoitivo prearmado con reitencia y y el crital piezoeléctrico montado entre electrodo, dentro de un cilindro de acrílico!"un multímetro digital El circuito ue montado como lo indica la ig Generador de unc rital Fig Diagrama del circuito anal Ocilocopio anal Ocilocopio El canal mide directamente la eñal contante en recuencia y amplitud de la uente, e decir el voltaje de entrada El canal mide el voltaje de alida del piezoeléctrico, y por coniguiente, también la corriente obre

2 En poición dual, el ocilocopio aigna una componente del plano a cada canal, y aí permite determinar el deaaje entre la eñal de entrada y la de alida del crital, mediante la igura de iajou a metodología experimental adoptada conitió en: hacer un barrido en recuencia ain de detectar la() recuencia() de reonancia y antireonancia del circuito Elegir do de tale recuencia (una de reonancia y otra contigua de antireonancia), en torno a la cuale uera mayor la denidad de dato que pudiéramo tomar elevar medicione de y del deaaje alrededor de dicha recuencia Medir la reitencia y Eto dato no permitieron graicar la curva de eonancia y de Deaaje, aí como la de Suceptancia, onductancia e mpedancia en unción de la recuencia, que preentamo en el párrao iguiente [] Medicione realizada Durante nuetra medicione, la uente arrojó una amplitud máxima (09 ± 00) olt Aimimo obtuvimo: ( ± ) Ohm ( ± ) Ohm orriente (A) 0E0 p 5080 Hz iendo la recuencia cuadrantale para la reonancia erie (Grá ) : Hz ; Hz y el actor de calidad Q 333 orriente (µa) 0E05 35E05 30E05 5E05 0E05 5E05 0E05 50E06 00E Gráico urva de reonancia erie Frecuencia cuadrantale En la reonancia erie, la corriente e máxima con un valor Amp mientra que en la antireonancia la corriente e cai nula También obtuvimo en el gráico 3 la dependencia del deaaje v recuencia (deaaje en la tenión provocado por el piezoeléctrico), el cual ya anticipa una contradicción del modelo Serie : el deaaje cero no correponde a la recuencia de reonancia 0E E06 0E07 Fae (ad) E E Gráico urva de reonancia Amplitud de v Frecuencia Del Gráico e deprenden la do primera recuencia de reonancia y antireonancia p (máximo y mínimo de corriente, repectivamente) de nuetro crital piezoeléctrico, a aber: Hz Gráico 3 urva de Deaaje v Frecuencia Hallamo también otra pareja de recuencia reonante y antireonante, tale como*: Hz Q 3 p 5080 Hz eonancia de un crital piezoeléctrico Dalmacio Juto, hritian Balpardo

3 5055 Hz Q 50 p 507 Hz Hz p3 837 Hz 77 Hz p 7673 Hz *eta última do pareja de rec con menor amplitud [D] Análii de dato y modelización legado aquí, tenemo todo lo dato neceario para hallar lo parámetro de cada modelo ircuito Serie En la recuencia de reonancia, el circuito e hace puramente reiitivo, aí que conociendo max,, y e (tenión de la uente), hallamo que la reiitencia equivalente del crital vale ± 03 0 Ohm (ε 9%) Ademá, abemo que en un circuito Serie e cumple para la recuencia de reonancia: () y para el actor de calidad Q : Q () iendo el ancho cuadrantal De () y () e depejan lo valore de y, inductancia y capacidad del crital, con 9696 ± 5305 Henry (ε 7%) ± Farad (ε 6%) ircuito Paralelo a única dierencia concreta que ete modelo preenta con repecto al anterior, e una egunda capacidad, introducida debido a que lo electrodo metalizado que tienen al crital como dieléctrico pueden muy razonablemente er coniderado como un egundo capacitor en paralelo con el itema Ya hallado lo valore de, y, en el párrao anterior, la recuencia de antireonancia no permite calcular por la órmula p ' (3) donde p repreenta dicha recuencia Aí, 5 0 ± Farad (!!!) El error en la determinación de e un orden de magnitud mayor que el propio! Ete erá un gran inconveniente a la hora de comparar lo do modelo, ya que un margen de error tan grande de por í le quita conianza al modelo a magnitud del error e debe a la propagación de errore involucrada en el cálculo de (Apendice) En eecto, ete error recoge todo lo demá errore omparación de lo Modelo con el Experimento Para ver mejor en qué modo diieren lo do modelo teórico propueto con el experimento y entre í mimo, graicamo alguna uncione dependiente de la recuencia, y cuya propiedade matemática no on conocidadada una impedancia Z(w), u invera Y(w) Z(w) e llamada admitancia, con Y(w) G(w) j B(w) donde G(w) e la conductancia y B(w) e la uceptancia G(w) e una mima unción de la recuencia tanto en el cao Serie como en el Paralelo, iendo G( ) ω () ω ω B(w), en cambio, diiere egún de cuál modelo e trate, ya que: en erie: B( ) ω ω ω (5) ω ω en paralelo: ω ( ) ω B ω ω (6) ω ω eonancia de un crital piezoeléctrico Dalmacio Juto, hritian Balpardo 3

4 o reultado obtenido e graican a continuación G(w) Se graican aquí la curva obtenida en lo Gráico y 5 en la componente x e y repectivamente E09 60E05 50E05 E08 0E05 30E05 0E05 0E05 G(w) Medido G(w) Teórico Modulo de Z(w) (Ohm) E07 E06 E05 Z(w)exp Z(w)erie Z(w)paralelo 00E00 0E Frec (Hz) Gráico G(w) Experimental y Teórico El experimental denota el medido (a partir de y de la ae) mientra que el teórico e reiere al calculado en unción de lo,,, equivalente (ver órmula ) E Gráico 7 Z(w) Experimental y Teórico El modelo paralelo decribe má acertadamente el comportamiento del crital ya que prevé la antireonancia B(w) 0E05 30E05 0E05 0E05 00E00 0E05 0E05 30E05 0E05 50E05 B(w) Medido B(w) Serie B(w) Paralelo Frec (Hz) Gráico 5 B(w) Experimental y Teórico omo en el gráico anterior, el B(w) teórico de cada modelo e calcula egún lo parámetro equivalente hallado en cada cao (ver órmula 5 y 6) De la comparación de eto gráico experimentale con lo de ambo modelo, e deprende inmediatamente que el modelo erie no puede er una buena aproximación del comportamiento de nuetro crital, ya que no contempla de ninguna manera el máximo en la impedancia para recuencia de antireonancia (ver Gráico7) Para corroborar etadíticamente eta airmación, podemo recurrir también a la prueba del χ, que da una idea de cuán bien e ajutan la medicione a lo valore determinita de un modelo teórico El mejor ajute e el que minimiza χ o calculamo para lo modelo erie y paralelo de la impedancia y obtuvimo: χ erie 8,0 χ paral 6,33 B(w) E 0 70E 05 0E 05 50E 05 00E 00 50E 05 0E 0 5E 0 0E 0 5E 0 30E 0 30E 05 G(w) iendo ( Z i Z( ω ) i) χ i σ i donde Z e la impedancia σ e el error de Z E importante aclarar que en alguna 80E 05 recuencia, el error del modelo erie alcanza a er 0 7 vece mayor que el del modelo paralelo(ε 0 6 3E 0 contra ε Medición p 0 3 ) en cuanto al ajute de lo dato Modelo SEE medido Sin embargo, e podría eperar mirando Modelo PAAEO 8E 0 el gráico 7 que el χ del modelo erie uera mucho Gráico 6 omparación B(w) v G(w) mayor al del modelo paralelo debido a la dicrepancia en la zona de la antireonancia El eonancia de un crital piezoeléctrico Dalmacio Juto, hritian Balpardo

5 hecho e que en ea zona el σ de la impedancia e hace tan grande que ete último termina predominando por obre el error de ajute de cada modelo Del gráico 7 uno etaría tentado de aceptar el modelo paralelo Sin embargo, analizando lo demá gráico, aparece un corrimiento importante entre lo experimental y ambo modelo a dierencia e tal que aún iendo ditinto entre í, lo modelo erie y paralelo aparecen olapado rente a lo experimental, má ditante de eto Sin embargo, como la orma de la curva e muy imilar, podemo atribuir ete corrimiento a un problema de deaaje contante En el gráico 8, aparece en verde la curva experimental a cuya ae e le ha umado un arbitrario para que e acople lo experimental a lo teórico omo ete término e pequeño (0,3) y contante, lo podemo atribuir a deaaje por eecto capacitivo e inductivo de otro elemento del circuito no tenido en cuenta (cable, por ejemplo) Otro enómeno intereante que obervamo ue el de la ditribución del epectro de recuencia En eecto, la tre primera recuencia de reonancia erie detectable 50KHz, 50KHz, 350KHz, aparecen equiepaciada en 00 Khz, iendo ete número un múltiplo de la undamental ( ) Sin embargo, eta relación epecial ólo dura para eta tre primera recuencia, ya que la recuencia reonante iguiente valen 7KHz y 565KHz, con lo cual tenemo que decartar la hipótei de que ean armónica uperiore de la undamental Aún aí, eto no advierte que lo do modelo vito on apena una impliicación de lo que ucede en realidad, ya que ólo admiten una recuencia de reonancia y una de antireonancia, y por ende, ólo on válido alrededor de la recuencia que ueron etudiada No e explica por ello el enómeno multireonante obervado G(w) 60E05 50E05 0E05 30E05 0E05 0E05 00E00 G(w) Medido G(w) Teórico GPhi 0E Frec (Hz) Gráico 8 G(w) con deaaje 0,3 en la órmula (7) En el gráico de G(w) y de B(w) v G(w) e oberva que G toma valore negativo, lo cual no concuerda con la teoría (ver ecuación ()) Eto e porque nuetra medicione de G e realizaron en bae a la órmula co G (7) co de donde vemo que i, por ejemplo, /, G<0 a uceptancia B etá también deinida por una órmula imilar Ete enómeno también podría explicar el corrimiento de nuetro reultado rente a lo do modelo teórico [E] oncluione a modelización del comportamiento de un crital piezoeléctrico excitado por un campo eléctrico alterno, e puede aproximar por do modelo batante imilare entre í: el de un circuito erie y otro en paralelo con un capacitor Una mera obervación del dipoitivo experimental daría má crédito al egundo modelo, lo electrodo del crital actuando como un condenador de placa paralela Pero ademá, lo gráico comparativo, en particular el de la impedancia, y la prueba etadítica de la χ conirmarían eta hipótei, ademá de reutar deinitivamente el modelo erie Sin embargo, el modelo paralelo reulta poco coniable debido al enorme error de, diez vece mayor que u propio valor Eto e debe a la gran propagación del error, ya que ue obtenido de orma indirecta a travé de toda la demá variable que entran en juego en la antireonancia Un método alternativo para obtener que minimice ete error indirecto, ería midiendo ete parámetro de manera directa ya que repreenta la capacidad de lo electrodo del crital Ademá, el modelo paralelo no parece er el óptimo para decribir el comportamiento del crital; la múltiple recuencia reonante lo evidencian A pear de eto,era de eperar que ete comportamiento uera algo má complicado que el de un imple circuito, debido a que e un ólido que vibra, con lo cual exiten ditinto eonancia de un crital piezoeléctrico Dalmacio Juto, hritian Balpardo 5

6 eonancia de un crital piezoeléctrico Dalmacio Juto, hritian Balpardo 6 modo normale de ocilación, hecho que podría explicar la ditinta recuencia de reonancia Un punto intereante a analizar hubiera ido el de hacer un análii del epectro de recuencia del crital para tener una mejor idea de la ditribución epacial de la recuencia reonante y antireonante, aí como el de evaluar el actor de mérito en cada reonancia, y etudiar la dependencia de lo parámetro equivalente con la recuencia Apéndice : Errore donde e la tenión de la uente e la corriente en reonancia ( ) [ ] ( ) ( ) donde y on la recuencia cuadrantale e el error de etimación en la recuencia de la uente 3 donde e la recuencia de reonancia ( ) ( ) ( ) 8 p p p donde p e la recuencia de antireonancia en co co Ψ Ψ Ψ Ψ Z con co Ψ