Práctica 1 - Primer Trimestre

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1 Práctica 1 - Primer Trimestre Probelmas de Optimización Estática Ejercicio 1.- Teoría del Consumidor: el problema de maximización de la utilidad. Suponga un mercado de dos bienes (x, y), donde las decisiones de consumo de un individuo pueden representarse a través de una función de utilidad del tipo Cobb-Douglas: U(x, y) = x α y 1 α, con 0 < α < 1. Dicho consumidor posee un cierto nivel de ingresos (B) y debe elegir aquella canasta de bienes que, gastando dichos ingresos a los precios p x, p y dados, maximice su nivel de utilidad. De esta forma, el problema del consumidor puede representarse como: Max U(x, y) = x α y 1 α s.a : g(x, y) = p x x + p y y = B 1. Plantee el Lagrangeano del problema y formule sus condiciones de primer orden. 2. Interprete económicamente el resultado anterior. 3. Encuentre los valores óptimos x e y (llamdas funciones de demanda Marshallianas), y la correspondiente utilidad óptima U (denominada función de utilidad indirecta). 4. Verifique la condición suficiente de segundo orden. 5. Qué significado económico tiene el multiplicador de lagrange en el óptimo (λ ) en este caso? 6. Represente gráficamente el resultado. Ejercicio 2.- Propiedades de las funciones de demanda y de utilidad indirecta A partir de los resultados obtenidos en el ejercicio anterior, si se denomina a x = x M (p x, p y, B) y y = y M (p x, p y, B), probar que: Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 1

2 1. Las funciones de demanda Marshallianas (x M e y M ) son homogéneas de grado 0 en (p x, p y, B). 2. La función de utilidad indirecta, U (p x, p y, B), es homogénea de grado 0 en (p x, p y, B). Ejercicio 3.- Teoría del Consumidor: el problema de minimización del gasto El modelo del ejercicio 1 puede abordarse desde una óptica diferente, donde el consumidor se enfrenta al problema de encontrar el mínimo gasto que le permitan alcanzar cierto nivel de utilidad dado (digamos Ū). El problema ahora es: Con U x = U x > 0 y U y = U y > 0. Min s.a : p x x + p y y U(x, y) = Ū 1. Plantee el Lagrangeano del problema y formule sus condiciones de primer orden. 2. Interprete económicamente el resultado anterior. Qué relación encuentra con las condiciones necesarias del ejercicio 1? 3. Para el caso de la función de utilidad del tipo Cobb-Douglas, encuentre los valores óptimos x e y (funciones de demanda Hicksianas), y la función de gasto óptima (e). 4. Verifique la condición suficiente de segundo orden. 5. Cómo podria interpretar desde el punto de vista económico el multiplicador de lagrange en el óptimo? 6. Represente gráficamente el resultado. Ejercicio 4.- Propiedades de las funciones de demanda y de gasto A partir de los resultados obtenidos en el ejercicio anterior. Si se denomina a x = x H (p x, p y, Ū) y y = y H (p x, p y, Ū), verificar que: 1. Las funciones de demanda Hicksianas (x H e y H ) son homogéneas de grado 0 en (p x, p y ). Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 2

3 2. La función de gasto, e(p x, p y, Ū), es homogénea de grado 1 en (p x, p y ). Ejercicio 5.- Relaciones de dualidad Los problemas de maximización de la utilidad y minimización del gasto presentan un conjunto de propiedades que los relacionan. Uno puede ser visto como el problema dual del otro; de aquí que los vínculos entre ambos se denominen relaciones de dualidad. Les proponemos en este ejercicio encontrar dichas relaciones para el caso puntual de la función de utilidad del tipo Cobb-Douglas utilizada en los ejercicios 1 y Probar que x M (p x, p y, e(p x, p y, Ū)) = xh (p x, p y, Ū) (si así lo desea puede resolverlo para y también). 2. Probar que x H (p x, p y, U ) = x M (p x, p y, B) (lo mismo se cumple para y). 3. Probar que U(p x, p y, e(p x, p y, Ū)) = Ū. 4. Probar que B = e(p x, p y, U ). 5. Interprete económicamente los resultados anteriores. Ejercicio 6.- Teoría del Productor: el problema de minimización de costos Consideremos una vez más el caso de un mercado con dos bienes, en el cual cada empresa produce un solo bien homogéneo y es tomadora de precios (tanto de bienes como de factores de producción). En este caso, el objetivo de cada empresa será encontrar la combinación de insumos óptima que les permita minimizar los costos para un nivel fijo de producción. De esta manera, el problema de optimización puede escribirse como: Min C = rk + wl s.a : Q(K, L) = Q 0 Donde K, L, r y w representan los insumos capital, trabajo y sus precios respectivos. Se supone adicionalmente que Q K > 0 y Q L > Encuentre las condiciones de primer orden e interprete económicamente su resultado. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 3

4 2. Para el caso de una función de producción del tipo Q(K, L) = K α L 1 α, encuentre los valores óptimos K y L (funciones de demanda de factores condicionadas), y la correspondiente función de costo mínimo C. 3. Verifique la condición suficiente de segundo orden. 4. Qué significado económico tiene el multiplicador de lagrange en el óptimo? 5. Represente gráficamente el resultado. Ejercicio 7.- Propiedades de las funciones de demanda de factores y de costo A partir de las demandas condicionadas obtenidas en el ejercicio anterior, K = K c (r, w, Q 0 ) y L = L c (r, w, Q 0 ), demuestre que: 1. Las funciones de demanda condicionadas (K c y L c ) son homogéneas de grado 0 en (r, w). 2. La función de costos, C(r, w, Q 0 ), es homogénea de grado 1 en (r, w). Ejercicio 8.- Óptimo en producción: el caso de dos bienes y dos factores Conside una economía formada por dos empresas, donde cada una produce un único bien. Ambas empresas utilizan capital y trabajo en su producción, de forma tal que las cantidades producidas pueden escribirse como q 1 = f 1 (K 1, L 1 ) y q 2 = f 2 (K 2, L 2 ). La dotación de factores está dada y se encuentra totalmente empleada en la producción de ambos bienes. De esta forma K = K 1 +K 2 y L = L 1 +L 2. El óptimo global de producción se alcanzará en aquella combinación de insumos óptima que maximice la producción conjunta de ambas empresas, dado el stock de capital y trabajo. Ambas empresas son tomadoras de precios, por lo que los mismos son exógenos. Bajo estas condiciones, el problema de optimización puede escribirse como: Max p 1 f 1 (K 1, L 1 ) + p 2 f 2 (K 2, L 2 ) s.a : K = K 1 + K 2 L = L 1 + L 2 En ambos casos, la productividad marginal del trabajo y el capital son positivas. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 4

5 1. Formule el Lagrangeano de este problema. 2. Desarrolle las condiciones de primer orden. 3. A la luz de los resultados anteriores, interprete la racionalidad económica de los mismos en un marco de competencia perfecta. En particular discuta cómo opera la movilidad de factores entre las empresas y el rol de los multiplicadores de Lagrange. 4. Plantee el Hessiano orlado y la condición suficiente, dado el número de variables y restricciones de este caso puntual. Ejercicio 9.- Óptimo en consumo: una economía de intercambio puro Una economía de intercambio puro es aquella en la cual no existen oportunidades de producción. Los agentes económicos son consumidores que poseen cierto stock o dotación inicial de bienes, por lo que la actividad económica se reduce únicamente al intercambio y consumo de dichos bienes. En estas condiciones, el objetivo consistirá en encontrar las asignaciones óptimas de bienes entre los distintos individuos de forma tal que cada uno obtenga el máximo provecho derivado de su consumo. El caso más simple consiste en una economía formada por dos individuos que consumen dos bienes (x e y). Las preferencias de consumo de cada individuo pueden representarse a través de sus respectivas funciones de utilidad U 1 (x 1, y 1 ) y U 2 (x 2, y 2 ). Suponga adicionalmente que las cantidades existentes de ambos bienes están fijas, de forma que x = x 1 + x 2 y y = y 1 + y 2. Bajo estas condiciones, una posible forma de escribir el problema de optimización es: Max U 2 (x 2, y 2 ) s.a : U 1 (x 1, y 1 ) = Ū 1 x = x 1 + x 2 y = y 1 + y 2 En ambos casos, las utilidades derivadas del consumo de cada bien son positivas y crecientes con la cantidad consumida. 1. Formule el Lagrangeano de este problema y las condiciones de primer orden. 2. Encuentre las relaciones entre las utilidades marginales e interprete el significado de los multiplicadores. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 5

6 3. Plantee el Hessiano orlado y la condición suficiente, dado el número de variables y restricciones de este ejercicio. Ejercicio 10.- Un problema de maximización de la utilidad. Suponga un mercado de dos bienes (x, y) como el visto en la práctica 1, donde las decisiones de consumo de un individuo se representan a través de la siguiente función de utilidad: U(x, y) = xy. Dicho consumidor posee un nivel de ingresos de 100, el cual puede destinar al consumo de ambos bienes, cuyos precios son p x = p y = 1. Adicionalmente, suponga que existe un racionamiento del bien x, de foram tal que x 40. De esta forma, el problema del consumidor puede representarse como: Max U(x, y) = xy s.a : x + y 100 x 40 x, y 0 1. Plantee el Lagrangeano del problema y formule las condiciones de Kuhn-Tucker. 2. Son las condiciones de Kuhn-Tucker condiciones necesarias en este problema? Justifique. 3. Encuentre los valores x, y solución del problema y el valor de los multiplicadores. 4. Interprete económicamente el resultado anterior, incluyendo el significado de los multiplicadores. 5. Verifique la condición suficiente de segundo orden a través de alguna de las formas vistas en el curso. 6. Represente gráficamente el resultado obtenido. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 6

7 Ejercicio 11.- Un segundo problema de maximización de la utilidad. Suponga ahora que la economía del ejercicio anterior se enfrenta a ciertas circunstancias que provocan la escacez de bienes, por lo que el planificador central (digamos el gobierno) debe establecer una política de racionamiento, controlando la cantidad suministrada a los individuos de cada bien. La forma en que esta medida se lleva a cabo implica otorgar cupones a los individuos, los cuales a la hora de adquirir los bienes son canjeados junto al precio que se debe pagar por los mismos. Esto implica, en los hechos, que el consumidor pague dos precios simultáneos por la adquisición de los bienes. Suponga que el presupuesto y los precios de ambos bienes son iguales a los del ejercicio anterior, y que además el consumidor posee una dotación de cupones, C = 120, que puede usarse para comprar tanto x como y a un precio de cupón c x = 2 y c y = 1. La función de utilidad es de la forma U(x, y) = xy 2. El problema de maximización es: Max U(x, y) = xy 2 s.a : x + y 100 2x + y 120 x, y 0 1. Plantee el Lagrangeano del problema y las condiciones de Kuhn-Tucker. 2. Son éstas condiciones necesarias? Justifique. 3. Encuentre los valores x, y solución del problema y el valor de los multiplicadores. 4. Interprete económicamente el resultado anterior, incluyendo el significado de los multiplicadores. Qué implicancia tiene el valor obtenido para el multiplicador asociado a la primer restricción? 5. Verifique la condición suficiente de segundo orden. 6. Represente gráficamente el resultado obtenido. Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 7

8 Ejercicio 12.- Precios fuera del mercado planeado En muchos casos, los agentes llevan adelante inversiones que son planificadas para desarrollar actividades en un mercado o momento específico. Ejemplos de esto son una empresa que adquiere cierto capital para satisfacer un mercado, y luego dicho capital queda disponible para ser arrendado; o la construcción de una escuela o universidad, que originalmente establa planeado utilzarla en el día pero que pueden ofrecerse clases nocturnas. Esto implica considerar la existencia de un mercado (expresión poco feliz en el ejemplo de la educación) secundario o no planeado. Dado que esta situación no formaba parte del problema original, las condiciones sobre el precio y cantidad óptimas de este nuevo mercado pueden diferir respecto del mercado primario. Sin embargo, operan aquí restricciones de capacidad que deben ser consideradas a la hora de fijar los precios y cantidades óptimas para ambos mercados: si el precio en el mercado secundario es excesivamente bajo, podría ocurrir un exceso de demanda y superar la capacidad instalada. Una forma de incorporar esta situación (la limitante en la capacidad) en el problema de optimización, es considerar cierto costo de utilización de la capacidad instalada. Veamos un aplicación de este problema. Suponga que UTE instalará una nueva planta de energía y tiene que planear su capacidad total (digamos K). Sean P 1, Q 1, P 2 y Q 2, los precios y cantidades en el mercado planeado y no planeado respectivamente. El mercado planeado podría ser, por ejemplo, ciertos tipos de hogares o cietas horas del día. La demanda de energía en el período planeado es P 1 = 400 Q 1, mientras que la no planeada es P 2 = 380 Q 2. El costo variable es de 20 por unidad producida (a pagar por la producción en ambos mercados). Además se debe pagar un costo por única vez asociado a la capacidad instalada, que en este caso es de 10. Por su parte, dado que no se puede producir más que lo establecido por la capacidad total, Q 1 K y Q 2 K. En estas condiciones, el objetivo de UTE será encontrar los precios, cantidades y capacidad óptimas de forma tal que maximice su beneficio. El problema entonces es: Max p 1 Q 1 + p 2 Q 2 20(Q 1 + Q 2 ) 10K s.a : Q 1 K Q 2 K P 1 = 400 Q 1 P 2 = 380 Q 2 Q 1, Q 2, K 0 Este problema puede simplificarse al sustituir las funciones de demanda en la función Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 8

9 objetivo: Max (400 Q 1 )Q 1 + (380 Q 2 )Q 2 20(Q 1 + Q 2 ) 10K s.a : Q 1 K Q 2 K Q 1, Q 2, K 0 1. Plantee el Lagrangeano del problema y las condiciones de Kuhn-Tucker. 2. Son éstas condiciones necesarias y suficientes? Justifique. 3. Encuentre la capacidad y producción óptima para este problema. 4. Encuentre los precios óptimos a partir de las demandas en cada mercado. 5. Cuánto paga cada mercado por la capacidad (es decir, cuáles son los valores de los multiplicadores)? 6. Ahora suponga que el costo de la capacidad asciende a 30 por unidad. Resuelva los tres items anteriores para este caso. Ejercicio 13.- Aplicación del Teorema de la Envolvente: la Identidad de Roy Aplicando el teorema de la envolvente para el caso restringido, demuestre que la función de demanda marshalliana es igual al negativo del cociente de las derivadas parciales de la función de utilidad indirecta respecto del precio del bien y del nivel de ingresos. Es decir: x M (p x, p y, B) = U (p x, p y, B)/ p x U (p x, p y, B)/ B Economía Matemática - FCCEEyA - UdelaR 9