Comportamiento dinámico: Estabilidad

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1 Lección 4 Comportamiento dinámico: Estabilidad 1 Estabilidad Dos tipos de estabilidad: ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)) Estabilidad interna: ẋ(t) = f(t, x(t)) Estabilidad externa o estabilidad BIBO (bounded input-bounded output): { ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)) y(t) = g(t, x(t), u(t)) 2

2 Estabilidad interna de los puntos de equilibrio: idea Puntos de equilibrio y concepto de estabilidad 7/29 intuitiva Los puntos de equilibrio son A, E, F y G y cualquier punto entre B y D, por ejemplo C. En ausencia de impulsos la bola Si la bola está sobre los puntos A o F, una perturbación infinitesimal se queda hará que enlaesos bola diverja puntos. de estos puntos. Intuitivamente podemos denominar a estos puntos inestables, ya que una pequeña perturbación Si la bola ocasiona está que lasobre bola se aleje los de puntos ellos. A o F, una pequeña Pequeñas perturbaciones en los puntos E y G harían que la bola volviera perturbación a estos puntos. hará Los que puntosla E ybola G son denominados se aleje estables. de esos puntos. Intuitivamente Si la bola estuviese podemos sobre el punto denominar C, una pequeñaa perturbación, esos puntos en inestables. ausencia de una velocidad inicial, haría que la bola se ubicara sobre una Pequeñas perturbaciones en los puntos E y G harían que la nueva posición. Los puntos como C son llamados neutralmente estables. bola volviera repetidamente a esos puntos. Los puntos E y G se denominarían estables. Si en el tiempo t 0 el estado es perturbado de su punto de equilibrio x e, volverá el estado a x e, o permanecerá cercano a x e, o divergerá de x e? Estabilidad interna. Formalismo ẋ(t) = f(t, x(t)) x e estado o solución de equilibrio { si f(t, x e ) = 0 para todo t. ẋ(t) = f(t, x(t)) ψ(t; t 0, x 0 )= solución del P.C.I. x(t 0 ) = x 0 (i) x e es uniformemente estable si ε > 0 y t 0 0 δ = δ(ε) > 0 t. q. si x 0 x e < δ entonces ψ(t; t 0, x 0 ) x e < ε para todo t t 0 (ii) x e es uniformemente asintóticamente estable si es estable y t 0 0 γ > 0 t.q. si x 0 x e < γ entonces lím ψ(t 0 t; t 0, x 0 ) = x e t (iii) Si x e no es estable se dice que es inestable. (iv) Toda solución ψ(t; t 0, x 0 ) para la que se cumpla (i) ((ii)) se dice que es uniformemente estable (asintóticamente estable). 3 4

3 Estabilidad de los puntos de equilibrio. Ejemplos Sistema masa-muelle sin amortiguación (w 0 = 1) ] [ ] [ ] [ẋ1 (t) 0 1 x1 (t) ÿ(t) y(t) = 0 = ẋ 2 (t) 1 0 x 2 (t) Solución de equilibrio: x e = 0 Estable pero no asintóticamente estable (Centro) 1.5 x = y y = x x y x, y t tiempo 5 Estabilidad de los puntos de equilibrio. Ejemplos Sistema masa-muelle con amortiguación lineal (w 0 = 1, ζ = 0,1) ] [ ] [ ] [ẋ1 (t) 0 1 x1 (t) ÿ(t) 0,2ẏ(t) y(t) = 0 = ẋ 2 (t) 1 0,2 x 2 (t) x e = 0 asintóticamente estable, sumidero o atractor 6

4 Estabilidad de los puntos de equilibrio x e es inestable si no es estable, es decir, existe ɛ > 0 t. q. para todo δ > 0 existe t 0 verificando x(t 0 ) x e < δ y x(t 1 ) x e ɛ para algún t 1 > t 0. 7 Estabilidad de los sistemas lineales ẋ(t) = A(t)x(t) x e = 0 siempre es solución de equilibrio. Proposición Sea Φ(t, t 0 ) la matriz fundamental de soluciones. (i) x e = 0 uniformemente estable si y sólo si K > 0 t. q. Φ(t, τ) K para todo t, τ con t τ. (ii) x e = 0 uniformemente asintóticamente estable si y sólo si t 0 > 0 lím t Φ(t 0 t, t 0 ) = 0. Si A(t) = A, Φ(t, t 0 ) = e A(t t 0) y e A(t t 0) T T 1 e J(t t 0) x e = 0 estable si y sólo si λ Λ(A), Re(λ) 0 y para los λ Λ(A) con Re(λ) = 0, n ik = 1 (tamaño celdas de Jordan). x e = 0 asintóticamente estable si y sólo si λ Λ(A), Re(λ) < 0 8

5 Estabilidad externa { ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) (Σ) y(t) = g(x(t), t) Definición (Σ) es uniformemente externamente estable si M > 0 y t 0 0 N > 0 tal que para cualquier entrada u(t) que cumpla u(t) < M t t 0 la correspondiente salida con la condición inicial x(0) = 0 verifica y(t) N t t 0. Para { ẋ(t) = A(t)x(t) B(t)u(t) (Σ l ) x(0) = 0 y(t) = C(t)x(t) t y(t) = C(t)Φ(t, τ)b(τ)u(τ) dτ = G(t, τ)u(τ) dτ 0 0 Proposición (Σ l ) es BIBO estable si y sólo si ρ > 0 tal que t, τ con t τ: t τ G(t, σ) dσ ρ. t 9 Matriz de transferencia y estabilidad BIBO de sistemas invariantes en el tiempo Transformada de Laplace sobre (Σ l ): Si x 0 = 0 ȳ(s) = T (s)ū(s), s x(s) = A x(s) Bū(s) x 0 ȳ(s) = C x(s) Dū(s) T (s) = C(sI A) 1 B D T (s)= matriz de transferencia del sistema T (s) es una matriz de funciones racionales propias y si D = 0, estrictamente propias. Proposición Un sistema lineal invariante en el tiempo es BIBO estable si y sólo si los polos de su matriz de transferencia están el semiplano Re s < 0. Y esto sucede si Re λ < 0 para todo λ Λ(A). 10

6 Realimentación de estados ẋ(t) = Ax(t) Bu(t), y(t) = Cx(t) Du(t) D u(t) B x (t) x(t) y(t) C A El sistema viene determinado por las matrices A, B, C, D, que no pueden ser alteradas por el diseñador para mejorar su rendimiento. Para alterar el rendimiento del sistema habrá que alterar de alguna forma las señales externas. El objetivo de realizar una realimentación es mejorar las características del sistema en algún sentido. 11 Realimentación de estados Feedback ẋ(t) = Ax(t) de estados Bu(t), y y(t) de salidas = Cx(t) Du(t) 48/83 Feedback Realimentación de estados lineal de estados: consiste en hacer el cambio Consiste en realizar el cambio u(t) = F v(t) Kx(t) v(t) u(t) R q, F= Fv(t) R m q, KKx(t) R m n o (Generalmente u(k) = Fv(k) q = Kx(k) m). El sistema donde resultante v es F K ẋ(t) = p (A 1 BK)x(t) r p BF r v(t), n y(t) = Cx(t) Du(t) D. v w u x x y F B C A K (Generalmente p = r, F cuadrada). 12

7 Asignabilidad Definición (A, B) es asignable si para cualquier polinomio mónico p(λ) = λ n p 1 λ n 1 p n 1 λ p n existe una matriz K R m n tal que A BK tiene p(λ) como polinomio característico. Teorema (Teorema de Asignación de Polos) (A, B) es controlable si y sólo si es asignable. Corolario Dado (A, B) y un polinomio mónico p(λ) de grado n, sea q(λ) el polinomio característico de la parte incontrolable de (A, B). Entonces, existe K tal que A BK tiene p(λ) como polinomio característico si y sólo si q(λ) p(λ). 13 Estabilización por feedback Definición Un sistema (A, B) se dice estabilizable por feedback si existe una matriz K tal que los valores propios de A BK tiene todos parte real negativa. Por el Teorema de Asignación de Polos: Si (A, B) es controlable, es estabilizable por feedback. En particular, Corolario (A, B) es estabilizable por feedback si y sólo si los polos incontrolables del sistema están en el semiplano Re s < 0 14

8 Estabilidad de sistemas no lineales Teorema Sea (Σ) un sistema continuo invariante en el tiempo de clase C 1 ẋ = f(x, u) con X R y U R m abiertos. Sea (x e, u e ) un punto de equilibrio para (Σ). Supongamos que la linealización de (Σ) en (x e, u e ) es estabilizable. Entonces existe una matriz F R m n tal que el sistema en lazo cerrado es asintóticamente estable. ẋ = f(x, u e F (x x e )) Nota: Se puede escoger como matriz F cualquier matriz que permite estabilizar el sistema lineal resultante al linearizar ẋ = f(x, u) en torno a (x e, u e ). 15