FILA COLUMNA. es una matriz de tamaño. La matriz. es una matriz de tamaño :

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "FILA COLUMNA. es una matriz de tamaño. La matriz. es una matriz de tamaño :"

Martín Córdoba Cuenca
hace 6 años
Vistas:

1 1) Definición de Mtriz Un mtriz es un rreglo bidimensionl de números (llmdos entrds de l mtriz) ordendos en fils (o renglones) y columns. Arreglo es un conjunto de elementos de un mismo tipo... Un rreglo de enteros serí V=[1,5,0,7,2]; cá el rreglo tiene 5 elementos Podrí ser un rreglo de letrs! A=[b,c,d,f] y d es el 3er elemento (contndo desde 1). Un mtriz es un rreglo de rreglos... podrís verlo como que es un conjunto de elementos, como lo de recién, pero en lugr de que cd elemento se un solo entero, hor tendrás que cd elemento es otro rreglo de enteros más! y todos los "elementosrreglos" tienen el mismo tmño. 2) Dig ls prtes o elementos de un mtriz Fil: Son los elementos ordendos en form horizontl, según l notción mtemátic ls fils, es l primer letr tmbién llmd n Column: Son los elementos ordendos en form verticl, según l notción mtemátic ls columns, es l segund letr tmbién llmd m FILA COLUMNA 3) Cuál es el orden de un mtriz El orden de un mtriz es l notción mtemátic y nteriormente menciond, donde n es el numero o cntidd de fils que posee l mtriz y m es el numero o cntidd de columns que posee l mtriz. L mtriz es un mtriz de tmño. es un mtriz de tmño :

2 4) Dig cómo se clsificn ls mtrices y explique cd un de ells Mtriz fil: Es un mtriz que solo tiene un fil, es decir m =1 y por tnto es de orden 1 n. Mtriz column: Es un mtriz que solo tiene un column, es decir, n =1 y por tnto es de orden m 1. Mtriz cudrd: Es quell que tiene el mismo número de fils que de columns, es decir m = n. En estos csos se dice que l mtriz cudrd es de orden n, y no n n. Mtriz trspuest: Dd un mtriz A, se llm trspuest de A, y se represent por A, l mtriz que se obtiene cmbindo fils por columns. L primer fil de A es l primer fil de A, l segund fil de A es l segund column de A, etc. De l definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces A es de orden n m. Mtriz simétric: Un mtriz cudrd A es simétric si A = A, es decir, si ij = Mtriz ntisimétric: Un mtriz cudrd es ntisimétric si A = A, es decir, si Mtriz nul : Es quell que todos sus elementos son 0 y se represent por 0. ji i, j. ij =- ji i, j. Mtriz digonl: Es un mtriz cudrd, en l que todos los elementos no pertenecientes l digonl principl son nulos. Mtriz esclr: Es un mtriz digonl con todos los elementos de l digonl igules Mtriz unidd o identidd: Es un mtriz esclr con los elementos de l digonl principl igules 1. Mtriz Tringulr: Es un mtriz cudrd que tiene nulos todos los elementos que están un mismo ldo de l digonl principl. Ls mtrices tringulres pueden ser de dos tipos: Tringulr Superior: Si los elementos que están por debjo de l digonl principl son todos nulos. Es decir, ij =0 i < j. Tringulr Inferior: Si los elementos que están por encim de l digonl principl son todos nulos. Es decir, ij =0 j <i 5) Leyend Históric de ls mtrices El origen de ls mtrices es muy ntiguo. Los cudrdos ltinos y los cudrdos mágicos se estudiron desde hce mucho tiempo. Un cudrdo mágico, 3 por 3, se registr en l litertur chin hci el 650. C.2 Es lrg l histori del uso de ls mtrices pr resolver ecuciones lineles. Un importnte texto mtemático chino que proviene del ño 300. C C., Nueve cpítulos sobre el Arte de ls mtemátics (Jiu Zhng Sun Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del

3 método de mtrices pr resolver un sistem de ecuciones simultánes.3 En el cpítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinnte preció por primer vez, dos mil ños ntes de su publicción por el mtemático jponés Seki Kōw en 1683 y el mtemático lemán Gottfried Leibniz en Los "cudrdos mágicos" ern conocidos por los mtemáticos árbes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes su vez pudieron tomrlos de los mtemáticos y strónomos de l Indi, junto con otros spectos de ls mtemátics combintoris. Todo esto sugiere que l ide provino de Chin. Los primeros "cudrdos mágicos" de orden 5 y 6 precieron en Bgdd en el 983, en l Enciclopedi de l Hermndd de Purez (Rs'il Ihkwn l-sf).2 Después del desrrollo de l teorí de determinntes por Seki Kow y Leibniz pr fcilitr l resolución de ecuciones lineles, finles del siglo XVII, Crmer presentó en 1750 l hor denomind regl de Crmer. Crl Friedrich Guss y Wilhelm Jordn desrrollron l eliminción de Guss-Jordn en el siglo XIX. Fue Jmes Joseph Sylvester quien utilizó por primer vez el término «mtriz» en 1848/1850. En 1853, Hmilton hizo lgunos portes l teorí de mtrices. Cyley introdujo en 1858 l notción mtricil, como form brevid de escribir un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits. Cyley, Hmilton, Hermnn Grssmnn, Frobenius, Olg Tussky-Todd y John von Neumnn cuentn entre los mtemáticos fmosos que trbjron sobre l teorí de ls mtrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el cálculo mtricil fundndo un primer formulción de lo que ib psr ser l mecánic cuántic. Se le consider este respecto como uno de los pdres de l mecánic cuántic. Olg Tussky-Todd ( ), durnte l II Guerr Mundil, usó l teorí de mtrices pr investigr el fenómeno de eroelsticidd llmdo fluttering. 6) Importnci y plicciones de ls mtrices Ls mtrices se usn generlmente pr describir sistems de ecuciones lineles, sistems de ecuciones diferenciles o representr un plicción linel (dd un bse). Ls mtrices se describen en el cmpo de l teorí de mtrices. Ls mtrices se utilizn pr múltiples plicciones y sirven, en prticulr, pr representr los coeficientes de los sistems de ecuciones lineles o pr representr ls plicciones lineles; en este último cso ls mtrices desempeñn el mismo ppel que los dtos de un vector pr ls plicciones lineles.

4 Pueden sumrse, multiplicrse y descomponerse de vris forms, lo que tmbién ls hce un concepto clve en el cmpo del álgebr linel. 7) Definición de l dición de mtriz y relice 2 ejemplos L sum de dos mtrices A=(ij), B=(bij) de l mism dimensión, es otr mtriz S=(sij) de l mism dimensión que los sumndos y con término genérico sij=ij+bij. Por tnto, pr poder sumr dos mtrices ests hn de tener l mism dimensión. L sum de ls mtrices A y B se denot por A+B. Propieddes de l sum de mtrices 1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedd socitiv) 2. A + B = B + A (propiedd conmuttiv) 3. A + 0 = A (0 es l mtriz nul) 4. L mtriz A, que se obtiene cmbindo de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de mtriz opuest de A, y que A + ( A) = 0. EJEMPLOS 8) Definición de sustrcción de mtriz y relice 2 ejemplos L diferenci de mtrices A y B se represent por A B, y se define como: A B = A + ( B) EJEMPLOS _

5 9) Definición de l multiplicción de un esclr por un mtriz y relice 2 ejemplos El producto de un mtriz A = (ij) por un número rel k es otr mtriz B = (bij) de l mism dimensión que A y tl que cd elemento bij de B se obtiene multiplicndo ij por k, es decir, bij = k ij. El producto de l mtriz A por el número rel k se design por k A. Al número rel k se le llm tmbién esclr, y este producto, producto de esclres por mtrices. Propieddes del producto de un mtriz por un esclr 1. k (A + B) = k A + k B (propiedd distributiv 1ª) 2. (k + h)a = k A + h A (propiedd distributiv 2ª) 3. k [h A] = (k h) A (propiedd socitiv mixt) 4. 1 A = A (elemento unidd) EJEMPLOS ) Definición de l multiplicción de mtrices y relice 2 ejemplos Dds dos mtrices A y B, su producto es otr mtriz P cuyos elementos se obtienen multiplicndo ls fils de A por ls columns de B. De mner más forml, los elementos de P son de l form: Es evidente que el número de columns de A debe coincidir con el número de fils de B. Es más, si A tiene dimensión m n y B dimensión n p, l mtriz P será de orden m p. Es decir: Propieddes del producto de mtrices 1. A (B C) = (A B) C 2. El producto de mtrices en generl no es conmuttivo. 3. Si A es un mtriz cudrd de orden n se tiene A In = In A = A. 4. Dd un mtriz cudrd A de orden n, no siempre existe otr mtriz B tl que A B = B A = In. Si existe dich mtriz B, se dice que es l mtriz invers de A y se represent por A El producto de mtrices es distributivo respecto de l sum de mtrices, es decir: A (B + C) = A B + A C Consecuencis de ls propieddes 1. Si A B= 0 no implic que A=0 ó B=0 2. Si A B=A C no implic que B = C 3. En generl (A+B)2 A2+ B2+2AB,y que A B B A. 4. En generl (A+B) (A B) A2 B2, y que A B B A.

6 EJEMPLOS

7 Introducción En este trbjo se investigr fondo uno de los tems de myor importnci pr el álgebr linel, como lo son ls mtrices. El objetivo principl será sber el significdo de un mtriz, los tipos de mtrices y cuáles son ls operciones de myor importnci, pr ello se deberá buscr informción en libros, págins de internet, rtículos científicos, publicciones entre otros. Es importnte señlr que los ejemplos ilustrdos se colocron con l finlidd de clrr duds con respecto l teorí ntes menciond y de es form poder extender nuestros conocimientos en el áre de l mtemátics específicmente en el álgebr linel.

8 Conclusión En este trbjo se pudo investigr sobre l histori, conceptos básicos y lguns operciones básics sobre ls mtrices, es importnte señlr que en l sum y l rest de mtrices no se pueden relizr mientrs que ls mtrices sen de diferentes rngos o tmños, pero que pr l multiplicción del esclr con un mtriz no existe ningún impedimento un si el esclr es un letr se puede relizr l operción. Por otr prte si existe cierto problem en el momento de operr multiplicciones de mtrices, y que pr ello es necesrio que cumpln que el número de column de un de ls mtrices se igul l número de fils de l otr mtriz y que el tmño de l mtriz resultntes son ls fils de l primer mtriz con ls columns de l segund o los dígitos que no son igules. Además se puede resltr que este tem tiene un infinidd de plicciones que es lgo básico pr poder tener un myor conocimiento en est áre.

Documentos relacionados

Algoritmos matemáticos sobre matrices:

Algoritmos matemáticos sobre matrices: Algoritmos mtemáticos sobre mtrices: Representciones especiles de mtrices, Algoritmo de Strssen, multiplicción y tringulción de mtrices Jose Aguilr Mtriz Mtriz Un mtriz es un rreglo rectngulr de elementos