INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

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1 UNIDAD 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 68. En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad. y corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para coger el autobús en marca. 50 m 5 s 0 s 5 s 0 s El pasajero llega a la parada 7 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza s después 0 m más allá. 0 Corrió, por tanto, a 5 m/s. Es decir, a 5,6 8 km/. (Recuerda que para pasar de m/s a km/ se multiplica por,6. Es decir, V m/s,6v km/.) La velocidad del autobús en el instante en que es alcanzado la allaremos, aproimadamente, estudiando su recorrido desde s antes a s después: En el instante 0 s está a 6 m de la parada. En el instante s está a 5 m de la parada. 9 m Velocidad media,5 m/s 6, km/ s Puesto que el pasajero llega al autobús con una velocidad aproimadamente igual a la que éste tiene en ese instante, accederá a él suavemente. a) Al viajero lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y alla la velocidad a la que corre. b) Cuál es la velocidad aproimada del autobús en el momento que lo alcanza el pasajero? Entra este pasajero suavemente en el autobús? a) El pasajero llega a la parada 0 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 6 s después, 50 m más allá. 50 Corrió, por tanto, a 8, m/s. Es decir: 8,,6 0 km/ 6

2 b) En el instante 5 s el autobús está a m de la parada. En el instante 7 s está a 59 m de la parada. 6 m Velocidad media 8 m/s 8,8 km/ s Las velocidades del pasajero y del autobús son, aproimadamente, iguales en el momento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente.. Los viajeros y, en el momento de la salida del autobús, estaban a 00 m de la parada. El decide esperarlo y entrar en él cuando pase por allí. El tiene un etraño comportamiento. Etraño? 00 m 50 m 5 s 0 s 5 s 0 s a) Describe el movimiento del pasajero. b) Eplica por qué el comportamiento del pasajero es muco más sensato que el del, quien tendrá muy difícil la entrada en el autobús. a) Intenta alcanzar aproimadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él suavemente. b) El pasajero accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproimadamente); sin embargo, el no. Página 69. a) Por qué en las carreras de relevos 00 m cada relevista eca a correr antes de que llegue su compañero? b) Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro? c) Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes? Cómo son sus velocidades en el momento de la entrega del testigo? a) Para que el testigo pase sin brusquedades del que llega al que se va. b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo. c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, aproimadamente. -º relevista - er relevista

3 Página 70. Dibuja una función y señala dos puntos en ella (a, f (a)) y (b, f (b)) tales que a < b y f (b) < f (a). Observa en ella que la T. V. M. es negativa. f (a) f (b) Vemos que la T.V.M. es negativa, f (b) f (a) puesto que T.V.M., b a siendo en este caso f (b) f (a) < 0 y b a > 0. a b Página 7. Halla la T.V.M. de la función y 8 + en los intervalos [, ], [, ], [, ], [, 5], [, 6], [, 7], [, 8]. f () f () 0 5 T.V.M. [, ] 5 f () f () 5 T.V.M. [, ] f () f () 5 T.V.M. [, ] f (5) f () 5 T.V.M. [, 5] 5 f (6) f () 0 5 T.V.M. [, 6] 6 5 f (7) f () 5 5 T.V.M. [, 7] f (8) f () 5 T.V.M. [, 8] 8 7. Halla la T.V.M. de y 8 + en el intervalo variable [, + ]. Comprueba, dando a los valores adecuados, que se obtienen los resultados del ejercicio anterior. f ( + ) f () T.V.M. [, + ) ( + ) 8 ( + ) ( 6) 6 Dando a los valores,,,, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio anterior.

4 Página 7. Halla la derivada de y 5 en los puntos de abscisas y 5. f ( + ) f () f'() 5 ( + ) ( + ) ( ) 0 ( ) 0 f (5 + ) f (5) f'(5) 5 (5 + ) (5 + ) 0 0 (5 + ) (5 5 ) ( 5 ) 5 0. Halla la derivada de y en los puntos de abscisas, y 5. f ( + ) f () [/( + )] ( ) f'() [/( )] ( ) f ( + ) f ( ) [/( + )] ( ) f'( ) [/( )] + + ( ) f (5 + ) f (5) [/(5 + )] f'(5) [/( + )] ( + ) +. Halla la derivada de y en los puntos de abscisas,, 0,,, y. f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) ( + ) ( 6) 6 0 f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) ( + ) 0 ( ) + + 0

5 f (0 + ) f (0) f'(0) 0 ( ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( + ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) 0 ( + ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) 8 0 ( + 6) Página 75. Halla la derivada de f () 5 y comprueba que, a partir de ella, se pueden obtener los valores concretos allados en el ejercicio resuelto y en el ejercicio de la página anterior. f ( + ) f () f'() 5( + ) ( + ) (5 ) ( + 5) ( + 5) Sustituyendo por los valores indicados, obtenemos: f'() f'(0) 5 f'() f'() f'(5) 5. Halla la derivada de f ( ) y comprueba que, a partir de ella, se pueden obtener los valores concretos calculados en el ejercicio resuelto y en el ejercicio de la página anterior. 5

6 f ( + ) f () /( + ) /( ) f'() 0 ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) 0 ( ) ( + ) ( ) Sustituyendo por los valores indicados, obtenemos: f'() f'() f'( ) f'(5). Halla la derivada de f ( ). f ( + ) f () f'() ( + ) ( + + ) Página 77 Halla la función derivada de las siguientes funciones:. f () f '() 6 6. f () + π f '() +. f () + f '() +. f () f '() + (5) 5. f () f () / f '() 5/ 5 6

7 6. f () sen cos f'() cos sen 7. f () tg f'() + tg cos 8. f () e f'() e + e e ( + ) 9. f () f'() + ln ( + ln ) 0. f () ( + ) log f'() log + ( + ) log + ln ( + ) ln. f () + ( f'() ) ( + ) ( ) ( ) ( ). f () ( f'() + 6 5) ( ) + + log. f () f'() [/(ln 0)] log ln 0 log ln 0. f () tg (Epresa tg (sen )/(cos ) y deriva como cociente. Al simplificar, ten en cuenta que (sen ) + (cos ).) f'() cos Página 78 Halla la función derivada de las siguientes funciones: 7

8 5. f () sen ( 5 + 7) f'() ( 5) cos ( 5 + 7) 6. f () cos ( π) f'() sen ( π) 7. f () (5 + ) (5 + ) / f'() (5 + ) / f () + f'() + 9. f () sen ( + ) cos ( + ) f'() [cos ( + ) sen ( + )] 0. f () e + f'() e + + e + e + ( + ). f () log log f () ; f'() ( ln 0 log ) ln 0. f () sen ( + ) f'() cos ( + ) + [ sen ( + )]/ ( ) cos ( + ) + sen ( + ) ( ) Página 79. Calcula la función derivada de f () + y alla: a) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas, y. b) Las ecuaciones de dicas rectas tangentes. c) Las abscisas de los posibles máimos y mínimos relativos. d) Es f () creciente o decreciente en? 8

9 f'() 8 a), 5 y b) y ( + ) ; y 5( ) ; y ( ) 8 c) f'() 0 0, 8/ d) f'() < 0 decreciente Página 8. Representa estas funciones: a) y + 8 b) y c) y + a) f'() 6 6 0, Máimo en (, 5). Mínimo en (, ) b) f'() ( 6) 0 0 ± + ± 5 Máimo en (, 6) y en (, 99). Mínimo en (0, 90) c) f'() + ( + ) 0 Mínimo en (, 7) Punto de infleión en (0, 0). f'() 0 0 ( + ) 0 Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0)

10 Página 8. Representa estas funciones: a) y + + b) y + c) y + + d) y e) y a) f'() ( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) ( + ) + 8 ( + ) 0, Máimo en (, 5). Mínimo en (, 7). 0 0 Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y b) f'() ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + + ( + ) 0 Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) Asíntota vertical: 0 0 Asíntota oblicua: y ( c) f'() + ) ( + ) ( + ) ( + ) Mínimo en (0, 0). Asíntota orizontal: y 0

11 d) f'() 0 0 ( + ) Máimo en (0, ) Asíntota orizontal: y 0 ( e) f'() ) ( + ) ( ) + + ( ) ( ) + ± 0 ( ) 0,7,7 Máimo en (0,7;,7). Mínimo en (,7; 0,7). Asíntotas verticales: 0, Asíntota orizontal: y Página 88 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Tasa de variación media Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos: 0 5 a) [, 0] b) [0, ] c) [, 5] f (0) f ( ) a) T.V.M. [, 0] 0 + f () f (0) 0 b) T.V.M. [0, ] 0 f (5) f () 0 c) T.V.M. [, 5] 5

12 Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [, ] e indica si dicas funciones crecen o decrecen en ese intervalo: a) f () / b) f () ( ) c) f () + d) f () Si la T.V.M. es positiva, la función crece. f () f () f () f () T.V.M. [, ] / a) T.V.M. [, ] Decrece b) T.V.M. [, ] Decrece 7 c) T.V.M. [, ] Crece 8 d) T.V.M. [, ] Crece Dada la función f (), alla la tasa de variación media en el intervalo [, + ]. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] Comprueba que la T.V.M. de la función f () +5 en el intervalo [, + ] es igual a +. Calcula la T.V.M. de esa función en los intervalos [, ], [;,5], utilizando la epresión anterior. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] ( + + ) T.V.M. [, ] T.V.M. [;,5],5 5 Compara la T.V.M. de las funciones f () y g () en los intervalos [, ] y [, ] y di cuál de las dos crece más en cada intervalo. Para f (): T.V.M. [, ] 9 T.V.M. [, ] 7 Para g(): T.V.M. [, ] 8 T.V.M. [, ] 5 En [, ] crece más f (). En [, ] crece más g().

13 Derivada en un punto 6 Aplicando la definición de derivada, calcula f'( ) y f'(), siendo: f () 5 ( + ) 7 + f ( + ) f ( ) 5 5 f'( ) ( + ) f ( + ) f () 5 5 f'() Halla la derivada de las siguientes funciones en, utilizando la definición de derivada: a) f () b) f () ( + ) c) f () / d) f () /( + ) f ( + ) f () a) f'() ( + ) ( + + ) ( + 6) 6 f ( + ) f () b) f'() ( ( + ) + ) 9 ( + ) 9 ( + ) f ( + ) f () /( + ) c) f'() ( + ) f ( + ) f () + + d) f'() 0 ( + ) 9

14 8 Halla el valor del crecimiento de f () ( ) en los puntos y. f'() ( ) f'() ; f'() 0 9 Halla la pendiente de la tangente a la curva y 5 + en el punto de abscisa. f'() 5; m f'( ) 9 0 Halla la pendiente de la tangente a la curva y en el punto de abscisa. f'() ; f'() 0 Comprueba que la función y 5 + tiene un punto de tangente orizontal en,5. f'() 5 0,5 Función derivada Comprueba, utilizando la definición, que la función derivada de las siguientes funciones es la que se indica en cada caso: a) f () f'() 0 b) f () 5 f'() 5 c) f () f'() d) f () 7 f'() e) f () + f'() + f ( + ) f () a) f'() 0 f ( + ) f () 5( + ) b) f'() 5 5 f ( + ) f () c) f'() ( + ) + + ( + )

15 f ( + ) f () d) f'() 7( + ) 7 7( + + ) (7 + ) f ( + ) f () e) f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( + + ) + La derivada de la función f () 6 + es f'(). Utilizando la derivada, responde: a) Cuál es la ecuación de la tangente a f en el punto de abscisa? b) En qué puntos tiene f tangente orizontal? c) Es creciente o decreciente en? a) m f'() 9; f () La recta es y 9 ( ) b) f'() 0 0, Puntos (0, ) y (, 9). c) f'( ) 5 > 0 Creciente Sabiendo que la derivada de la función f () es f'(), alla el punto de f en el que su derivada vale /. Cuál es la ecuación de la tangente en ese punto? f'(), y En el punto (, ). La tangente es y ( ) + 5 Halla los puntos singulares de la función y +, de la que conocemos su derivada y' 6 6. y' 0 0,. Puntos (0, ) y (, 0). 5

16 Reglas de derivación Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos que se indican: 6 y + 6; y' 6 + 6; y'() 7 y cos ( + π); 0 y' sen ( + π); y'(0) 0 8 y + ; 7 y' ; y' ( ) 7 Página 89 9 y ; y' 7 ; y' (0) 7 (7 + ) 0 y sen + cos ; π y' ( cos sen ) y ; ( + ) y' ; y' ( ) ( + ) ; y' (π) y + ; y' + ; y' () y ; 8 y' ; y' (8) ( ) 6 6

17 π y sen ( π); π y' 6 cos ( π); y' ( ) 6 5 y (5 ) ; 5 5 y' 5 (5 ) ; y' ( ) y ; 5 5 y' 0 ; y' () ( 5) 7 y + sen ; π y' + cos ; y' (π) 0 8 y cos ; π π y' cos sen ; y' ( ) π Halla la función derivada de estas funciones: 9 a) y + sen cos b) y ( ) a) y' (cos sen ) b) y' 6 ( ) 0 a) y b) y + a) y' (si 0) b) y' + a) y ( + 6) b) y sen a) y' b) y' ( + 6) cos a) y b) y 7 + a) y ( ) / ; y' ( ) / ( ) ( ) b) y' 7 + ln 7 7

18 a) y + b) y ln a) y' + b) y' a) y b) y e tg + + a) y' + ( + ) ( + ) ( + ) b) y' e tg + e ( + tg ) e ( tg + + tg ) e ( + tg ) 5 a) y b) y cos ( ) a) y' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) y' cos sen 6 a) y b) y e a) y' ( ) ( ) ( ) b) y' e e e ( ) ( ) 7 π a) y sen b) y log a) y' 0 b) y log log ( ) log log ( ) y' + ln 0 ( ) ln 0 8 a) y + b) y ln + ( a) y' + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) b) y' + + ( + ) ln 8

19 PARA RESOLVER 9 Los coces, una vez que se compran, empiezan a perder valor: un 0% cada año, aproimadamente. Esta gráfica muestra el valor de un coce desde que se compró asta años más tarde. Calcula lo que se deprecia el coce en los dos primeros años, entre los años y 6, y entre los años 8 y 0. Es constante la depreciación? 0 VALOR (en miles de euros) TIEMPO (en años) Depreciación: [0, ] [, 6] 500 [8, 0] 500 La depreciación no es constante. 0 Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funciones: a) y + b) y a) y' 6 0. Punto (, ) b) y' 0,. Puntos (, ) y (, ) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto de abscisa. y' 5; m y' (), y () 0 La recta es y ( ). Escribe la ecuación de la tangente a la curva y en el punto de abscisa. y' + ; m y' ( ), y ( ) La recta es y ( + ) Escribe la ecuación de la tangente a la curva y + +, cuya pendiente sea igual a. y' + ; y ( ) La recta es y ( + ). 9

20 Halla la ecuación de la tangente a la curva y + en 0. y' ; m y' (0), y (0) + La recta es y + 5 La tasa de variación media de una función f () en el intervalo [, + ] es igual a. Cuál es el crecimiento de esa función en? + f'() + 6 Escribe las ecuaciones de las tangentes a la curva y que sean paralelas a la recta 6 y +00. La pendiente de la recta es el coeficiente de cuando la y está despejada. y' 6, Rectas: y 6 ( + ), y 6 ( ) 7 Escribe las ecuaciones de las tangentes a la función y en los puntos de corte con el eje de abscisas. Puntos de corte con el eje de abscisas: 0, Puntos (, 0) y (, 0). y', y' (), y' ( ) Las rectas son: En y + 8 En y + 8 Página 90 8 Halla los puntos de tangente orizontal de la función y 9. y' 6 9 0,. Puntos (, ) y (, 8). 9 En qué puntos de y / la tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante? Eiste algún punto de tangente orizontal en esa función? y',. Puntos (, ) y (, ). No eiste ningún punto tangente orizontal, pues y' 0 no tiene solución. 0

21 50 a) Cuál es la derivada de y 8 en cualquier punto? b) Cuánto a de valer para que la derivada de y sea igual a? c) En qué punto la recta tangente a la gráfica de la función y es paralela a la recta y + 8? a) y' b) y' 6 c) y' 6. En el punto (, ). 5 En qué puntos la recta tangente a y tiene la pendiente igual a 8? y' 8, Puntos (, 0) y (, 0). 5 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y que son paralelas a la recta + y 0. y' ( ) ( ) 0, ( ) ( ) En (0, 0) y En (, ) y ( ) Halla f' en los puntos de abscisas, 0 y. Halla las pendientes de las tangentes trazadas en esos puntos. f'( ), f'(0), f'() 6 f 5 Indica, en la gráfica del ejercicio anterior, los puntos en los que la derivada es cero. En, la derivada es positiva o negativa? Y en? f'() 0 en (, ) y en (, 7). En la derivada es positiva. En es negativa. 55 Eiste algún punto en esta función en el que la derivada sea negativa? Compara los valores de f'( ), f'() y f'(0). No, pues es creciente. f'( ) < f'(0) < f'()

22 56 La ecuación de la recta tangente a una función f () en el punto de abscisa es y +0. Cuál es el valor de f'()? Y el de f ()? Halla la pendiente de esa recta y ten en cuenta su relación con la derivada. + La recta tangente es y ; su pendiente es f'(). f () 57 Indica en cada una de estas funciones los valores de en los que f' es positiva y en los que f' es negativa. Observa su crecimiento y decrecimiento. La primera crece si <. a) f' > 0 si < f' < 0 si > b) f' > 0 si < 0 f' < 0 si > 0 c) f' > 0 si (, ) U (, + ) f' < 0 si (, ) 58 Representa una función y f () de la que sabemos: Es continua. f () + ; f () + Tiene tangente orizontal en (, ) y en (, 5). Indica si los puntos de tangente orizontal son máimos o mínimos. Y 6 X (, ) es un mínimo. (, 5) es un máimo.

23 59 De una función polinómica sabemos que: f () + ; f () + + Su derivada es 0 en (, ) y en (, ). Corta a los ejes en (0, 0) y en (, 0). Represéntala gráficamente Representa la función continua y f () de la que sabemos: En los puntos (, ) y (, ) la tangente es orizontal. Sus ramas infinitas son así: 6 Comprueba que la función y ( ) pasa por los puntos (0, ), (, 0) y (, ). Su derivada se anula en el punto (, 0). Puede ser un máimo o un mínimo ese punto? y (0) pasa por (0, ). y () 0 pasa por (, 0). y () pasa por (, ). y' () ( ) y' () 0 El punto (, 0) no es ni máimo ni mínimo.

24 6 Comprueba que la función y + tiene dos puntos de tangente orizontal, (, ) y (, ); sus asíntotas son 0 e y y la posición de la curva respecto de las asíntotas es la de la dereca. Represéntala. y + 8 y' 6 0, Puntos (, ) y (, ). f () + ; f () Asíntota vertical en 0. Asíntota oblicua en y Página 9 6 Comprueba que la función y : + Tiene derivada nula en (0, 0). La recta y es una asíntota orizontal. Posición de la curva respecto a la asíntota: Si, y < Si +, y < Represéntala. ( y' () + ) ( ) ( + ) y' (0) 0; y (0) 0 ± + ( + ) ± + si, y < si +, y < 6 6

25 6 Completa la gráfica de una función de la que sabemos que tiene tres puntos de tangente orizontal: ( 5 5, ) (0, 0) y (, ) y que sus ramas infinitas son las representadas En cada una de las siguientes funciones, alla los puntos de tangente orizontal y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máimos o mínimos. Represéntalas: a) y b) y + c) y + d) y e) y f) y + g) y ) y 8 + a) y' 6 y' () f (0) 0 (0, 0) f () (, ) + ( ) ( ) y

26 b) y' y' () 0 ± f () 0 (, 0) f ( ) (, ) + ( + ) ( + ) y c) y' + y' () 0 0 f (0) 0 (0, 0) f ( ) 7 (, 7) ( + ) ( + ) y d) y' 8 + ; y' () 0 6 ± 6 6 ± y f () (, ) f () 0 (, 0) 5 6 ( 9 + 0) + ( 9 + 0) + 0 e) y' ; y' () 0 ± 5 y f () 6 (, 6) f ( ) 6 (, 6) ( ) + ( )

27 f) y' () + ; y' () 0 0 f (0) 0 (0, 0) ( ) f (, ) f ( ) (, ) y + ( + ) ; ( + ) + g) y' 5 8 8; y' () 0 y f () (, ) f ( ) (, ) 0 0 ( ) 0 + ( ) ) y' 6; y' () 0 0 f (0) (0, ) f () (, ) f ( ) (, ) + ( 8 + ) + y ( 8 + ) 66 Representa estas funciones allando los puntos de tangente orizontal y estudiando sus ramas infinitas: a) y + b) y + c) y d) y e) y f ) y ( + 5) + + 7

28 a) y' + 0, Puntos de tangente orizontal: + (, 7 ), (, 0) ( + ) + ( + ) y + b) y' + ( ) 0 0,, Puntos de tangente orizontal: y + (, ), (0, 0) y (, ) + ( + ) ( + ) c) y' ( + 5) + 0, ( ) ( ) Puntos de tangente orizontal: + (, ), (, 9 ) y d) y' ( ) 0 ( + ) Puntos de tangente orizontal: (, ) 8

29 y + ( ) 5 ( + 5) e) y' ( + 5) ( + 5) ( + 5) y Puntos de tangente orizontal: ( + 5) ( 6 5, 0 ) 0; 0 + ( + 5) ( + 5) ( + ) f) y' + 8 ( + ) 0 0, ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de tangente orizontal: 5 (, 6), (0, 0) ± + y

30 67 Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente orizontal. Represéntalas estudiando sus ramas infinitas y los puntos de corte con los ejes: a) y b) y + c) y + d) y ( ) a) Los puntos de corte son: ( 0, ), (, 0) y + 6 y' 5 0 ( + ) b) Los puntos de corte son: (, 0), (, 0) y' + 0 y c) El punto de corte es: (0, 0) y' + 0 y d) El punto de corte es: ( 0, ) y' 0 ( ) 6 y ( ) 0

31 68 Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y 6 c) y + d) y ( ) + e) y f ) y + g) y ) y + i) y + j) y + + ( ) 5 a) y' 6 ( 6) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. 6 Y y X 6 b) y' + ( ) Asíntotas verticales:, Y y Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. X

32 c) y' + 7 ( 6 + 5) Asíntotas verticales: 5,,5 + y Y Asíntotas orizontales: y 0 0,5 No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: 6 0,5 6 X ( 6,58; 0,05), (,58;,97),5 d) y' + 5 ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y Y 5 0 ( ) y + No ay asíntotas orizontales. 5 Sus puntos de tangente orizontal son: (, 0), ( 5, ) 6 y 5 6 X e) y' + + ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: y + 6 Y 6 6 X ( 0,6; 0,5), (,7; 7,6) 6 y

33 f) y' ( ) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. 6 Y y 6 X Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0) 6 g) y' + 6 ( + ) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0), (, ) y + 6 Y X ( ) Asíntotas verticales: Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. ) y' ( ) y ( ) Y 6 Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0) 6 6 X i) y' ( + + ) Asíntotas orizontales: y y Y 6 No ay asíntotas verticales ni oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (, ), (, ) 6 6 X 6

34 j) y' ( ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y + No ay asíntotas orizontales ni puntos de tangente orizontal. Y 6 y 5 6 X 69 Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por (0, ) y que la pendiente de la recta tangente en el punto (, ) vale 0. Llama a la función f () a + b + c y ten en cuenta que f (0), f () y f'() 0. f () a + b + c f'() a + b f (0) c f () a + b + c f'() 0 0 a + b a / b c La función es f () Halla el vértice de la parábola y +6 + teniendo en cuenta que en ese punto la tangente es orizontal. f'() Punto (, ). 7 Determina la parábola y a + b + c que es tangente a la recta y en el punto A(, ) y que pasa por el punto B(5, ). f () a + b + c f'() a + b f () a + b + c f'(5) 5a + 5b + c f'() a + b a b 6 c 7 La función es f ()

35 7 Halla el valor de para el que las tangentes a las curvas y +5 e y +6 sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes. y + 5 y' 6 y + 6 y' Para y + 5 la tangente en es: y 0 ( ) + y 0 7 Para y + 6 la tangente en es: y 0 ( ) + 6 y 0 7 Halla a, b y c en f () + a + b + c de modo que la gráfica de f tenga tangente orizontal en y en 0 y que pase por (, ). f () + a + b + c f'() + a + b f'( ) 0 8 8a + b 0 f'(0) 0 b 0 f () + a + b + c a 6 b 0 c 6 La función es f () Página 9 7 Halla la función derivada de las siguientes funciones: a) y + b) y 5 c) y e + e d) y ln e) y sen f ) y cos ( + ) a) y' + ln b) y' 5 ln 5 c) y' e e d) y' ln / (ln ) (ln ) ln e) y' cos sen cos sen f) y' cos ( + ) ( sen ( + )) 6 cos ( + ) sen ( + ) 5

36 75 Aplica las propiedades de los logaritmos para derivar las siguientes funciones: a) y ln + b) y ln + c) y ln e d) y log ( 5) e) y log (tg ) f) y ln a) y ln ( + ) ln ( ) y' + b) y [ln ln ( + )] y' [ ] [ ] + c) y ln + ln e ln y' d) y log ( 5) log 5 ln ln 0 ( 5) ln 0 ln 0 y' [ ] ( 5) ln e) y log (tg ) + tg y' tg ln 0 ( + tg ) tg ln 0 f) y ln y' ln + ln + 76 Dada la función f () , obtén su función derivada y estudia su signo. Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f? Tiene f máimo o mínimo? f'() + 9 ( + ) ( ) ( ) f'() 0, f'() > 0 en (, ) U (, + ) Intervalos de crecimiento f'() < 0 en (, ) Intervalo de decrecimiento Máimo en (, 8) y mínimo en (, ). 6

37 77 Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f () 8 +. f'() ( ) f'() 0, f'() > 0 en (, ) U (, + ) f () es creciente f'() < 0 en (, ) f () es decreciente 78 Estudia el crecimiento y el decrecimiento de estas funciones analizando el signo de su derivada: a) y 5 b) y 5 + c) y + d) y + e) y f) y ( + ) g) y ( ) 5 a) y'. Creciente para todo. 5 b) y' 5. Decrece en (, ) y crece en (, + ). c) y'. Decrece en (, ) y crece en (, + ). d) y'. Crece en (, ) y decrece en (, + ). e) y'. Creciente para todo 0. f) y' ( + ). Decrece en (, ) y crece en (, + ). g) y' 5 ( ). Decreciente para todo. 5 5 CUESTIONES TEÓRICAS 79 Calcula la T.V.M. de f () en los intervalos [, ], [, ] y [, ]. Justifica por qué obtienes el mismo resultado. + 5 T.V.M. [, ] 7 T.V.M. [, ] 0 + T.V.M. [, ] 7 T.V.M. para todos. La función es una recta de pendiente. 7

38 80 Dibuja una función que tenga derivada nula en y en, derivada negativa en el intervalo [, ] y positiva para cualquier otro valor de. 8 Pon ejemplos de funciones f cuya derivada sea f'(). Cuántas eisten? Eisten infinitas. f () + k, donde k es cualquier número. 8 Ésta es la gráfica de la función y. Halla su tangente en 0 y comprueba que obtienes la recta y 0. Por qué podemos asegurar que el eje de abscisas es la tangente de esa curva en (0, 0)? La ecuación del eje de abscisas es y 0. 8 Y Qué relación eiste entre f y g? f g X 0 Y entre f' y g'? f g + f' g' Son rectas paralelas (de igual pendiente). 8 Eiste algún punto de la función y en que la tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (, )? En caso afirmativo, állalo. y' Pendiente de la recta Punto ( 5, ) 8

39 85 Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vértice de la parábola y a b + b + c es. a y' a + b 0 b a 86 Si f'() 0, cuál de estas afirmaciones es correcta? a) La función f tiene máimo o mínimo en. b) La tangente en es orizontal. c) La función pasa por el punto (, 0). La correcta es la b). 87 Y Ésta es la gráfica de la función derivada de f. f' X a) Tiene f algún punto de tangente orizontal? b) Es creciente o decreciente? Justifica tus respuestas. a) Sí, en,, puesto que f' (,) 0 b) Si <, es creciente, pues f' > 0; y si >, es decreciente, pues f' > 0. Página 9 PARA PROFUNDIZAR 88 Halla la derivada de f () en el punto de abscisa aplicando la definición. f ( + ) f () + f'() ( + ) ( + + ) + ( + + ( ) 0 ) ( ) 0 89 Halla los puntos singulares de las siguientes funciones y estudia el crecimiento y decrecimiento para decidir si son máimos o mínimos. a) y e b) y e c) y e 9

40 a) y' ( + ) e 0 y' < 0 si < Decrece y' > 0 si > Crece Mínimo en (, e ) b) y' 0 e y' > 0 si < Crece y' < 0 si > Decrece Máimo en (, e ) c) y' e 0 0 y' > 0 si < 0 Crece y' < 0 si > 0 Decrece Máimo en (0, ) 90 Halla la ecuación de la tangente a la curva y ln que es paralela a la recta y. y' ; f ( ) ln ln La recta es y ( ) ln ln. 9 Cuáles son los puntos singulares de las funciones y sen e y cos en el intervalo [0, π]? π π y sen y' cos 0, Máimo en ( π, ) y mínimo en ( π, ). y cos y' sen 0 0, π Máimo en (0, ) y mínimo en (π, ). 9 Tiene algún punto de tangente orizontal la función y tg? No, puesto que y' 0 para todo. cos 9 Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y ( + ) + c) y d) y 0

41 a) y' + 0 Y No ay puntos de tangente orizontal. Puntos de corte con los ejes: (, 0), (, 0) Dominio Á {0} Asíntota vertical: 0 Asíntota oblicua: y X b) y' ( + ) ( + ) 9( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 0 0,,5 ( + ) Y Mínimo en (,5;,5) Punto de infleión en (0, 0) X Puntos de corte con los ejes: (0, 0) Dominio Á { } Asíntota vertical: ( ( c) y' ) ( + ) ) ( + ) Mínimo en (, 5) Y 8 Dominio Á {0} 6 Asíntota vertical: 0 Asíntota oblicua: y X ( d) y' ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( + + ] + ) 0 0 ( ) ( )

42 Mínimo en (0, 0) Puntos de corte con los ejes: (0, 0), (, 0), (, 0) Dominio Á {, } Asíntotas verticales:, Y X 9 Calcula el punto de corte de las tangentes a las curvas f () 5 + y g () en. Recta tangente a f () 5 + en : f'() 5; f'() ; f () y ( ) + Recta tangente a g() en : g'() ; g'() ; g() y ( ) Punto de corte: y y + + ; ; ; y Punto (, ) 95 Halla los polinomios de segundo grado que pasan por el origen de coordenadas y tienen un mínimo en. Cuál de ellos pasa por el punto (5, )? f () a + b + c; f'() a + b f (0) 0 c 0 f' ( ) 0 a + b 0 b a; a > 0 (para que sea mínimo) Son los polinomios de la forma f () a + a, con a > 0. El que pasa por (5, ) será: f (5) 5a + 5a ; 0a ; a 0 5 f () + 5 5

43 96 Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R (), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad que se invierte,, en miles de euros, por medio de la siguiente epresión: R () 0,00 + 0,0 +,5 a) Qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máima rentabilidad? b) Qué rentabilidad se obtendrá? a) R'() 0,00 + 0,0 0 0 Se deben invertir b) R (0),9 Se obtendrán 900 de rentabilidad. 97 El coste total de fabricación de q unidades de cierto artículo es: C (q) q + 5q + 75 dólares C (q) El coste medio por unidad es M (q). q a) Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad sea mínimo? b) Calcula C (q) y M (q) para el valor de q que as allado en el apartado a). q a) M(q) + 5q + 75 q (6q + 5)q (q 6q M' + 5q + 75) + 5q q 5q 75 q 75 0 q 5 q 5 unidades q q Se deben fabricar 5 unidades. b) C(5) 75; M(5) 5 q 98 La función f () 60 indica los beneficios obtenidos por una empresa + 9 desde que comenzó a funcionar ( f () en miles de euros, en años, 0 indica el momento de constitución de la empresa). a) Haz una representación gráfica aproimada de la función teniendo en cuenta el dominio válido en el conteto del problema. b) Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máimo? Cuál es ese beneficio? c) Perderá dinero la empresa en algún momento? Es posible que llegue un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas? Razona la respuesta.

44 60 ( a) f'() + 9) ( + 9) ( + 9) ( + 9) ( no está en el dominio) Máimo en (, 0). f () 0 asíntota orizontal: y 0 + La gráfica sería: b) Beneficio máimo en a los años. El beneficio sería f () 0 miles de euros. c) No perderá dinero ni llegará un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas, pues f () 0 y f () > 0 para todo > 0. + PARA PENSAR UN POCO MÁS 99 Averigua qué función y f () cumple las siguientes condiciones: a) Su derivada es f'() b) Pasa por el punto (, 6). f () k, donde k es constante. Hallamos el valor de k teniendo en cuenta que: f ( ) k 6 k 6 Por tanto: f () La ecuación de un movimiento es e t 6t + 9, t (e recorrido en metros, t tiempo en segundos). Halla la ecuación de un movimiento uniforme (velocidad constante) que en el instante t 5 está en el mismo lugar y con la misma velocidad que el anterior. Representa ambas ecuaciones en un diagrama e t. Llamamos a la función buscada f (t) at + b Ha de cumplir que f (5) e (5) y que f'(5) e'(5)

45 Como f'(t) a, e'(t) t 6, tenemos que: Luego: f (t) t 6 Las gráficas serían: f (5) e (5) 5a + b f'(5) e'(5) a e (t) f (t) 5 6 t a b 6 Página 9 RESUELVE TÚ Dejamos mil moscas en una isla en la que no abía ninguna, en la cual ay condiciones para que vivan, a lo sumo, Cada día, el número de moscas aumenta el %. a)epresa el crecimiento según el modelo eponencial, como si no ubiera limitación. b) Epresa el crecimiento según el modelo logístico. c) Compara el número de moscas que abría a los 0, 00, 50, 00, 50, 00 y 00 días según cada modelo y razona sobre las diferencias observadas. a) N 000,0 t (t: tiempo en días) l b) N' l, siendo k + k a t c En nuestro problema: l ; a,0, C 000 k Obtenemos la función logística buscada: N' ,0 t c) TIEMPO N: MODELO N': MODELO DIFERENCIA (días) EXPONENCIAL LOGÍSTICO N N'