INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

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1 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 0 REFLEXIONA Y RESUELVE Tomar un autobús en marca En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad. y corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para tomar el autobús en marca. 50 m 5 s 0 s 5 s 0 s a) Al viajero lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y alla la velocidad a la que corre. b) Cuál es la velocidad aproimada del autobús en el momento que lo alcanza el pasajero? Entra este pasajero suavemente en el autobús? a) El pasajero llega a la parada 0 s después de que saliera el autobús, y lo alcanza 5 s después, 0 m más allá. Corrió, por tanto, a m/s. Es decir: 8,6 8,8 km/ b) En el instante s está a 5 m de la parada. En el instante 6 s está a 50 m de la parada. 5 m Velocidad media 7,5 m/s 7 km/ s Las velocidades del pasajero y del autobús son, aproimadamente, iguales en el momento en el que el pasajero accede al autobús; por tanto, accederá suavemente. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

2 Es preferible esperar o correr tras el autobús? Los viajeros y, en el momento de la salida del autobús, estaban a 00 m de la parada. El decide esperarlo y entrar en él cuando pase por allí. El tiene un etraño comportamiento. Etraño? 00 m 50 m 5 s 0 s 5 s 0 s a) Describe el movimiento del pasajero. b) Eplica por qué el comportamiento del pasajero es muco más sensato que el del, quien tendrá muy difícil la entrada en el autobús. a) Intenta alcanzar aproimadamente la velocidad que lleva el autobús para acceder a él suavemente. b) El pasajero accede suavemente al autobús (con la misma velocidad, aproimadamente); sin embargo, el no. Carrera de relevos La siguiente gráfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo equipo, durante una carrera de relevos: a) Por qué en las carreras de relevos Ò 00 m cada relevista empieza a correr antes de que llegue su compañero? b) Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro?.º relevista c) Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes? Cómo son sus velocidades en el momento. er relevista de la entrega del testigo? a) Para que el testigo pase sin brusquedades del que llega al que se va. b) El intercambio sería muy brusco y se perdería tiempo. c) Sí, así llevarán los dos la misma velocidad, aproimadamente. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

3 UNIDAD Página 0. Halla la T.V.M. de la función y 8 + en los siguientes intervalos: [, ], [, ], [, ], [, 5], [, 6], [, 7], [, 8] f () f () 0 5 T.V.M. [, ] 5 f () f () 5 T.V.M. [, ] f () f () 5 T.V.M. [, ] f (5) f () 5 T.V.M. [, 5] 5 f (6) f () 0 5 T.V.M. [, 6] 6 5 f (7) f () 5 5 T.V.M. [, 7] f (8) f () 5 T.V.M. [, 8] 8 7. Halla la T.V.M. de y 8 + en el intervalo variable [, + ]. Comprueba, dando a los valores adecuados, que se obtienen los resultados del ejercicio anterior. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] ( + ) 8 ( + ) ( 6) 6 Dando a los valores,,,, 5, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio anterior. Página 05. Halla la derivada de y 5 en los puntos de abscisas y 5. f ( + ) f () f'() 5 ( + ) ( + ) ( ) 8 0 ( ) 8 0 f (5 + ) f (5) f'(5) 5 (5 + ) (5 + ) (5 + ) (5 5 ) ( 5 ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

4 . Halla la derivada de y en los puntos de abscisas, y 5. f ( + ) f () [/( + )] ( ) f'() [/( )] ( ) f ( + ) f ( ) [/( + )] ( ) f'( ) [/( )] + + ( ) f (5 + ) f (5) [/(5 + )] f'(5) [/( + )] ( + ) +. Halla la derivada de y en los puntos de abscisas,, y. f ( + ) f ( ) [/( + )] ( /) f'( ) /( ) f ( + ) f ( ) [/( + )] ( ) f'( ) /( ) f ( + ) f () [/( + )] f'() ( ) ( + ) f ( + ) f () [/( + )] (/) f'() ( )/ ( + ) ( + ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

5 UNIDAD. Halla la derivada de y en los puntos de abscisas,, 0,,, y. f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) ( + ) ( 6) f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) ( + ) 8 0 ( ) f (0 + ) f (0) ( ) f'(0) 0 f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( + ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) 8 0 ( + ) f ( + ) f () f'() ( + ) ( + ) ( + 6) Página 06. Halla la derivada de la función f () 5 y comprueba que, a partir de ella, se pueden obtener los valores concretos allados en el ejercicio resuelto y en el ejercicio propuesto de la página anterior. f ( + ) f () f'() 5( + ) ( + ) (5 ) 8 0 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 5

6 ( + 5) ( + 5) Sustituyendo por los valores indicados, obtenemos: f'() f'(0) 5 f'() f'() f'(5) 5. Halla la derivada de f ( ). f ( + ) f () f'() ( + ) ( + + ). Halla la derivada de f ( ) y comprueba que, a partir de ella, se pueden obtener los valores concretos calculados en el ejercicio resuelto y en el ejercicio propuesto de la página anterior. f ( + ) f () /( + ) /( ) f'() 8 0 ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) 8 0 ( ) ( + ) ( ) Sustituyendo por los valores indicados, obtenemos: f'() f'() f'( ) f'(5). Halla la función derivada de y +. f ( + ) f () ( + ) f'() + ( + ) ( + ) ( ) ( ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

7 UNIDAD Página 08 Halla la función derivada de las siguientes funciones:. f () f'() 6 6. f () + f'() +. f () f'() + 5. f () f () / 8 f '() 5/ 5 5. f () sen cos f'() cos sen 6. f () tg f'() + tg cos 7. f () e f'() e + e e ( + ) 8. f () f'() + ln ( + ln ) 9. f () ( + ) log f'() log + ( + ) log + ln ( + ) ln 0. f () + ( f'() ) ( + ) ( ) ( ) ( ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 7

8 . f () ( f'() + 6 5) ( ) + +. f () log f'() [/(ln 0)] log ln 0 log ln 0 Página 09 Halla la función derivada de las siguientes funciones:. f () sen ( 5 + 7) f'() ( 5) cos ( 5 + 7). f () (5 + ) (5 + ) / f'() (5 + ) / f () sen ( + ) cos ( + ) f'() [cos ( + ) sen ( + )] 6. f () log log f () 8 f'() ( ln 0 log ) ln 0 7. f () cos ( π) f'() sen 8. f () + f'() + 9. f () e + f'() e + + e + e + ( + ) 8 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

9 UNIDAD sen ( 0. f () + ) f'() cos ( + ) + [ sen ( + )]/ ( ) cos ( + ) + sen ( + ) ( ) Página 0. Calcula la función derivada de f () + y alla: a) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas, y. b) Las ecuaciones de dicas rectas tangentes. c) Las abscisas de los posibles máimos y mínimos relativos. d) Es f () creciente o decreciente en? f'() 8 a) f'( ), f'() 5, f'() b) y ( + ) ; y 5 ( ) ; y ( ) 8 c) f'() , 8/ d) f'() < 0 8 decreciente Página LENGUAJE MATEMÁTICO. En la fórmula que sirve para allar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto y f(a) + f'(a)( a) di el papel que desempeña cada una de las letras que intervienen. La es la variable independiente, de qué función? f es el nombre de la función; a es la abscisa, el punto de la curva en el cual se traza la tangente; f(a) es la ordenada de ese punto, y f'(a) es la pendiente de la recta tangente, pues f' es el nombre de la función derivada. Las variables e y son la abscisa y la ordenada de un punto genérico (un punto cualquiera) de la recta tangente. es, pues, la variable independiente de la función lineal descrita por la recta tangente a f en el punto de abscisa a. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 9

10 Página. Representa estas funciones: a) y + 8 b) y c) y + a) f'() , Máimo en (, 5). Mínimo en (, ) b) f'() ( 6) 0 0 ± + ± 5 Máimo en (, 6) y en (, 99). Mínimo en (0, 90) c) f'() + ( + ) 0 Mínimo en (, 7) Punto de infleión en (0, 0). f () ( + ) 0 Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) 0 0 Página 5. Representa las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la página anterior: a) y + + b) y + c) y d) y e) y + f ) y + 0 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

11 UNIDAD ( + ) ( + ) ( a) f'() + + ) ( + ) ( + ) , ( + ) Máimo en (, 5). Mínimo en (, 7). Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y ( + ) ( + ) ( b) f'() + ) ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y ( c) f'() + ) + ( + ) ( + ) 8 0 ( + ) Mínimo en (0, 0). Asíntota orizontal: y d) f'() 8 0 ( + ) Máimo en (0, ). Asíntota orizontal: y 0 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

12 ( e) f'() ) ( + ) ( ) + + ( ) ( ) + ± 0 8 ( ) 0,7,7 Máimo en (0,7;,7). Mínimo en (,7; 0,7). Asíntotas verticales: 0, Asíntota orizontal: y f) Dominio Á {0} Asíntota vertical: Asíntota orizontal: 0 es asíntota vertical y ; y es asíntota orizontal Cuando y < ; y cuando 8 +@, y <. Por tanto, la curva está por debajo de la asíntota. Puntos singulares: f'() ( ) + f'()? 0 8 f () no tiene puntos singulares Observamos que f'() < 0 si < 0; y que f'() > 0 si > 0. Luego la función es decreciente en 0) y es creciente en (0, +@). Corta al eje en (, 0) y (, 0). Gráfica: y 6 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

13 UNIDAD Página 0 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Tasa de variación media Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos: a) [, 0] b) [0, ] c) [, 5] 0 5 f (0) f ( ) a) T.V.M. [, 0] 0 + f () f (0) 0 b) T.V.M. [0, ] 0 f (5) f () 0 c) T.V.M. [, 5] 5 Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [, ] e indica si dicas funciones crecen o decrecen en ese intervalo: a) f () / b) f () ( ) c) f () + d) f () Si la T.V.M. es positiva, la función crece. f () f () T.V.M. [, ] f () f () / a) T.V.M. [, ] 8 Decrece b) T.V.M. [, ] 8 Decrece 7 c) T.V.M. [, ] 8 Crece 8 d) T.V.M. [, ] 8 Crece Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

14 Dada la función f (), alla la tasa de variación media en el intervalo [, + ]. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] Comprueba que la T.V.M. de la función f () +5 en el intervalo [, + ] es igual a +. Calcula la T.V.M. de esa función en los intervalos [, ], [;,5], utilizando la epresión anterior. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] ( + + ) T.V.M. [, ] T.V.M. [;,5],5 5 Compara la T.V.M. de las funciones f () y g () en los intervalos [, ] y [, ], y di cuál de las dos crece más en cada intervalo. Para f (): T.V.M. [, ] 9 T.V.M. [, ] 7 Para g(): T.V.M. [, ] 8 T.V.M. [, ] 5 En [, ] crece más f (). En [, ] crece más g(). Definición de derivada en un punto 6 Aplicando la definición de derivada, calcula f'( ) y f'(), siendo: f () ( + ) 7 + f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) f ( + ) f () f'() Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

15 UNIDAD 7 Halla la derivada de las siguientes funciones en, utilizando la definición de derivada: a) f () b) f () ( + ) c) f () / d) f () /( + ) f ( + ) f () a) f'() ( + ) ( + + ) ( + 6) 6 f ( + ) f () b) f'() ( ( + ) + ) 9 ( + ) 9 ( + ) f ( + ) f () /( + ) c) f'() ( + ) f ( + ) f () + + d) f'() 8 0 ( + ) 9 8 Halla el valor del crecimiento de f () ( ) en los puntos y, aplicando la definición de derivada. f ( + ) f () ( + ) f'() ( ) 8 0 f ( + ) f () ( + ) 0 f'() Halla la pendiente de la tangente a la curva y 5 + en el punto de abscisa, utilizando la definición de derivada. f ( + ) f ( ) ( + ) 5( + ) + 5 f'( ) 8 0 ( 9) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 5

16 0 Halla la pendiente de la tangente a la curva y en el punto de abscisa, aplicando la definición de derivada. f ( + ) f () ( + ) ( + ) f'() ( ) Comprueba, utilizando la definición de derivada en cada caso: a) f () 5 8 f'() 5 b) f () 7 8 f'() c) f () + 8 f'() + d) f () 8 f'() f ( + ) f () 5( + ) a) f'() 5 5 f ( + ) f () b) f'() 7( + ) 7 7( + + ) (7 + ) f ( + ) f () c) f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( + + ) + f ( + ) f () + d) f'() ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 8 0 ( + ) 6 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

17 UNIDAD Halla f' en los puntos de abscisas, 0 y. Halla las pendientes de las rectas tangentes trazadas en esos puntos. 6 f f'( ), f'(0), f'() Indica, en la gráfica del ejercicio anterior, los puntos en los que la derivada es cero. En, la derivada es positiva o negativa? Y en? f'() 0 en (, ) y en (, 7). En la derivada es positiva. En es negativa. Eiste algún punto en esta función en el que la derivada sea negativa? Ordena de menor a mayor los valores de f'( ), f'() y f'(0). No, pues es creciente. f'( ) < f'(0) < f'() Reglas de derivación Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos que se indican: 5 f() + 6; f'() 6 + 6; f'() 6 f() cos ( + π); 0 f'() sen ( + π); f'(0) 0 7 f() + ; 7 f'() ; f' ( ) 7 8 f() ; f'() 7 ; f'(0) 7 (7 + ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 7

18 9 f() sen + cos ; π f'() ( cos sen ) ; f'(π) 0 f() ; ( + ) f'() ( + ) 8 f'() 6( + ) 6 f'( ) ( + ) f() + ; f'() + ; f'() Página f() ; 8 f'() ; f'(8) ( ) f() sen (π ); π f'() sen (π ) + cos (π ) ( ) sen (π ) cos(π ) π f' ( ) f() (5 ) ; f'() 5 (5 ) ; f' ( ) f() ; f'() 0 ; f'() 5 ( 5) 6 8 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

19 UNIDAD Halla la función derivada de estas funciones: 6 a) f() e + e b) f() ( ) a) f'() e + e b) f'() 6 ( ) 7 a) f() b) f() + a) f'() (si? 0) b) f'() + 8 a) f() ( + 6) b) f() sen a) f'() b) f'() ( + 6) cos sen 9 a) f() b) f() 7 + e a) f'() ( ) / ; f'() ( ) / ( ) ( ) b) f'() 7 + ln 7 e e ( ) 7 + e (ln 7 ) 0 a) f() + b) f() ln + e a) f'() + b) f'() + e e + ( a) f() b) f() e tg + ) a) f'() ( ) + ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) b) f'() e tg + e ( + tg ) e ( tg + + tg ) e ( + tg ) a) f() b) f() cos + e sen ( ) a) f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) f'() cos ( sen ) + e sen cos cos ( sen + e sen ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 9

20 a) f() b) f() e a) f () ( ) / 8 f'() ( ) / ( ) / ( ) b) f'() ( ) e + ( ) e ( ) e e ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 8 e ( ) 8 ( ) e 8 a) f() sen π b) f() log a) f'() 0 b) f () log log ( ) log log ( ) f'() + ln 0 ( ) ln 0 5 a) f() tg b) f() ln a) f'() tg ( + tg ) 6 tg ( + tg ) b) f'() ln 6 a) f() arc sen b) f() arc tg ( + ) / a) f'() ( /) /9 9 b) f'() + ( + ) + ( + ) 7 a) f() arc cos b) f() arc tg a) f'() / (/) / b) f'() + ( /) ( + (/)) ( + ) 0 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

21 UNIDAD 8 a) f() arc tg b) f() arc cos e a) f'() arc tg ( + ) ( + ) arc tg b) f'() e ( ) e e 9 a) f() + b) f() arc tg + a) f'() ( + ) ( ) + e + ( ) ( + ) + + b) f'() ( + ) ( ) + [( )/( + )] ( + ) + + [( ) /( + ) ] ( + ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) + Puntos en los que la derivada vale k 0 Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funciones: a) y + b) y a) f'() Punto (, ) b) f'() 0 8,. Puntos (, ) y (, ) Obtén los puntos donde f'() en los siguientes casos: a) f() + b) f() + +5 a) f'() ; 8 ; f() 0 8 P(, 0) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

22 b) f'() ; 8 ( +5) ( +5) 8 ( +5) ; f( ) 8 P(, ) 7; f( 7) 8 Q( 7, ) Halla los puntos en los que la derivada de cada una de las siguientes funciones es igual a : a) y b) y + c) y + d) y ln ( ) a) f'() 8 8 ; f() 0 8 P(, 0) b) f'() 8 8 ( +) ( +) 8 ( +) ; f( ) 8 P(, ) ; f( ) 8 Q(, ) c) f'() ; f( ) 8 P(, ) d) f'() 8 8 ; f ln 8 P, ln ( ) ( ) Halla los puntos en los que la derivada vale 0 en cada uno de los siguientes casos: a) y 8 +5 b) y + 5 c) y d) y + a) f'() ; f() 8 P(, ) b) f'() ; f 8 P, c) f'() ; f(0) 0 8 P(0, 0) ; f( ) 8 Q(, ) ; f( ) 8 R(, ) d) f'() ; f(0) 8 P(0, ) ( +) ( +) ( ) ( 5 ) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

23 UNIDAD Recta tangente Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto de abscisa. f'() 5; m f'(), f() 0 La recta es y ( ). 5 Escribe la ecuación de la recta tangente a y en el punto de abscisa. f'() + ; m f'( ), f( ) La recta es y ( + ) Escribe la ecuación de la recta tangente a y + + cuya pendiente sea igual a. f'() + 8 ; f( ) La recta es y ( + ). 7 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y + en 0. f'() ; m f'(0), f(0) + La recta es y +. Puntos singulares 8 Obtén los puntos singulares de las siguientes funciones: a) y + 5 b) y + c) y d) y a) f'() ; f 8 P, b) f'() ( ) ) 0; f(0) 8 P(0, ) ; f() 0 8 Q(, 0) ( c) f'() 8 0 d) f'() 8 0 0; f(0) 0 8 P(0, 0) ; f() 7 8 Q(, 7) ; f() 6 8 P(, 6) ; f( ) 6 8 Q(, 6) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

24 9 Halla los puntos singulares de las siguientes funciones: a) y + b) y + a) f'() ; f() 8 P(, ) ; f( ) 8 Q(, ) b) f'() ; f(0) 0 8 P(0, 0) ( +) ( +) Página 50 Comprueba que las siguientes funciones no tienen puntos singulares: a) y + b) y c) y d) y ln a) f'() no tiene solución. b) f'() 8 0 no tiene solución. c) f'() 8 0 no tiene solución. d) f'() 8 0 no tiene solución. Crecimiento y decrecimiento 5 Observa los resultados obtenidos en los ejercicios 5 al 5 y di si cada una de las funciones dadas es creciente o decreciente en el punto que se indica. 5) Creciente. 6) Ni crece ni decrece. 7) Creciente. 8) Decreciente. 9) Decreciente. 0) Decreciente. ) Creciente. ) Decreciente. ) Creciente. ) Creciente. 5) Decreciente. 5 Obtén los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las siguientes funciones: + a) y b) y 5 c) y + d) y e) y f) y Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

25 UNIDAD a) f'() 8 Creciente en +@). b) f'() 8 Decreciente en +@) c) f'() 8 Crece en, +@. Decrece ( d) f'() 8 Crece en ). Decrece en (, +@). e) f'() 8 Creciente en +@). f) f'() 8 Crece en ) «(, +@). Decrece en (, ). ) ( ) 5 Indica en cada una de estas funciones los valores de en los que f' es positiva y en los que f' es negativa. Observa su crecimiento y decrecimiento. La primera crece si <. a) f' > 0 si < f' < 0 si > b) f' > 0 si < 0 f' < 0 si > 0 c) f' > 0 si ) «(, +@) f' < 0 si é(, ) 5 Dada la función f () , obtén su función derivada y estudia su signo. Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f? Tiene f máimo o mínimo? f'() f' > 0 f' < 0 f' > 0 Crece en ) «(, +@). Decrece en (, ). Máimo en. Mínimo en. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 5

26 Gráficas de funciones polinómicas y racionales 55 Representa una función y f () de la que sabemos: Es continua. f () +@; f 8 +@ Tiene tangente orizontal en (, ) y en (, 5). Indica si los puntos de tangente orizontal son máimos o mínimos. (, ) es un mínimo. (, 5) es un máimo. 56 De una función polinómica sabemos que: f () +@; f () +@ 8 +@ Su derivada es igual a 0 en (, ) y en (, ). Corta a los ejes en (0, 0) y en (, 0). Represéntala gráficamente. 6 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

27 UNIDAD 57 Representa la función continua y f () de la que sabemos: En los puntos (, ) y (, ) la tangente es orizontal. Sus ramas infinitas son así: 58 Comprueba que la función y ( ) pasa por los puntos (0, ), (, 0) y (, ). Su derivada se anula en el punto (, 0). Puede ser un máimo o un mínimo ese punto? f'() ( ) : f(0) 8 pasa por (0, ) f() 0 8 pasa por (, 0) f() 8 pasa por (, ) f'() 0 El punto (, 0) no es ni máimo ni mínimo. 59 Comprueba que la función y + tiene dos puntos de tangente orizontal, (, ) y (, ); sus asíntotas son 0 e y y la posición de la curva respecto de las asíntotas es la que se indica en la ilustración de la dereca. Represéntala. f() + f'() 0 8, Puntos (, ) y (, ) f () +@; 8 0 f Asíntota vertical en 0. Asíntota oblicua en y Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 7

28 60 Comprueba que la función y : + Tiene derivada nula en (0, 0). La recta y es una asíntota orizontal. Posición de la curva respecto a la asíntota: Si y < Si 8 +@, y < Represéntala. ( f' () + ) ( ) ( + ) f'(0) 0; f (0) 0 ( + ) 8 ±@ + 6 Completa la gráfica de una función de la que sabemos que tiene tres puntos singulares: ( 5 5,, (0, 0) y (, ) ) y que sus ramas infinitas son las representadas. 8 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

29 UNIDAD Página PARA RESOLVER 6 0 VALOR (en miles de euros) TIEMPO (en años) Los coces, una vez que se compran, empiezan a perder valor: un 0% cada año, aproimadamente. Esta gráfica muestra el valor de un coce desde que se compró asta años más tarde. Calcula lo que se deprecia el coce en los dos primeros años, entre los años y 6, y entre los años 8 y 0. Es constante la depreciación? Depreciación: [0, ] [, 6] [8, 0] La depreciación no es constante. 6 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y que sean paralelas a la recta 6 y +00. La pendiente de la recta es el coeficiente de cuando la y está despejada. f'() 6 8,. Puntos: (, 0) y (, 0) Rectas: y 6 ( + ), y 6 ( ) 6 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función y en los puntos de corte con el eje de abscisas. Puntos de corte con el eje de abscisas: 0 8, Puntos: (, 0) y (, 0) f'(), f'(), f'( ) Las rectas son: En, y + 8 En, y + 8 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 9

30 65 a) Cuál es la derivada de y + 8 en cualquier punto? b) Cuánto a de valer para que la derivada de y sea igual a? c) En qué punto la recta tangente a la gráfica de la función y es paralela a la recta y + 8? a) f'() b) f'() 6 8 c) En el punto (, ). 66 En qué puntos la recta tangente a y tiene la pendiente igual a 8? f'() 8 8, Puntos (, 0) y (, 0). 67 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y que son paralelas a la recta + y 0. f'() ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 8 0, En (0, 0), y En (, ), y ( ) Halla los puntos de tangente orizontal de la función y 9. f'() ,. Puntos (, ) y (, 8). 69 En qué puntos de y / la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante? Eiste algún punto de tangente orizontal en esa función? f'() 8,. Puntos (, ) y (, ). 0 no tiene solu- No eiste ningún punto de tangente orizontal, pues f'() ción. 70 La ecuación de la recta tangente a una función f () en el punto de abscisa es y + 0. Cuál es el valor de f'()? Y el de f ()? Halla la pendiente de esa recta y ten en cuenta su relación con la derivada. + La recta tangente es y ; su pendiente es f'() f () 0 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

31 UNIDAD 7 Aplica las propiedades de los logaritmos para derivar las siguientes funciones: a) f() ln + b) f() ln + c) f() ln e d) f() log ( 5) e) f() log (tg ) f) f() ln a) f() ln ( + ) ln ( ) f'() + b) f() [ln ln ( + )] f'() [ ] [ ] + c) f() ln + ln e ln f'() d) f() log ( 5) log 5 ln ln 0 ( 5) ln 0 ln 0 f'() [ ] ln 0 ( 5) 9 5 e) f() log (tg ) + tg f'() tg ln 0 ( + tg ) tg ln 0 f) f() ln f'() ln + ln + 7 En cada una de las siguientes funciones, alla los puntos singulares y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máimos o mínimos. Represéntalas: a) y b) y + c) y + d) y e) y f) y + g) y ) y 8 + Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

32 a) f'() 6 f'() 0 ï f (0) 0 8 (0, 0) 8 f () 8 (, ) ( ( ) +@ 8 +@ y b) f'() f'() 0 ï ± f () 0 8 (, 0) f ( ) 8 (, ) ( + ( + ) +@ 8 +@ 6 y c) f'() + f'() 0 ï ï 0 8 f (0) 0 8 (0, 0) 8 f ( ) 7 8 (, 7) ( + ) ( + ) +@ 8 +@ 0 y Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

33 UNIDAD d) f'() 8 + ; f'() 0 ï 6 ± 6 6 ± ï f () 8 (, ) f () 0 8 (, 0) ( 9 + ( 9 + 0) +@ 8 +@ y e) f'() ; f'() 0 ï ± f () 6 8 (, 6) f ( ) 6 8 (, 6) ( ) +@ ( 8 +@ y f) f'() + ; f'() 0 ï 0 8 f (0) 0 8 (0, 0) ï ( ) 8 f 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) ( + g) f'() 5 8 8; f'() 0 ï ( + 8 +@ y y + ï 0 8 f () 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) 0 ( ( ) +@ @ Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

34 ) f'() 6; f'() 0 ï ï 0 8 f (0) 8 (0, ) 8 f () 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) ( 8 + ) +@ 8 +@ y ( Representa las siguientes funciones allando los puntos singulares y estudiando sus ramas infinitas: a) y + b) y + c) y d) y e) y f ) y ( + 5) + + a) f'() + 0 8, Puntos de tangente orizontal: (, 7 ), (, 0) ( + ) +@ 8 +@ ( + y + b) f'() + ( ) 0 8 0,, Puntos de tangente orizontal: y (, ), (0, 0) y (, ) + ( + 8 +@ ( + Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

35 UNIDAD c) f'() ( + 5) + 0 8, ( ) ( ) Puntos de tangente orizontal: (, ), (, 9 ) 8 +@ y d) f'() ( ) 0 8 ( + ) Puntos de tangente orizontal: 8 +@ (, ) y + (, ) 5 ( + 5) e) f'() ( + 5) ( + 5) ( + 5) Puntos de tangente orizontal: ( 5, 0 ) @ ( + 5) ( + 5) 0 6 y ( + 5) Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 5

36 ( + ) f) f'() + 8 ( + ) 0 8 0, ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de tangente orizontal: (, 6), (0, 0) 8 ±@ (asíntota oblicua) y Página 7 Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente orizontal. Represéntalas estudiando sus ramas infinitas y los puntos de corte con los ejes: a) y b) y c) y + d) y + a) f'() 5? 0 ( + ) Los puntos de corte son: ( 0, ), (, 0) ( ) y Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

37 UNIDAD b) f'() +? 0 Los puntos de corte son: (, 0), (, 0) y c) f'() +? 0 El punto de corte es: (0, 0) y d) f'()? 0 ( ) El punto de corte es: ( 0, ) 6 y ( ) 75 Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y 6 c) y + d) y ( ) + e) y f ) y + g) y ) y + ( ) i) y + j) y Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 7

38 a) f'() 6 ( 6) Asíntotas verticales:, Y y 6 6 Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. 6 6 X 6 Y b) f'() + ( ) Asíntotas verticales:, y Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. X c) f'() + 7 ( 6 + 5) Asíntotas verticales: 5, Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: ( 6,58; 0,05), (,58;,97) Y,5 + y ,5 6 0,5 6 X,5 8 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

39 UNIDAD d) f'() + 5 ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y Y 5 0 ( ) y + No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son: (, 0), ( 5, ) 6 y X e) f'() + + ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y y + 6 Y No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: 6 6 X ( 0,6; 0,5), (,7; 7,6) 6 y f) y' ( ) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0) 6 Y 6 y 6 X Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 9

40 g) f'() + 6 ( + ) Asíntotas verticales:, y + Y 6 Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0), (, ) X ) f'() ( ) Asíntotas verticales: Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0) y ( ) 6 Y 6 6 X i) f'() ( + + ) Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas verticales ni oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (, ), (, ) y Y 6 6 X 6 j) f'() ( ) Asíntotas verticales: Y 6 y 5 Asíntotas oblicuas: y + No ay asíntotas orizontales ni puntos de tangente orizontal. 6 X 0 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

41 UNIDAD 76 Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por (0, ) y que la pendiente de la recta tangente en el punto (, ) vale 0. Llama a la función f () a + b + c y ten en cuenta que f (0), f () y f ' () 0. f () a + b + c f'() a + b f (0) 8 c f () 8 a + b + c f'() a + b La función es f () Halla el vértice de la parábola y +6 + teniendo en cuenta que en ese punto la tangente es orizontal. f'() Punto (, ). 78 Determina la parábola y a + b + c que es tangente a la recta y en el punto A(, ) y que pasa por el punto B(5, ). f () a + b + c f'() a + b f () 8 a + b + c f'() 8 a + b f (5) 8 5a + 5b + c La función es f () Halla el valor de para el que las tangentes a las curvas y +5 e y +6 sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes. f() f'() 6 g() g'() + 6 a b 6 c Para f () + 5 la tangente en es: y 0 ( ) + 8 y 0 7 Para g() + 6 la tangente en es: y 0 ( ) y 0 a / b c 80 Halla a, b y c en f () + a + b + c de modo que la gráfica de f tenga tangente orizontal en y en 0 y que pase por (, ). f () + a + b + c f'() + a + b Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

42 f'( ) a + b 0 f'(0) 0 8 b 0 f () 8 + a + b + c La función es f () a 6 b 0 c 6 8 Halla el valor de k para que la tangente a la gráfica de la función: y 5 + k en pase por el origen de ordenadas. Pendiente de la recta tangente: f'() 5 8 f'() Punto de tangencia: ; y 5 + k 8 (, + k) Ecuación de la recta tangente: y + k ( ) Para que pase por (0, 0), debe verificarse: 0 + k + 8 k CUESTIONES TEÓRICAS 8 Calcula la T.V.M. de f () en los intervalos [, ], [, ] y [, ]. Justifica por qué obtienes el mismo resultado. + 5 T.V.M. [, ] 7 T.V.M. [, ] 0 + T.V.M. [, ] 7 T.V.M. para todos. La función es una recta de pendiente. 8 Dibuja una función que tenga derivada nula en y en, derivada negativa en el intervalo [, ] y positiva para cualquier otro valor de. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

43 UNIDAD 8 Pon ejemplos de funciones f cuya derivada sea f'(). Cuántas eisten? Eisten infinitas. f () + k, donde es cualquier número. 85 Esta es la gráfica de la función y. Por qué podemos asegurar que el eje de abscisas es la tangente de esa curva en (0, 0)? Ecuación de la tangente en (0, 0): f'() 8 f'(0) 0 8 y 0 + 0( 9) 8 y 0 es el eje de abscisas. 86 Y f Qué relación eiste entre f y g? Y entre f' y g'? g X 0 f g + f' g' Son rectas paralelas (de igual pendiente). 87 Eiste algún punto de la función y en que la tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (, )? En caso afirmativo, állalo. f'() Pendiente de la recta Punto ( 5, ) 8 88 Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vértice de la parábola y a b + b + c es. a f'() a + b 0 8 b a Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

44 89 Si f'() 0, cuál de estas afirmaciones es correcta? a) La función f tiene máimo o mínimo en. b) La recta tangente en es orizontal. c) La función pasa por el punto (, 0). La correcta es la b). 90 Y Esta es la gráfica de f', la función derivada de f. f' X a) Tiene f algún punto de tangente orizontal? b) Es f creciente o decreciente? a) Sí, en, puesto que f'() 0 b) Si < es creciente, pues f' > 0; y si > es decreciente, pues f' > 0. Página 5 PARA PROFUNDIZAR 9 Halla la derivada de f () en el punto de abscisa aplicando la definición. f ( + ) f () + f'() ( + ) ( + + ) ( + + ( ) 8 0 ) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y ln que es paralela a la recta y. f'() 8 ; f ( ) La recta es y ( ) ln ln ln ln Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

45 UNIDAD 9 Cuáles son los puntos singulares de las funciones y sen e y cos en el intervalo [0, π]? f() sen 8 f'() cos 0 8 π, π Máimo en π (, ) y mínimo en ( π, ). g() cos 8 g'() sen 0 8 0, π Máimo en (0, ) y mínimo en (π, ). 9 Tiene algún punto de tangente orizontal la función y tg? No, puesto que f'()? 0 para todo. cos 95 Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y ( + ) + c) y d) y a) f'() +? 0 Y No ay puntos de tangente orizontal. Puntos de corte con los ejes: (, 0), (, 0) Dominio Á {0} Asíntota vertical: 0 X Asíntota oblicua: y b) f'() ( + ) ( + ) 9( + ) 9( + ) ( + ) ( + ) 0 8 0, ( + ),5 Y Mínimo en (,5;,5). Punto de infleión en (0, 0). Puntos de corte con los ejes: (0, 0). X Dominio Á { } Asíntota vertical: Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 5

46 ( ( c) f'() ) ( + ) ) ( + ) Y Mínimo en (, 5). 8 Dominio Á {0} Asíntota vertical: 0 Asíntota oblicua: y 6 X ( d) f'() ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( + + ] + ) ( ) ( ) Mínimo en (0, 0). Puntos de corte con los ejes: (0, 0), (, 0), (, 0) Dominio Á {, } X Asíntotas verticales:, Y 96 El coste total (en dólares) de fabricación de q unidades de cierto artículo es C (q) C (q) q + 5q El coste medio por unidad es: M (q). q a) Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad sea mínimo? b) Calcula C (q) y M (q) para el valor de q que as allado en el apartado a). q a) M(q) + 5q + 75 q (6q + 5)q (q 6q M' (q) + 5q + 75) + 5q q 5q 75 q q 5 8 q 5 unidades q Se deben fabricar 5 unidades. b) C(5) 75; M(5) 5 q q 6 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

47 UNIDAD 97 La función f () 60 indica los beneficios obtenidos por una empresa + 9 desde que comenzó a funcionar ( f () en miles de euros, en años). a) Represéntala gráficamente. b) Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máimo? Cuál es ese beneficio? c) Perderá dinero la empresa en algún momento? 60 ( a) f'() + 9) ( + 9) ( + 9) ( + 9) 8 ( no está en el dominio) Máimo en (, 0). f () 0 8 asíntota orizontal: y 0 8 La gráfica sería: b) Beneficio máimo en 8 A los años. El beneficio sería f () 0 miles de euros. c) No perderá dinero ni llegará un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas, pues f () 0 y f () > 0 para todo > 0. Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 7

48 Página 5 AUTOEVALUACIÓN. Observa la gráfica de la función y f() y responde. Y X a) Cuál es la T.V.M. en los intervalos [0, ] y [, ]? b) Tiene algún punto de tangente orizontal? c) Para qué valores de es f'() > 0? d) Sabemos que la tangente en el punto de abscisa 0 es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. Cuánto vale f'(0)? f () f (0) / a) T.V.M. [0, ] 0 f ( ) f ( ) 0 T.V.M. [, ] ( ) + b) Sí, P (, ). c) Si <, f'() > 0. d) La recta y (bisectriz del.º cuadrante) tiene pendiente igual a. Por tanto, f'(0).. Dada f(), prueba que f'( ) 7 aplicando la definición de derivada. f ( + ) f ( ) f'( ) f( ) ( ) ( ) f ( + ) ( + ) ( + ) f ( + ) f ( ) 7 f ( + ) f ( ) Por tanto, f'( ) 7. 8 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

49 UNIDAD. Halla la derivada de las siguientes funciones: a) y + b) y e c) y cos π d) y ( ) a) f'() b) f'() e + ( )e e ( ) c) f'() π cos π ( sen π) π cos π sen π ( ) d) f'() D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Escribe la ecuación de la tangente a la curva y ln en el punto de abscisa. Punto de tangencia:, y ln 0 8 P(, 0) Pendiente de la recta tangente: f'() 8 f'() Ecuación: y 0 + ( ) 8 y 5. Halla los puntos singulares de la función y + ( ). Tiene máimo o mínimo relativo esa función? f() + ( ) 8 f'() ( ) ( ) ( ) f'() 0 8 ( ) f() + ( ) Punto singular: (, ) Como f'() ( ) es menor que 0 para cualquier valor de?, f es decreciente en todo su dominio y, por tanto, el punto singular no es máimo ni mínimo Determina los puntos singulares de y de la cual conocemos sus asíntotas y la posición de la curva con respecto a ellas. Represéntala. Y X Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 9

50 f() ( )( ) ( + ) ( ) ( + ) + ( ) f'() ( ) ( ) + + ( ) + f'() ( ) f (0) ; f () 6 0 Los puntos singulares son (0, ) y (, 6). El primero es un mínimo y el segundo, un máimo. Y X 7. Representa la función y + 6. y + 6 es una función polinómica, por ello es continua en Á. Ramas infinitas: ( + 6) +@ 8 +@ ( + Puntos singulares: f'() f'() f () (, 0) f ( ) ( ) ( ) (, ) Los puntos singulares son (, 0) y (, ). 50 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones

51 UNIDAD Esta es su gráfica: Y X 8. Estudia y representa y. f () Dominio de definición: Á {0} Asíntota vertical: 0. Posición Asíntota orizontal: 8@ ; y. Posición 8 0, f () 8 0 +, f () 8 +@, f () < f () < Puntos singulares: ( ) f'() ( ) f'() 0 8 No tiene puntos singulares. Esta es su gráfica: 0. No tiene solución. Y X Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones 5

52 9. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de: f() f() 8 f'() Buscamos los valores de para los que f'() > 0 8 > 0 f'() > 0 f'() < 0 f'() > 0 Intervalos de crecimiento de f: ) «(, +@) Intervalo de decrecimiento de f: (, ) La función tiene un máimo en y un mínimo en. 5 Unidad. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones