Matemáticas Discretas Enrique Muñoz de Cote INAOE. Permutaciones y Combinaciones
|
|
- Soledad Ana Molina Poblete
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Matemáticas Discretas Enrique Muñoz de Cote INAOE Permutaciones y Combinaciones
2 Contenido Introducción Reglas de la suma y el producto Permutaciones Combinaciones Generación de permutaciones Teorema del Binomio 2
3 CONTEO Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Ejemplo : Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?. Se les denomina técnicas de conteo a las: combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo. 3
4 Introducción En ocasiones, interesa saber cuántas diferentes permutaciones/combinaciones de elementos se pueden generar a partir de cierto conjunto, por ejemplo: Cuántos comités diferentes de 3 personas puede haber a partir de un grupo de 10 individuos? De cuántas diferentes maneras pueden repartirse 5 cartas a partir de 52 cartas (poker)? De una urna con 10 bolas, 6 rojas y 4 negras, cuántas formas diferentes existen al extraer 4 bolas, asumiendo que cada vez que se saca una, se regresa a 4 la urna?
5 Introducción En esta sesión veremos la teoría matemática que nos permite hacer éstos cálculos, así como algunos ejemplos de aplicación 5
6 Motivación En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el calculo señalado.
7 Experimento Un proceso físico que tiene un número de posibles resultados Ejemplos: Tirar una moneda y observar que cara queda arriba Tirar n monedas y observar las caras que quedan arriba en cada moneda Sacar m pelotas de una caja con n pelotas Seleccionar 3 miembros para un comité de un grupo de n personas De n personas que fuman, observar cuántas tienen cáncer 7
8 Principio De Multiplicación Si un evento o suceso A puede ocurrir, en forma independiente, de m maneras diferentes y otro suceso de n maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es m. n
9 Principio De Multiplicación Si hacemos 2 experimentos, uno con n posibles resultados, y otro con m posibles resultados, el número total de resultados al realizar ambos experimentos es m x n Ejemplos: A partir de 10 senadores y 10 diputados se va a hacer un comité con 3 senadores y 4 diputados, de cuántas maneras diferentes se puede conformar dicho comité 9
10 Ejemplo 1: En la etapa final de fútbol profesional de primera, cuatro equipos : CRISTAL ( C ), BOYS ( B),ESTUDIANTES ( E ), UNIVERSITARIO (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares? Solución : Utilizando el principio de multiplicación 1º 2º EXPLICACIÓN: 4 x 3 # maneras = 12 1 o El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los cuatro equipos. 2 o El segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los otros tres equipos que restan 3 o Por el principio de multiplicación, se observa que el evento del primer lugar se presenta de 4 maneras y el del segundo lugar de 3 maneras distintas, entonces el número de maneras totales será : 4x3 = 12
11 Principio de adición Supongamos que un evento A se puede realizar de m maneras y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AÇ B ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de (m + n) maneras.
12 Ejemplo 1: Un repuesto de automóvil se venden en 6 tiendas en Morelia o en 8 tiendas de Cuernavaca. De cuántas formas se puede adquirir el repuesto? Solución : Por el principio de adición: Morelia ó Cuernavaca 6 formas + 8 formas = 14 formas
13 Principio de adición Si hacemos 2 experimentos, uno con n posibles resultados, y otro con m posibles resultados, el número total de resultados al realizar exactamente uno de los experimentos es m + n Ejemplos: A partir de 10 senadores y 10 diputados se va a hacer un comité con 3 miembros, todos ellos diputados o senadores, de cuántas formas se puede conformar el comité? 13
14 Principio de adición ó multiplicación? Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo. 14
15 Ejercicio 1 Cuántas placas para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto)
16 Utilizando el principio de multiplicación Solución : letras Dígitos 26 x 25 x 10 x 9 x 8 # placas = EXPLICACIÓN: 1 o El primer casillero puede ser ocupado por cualquiera de las 26 letras 2 o El segundo casillero puede ser ocupado por cualquiera de las 25 letras que restan 3 o El tercer casillero puede ser ocupado por cualquiera de los 10 dígitos ( del 0 al 9) 4 o El cuarto casillero lo pueden ocupar los 9 dígitos restantes 5 o El quinto casiller puede ser ocupado por cualquiera de los 8 dígitos restantes 6 o Por el principio de multiplicación, el número de placas será = 26x25x10x9x8 =
17 Ejercicio 2 Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?
18 Utilizando el Principio de adición RECUERDA: Solución: Bote Lancha Deslizador 3 o 2 o 1 Si se desea que se realicen los eventos A y B, entonces se utiliza el principio de multiplicación (x) Si se desea que se realicen los eventos A ó B, entonces se utiliza el principio de adición (+) # maneras = = 6
19 Permutaciones Dados n objetos, queremos obtener las diferentes formas de ordenar r de éstos objetos Por ejemplo, dada las letras a,b,c, de cuántas formas podemos arreglar 2 de ellas: ab, ba, ac, ca, bc, cb Esto se conoce como las permutaciones de r en n, P(n, r) 19
20 Permutaciones 20
21 Permutaciones 21
22 Permutaciones El número de permutaciones se obtiene de la siguiente manera: P(n,r) = n! / (n-r)! Donde n! es el factorial de n, definido como: n! = n (n-1) (n-2). x 2 x 1 (Por definición: 0! = 1) 22
23 Ejemplos: De cuántas maneras se pueden colocar 3 pelotas diferentes (azul, verde, rojas) en 10 cajas, si en cada caja sólo cabe una pelota? Si hay 7 oficinas, y queremos asignarle una oficina a cada uno de 4 estudiantes, de cuántas formas se pueden asignar las oficinas? Cuántos números de 3 dígitos se pueden escribir de forma que no se repitan dígitos? 23
24 Permutaciones Generalización Ahora consideramos que tenemos t clases de objetos, de forma que los de una clase son indistinguibles entre sí Cómo podemos ordenar n objetos, con q1 del tipo 1, q2 del tipo 2,, qt del tipo t? Por ejemplo, 3 letras, 2 a s y 1 b: aab, aba, baa 24
25 Permutaciones Generalización Esto lo podemos calcular de la siguiente manera: n! / (q1! q2! qt!) Ejemplos: Para el código morse (puntos y rayas), cuántos mensajes se pueden hacer con dos puntos y tres rayas? Hay 10 oficinas, 2 las va a explorar el robot 1, 5 el robot 2, y 3 el robot 3, de cuántas formas diferentes se pueden organizar los robots para explorar las oficinas? 25
26 Combinaciones Dado que tenemos n objetos, de cuántas formas podemos seleccionar r de éstos (sin importar el orden)? Por ejemplo, tenemos 3 pelotas, una roja, una verde y otra azul, de cuántas formas se pueden sacar 2 pelotas: (roja, verde), (roja, azul), (verde azul) 26
27 Combinaciones 27
28 Combinaciones 28
29 Combinaciones Esto son las combinaciones r de n, o C(n, r), y se obtienen con la siguiente expresión: C(n,r) = n! / r! (n-r)! Ejemplos: De cuántas formas se pueden colocar 3 pelotas (iguales) en 10 cajas, cada caja puede tener máximo una pelota? Cuántos números binarios de 5 dígitos con 3 unos se pueden tener? Cuántos comités distintos de 3 personas podría haber en este grupo de 60 estudiantes? 29
30 Generación de permutaciones Cómo generar todas las posibles permutaciones de n objetos? Si son pocos, lo podemos hacer a mano : abc acb bac bca cab cba 30
31 Generación de permutaciones Si son muchos, ya no es tan fácil! Para ello requerimos de un algoritmo para generar las permutaciones El algoritmo se basa en asignarle un número consecutivo a cada objeto (1,2, ), de forma que las permutaciones sigan un orden, llamado orden lexicográfico 31
32 Orden lexicográfico En el ejemplo, si hacemos a=1, b=2, c=3, entonces: abc 123 acb 132 bac 213 bca 231 cab 312 cba 321 Están ordenadas lexicográficamente 32
33 Algoritmo Iniciar con la secuencia menor de acuerdo al orden (1,2,, n) Dada la secuencia a [a 1,a 2, a m, a n ], generar la siguiente secuencia b [b 1,b 2, b m, b n ] tal que: De izquierda a derecha, a i =b i, hasta el máximo posible valor m Sustituir el valor b m, por el valor más pequeño a j, j>m, que sea mayor a b m Ordenar los demás elementos de acuerdo al orden lexicográfico Repetir 2 hasta alcanzar la secuencia mayor (n, n-1,, 1) 33
34 Ejemplo Dado el elemento: El valor m=3 124 Por lo que el elemento 4 se sustituye por el 5 (el menor de 635 que es mayor a 4): 125 Agregando el resto de los elementos:
35 Permutaciones de r elementos El algoritmo anterior se extiende directamente para generar las permutaciones de r elementos a partir de n objetos 35
36 Teorema del Binomio Binomio al cuadrado: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 Binomio al cubo: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 En general: (a + b) n =? 36
37 Teorema de Binomio En general, cada término surge de elegir a en n-k factores y b en k factores Por ejemplo, para el binomio al cubo: aba, aab, baa 3a 2 b C(3,1) a 2 b = 3a 2 b En general, cada término tiene como coeficiente C(n, k) 37
38 Teorema de Binomio Así, un binomio a la n se puede escribir como: (a + b) n = C(n,0) a n b 0 + C(n,1) a n-1 b C(n,n) a 0 b n Teorema del binomio: (a + b) n = Σ k C(n,k) a n-k b k 38
39 Triángulo de Pascal Una forma de obtener los coeficientes es mediante el triángulo de Pascal El triángulo tiene 1 s en las orillas, y todos los números interiores son la suma de los dos números de arriba 39
40 Triángulo de Pascal
41 Referencias [Liu] Capítulo 3 [Johnsonbaugh] Capítulo 4 41
42 Ejercicios Cuántos comités diferentes de 3 personas puede haber a partir de un grupo de 10 individuos? De cuántas diferentes maneras pueden repartirse 5 cartas a partir de 52 cartas (poker)? De una urna con 10 bolas, 6 rojas y 4 negras, cuántas formas diferentes existen al extraer 4 bolas, asumiendo que cada vez que se saca una, se regresa a la urna? 42
43 Ejercicios Cuántos comités de 3 estudiantes se pueden generar en el grupo (40 h, 20 m) si en el comité debe haber al menos un hombre y una mujer? Genera todas la permutaciones para 5 elementos (en orden lexicográfico) Dados 10 problemas, cuántos exámenes diferentes se pueden generar: (a) no importa el orden de los problemas, (b) si importa el orden 43
44 Ejercicios Extiende el algoritmo para generar permutaciones para r de n elementos Un paciente tiene 0, una o dos de 5 posibles enfermedades; y al menos un síntoma de 10 posibles síntomas. Cuántas posibles combinaciones de enfermedades-síntomas puede tener? Un robot puede observar de 1 a 3 marcas en un mapa con 50 marcas en cierto momento, cuántas posibles combinaciones de marcas puede observar 44
45 Ejercicios Da los coeficientes de expandir el binomio (a+b) 5 45
Matemáticas Discretas L. Enrique Sucar INAOE. Permutaciones y Combinaciones
Matemáticas Discretas L. Enrique Sucar INAOE Permutaciones y Combinaciones Contenido Introducción Reglas de la suma y el producto Permutaciones Combinaciones Generación de permutaciones Teorema del Binomio
Más detallesCapítulo 3: Técnicas de Conteo Clase 2: Permutaciones y Combinaciones, Coeficientes Binomiales y Aplicaciones a Probabilidad Discreta
Capítulo 3: Técnicas de Conteo Clase 2: Permutaciones y Combinaciones, Coeficientes Binomiales y Aplicaciones a Probabilidad Discreta Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática
Más detallesUnidad 3 Combinaciones
Unidad 3 Combinaciones Combinaciones Contar una selección no ordenada de objetos. Ejemplo Cuántos comités diferentes de tres estudiantes se pueden formar desde un grupo de cuatro estudiantes? R= 4 {1,2,3},
Más detallesProbabilidad y Estadística
robabilidad y stadística robabilidad y stadística Tema 3 Técnicas de Conteo Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Analizar los principios de conteo utilizados en probabilidad.
Más detallesUNIDAD X Teoría de conteo
UNIDAD X Teoría de conteo Regla de la suma UNIDAD 10 TEORÍA DE CONTEO Se les denomina técnicas de conteo a las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, que nos proporcionan la información de todas
Más detallesProbabilidad. Literature de ficción para níños. Literature de no ficción para níños. Literature de ficción para adultos. Otras
C APÍTULO 0 Probabilidad Resumen del contenido El Capítulo 0 presenta unos conceptos básicos de probabilidad, incluyendo clases especiales de eventos, valores esperados y permutaciones y combinaciones
Más detallesÁlgebra Lineal y Estructuras Matemáticas. J. C. Rosales y P. A. García Sánchez. Departamento de Álgebra, Universidad de Granada
Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas J. C. Rosales y P. A. García Sánchez Departamento de Álgebra, Universidad de Granada Capítulo 8 Combinatoria La combinatoria es la técnica de saber cuántos elementos
Más detallesProbabilidad. Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Teoría de probabilidades
Experimentos deterministas Probabilidad Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas,
Más detallesCapítulo 4 Probabilidad TÉCNICAS DE CONTEO Copyright 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.
Capítulo 4 Probabilidad TÉCNICAS DE CONTEO Copyright 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved. 4.1-1 Técnicas de conteo En muchos problemas de probabilidad, el reto mayor es encontrar
Más detallesCombinatoria. En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:
Conceptos de combinatoria Combinatoria En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir: 1. Población Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con
Más detallesRecuerda lo fundamental
11 Combinatoria Recuerda lo fundamental Curso:... Fecha:... COMBINATORIA VARIACIONES CON REPETICIÓN Son las agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos distintos.
Más detallesTEMA 17: PROBABILIDAD
TEMA 17: PROBABILIDAD Probabilidad de un suceso aleatorio es un numero entre 0 y 1 (más cerca del 0, mas difícil que ocurra. Más cerca del 1 más fácil que ocurra). Suceso seguro: Su probabilidad es 1.
Más detallesSolución del I Examen de Matemáticas Discreta
Solución del I Examen de Matemáticas Discreta 1. En un grupo hay 10 hombres y 15 mujeres: (a De cuantas maneras se puede elegir una comisión de 5 personas si hay al menos un hombre y dos mujeres? (b De
Más detallesContenidos. Capítulo 1 Grimaldi. Introducción Reglas. Combinación. Coeficiente. Permutación. Ejercicios 20/05/2014. sin repeticiones con repeticiones
Capítulo 1 Grimaldi Contenidos Introducción Reglas de la suma del producto Permutación sin repeticiones con repeticiones elementos repetidos circular Combinación sin repeticiones con repeticiones Coeficiente
Más detallesTécnicas de conteo. Permutaciones y combinaciones. Álvaro José Flórez. Febrero - Junio Facultad de Ingenierías
Técnicas de conteo Permutaciones y combinaciones Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012 Técnicas de conteo En el enfoque clásico,
Más detallesProbabilidad 3/1/2010. EVSC 5020: Bioestadística. Qué es probabilidad? Prof. Rafael R. Canales-Pastrana. EVSC 5020: Bioestadística
Probabilidad Prof. Rafael R. Canales-Pastrana 2 Qué es probabilidad? 3 1 Definiciones de Probabilidad La medida del grado de confianza que uno tiene, en que ocurra el acontecimiento. Método axiomático:
Más detallesNormalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
ENCUENTRO # 43 TEMA: Permutaciones y Combinatoria Ejercicio Reto Resolver las ecuaciones: a) b) DEFINICION: Permutación y Combinaciones Qué diferencia hay? Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente,
Más detallesESTADÍSTICA INFERENCIAL
ESTADÍSTICA INFERENCIAL ESTADÍSTICA INFERENCIAL 1 Sesión No. 2 Nombre: Probabilidad Contextualización En la sesión anterior analizamos cómo a largo plazo un fenómeno aleatorio o probabilístico posee un
Más detalles47! 44! 3! 3. Calcula: c) ( 5 2 ) ( 5 3 ) B)PROBLEMAS MEDIANTE VARIACIONES, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.
Ejercicios y problemas. A) NÚMEROS FACTORIALES Y COMBINATORIOS. 1. Calcula: a) 3! b) 5! c) 7! d) 4! 2. Simplifica al máximo, a) 15! 18! b) 23! 20! c) 33! 2! 35! d) 47! 44! 3! 3. Calcula: a) ( 6 2 ) b)
Más detallesI PRELIMINARES 3 1 Identidades notables... 3 1.1 Productos y potencias notables... 3 2 Uso del símbolo de sumatoria... 6 2.1 Símbolo de sumatoria:
ÍNDICE I PRELIMINARES Identidades notables............................... Productos y potencias notables...................... Uso del símbolo de sumatoria........................ 6. Símbolo de sumatoria:
Más detallesESTADISTICA 1 CONTEO
ESTADISTICA 1 CONTEO PRINCIPIO DE ENUMERACION PERMUTACIONES Y COMBINACIONES PRINCIPIO DE ENUMERACION Si un suceso puede ocurrir de m maneras diferentes y, después de que ha sucedido, un segundo suceso
Más detallesProbabilidad y Estadística
Probabilidad y Estadística Probabilidad Conceptos como probabilidad, azar, aleatorio son tan viejos como la misma civilización. Y es que a diario utilizamos el concepto de probabilidad: Quizá llueva mañana
Más detallesMETODOS DE CONTEO Y PROBABILIDAD
METODOS DE CONTEO Y PROBABILIDAD PROBABILIDAD Cuando realizamos un experimento, diremos que es: Determinista: dadas unas condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo. Aleatorio: dadas unas condiciones
Más detallesPREPARACION OLIMPIADA MATEMATICA CURSO
Comenzaremos recordando algunos conocimientos matemáticos que nos son necesarios. Para ello veamos el concepto de factorial de un número natural. Es decir, es un producto decreciente desde el número que
Más detallesSEGUNDA OLIMPIADA ESTATAL DE MATEMÁTICAS
PROBLEMAS PROPUESTOS PARA LA ETAPA DE ZONA PRIMER GRADO 1. Marcos tiene todas las letras del abecedario en tres tamaños: grandes, medianas y pequeñas: A,B,C,D,E,...,Z A,B,C,D,E,...,Z A,B,C,D,E,...,Z Usando
Más detallesUnidad Temática 2 Probabilidad
Unidad Temática 2 Probabilidad Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. El experimento que consiste
Más detallesMatemáticas Discretas TC1003
Matemáticas Discretas TC13 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas ITESM Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25 Una matriz A m n es un arreglo
Más detalles3. Qué posibilidades hay de que me toquen los cuatro ases en una mano de tute?.
Capítulo 1 COMBINATORIA Previamente al estudio de la probabilidad en sí, conviene dedicar algún tiempo al repaso de las técnicas combinatorias. Recordemos que la Combinatoria es la parte de las Matemáticas
Más detallesCapítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte
Capítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 2: Inducción y Recursión 1 / 20 Motivación
Más detallesDISTRIBUCIÓN N BINOMIAL
DISTRIBUCIÓN N BINOMIAL COMBINACIONES En muchos problemas de probabilidad es necesario conocer el número de maneras en que r objetos pueden seleccionarse de un conjunto de n objetos. A esto se le denomina
Más detalles3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:
Axiomas de la probabilidad 1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 p(a) 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p(e) = 1 3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: p(a B)
Más detallesOperaciones con monomios y polinomios
Operaciones con monomios y polinomios Para las operaciones algebraicas se debe de tener en cuenta que existen dos formas para representar cantidades las cuales son números o letras. Al representar una
Más detallesMATEMÁTICAS ÁLGEBRA (TIC)
COLEGIO COLOMBO BRITÁNICO Formación en la Libertad y para la Libertad MATEMÁTICAS ÁLGEBRA (TIC) GRADO:8 O A, B DOCENTE: Nubia E. Niño C. FECHA: 23 / 02 / 15 GUÍA UNIFICADA: # 1 5; # 1-6 y 1-7 DESEMPEÑOS:
Más detallesTEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
TEMA 1.- POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.- POLINOMIOS Recordemos que un monomio es una expresión algebraica (combinación de letras y números) en la que las únicas operaciones que aparecen entre las
Más detallesSon los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
PROBABILIDAD Definición de probabilidad La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Más detalles3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:
Axiomas de la probabilidad 1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 p(a) 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p(e) = 1 3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces: p(a B)
Más detallesDe cuántas maneras podemos elegir tres sabores diferentes de helados de una selección de 15 sabores para colocar en un bol?
Materia: Matemática de 5to Tema: Teoría Combinatoria Marco Teórico Las combinaciones de un subconjunto de un conjunto más amplio de objetos se refieren al número de formas en que podemos elegir los artículos
Más detallesEspacio Muestral, se denota con la letra S, y representa el conjunto de todos los sucesos aleatorios. Por ejemplo: Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por: S= {Ø, {C}, {X}, {C,X}}.
Más detallesGUIA No.3 TERCER PERIODO ESTADISTICA GRADO ONCE
GUIA No.3 TERCER PERIODO ESTADISTICA GRADO ONCE PERMUTACIONES Para considerar la técnica de la permutación es necesario definir la operación factorial, el operador factorial se define sobre los números
Más detallesIntroducción a la Probabilidad
Introducción a la Probabilidad Tema 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2 Objetivos Entender el concepto de experimento
Más detallesAlfabeto Braille. El total de posibilidades será: = 12. Teoría de la Computabilidad Prof. Carlos Iván Chesñevar DCIC, UNS
Capítulo : Combinatoria Teoría de la Computabilidad Módulo 9 Combinatoria La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE I
UNIDAD DE APRENDIZAJE I Saberes procedimentales Interpreta y utiliza correctamente el lenguaje simbólico para el manejo de expresiones algebraicas. 2. Identifica operaciones básicas con expresiones algebraicas.
Más detallesIntroducción al Álgebra
Capítulo 3 Introducción al Álgebra L a palabra álgebra deriva del nombre del libro Al-jebr Al-muqābāla escrito en el año 825 D.C. por el matemático y astrónomo musulman Mohamad ibn Mūsa Al-Khwārizmī. El
Más detallesTema 6 Probabilidad. 0.-Introducción La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y
Tema 6 Probabilidad 0.-Introducción La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Más detallesPrueba Matemática Coef. 1 NM-4
1 Centro Educacional San Carlos de Aragón. Sector: Matemática. Prof.: Ximena Gallegos H. Prueba Matemática Coef. 1 NM-4 Nombre: Curso: Fecha. Porcentaje de Logro Ideal: 100% Porcentaje Logrado: Nota: Unidad:
Más detallesSon los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
PROBABILIDAD La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. Experimentos deterministas
Más detallesPROBLEMAS DE PROBABILIDAD. 3. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados la suma de sus puntos sea: a) igual a 5 b) mayor que 10
1. Se lanza un dado. Halla la probabilidad: a) de salir el 3 b) de salir un número par c) de salir un número mayor que 2 PROBLEMAS DE PROBABILIDAD 2. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos monedas:
Más detallesTeoría de la decisión
Teoría de la decisión Repaso de Estadística Unidad 1. Conceptos básicos. Teoría de. Espacio muestral. Funciones de distribución. Esperanza matemática. Probabilidad condicional 1 Teoría de la decisión Teoría
Más detalles3. Este es un problema de combinaciones. El total de maneras como se pueden elegir los 12 dos grupos es 6
1. La probabilidad de que llueva el fin de semana es lo mismo que la probabilidad de que llueva el sabado o el domingo o ambos dias. Usando una tabla de doble entrada o diagramas de Venn se obtiene P(S
Más detallesLOS NUMEROS IRRACIONALES Y SU REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMERICA
GUIA Nº 1: LOS NÚMEROS REALES 1 GRADO: 8º PROFESORA: Eblin Martínez M. ESTUDIANTE: PERIODO: I DURACIÓN: 20 Hrs LOGRO: Realizo operaciones con números naturales, enteros, racionales e irracionales. INDICADORES
Más detallesCÁLCULO DE PROBABILIDADES
CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1. Regla de Laplace. Ejercicio 1. (2005) Ejercicio 2. (2004) María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dos dados sale el mismo número, gana Laura;
Más detallesTema 4. Probabilidad Condicionada
Tema 4. Probabilidad Condicionada Presentación y Objetivos. En este tema se dan reglas para actualizar una probabilidad determinada en situaciones en las que se dispone de información adicional. Para ello
Más detallesMultiplicación División
Aritmética CAPÍTULO V Multiplicación División 01. Calcule m + n + p + r, si mnpr 27 tiene como suma de sus productos parciales 3946. A) 13 B) 15 C) 16 D) 12 E) 11 02. En una multiplicación al multiplicando
Más detallesClase 8 Matrices Álgebra Lineal
Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas
Más detallesMATEMÁTICAS TEMA 50. Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas
MATEMÁTICAS TEMA 50 Polinomios. Operaciones. Fórmula de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas ÍNDICE. 1. Introducción. 2. El anillo de los polinomios. 3. Potencia de un polinomio.
Más detallesNúmeros reales Conceptos básicos Algunas propiedades
Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades En álgebra es esencial manejar símbolos con objeto de transformar o reducir expresiones algebraicas y resolver ecuaciones algebraicas. Debido a que
Más detallesEspacio muestral. Operaciones con sucesos
Matemáticas CCSS. 1º Bachiller Tema 12. Probabilidad Espacio muestral. Operaciones con sucesos 1. Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos a) Lanzar una moneda y anotar el resultado
Más detallesLA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Material adaptado con fines instruccionales por Teresa Gómez, de: Ochoa, A., González N., Lorenzo J. y Gómez T. (008)
Más detallesTraza de una Matriz Cuadrada
Traza de una Matriz Cuadrada Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 10 de septiembre de 2008 Índice 7.1. Definiciones y propiedades básicas.................................. 1 7.2. La traza de un producto........................................
Más detallesProbabilidad es una manera de indicar la posibilidad de ocurrencia de un evento futuro
Probabilidad es una manera de indicar la posibilidad de ocurrencia de un evento futuro La probabilidad nos proporciona un modelo teórico para la generación de los datos experimentales Medidas de la Posibilidad
Más detallesProbabilidad Condicional
Cómo actualizar la probabilidad de un evento dado que ha sucedido otro? o Cómo cambia la probabilidad de un evento cuando se sabe que otro evento ha ocurrido? Ejemplo: Una persona tiene un billete de lotería
Más detallesValeri Makarov: Estadística Aplicada y Cálculo Numérico (Grado en Química)
Estadística Aplicada y Cálculo Numérico (Grado en Química) Valeri Makarov 10/02/2015 29/05/2015 F.CC. Matemáticas, Desp. 420 http://www.mat.ucm.es/ vmakarov e-mail: vmakarov@mat.ucm.es Capítulo 3 Elementos
Más detallesCONCURSO NACIONAL DE MATEMÁTICA SECUNDARIA BÁSICA CURSO TEMARIO COMÚN
CONCURSO NACIONAL DE MATEMÁTICA SECUNDARIA BÁSICA CURSO 2005 2006 TEMARIO COMÚN NOMBRE: GRADO: ESCUELA: MUNICIPIO: TIEMPO: 4 HORAS. Una panadería vende panecillos a $0.30 cada uno, o 7 panecillos en $.00
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesFig Rutas que unen la ciudad círculo, la población triángulo y villa cuadrada.
OBJETIVO N 01 INTERPRETAR EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO Y APLICARLO EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS. ACTIVIDAD N 01 ANALICE LA SIGUIENTE INFORMACION Y LOS EJEMPLOS DESARROLLADOS SOBRE EL 3.1. PRINCIPIO
Más detallesProbabilidad y Estadística II
www.cienciascsjic.tk Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Probabilidad y Estadística II Bloque I Tutorial sobre Técnicas de Conteo Ing. Jonathan Quiroga Tinoco Ciclo Escolar: Febrero Julio 2015 Técnicas de
Más detallesGuía Nº 1(B) ALGEBRA
Liceo Industrial Benjamín Dávila Larraín Unidad Técnica Pedagógica Guía Nº (B) ALGEBRA I. Identificación Docente Verónica Moya R. Claudia Paez Subsector/Módulo Matemática Email docente Aprendizaje Esperado
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesJUNIO Opción A
Junio 010 (Prueba Específica) JUNIO 010 Opción A 1.- Discute y resuelve según los distintos valores del parámetro a el siguiente sistema de ecuaciones: a x + a y + az 1 x + a y + z 0.- Una panadería se
Más detallesPARTE 1 PROBLEMAS PROPUESTOS FACTORIAL. 2. 31 Calcular:
PARTE 1 FACTORIAL 2. 31 Calcular: PROBLEMAS PROPUESTOS i. 9!, (9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 362880 ii. 10! (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 3628800 iii. 11! (11)(10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 39916800
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a
Más detallesUNIDAD 8: SUCESIONES Y SERIES
UNIDAD 8: SUCESIONES Y SERIES Llegamos a la última unidad de la asignatura correspondiente a Sucesiones y Series, recuerde mantener la motivación hasta el final, el tema que vamos a tratar aquí es de especial
Más detallesTema 5 Algunas distribuciones importantes
Algunas distribuciones importantes 1 Modelo Bernoulli Distribución Bernoulli Se llama experimento de Bernoulli a un experimento con las siguientes características: 1. Se realiza un experimento con dos
Más detallesEjercicios elementales de Probabilidad
Ejercicios elementales de Probabilidad 1. Se extrae una carta de una baraja de 52 naipes. Halla la probabilidad de que sea: (a) Un rey. (b) Una carta roja. (c) El 7 de tréboles. (d) Una figura de diamantes.
Más detalleslasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas
1. Fracciones Una fracción es una expresión del tipo a b, donde a y b son números naturales llamados numerador y denominador, respectivamente. 1.1. Interpretación de una fracción a) Fracción como parte
Más detallesEXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y SUCESO
EXPERIMENTO ALEATORIO, EPAIO MUETRAL Y UEO Experimento aleatorio: Es una acción o proceso que puede tener distintos resultados posibles, y cuyo resultado no se conoce hasta que no se lleva a cabo. Ejemplos:
Más detallesUnidad II: Fundamentos de la teoría de probabilidad
Unidad II: Fundamentos de la teoría de probabilidad 2.1 Teoría elemental de probabilidad El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos que se denominan aleatorios, cuya característica
Más detallesÁlgebra de Boole. Adición booleana. Multiplicación booleana. Escuela Politécnica Superior
Álgebra de Boole El Álgebra de Boole es una forma muy adecuada para expresar y analizar las operaciones de los circuitos lógicos. Se puede considerar las matemáticas de los sistemas digitales. Operaciones
Más detallesProbabilidad y Estadística
Probabilidad y Estadística Programa Probabilidad Teoría de conjuntos Diagramas de Venn Permutaciones y combinaciones Variables aleatorias y distribuciones Propiedades de distribuciones Funciones generadoras
Más detallesPROBABILIDAD. 3.-Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B:
Ejercicios y problemas 2º Bachillerato C.C.S.S. PROBABILIDAD 1.- Justifica gráficamente las siguientes igualdades: 2.- Tenemos dos urnas la urna I con 1 bola negra, 2 rojas y 3 verdes, y la urna II con
Más detallesSoluciones - Primer Nivel Juvenil
SOCIEDAD ECUATORIANA DE MATEMÁTICA ETAPA CLASIFICATORIA "VII EDICIÓN DE LAS OLIMPIADAS DE LA SOCIEDAD ECUATORIANA DE MATEMÁTICA" Soluciones - Primer Nivel Juvenil 0 de abril de 00. El vocal de deportes
Más detallesPreparación para Álgebra 1 de Escuela Superior
Preparación para Álgebra 1 de Escuela Superior Este curso cubre los conceptos mostrados a continuación. El estudiante navega por trayectos de aprendizaje basados en su nivel de preparación. Usuarios institucionales
Más detallesMATEMATICA GRADO 9 II PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: cel
GUIA DE TEORIA NO. 1 LO QUE DEBO SABER Regla de Cramer Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las siguientes condiciones: Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones
Más detallesXXV Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Tamaulipas Examen Selectivo 2 de octubre de 2011
XXV Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Tamaulipas Examen Selectivo 2 de octubre de 2011 1. Un maestro de matemáticas avisa a sus alumnos que preguntará la demostración de tres de los ocho teoremas vistos
Más detallesTEMA 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
TEMA 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Segundo Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.E.S de Fuentesaúco. Manuel González de León. CURSO 2011-2012 Página 1 de 14 Profesor: Manuel González de León Curso
Más detallesProbabilidad teórica (páginas )
A NOMRE FECHA PERÍODO Probabilidad teórica (páginas 8 ) La probabilidad teórica es la razón del número de maneras en que un evento puede ocurrir al número de resultados posibles. Calcula la probabilidad
Más detallesTutorial MT-m5. Matemática Tutorial Nivel Medio. Probabilidad
356790356790 M ate m ática Tutorial MT-m5 Matemática 006 Tutorial Nivel Medio Probabilidad Matemática 006 Tutorial Probabilidad Marco Teórico. Probabilidad P(#). Definición: La probabilidad de ocurrencia
Más detallesSi A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I?
MATRICES Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? La multiplicación de matrices cuadradas, tiene la propiedad conmutativa?
Más detallesPRÁCTICA 6: Introducción a las probabilidades
Facultad de Agronomía Laboratorio Estadística General Aux. P. Agr. Jorge Sandoval 1 Introducción PRÁCTICA 6: Introducción a las probabilidades Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas
Más detallesEJERCICIOS DEL BLOQUE DE PROBABILIDAD.
EJERCICIOS DEL BLOQUE DE PROBABILIDAD. 1.- Cuál es la probabilidad de sacar los dos ases al lanzar dos dados? 2.- Cuál es la probabilidad de obtener tres caras, lanzando al aire una moneda tres veces?.
Más detallesTeoría de Números. Divisibilidad. Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas
Teoría de Números Divisibilidad Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas 1. Introducción Divisibilidad es una herramienta de la aritmética que nos permite conocer un poco más la naturaleza de un número,
Más detallesEste documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a Ciencia Matemática El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Susana Puddu Ejemplo 1. Dados dos conjuntos A y B, donde A tiene k
Más detallesALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros
Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Z = N {0} N Enteros Las operaciones + y. son cerradas en Z, es decir la suma de dos números enteros es un número entero y el producto
Más detallesCANGURO MATEMÁTICO Nivel Estudiante (6to. Curso)
CANGURO MATEMÁTICO 2003 Nivel Estudiante (6to. Curso) Día 22 de marzo de 2003. Tiempo: hora y 5 minutos No se permite el uso de calculadoras. Hay una única respuesta correcta para cada pregunta. Cada pregunta
Más detallesGUÍA DE EJERCICIOS N 14 PROBABILIDADES
LICEO CARMELA CARVAJAL DE PRAT PROVIDENCIA DPTO DE MATEMATICA GUÍA DE EJERCICIOS N PROBABILIDADES SECTOR: Matemática PROFESOR(es): Marina Díaz MAIL DE PROFESORES: profem.maulen@gmail.com marinadiazcastro@gmail.com
Más detallesMATE IV Serie Álgebra 2015/01/26 NOMENCLATURA ALGEBRAICA
NOMENCLATURA ALGEBRAICA Definición (Término). Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Por ejemplo a, 3b, xy, son términos.
Más detallesHOJA DE TRABAJO UNIDAD 3
HOJA DE TRABAJO UNIDAD 3 1. Defina que es probabilidad Es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación, el resultado es al azar. Se refiere al estudio de la aleatoriedad y a la incertidumbre.
Más detallesEjercicios resueltos de probabilidad
Ejercicios resueltos de probabilidad 1) En un saco tenemos bolas con las letras de la palabra "MATEMÁTICAS" (en las bolas, ninguna letra tiene tilde). Sacamos cuatro bolas por orden Hay la misma probabilidad
Más detallesSESIÓN 11 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
SESIÓN 11 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS I. CONTENIDOS: 1. Función inversa, conceptos y definiciones 2. Derivación de funciones trigonométricas inversas 3. Ejercicios resueltos 4. Estrategias
Más detallesDOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P.
DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P. DEFINICIONES Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un texto matemático chino que proviene del año 300 A. C. a 200 A. C., Nueve capítulos
Más detalles