Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg"

José Luis García Casado
hace 6 años
Vistas:

1 Clse No. 18: Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg MAT 251 Dr. Alonso Rmírez Mnznres CIMAT A.C. e-mil: cimt.mx web: lrm/met_num/ Dr. Joquín Peñ Acevedo CIMAT A.C. e-mil: cimt.mx Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

2 Integrción numéric Dd un función f : [, b] R continu, queremos clculr l integrl definid de f en [, b]: f (x) dx Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

3 Integrción numéric Dd un función f : [, b] R continu, queremos clculr l integrl definid de f en [, b]: f (x) dx Por el teorem fundmentl del cálculo, si F es un primitiv de f, entonces f (x) dx = F(b) F(). Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

4 Integrción numéric Dd un función f : [, b] R continu, queremos clculr l integrl definid de f en [, b]: f (x) dx Por el teorem fundmentl del cálculo, si F es un primitiv de f, entonces f (x) dx = F(b) F(). No siempre se conoce un primitiv de f. De hecho, puede ser que l primitiv F no puede expresrse medinte funciones elementles. L lterntiv es relizr un estimción del vlor de l integrl. L integrción numéric es conocid como cudrtur, que es el nombre del método empírico en que se trzbn cudrdos bjo l curv en cuestión pr estimr el áre. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

5 Integrción numéric En l práctic, sólo se usn lgunos vlores de l función f en puntos del intervlo [, b] pr relizr l estimción de l integrl. L evlución de l expresión de F(x) puede ser menos estble numéricmente que plicr un regl de cudrtur de f (x). Aún cundo F(x) teng un expresión lgebric estble conocid, puede ser costos evlurl numéricmente. Se puede decir que cmbimos el problem de integrr f por otro en el que hy que clculr l integrl de f + f, que es más fácil de integrl, eligiendo f de modo que su integrl no se muy grnde. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

6 Aproximción por sums de Riemnn (I) Hcemos un prtición P del intervlo P n : = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b Definimos m i = min{f (x) : x i x x i+1 } M i = mx{f (x) : x i x x i+1 } n 1 n 1 L(f, P n ) = m i (x i+1 x i ), U(f, P n ) = M i (x i+1 x i ) i=0 i=0 c( 0.2, 2.5) b c( 0.2, 2.5) b Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

7 Aproximción por sums de Riemnn (II) Se tiene que L(f, P n ) U(f, P n ). Si n ument, L(f, P n ) debe umentr, mientrs que U(f, P n ) deberí decrecer. Tenemos que L(f, P n ) f (x) dx U(f, P n ). Pr simplicr, podemos usr un prtición uniforme de modo que x i = + b i pr i = 0, 1,..., n. n Podemos proximr el vlor de l integrl como f (x) dx = 1 2 [L(f, P n) + U(f, P n )] El error más grnde que se comete con est proximción es 1 2 [U(f, P n) L(f, P n )] Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

8 Aproximción por sums de Riemnn (III) El problem de usr este enfoque es que necesitmos clculr el máximo y el mínimo de l función en cd subintervlo [x i, x i+1 ], lo cul no es práctico. Ejemplo: Al clculr l integrl de sin x de 0 π/2 se obtienen los siguientes resultdos: n L(f, P n ) U(f, P n ) 1 2 [L(f, P n) + U(f, P n )] Así, necesitmos otro tipo de proximciones de l integrl: que no requiern hcer cálculos complicdos sobre l función f, que dependn de evlur l función f en lgunos puntos, y que ese número de puntos no se demsido grnde. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

9 Regl del trpecio (I) L regl del trpecio proxim l integrl por el áre del trpecio: xi+1 x i f (x) dx c( 0.2, 2.5) x i x i+1 I i = xi f (x) dx 1 x c( 0.2, 2.2) i 2 [f (x i) + f (x i+1 )](x i+1 x i ) Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

10 Regl del trpecio (II) Si tenemos l prtición = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b, Si definimos h = b n, entonces n 1 f (x) dx = i=0 I i = n 1 i=0 xi+1 Lo podemos reescribir como f () + f (b) f (x) dx h 2 x i = + b i pr i = 0, 1,..., n. n f (x) dx h n 1 [f (x i ) + f (x i+1 )] x i 2 i=0 n 1 + i=1 f (x i ) Ejemplo n L(f, P n ) U(f, P n ) Trpecio Aproximción de π/2 sin x dx Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

11 Regl del trpecio (III) Pr estimr el error que se comete con l regl del trpecio, se p i (x) el polinomio de grdo lo más 1 que interpol los puntos (x i, f (x i )) y (x i+1, f (x i+1 )). Entonces T i = xi+1 x i p i (x) dx = h 2 [p i(x i+1 ) p i (x i )] = h 2 [f (x i+1) f (x i )] De lo visto en l prte de interpolción, el error entre p i (x) y f (x) pr x [x i, x i+1 ] es f (x) p i (x) = 1 2 f (ξ x )(x x i )(x x i+1 ), pr lgún ξ x [x i, x i+1 ] xi+1 xi+1 I i T i = [f (x) p i (x)] dx = 1 x i 2 x i f (ξ x )(x x i )(x x i+1 ) dx Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

12 Regl del trpecio (IV) En cálculo, tenemos el siguiente resultdo: Si α(x) es continu en [, b] y β(x) es integrble en [, b] y no cmbi de signo, entonces existe c [, b] tl que α(x)β(x) dx = α(c) β(x) dx En nuestro cso, (x x i )(x x i+1 ) es no positiv [x i, x i+1 ] en y podemos suponer que f es continu. Entonces I i T i = f (ξ i ) xi+1 pr lgún ξ i [x i, x i+1 ]. Así, en todo el intervlo [, b], el error es n 1 (I i T i ) = h3 i=0 x i n 1 12 i=0 (x x i )(x x i+1 ) dx = h3 f (b )h2 (ξ i ) = f (ξ i ) 1 n 1 f (ξ i ). n i=0 Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

13 Regl del trpecio (V) El promedio de ls segunds derivds es un vlor que está dentro del intervlo del vlor mínimo y máximo de f en [, b]. Como supusimos que f es continu, debe existir un vlor ξ [, b] tl que f (ξ) = 1 n 1 f (ξ i ). n i=0 Así, el error cometido por l regl del trpecio es (b )h2 f (ξ) 12 De este modo, si l discretizción se hce más fin, el error de l proximción se reduce. Pr un discretizción dd, podemos esperr que el error no se muy grnde si el rngo de vlores de f tmbién es pequeño. Ejemplo: Dr un vlor pr h, tl que el error cometido l estimr π/2 sin x dx con l regl de trpecio se menor que Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

14 Regl recursiv del trpecio (I) Pr un prtición en el que el número de subintervlos es 2 n, entonces h = (b )/2 n y podemos escribir l regl del trpecio de l siguiente form: b [f () + f (b)] n = 0 2 R(n, 0) = h 2 n 1 [f () + f (b)] + h f ( + kh) n > 0 2 k=1 Podemos dr un fórmul recursiv del método de trpecio: R(n, 0) = 1 2 n 1 2 R(n 1, 0) + h k=1 f ( + (2k 1)h) n > 0 Pr ver esto, prtimos de l identidd R(n, 0) = 1 2 R(n 1, 0) + R(n, 0) 1 2 R(n 1, 0) y entonces clculmos l expresión que está entre corchetes. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

15 Regl recursiv del trpecio (II) Definimos C = h [f () + f (b)]. Entonces 2 2 n 1 R(n, 0) = h f ( + ih) + C i=1 Entonces 2 n 1 1 R(n 1, 0) = 2h f ( + 2jh) + 2C j=1 R(n, 0) 1 2 n 1 2 R(n 1, 0) = h i=1 2 n 1 1 f ( + ih) h j=1 2 n 1 = h f ( + (2k 1)h) k=1 f ( + 2jh) L ventj es que no tenemos que reevlur el integrndo en los puntos en donde y lo hemos evludo. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

16 Extrpolción de Richrdson (I) Considermos un función esclr A(h) pr l cul se cumple que existen constntes 0, 1 independientes de h, 1 = 0, y dos números positivos p, p, con p > p, tles que Ddo 0 < q < 1, entonces A(h) = h p + O(h p ), h 0. A(q 1 h) = q p h p + O(h p ) Multiplicndo l primer ecución por q p y restándole l segund, se obtiene 0 = q p A(h) A(q 1 h) q p 1 q p A(h) A(q 1 h) = (q p 1) 0 + O(h p ) + O(h p ) = q p A(h) A(h) + A(h) A(q 1 h) q p 1 0 = A(h) + A(h) A(q 1 h) q p 1 + O(h p ) h 0. + O(h p ) Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

17 Extrpolción de Richrdson (II) Así, si tenemos dos proximciones de A(0), A(h) y A(q 1 h), que tienen el mismo error O(h p, podemos obtener un mejor proximción: A ER = A(h) + A(h) A(q 1 h) q p 1 con un error menor de orden O(h p ), que es llmdo extrpolción de Richrdson. Esto yud mejorr l celerción en que converge un sucesión A(h n ) en l que h n 0, y A(0) es el vlor que queremos obtener. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

18 Método de Romberg (I) Este método produce un rreglo tringulr de l form R(0, 0) R(1, 0) R(1, 1) R(2, 0) R(2, 1) R(2, 2) R(3, 0) R(3, 1) R(3, 2) R(3, 3).... R(n, 0) R(n, 1) R(n, 2) R(n, 3) R(n, n) L primer column está dd por l proximciones de l integrl dd por l regl recursiv de trpecio. El resto de ls columns se obtienen por l fórmul de extrpolción de Richrdson... Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

19 Método de Romberg (II) Supongmos que tenemos R(0, 0) = b [f () + f (b)] 2 R(1, 0) = b + b f () + 2f + f (b) 4 2 Si I(f ) es el vlor excto de l integrl, entonces R(0, 0) = I(f ) + 1 h 2 + O(h 4 ) R(1, 0) = I(f ) + 1 (h/2) 2 + O(h 4 ) Medinte extrpolción de Richrdson, con q = 1 2 y p = 2, R(1, 0) R(0, 0) R(1, 1) = R(1, 0) +. 3 Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

20 Método de Romberg (III) Entonces I(f ) = R(1, 1) + O(h 4 ). Supongmos que tenemos clculdo R(2, 0). Entonces podemos usr R(1, 0) y R(2, 0) pr clculr R(2, 1). Así R(1, 1) = I(f ) + 2 h 4 + O(h 6 ) R(2, 1) = I(f ) + 2 (h/2) 4 + O(h 6 ) Aplicndo el método de extrpolción, podemos obtener l proximción R(2, 2). De mner generl, clculmos 1 R(n, m) = R(n, m 1) + 4 m [R(n, m 1) R(n 1, m 1)] 1 con n 1, m 1. Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

21 Método de Romberg (IV) Ejemplo: Estimr π/2 sin x dx con el método de Romberg: 0 R(0, 0) = R(1, 0) = R(1, 1) = R(2, 0) = R(2, 1) = R(2, 2) = R(3, 0) = R(3, 1) = R(3, 2) = R(3, 3) = Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 19

Documentos relacionados

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se