x f(x) ?

Transcripción

1 Idea intuitiva de ite: Sea c R y una función f definida cerca de c aunque no necesariamente en el mismo c. El número L es el ite de f cuando se aproima a c, y se escribe f() = L si y sólo si los valores de la función f() se aproiman (tienden) a L cuando se aproima a c. Dado el punto c, y según la anterior definición, eisten dos formas de aproimar a c: desde valores > c (por la derecha) y desde valores < c (por la izquierda). En cada caso se obtienen valores denominados ite por la derecha ( c + ) y ite por la izquierda ( c ). Por definición, para que eista el ite de una función ha de cumplirse que eistan los dos ites laterales (por la derecha y por la izquierda) y que ambos sean iguales. Consideremos, por ejemplo la función que no está definida en el punto = 1. Vamos a estudiar su comportamiento en los alrededores del punto = 1: se acerca a 1 por la izquierda se acerca a 1 por la derecha f() ? f() se acerca a 2 f() se acerca a 2 La utilización de este tipo de tablas o el uso de la calculadora nos permite intuir en algunos casos sencillos el valor del ite de una función en un punto c. Evidentemente habrá que utilizar otro tipo de técnicas para el cálculo de ites. En principio, tanto c como L son números reales, pero también podemos considerar la posibilidad de que L sea + o, en cuyo caso diremos que estamos ante un ite infinito. Si c es + o hablaremos de ites en el infinito. El ite por la izquierda de una función y = f(), cuando tiende a c, es el valor al que tiende la función para puntos muy próimos a c pero menores que c, escribimos: f() El ite por la derecha de una función y = f(), cuando tiende a c, es el valor al que tiende la función para puntos muy próimos a c pero mayores que c, escribimos: f() + Obviamente, cuando los ites laterales no coinciden, no eiste el ite de la función en ese punto. Ejemplo. Sea f() = Calcular, si es que eiste, f(). Teniendo en cuenta la definición de la función valor absoluto: { 0 = > 0 Observamos que la función f() se comporta de manera distinta a la derecha y a la izquierda de cero, luego es conveniente calcular los ites laterales: f() = = 1 f() = + + = 1 1

2 Por lo tanto: f() f() = f() + Cuando una función f() toma valores cada vez más grandes (o más pequeños) a medida que nos vamos acercando cada vez más a un punto c, diremos que f() tiende a + (o ) en el punto c Consideremos ahora la función f() = 1 1. Qué podemos decir de 2 2? y se acerca a 0 por la izquierda se acerca a 0 por la derecha f() ? En este caso escribiremos: f() crece sin tope f() crece sin tope 1 2 = + El efecto gráfico de un ite infinito en un punto c R se indica con la presencia de una asíntota vertical. Repasaremos este concepto en otra sección de este capítulo, donde también se recordara el concepto de asíntota horizontal y asíntota oblicua y se indicará como calcular las asíntotas de una función, si es que eisten. Al estudiar el comportamiento de una función f() cuando los valores de se hacen tan grandes (o tan pequeños) como queramos, lo epresamos diciendo que tiende a + infinito + (o infinito ). Si una función f() cumple que f() R o f() R nos encontramos con que la función f() presenta una asíntota horizontal (y = c). 1. En los ejercicios siguientes se consideran un número c y la gráfica de una función f. Utilizar la gráfica de f para hallar. a. f() b. f() + c. f() d. f(c) 2

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4 Cálculo de ites: Para calcular el ite de una función suelen aplicarse las propiedades generales de los ites. Dadas dos funciones f() y g() que tienen ite en un punto a, se cumplen las siguientes propiedades: [f() ± g()] = f() ± g() siempre que no aparezca la indeterminación. [λ f()] = λ f() con λ 0. [f() g()] = f() g() siempre y cuando no aparezcan indeterminaciones del tipo 0. [f()/g()] = f()/ g() siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones 0 0 o. (f()) k = ( ) k f() siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen. ( ) (f()) g() = f() g() siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos 0, 0 0 o 1. Sin embargo, en ocasiones no es posible recurrir simplemente a tales propiedades, por cuanto aparecen indeterminaciones que es preciso resolver. Se dice que hay una indeterminación cuando el ite de la función no se obtiene directamente de los ites de las funciones que la componen. 4

5 En algunos casos, simplificando las epresiones u obteniendo epresiones equivalentes a las iniciales, se puede resolver la indeterminación y calcular el ite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes. / : si se trata de funciones polinómicas, se divide el numerador y el denominador por el término de mayor grado. Si las funciones presentan radicales, se multiplican el denominador y el numerador por el conjugado de la epresión que contiene el radical. : si se trata de una diferencia de funciones, se realiza la operación de manera que se obtenga una epresión como cociente de funciones, para después calcular el ite. Si aparecen radicales, se multiplica y se divide por la epresión conjugada de la que contiene el radical. 0/0: si se trata de funciones polinómicas, se factorizan el numerador y el denominador y se simplifican los polinomios iguales resultantes. En funciones con radicales, se multiplican el numerador y el denominador por la epresión conjugada de la que contiene el radical. 0 : si f() tiende a 0, y g() tiende a infinito, la epresión f() g() se puede sustituir por f()/(1/g()), que es del tipo 0/0. También podemos sustituir f() g() por g()/(1/f()) que es una indeterminación del tipo infinito entre infinito. 1 : se puede utilizar la siguiente fórmula: f() g() g() [f() 1] = e o tomar logaritmos y obtenemos una indeterminación del tipo 0. También podemos calcular el ite transformando la epresión en una potencia del número e, teniendo en cuenta que: ( = e ) Si f() tiende a 1 cuando tiende a c (real o infinito) y g() tiende a infinito cuando tiende a c, entonces: ( [ ] 1 g() f() 1 1 f()g() = 1 + f() 1) [f() 1]g() = 1 + = 1/f() 1 = f() g() = e g() ln f() 0 : se puede utilizar la siguiente fórmula: y obtenemos una indeterminación del tipo : se puede utilizar la siguiente fórmula: y obtenemos una indeterminación del tipo 0. f()g() = e g() ln(f()) f()g() = e g() ln(f()) Eisten además otras técnicas que conviene dominar pues simplifican notablemente el cálculo de ciertos ites. estas técnicas son: Uso de infinitésimos. Decimos que f() es un infinitésimo cuando c si se cumple que f() = 0. 5

6 Decimos que f() y g() son infinitésimos equivalentes cuando c si son infinitésimos cuando c y cumplen que: f() g() = 1 y se escribe f() g() cuando c. Algunos infinitésimos equivalentes: sin cuando 0. tan cuando 0. arcsin cuando 0. e 1 cuando 0. ln (1 + ) cuando 0. 1 cos 2 2 Regla de L Hôpital. cuando Calcular, si es que eisten, los siguientes ites: a. ( 2) 3 d. g b e h c f. 1 + i Determinar, si eisten o no los ites indicados. Calcular los ites que eistan: { 2 1, 2 a. f() siendo f() = 2 2, > 2. b. 3 f() siendo f() = , < 3 7, = , > 3 4. Calcular los ites siguientes: a. e 1 e 2 e tan b. e 2 e e 1/ 2 ln +1 c. 1 d e. f. + sin ln 1 g. ( ) 1/ ( ) h ln i. ( ) + 1 j. sin 1 ( k. sin l. 2 )

7 Asíntotas: Cuando el punto P (, y) de una curva se desplaza a lo largo de ella, de tal forma que su distancia al origen tienda a infinito, puede suceder que la distancia de P a una recta fija, tienda a cero. Esta recta recibe el nombre de asíntota de la curva. Gráficamente: Eisten tres tipos de asíntotas. Se dice que una función f() tiene por asíntota vertical la recta cuya ecuación es = a cuando al menos eiste uno de los ites laterales de la función en el punto a y dicho ite es + o. De igual forma, la función f() tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación y = b, cuando eiste al menos uno de los ites de la función en el caso de que tienda a + o y dicho ite sea b. 7

8 f() Si los ites: es una asíntota oblicua. = m y f() m = b eisten, entonces la recta con ecuación y = m + b 5. Hallar las asíntotas de las siguientes funciones: a. y = b. y = 2 c. y = d. y = e. y = ln 8