Ecuaciones diferenciales y cálculo numérico

Transcripción

1 Ecuaciones diferenciales y cálculo numérico Tema 6. Introducción al análisis cálculo numérico (Grado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación) EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

2 Tema 6. Introducción al análisis cálculo numérico 6.. Objetivo del cálculo numérico. 6.. Errores Representación de los números en el ordenador Condicionamiento y estabilidad Añadido: historias imputables a los ordenadores. EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

3 6.. Objetivo del cálculo numérico El análisis numérico trata del estudio (análisis) y diseño de métodos (algoritmos) para dar (de manera eficiente) respuestas concretas (aunque aproximadas) a problemas matemáticos que modelizan (en general) fenómenos reales. El cálculo numérico se puede considerar un primer paso hacia el análisis numérico (tal como ocurre con el cálculo matemático y el análisis matemático). Algoritmo: secuencia finita de operaciones aritméticas y lógicas que producen una solución aproximada (tanto como deseemos) a un problema expresado en términos matemáticos. Eficiencia: qué se necesita para conseguir un buen algoritmo. Control de errores (convergencia, estabilidad, errores de medida, errores de discretización, errores de computación). Coste operativo (número de operaciones necesarias para dar la respuesta). Relacionado con las necesidades de memoria y el tiempo de cálculo. EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

4 Ejemplos ) Cuál es el valor de la expresión 0.8 e x π 0.5 dx? ) Cuántas operaciones son necesarias para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden? Usando la definición:! Usando los adjuntos:! Con un ordenador capaz de realizar 0 9 operaciones por segundo, tardaríamos 7840 años en hacer los cálculos por la primera vía y 783 años por la segunda. EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

5 6.. Errores Los errores que se pueden presentar a la hora de resolver un problema mediante un algoritmo son básicamente, errores de entrada: debidos a las mediciones realizadas en el experimento planteado; errores de almacenamiento/representación: debidos a cómo se guardan los números en el ordenador (Estándar IEEE 754, errores de cálculo: debidos al modo de realizar los cálculos en el algoritmo. Evidentemente, el análisis numérico no puede hacer nada por evitar los errores de entrada. Su campo de actuación son los errores de cálculo (principalmente) y los de almacenamiento. Para medir el error cometido podemos usar (x valor exacto, x valor aproximado) el error absoluto: x = x x. el error relativo: x x = x x x. Sea k el mayor número entero tal que x x x < 5 0 k. Entonces se dice que x aproxima a x con k cifras significativas. Calcular el error absoluto o el relativo no es posible, pues ello significaría conocer el valor exacto. Por tanto se trabaja con cotas de estos errores. EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

6 Ejemplos Errores por almacenamiento y cálculo ) La ecuación polinómica x x + = 0 tiene como raíces r = + 4 r = 4 = , 4 = Operando con un ordenador que sólo guarde cuatro dígitos, r = + 4 = r = 4 = y con la fórmula alternativa, = + = 0 = 0, =, r = = 4 0 =, r = + = 4 + = + = EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

7 ) Es claro que x + x = x++ x. Ejemplos Si x = 3, entonces 3 3 = Operando con seis dígitos y redondeando: 3 3 = = = = = Operando con seis dígitos y truncando: 3 3 = = = = = Operando con tres dígitos y redondeando: 3 3 = = 0.0. = = 30.4 = Operando con tres dígitos y truncando: 3 3 = = 0.. = = 30.3 = EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

8 Ejemplos Cifras significativas < aproxima a 4.8 con 3 cifras significativas < aproxima a 4.7 con cifras significativas = 0 < aproxima a 5 con cifra significativa =.5 0 < aproxima a 4 con cifra significativa. Acotación de errores Euler demostró que + n n= = = π 6. Consideremos S k = k n= n = k. Se puede comprobar que k+ < S S k < k. EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

9 6.3. Representación de los números en el ordenador Estándar IEEE 754 : Sobre los errores que son consecuencia de la representación de los números en el ordenador, revisa los ejemplos vistos en las secciones.,.3 y.4 del archivo Practica0-v.pdf de prácticas de ordenador. EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

10 6.4. Condicionamiento y estabilidad Condicionamiento Un problema está bien condicionado si pequeñas variaciones en los datos de entrada provocan pequeñas variaciones en la solución. Un problema está mal condicionado si las mismas condiciones provocan grandes variaciones en la solución: pequeños cambios en los datos iniciales dan lugar a grandes cambios en los resultados finales. Estabilidad Un algoritmo es estable si los errores de representación y redondeo generados (tanto en la entrada de datos como en los cálculos intermedios) no provocan grandes variaciones en los resultados finales. Un algoritmo es inestable en caso contrario: los errores que se cometen en cada etapa del algoritmo van aumentando de forma progresiva y el resultado final pierde exactitud en un alto grado. EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

11 Ejemplos Revisa de nuevo las secciones.3 y.4 del archivo Practica0-v.pdf. Sistema mal condicionado 7x + y = 9 4x + 7y = 7.005x +.05y = x y = 7.0x +.045y = x y = } { x = y = 7.0x +.045y = x y = 0.95 } x = y = } x = y = } x = y = EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

12 Ejemplos Algoritmos inestables y estables Vamos a calcular la raíz cuadrada de 5 con tres métodos iterativos diferentes. Su valor (aproximado) es x n+ = 5 x n x n x 0 =.36; x = ; x =.4857; x 3 = ; x 4 = ; x 5 = ; x 6 =.7779; x 7 = ; x 8 = x n+ = 5+x n x n + x 0 = ; x =.5; x =.35947; x 3 =.36; x 4 = ; x 5 =.36068; x 6 = ; x 7 = x n+ = x n +5 x n x 0 = ; x =.5; x =.36; x 3 = EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

13 6.5. Historias imputables a los ordenadores Misiles Patriot Cohete Ariane EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4

14 Referencias J.M. Sanz-Serna. Diez lecciones de cálculo numérico (Segunda edición). Universidad de Valladolid (Secretariado de Publicaciones e Intercambio Editorial), 00. Apuntes de clase elaborados por Aureliano M. Robles Pérez. Licencia Creative Commons 3.0 España. EDCN-GITT (UGR) Tema 6 Versión / 4