Datos: a = 3, m = 1, J s c = 2, m s

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Vicente Rivas Redondo
hace 6 años
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1 El deuterón Mediante experimentos de dispersión se sabe que el deuterón tiene un diámetro aproximado de 3,04 Fermi. Calcular usando la mecánica cuántica del pozo de potencial cuadrado las velocidades del protón y el neutrón que forman este núcleo en su estado fundamental. Solución Datos: a = 3, m = 1, J s c =, m s = 1, kg m n = 1, kg m d = 3, kg Supondremos que la energía potencial E p (x) entre las dos partículas sólo depende de la distancia x = r p r n entre ambas. Aproximaremos esta energía potencial por un pozo de potencial cuadrado de profundidad E 0 y anchura a mediante la función definida a trozos 1

2 { E0 si 0 < x < a E p (x) = 0 si x a Desde el sistema de referencia centro de masas las dos partículas tienen momentos opuestos p y p, por lo que la energía cinética del sistema se puede escrbir como ( E c = p + p = p ) m n m n y la energía total E = E c + E p (x) = p Definimos la masa reducida del sistema como ( ) + E p (x) m n 1 µ = m n µ = 8, kg Con esta definición la energía del deuterón se reduce a la de una sola partícula con la masa reducida atrapada en el pozo de potencial, esto es E = p µ + E p(x) La energia E de la partícula en el pozo es igual a la energía de ligadura del sistema E b cambiada de signo, o sea E = E b Esta energía de ligadura es la que hay que dar al sistema para seperar al protón del neutrón, y por tanto, también es la energía que emite el deuterón al formarse; podemos, entonces, calcularla a partir de las masas. Así pues E b = ( + m n m d ) c = 4, J Pasamos ahora a resolver la ecuación de Schrödinger en las dos regiones 0 < x < a y a < x. En la primera región se tiene 0 < x < a d Ψ 1 µ dx + E p(x) Ψ 1 = EΨ 1 En esta región E p (x) = E 0 y E = E b, por lo que d Ψ 1 µ dx E 0Ψ 1 = E b Ψ 1 d Ψ 1 dx + µ (E 0 E b ) Ψ 1 = 0 Como la energía cinética es E c = E E p = E 0 E b, definiendo la constante k 1 en la forma k 1 = µe c

3 la ecuación de Schrödinger queda d Ψ 1 dx + k 1Ψ 1 = 0 La ecuación secular para esta ecuación diferencial es r + k 1 = 0 r = ±ik 1 Con estas dos raices imaginarias fabricamos la solución general como combinación lineal de exponenciales Ψ 1 = Ae ik 1x + Be ik 1x con A y B constantes de integración. La función de onda no tiene sentido físico para x 0, pues esta variable es una distancia y no puede ser negativa. Por tanto, imponemos la condición de contorno Ψ 1 (0) = 0 B = A Ψ 1 = A ( e ik1x e ) ( ik 1x e ik 1 ) x e ik 1x = ia = ia sen(k 1 x) i y llamando C = ia, la función de onda en esta primera región es a < x Ψ 1 = C sen(k 1 x) Para la segunda región la ecuación de Schrödinger es d Ψ µ dx + E p(x) Ψ = EΨ En esta región E p (x) = 0 y E = E b, por lo que Definiendo la constante k en la forma d Ψ = E µ dx b Ψ d Ψ dx µe b Ψ = 0 la ecuación de Schrödinger queda k = µe b d Ψ dx k Ψ = 0 La ecuación secular para esta ecuación diferencial es r k = 0 r = ±k 3

4 Con estas dos raices reales fabricamos la solución general como combinación lineal de exponenciales Ψ = F e ik x + De ik x con F y D constantes de integración. En esta región la energía pencial E p = 0 es mayor que la energía total E = E b, por lo que según la mecánica clásica es una zona de movimiento prohibido. Entonces, la función de onda no puede crecer en esta región, y por tanto imponemos la condición de contorno lím Ψ = 0 F = 0 x con lo que la función de onda en esta segunda región queda Ψ = De ik x Imponiendo la continuidad en la frontera x = a, encontramos la condición e imponiendo la derivabilidad dψ 1 (a) dx Ψ 1 (a) = Ψ (a) C sen(k 1 a) = De k a = dψ (a) dx k 1 C cos(k 1 a) = k De k a Dividiendo estas dos condiciones miembro a miembro, tenemos tan(k 1 a) = k 1 k Sustituyendo los valores de k 1 y k, se tiene ( ) µec µec tan a = µec = a µe b µa E b Llamando y calculando obtenemos la acuación trascendente y = a µec = 1, 7 µa E b tan y = 1, 7 y que ha de ser resuelta mediante una computadora. Aquí la vamos a resolver por aproximación dentro de la incertidumbre que nos permite el principio de Heisenberg. 4

5 Como buscamos el estado fundamental, hemos de escoger el valor más pequeño, pero rechazando la solución nula ya que y = 0 E c = 0 k 1 = 0 Ψ 1 (x) = 0 Para ello vamos a aproximar el seno y el coseno por su desarrollo en serie de Taylor como sigue sen y y y3 cos y 1 Con esto la ecuación trascendente se convierte en un polinomio de segundo grado tan y = 1, 7 y y y3 1, 7y 1 y 1, 7 y, 13 Este valor nos permite calcular E c µec y = a E c = y µa = 3, J Como E c = p µ p = µe c la energía cinética para el protón es y su velocidad v p = E cp = E cp = m n p = µe c µec = 4, m s Un cáculo análogo da para el neutrón µec v n = = 4, m s Estos valores llevan una incertidumbre asociada v que podemos estimar mediante el principio de Heisenberg p x Tomando como incertidumbre en la posición el diámetro nuclear, x a, y poniendo p v, encontramos v a = 1, m s m s Con esto el valor verdadero que hemos encontrado para las velocidades es v p v n = m s ± m s 5

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