Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

Transcripción

1 Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

2 Unidad I (Capítulos 3 y 5 del texto) Funciones y Gráficas 1.1 Definición y notación de función. 1.2 Dominio y rango de una función. 1.3 Tipos de funciones. 1.4 Operaciones con funciones. 1.5 Composición de funciones. 1.6 Gráfica de una función. 1.7 Función lineal y función cuadrática. 1.8 Función exponencial y logarítmica. 1.9 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas.

3 Qué son las funciones? Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. Dos variables x y y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a x entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a y, se dice que y es una función (unívoca) de x. La variable x, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la x, se llama variables dependientes. Dominio y Rango Los valores permitidos de x constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma y constituye el rango.

4 Dónde se ocupan? Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas y generalmente se hace uso de las funciones reales, aún cuando el ser humano no se da cuenta. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria en cualquier área donde haya que relacionar variables. Tales como: El valor del consumo mensual de agua potable que depende del número de metros cúbicos consumidos en el mes. El costo de una llamada telefónica que depende de su duración. La estatura de un niño que depende de su edad, etc.

5 Dominio de una función Definición Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x). En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x + 1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales).

6 Dominio de una función Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x = 0 no puede ser del dominio de la función. Cuando una función se nos presenta a través de su gráfica, simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha gráfica conseguimos el dominio de la función. Esto es porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica. Este punto es el que al proyectar la misma sobre el eje 0x nos incluye ese valor dentro del dominio.

7 Ejemplo de Dominio En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio. En este caso tenemos que Domf = ( 8, 2) + (2, 7]

8 Tipos de Funciones Funciones Algebraicas Trascendentales Polinómicas Racionales Radicales Exponenciales Logarítmicas Trigonométricas

9 Funciones Algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones expĺıcitas Si se pueden obtener el valor de la función, f(x), por simple sustitución. f(x) = 5x 8 Funciones impĺıcitas Si no se puede obtener el valor de la función f(x) por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x y 2 = 0

10 Función lineal: Funciones Algebraicas 1 La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f(x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y el rango es el conjunto de todos los números reales. La gráfica de cualquier función lineal es una ĺınea recta. La constante a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como ya mencionamos antes, el intercepto con el eje y, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x.

11 Funciones lineales (Ejemplos)

12 Funciones Algebraicas Funciones polinomicas Son las funciones que vienen definidas por un polinomio f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Su dominio son todos los numeros reales R

13 Funciones constantes Funciones Algebraicas El criterio viene dado por un número real f(x) = k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de las abscisas Su dominio son todos los numeros reales R

14 Funciones racionales Funciones Algebraicas Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales. Esto es, una función racional es de la forma P (x)/q(x), donde el dominio son todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador, Q(x) = 0. f(x) = x2 34x x 8 Dom f = R 8

15 Funciones radicales Funciones Algebraicas El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Ejemplos g(x) = 3 x f(x) = x Dom g = R Dom f = R 0

16 Funciones trascendentes La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría. Función Exponencial Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial de base a y exponente x. El dominio de una función exponencial es todo R Si x > 0 f(x) = a x > 0; si x = 0 f(x) = a 0 = 1 Si x < 0 f(x) = a x = 1 a x > 0 La función exponencial es positiva, es decir, la gráfica de la función se dibuja siempre por encima del eje 0x

17 Grafica de una función exponencial

18 Función Exponencial Número e Se define el número e como: Funciones trascendentes e = lím n ( ) n n y se verifica que (si consideramos una aproximación de diez cifras decimales, por ejemplo) 2, < e < 2, El número e es un número irracional (Charles Hermite)

19 Funciones trascendentes Funcion logarítmica Dados dos números positivos a y b, definimos el logaritmo en base b de a, y lo denotamos como log b a al número al que hay que elevar la base b para obtener a, es decir log b a = x si y solo si b x = a En el caso que la base sea el número e se dice que es un logaritmo natural o logaritmo neperiano, en honor del escocés John Napier ( ) log e x = ln x En el caso en que la base sea 10, se dice que son logaritmos decimales o vulgares. Dado log b a = x, se dice que a es el antilogaritmo de x en base b, es decir, anti log b x = a

20 Funciones trascendentes Función logarítmica Se llama función logarítmica a una función de la forma: y = f(x) = log b a a > 0 a es diferente de 1 Es aquella función que a cada número mayor que cero le hace corresponder su logaritmo en la base a El dominio de la función logarítmica es R = (0, + ) y su gráfica se dibuja siempre, por tanto, a la derecha del eje Y

21 Propiedades de los logaritmos 1 log b 1 = 0 2 log b b = 1 3 log b b x = x 4 log b n a = 1 n log b a 5 log b a n = n log b a 6 log e x = ln x donde e es el número exponencial 7 8 log b (a/c) = log b a log b c para b, c > 0 y c 0 donde bc > 0 log b (ac) = log b (a) + log b (c) 9 Cambio de base: log b m = log a m log a b ; log b a = 1 log a b

22 Función cuadrática La forma funcional de una función cuadrática (función polinomio de segundo grado) es: y = f(x) = ax 2 + bx + c El dominio es el conjunto de números reales. El rango se halla, calculando primero la ordenada del vértice. La grafica de la función cuadrática es una parábola. La parábola abre hacia arriba si a es positiva, y abre hacia abajo si a es negativa. La c representa el intercepto con el eje y. Para hallar el intercepto en el eje x, si los hay, igualamos la ecuación a 0, y calculamos las raíces por factorización aplicando la formula x = b ± b 2 4ac 2a que permite hallar los valores de x, en términos de los coeficientes, de ax 2 + bx + c = 0. La abscisa del vértice la encontramos médiate la formula x = b 2a. La ordenada se obtiene sustituyendo el valor numérico de x obtenido previamente en y = ax 2 + bx + c.

23 Función cuadrática (Ejemplo) y = f(x) = x 2 2x 1 Como la función cuadrática es polinomio, y el dominio de todo función polinomio es R, se tiene Dom f = [, + ] Así, el vértice esta localizado en (1, 2). Como la grafica abre hacia arriba, y la ordenada del vértice es 2 La parábola abre hacia arriba (1 > 0). Hallemos las coordenadas del vértice: x = b 2a a = 1, b = 2 x = 2 2(1) = 1 y = f(1) = 1 2 2(1) 1 = = 1

24 Función cuadrática (Ejemplo) La grafica de f corta el eje y en -1. Hallemos el intercepto con el eje x x = b ± b 2 4ac 2a x 2 2x 1 = 0 a = 1, b = 1, c = 1 x = 2 ± = ( 2) ± ( 2) 2 4(1)( 1) 2(1) = 2 ± = 1 ± 2 La grafica de f, intercepta al eje x en , ,41

25 Cuándo una gráfica no corresponde a una función? De las dos gráficas que se muestran a continuación, la de la izquierda corresponde a una función y la derecha no. En ésta a cada valor de la variable independiente x, le corresponde un único valor imagen de la variable dependiente y En ésta hay algunos valores de la variable x a los que corresponden más de un valor de la variable y. Lo que contradice la definición de función.

26 Ejemplos Función Polinómica: Son aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio; es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números reales: R f(x) = 3x 5 8x + 1; g(x) = 2x + 3; Dom f = R Dom g = R h(x) = 1 2 ; Dom h = R

27 Ejemplos Función Racional: Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Por ejemplo: f(x) = x + 2 x 2 9 Resolvemos la ecuación x 2 9 = 0; y obtenemos: x 1 = +3 y x 2 = 3. Por lo tanto Domf = R +3, 3

28 Ejemplos Función Racional: g(x) = 2 x Resolvemos la ecuación x = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No se han encontrado valores que anulen el denominador, y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto Domf = R

29 Ejemplos Función Radical: f(x) = x + 1 Resolvemos la inecuación x + 1 > 0; ==> x > 1 g(x) = 4 x 2 25 Resolvemos la inecuación x ; y obtenemos (x + 5)(x 5) > 0 R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea positivo. x + 1 es una expresión positiva si x pertenece al intervalo [ 1, +8). Por lo tanto Domf = [ 1, ] Por lo tanto Domg = (, 5) [5, ]

30 Ejemplos Función Radical: h(x) = 1 4 x 2 2x 8 Resolvemos la inecuación x 2 2x 8 0 y obtenemos (x + 2)(x 4) > 0 Observar que la inecuación se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando está en un denominador y por lo tanto no puede valer 0. En que se traduce esto? En tener que excluir de las zonas donde el radicando sea positivo los extremos 2 y +4. Por lo que: R nos queda dividido en tres zonas. Y estudiando el signo del radicando obtenemos el dominio: Domh = (, 2) (4, )

31 Operaciones con funciones Suma Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por Resta (f + g)(x) = f(x) + g(x) Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función (f g)(x) = f(x) g(x) Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

32 Producto de funciones Operaciones con funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por Cociente de funciones (fg)(x) = f(x)g(x) Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por ( ) f (x) = f(x) g g(x) (La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

33 Operaciones con funciones Composición de funciones Dadas dos funciones reales, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe f g, a la función dada por (f g)(x) = f(g(x)) La función (f g)(x) se lee f compuesto con g aplicado a x.