Nota: Los coeficientes de los términos equidistantes son b. Contado de derecha a izquierda: iguales. + 1 (x + a) 0 1 (x + a) 1 1 1

Transcripción

1 Biomio de Newto I Itroducció al Biomio de Newto (para expoete etero y positivo ZZ + ) Teorema Sea: x; a 0 y ZZ + (x + a) = Desarrollado los iomios: C x -.a 0 (x + a) 1 = x + a (x + a) = x + xa + a (x + a) 3 = x 3 + 3x a + 3xa + a 3 (x + a) 4 = x 4 + 4x 3 a + 6x a + 4xa 3 + a 4 (x + a) 5 = x 5 + 5x 4 a + 10x 3 a + 10x a 3 + 5xa 4 + a 5... E forma geeral: Propiedades 1. El desarrollo del iomio (x + a) tiee ( + 1) térmios: N de térmios = Expoete + 1 P(x; a) = (10x + 3a) 5 tiee: = 6 térmios. Cálculo del térmio geeral (t Sea: P(x; a) = (x + a) + 1 =???) a. Cotado de izquierda a derecha: Do t + 1 t + 1 = C x -.a es el térmio de lugar ( + 1). (x + a) = C x + C x -1 a + C x - a C a 0 1 do x: primera ase a: seguda ase ZZ + E el desarrollo P(x; a) = (x + a 3 ) 6, determie el tercer térmio. Solució: 6 6 t = t = C (x ) 4 (a 3 ) = C x 8.a 6 Nota: Los coeficietes de los térmios equidistates so. Cotado de derecha a izquierda: iguales. Oservació: t = C + 1 x.a - [x + (- a)] = (x - a) = C x - C x - 1 a + C x - a Triágulo de Pascal C x - 3 a C a (- 1) 3 Es ua disposició o arreglo triagular de úmeros cuyo vértice superior y los lados está formados por la uidad, así mismo a partir de la seguda fila, determia los siguietes elemetos compredidos etre los lados. E el desarrollo de P(x; a) = (x 3 + a ) 5 determie el térmio de lugar 4 co respecto al fial. Solució: 3. Térmio cetral t = t = C (x ) (a ) = 3 C x a 3 a. El desarrollo del iomio tedrá u úico térmio cetral si es par, luego la posició que ocupa este térmio es: + 1 (x + a) 0 1 (x + a) (x + a) 1 1 t c = t = C 1.x.a (x + a) (x + a) (x + a) Determiar el térmio cetral del desarrollo P(x; a) = (x + a) 6 4 AÑO

2 Solució: t c = t 6 = C 1 3 (x ).(a) = C 3.x.a C 0 + C + C =. Si es impar existe dos térmios cetrales. t 1 C 0 + C 1 + C + C C = A = C C 15 + C C B = C A = C C 15 + C C = 15 B = C Luego: C 1 + C C = 1 1 t 1 1 Determiar los térmios cetrales del desarrollo P(x; a) = (x + a 3 ) Solució: Calculamos el primer térmio cetral para: = t 1 cetral = t 1 = t = C 3 (x ) 4.(a 3 ) 3 t 1 cetral = C 3 x 8.a 9 Calculamos el segudo térmio cetral: t cetral = t 1 = t = C 4 (x ) 3 (a 3 ) 4 t cetral = C 4.x 6.a 1 4. La sumatoria de coeficietes al desarrollar el iomio: P(x; a) = (x + a) ZZ +, se otedrá si: x = a = 1 Hallar la suma de coeficietes del iomio: B(x; y) = (3x 3 + y ) Propiedad adicioal: Sumar cada uo: - 1 C 1 + C 3 + C = - C C 10 + C = = 9 = 51 - C 1 + C + C = - 1 = 6 = 64 Fórmula de Leiitz Para oteer el desarrollo de u triomio co expoete atural usaremos la fórmula de Leiitz: (x + y + z) =! x y z ; ;!.!.! Do,, y Z + Además: + + =, dode la suma se realiza para todos los valores que pueda tomar,,. Hallar el coeficiete de x 5 e el desarrollo (a + x + cx ) 9 Solució: El térmio geeral del desarrollo es: 9!!.!.! (a) (x) (cx ) Reduciedo: Solució: Para: x = y = 1 9! de coeficietes = [3(1) 3 + (1) ] 60 = 5 60!.!.! a..c.x Dado: A Calcular: B Solució: + Do + + = 9... (1) Por codició: + = 5... () Resolviedo (1) y () tomado e cueta que:,, Z +. Las solucioes so: Primera solució: = 5; = 3; = 1 - Seguda solució: = 6; = 1; = C 1 + C C - Tercera solució: = 4; = 5; = 0 A 15 = B 1 = 3 = 8 El coeficiete de x 5 se otiee realizado la suma para los tres trios de valores ecotrados,,. coef(x 5 ) = 9! 5!.3!.1! a5 3 c + 9! 6!.1!.! a6 c + 9! a45 4!.5!.0! Fialmete: coef(x 5 ) = 504a 5 3 c + 5a 6 c + 16a 4 5

3 Prolemas resueltos 1. Hallar el térmio que ocupa el lugar 103 e el desarrollo (x 3-3 y ) C al cu la r el v al or d e e e l de sa rr ol lo d e (1 + x) 43 si se sae que los coeficietes de los térmios de lugares ( + 1) y ( + ) so iguales. Solució: t = t = C 10 (x ) (- y ) Solució: Calculamos el térmio ( + 1): t = C (1) 43 - (x) t = C x y t = C... (1) Pero: Calculamos el térmio ( + ): C 10 = C = C t + = 43 C (1) = = t + = C () 1 Reemplazado: (1) y () so iguales por codició: t 103 = 5356x 6 y C = C 1 se cumple:. Desarrollado la expresió: = 43 (a + a).(a - 1) +.(1 - a - 1 ) Luego: = 14 se otiee 1 térmios e total. Hallar el segudo térmio. Solució: Agrupado coveietemete: (x) E el desarrollo de (a + - a) 8, hallar los coeficietes de los térmios de la forma: a 10., dode es el úmero par o ulo. (a a) a - 1 (a - 1) + Solució: a Aplicado la fórmula de Leiitz, el coeficiete a 10, [a - 1] (a - 1) + = (a - 1) + será: Del dato: 8! = 1 = 9!.!.! (a ) () (-a) Calculado t : Reduciedo: 0 t = t = C 1 (a ) 0-1.(-1) 1 = - 0a 38 8!!.!.! a +. Do 3. Hallar para que el t 5 del desarrollo + + = 8... (1) x y 5 Por dato: + = () y x = (par o ulo)... (3) cotega a x co expoete 44. Como: + + = 8 Solució: Calculamos t 4 5 : t 5 x y 5 = C y x Dode el úico trio de valores que cumple co (1), () y el expoete de x dee ser segú el prolema 44. (3) es: 1 ( ) - (4) = = = = 100 = 10 Luego: = 4; = ; = 8! (a ) 4 () (-a) = 40a 10 4!.!.! el coeficiete de a 10 es 40.

4 Prolemas para la clase 1. Hallar el cuarto térmio (x + y) 4 a) -30x 3 y ) 3xy c) 3x y 3 d) 8xy 3 e) -8x y 3. Calcular el peúltimo térmio e el desarrollo (3x - y 3 ) 1 a) 36x y 33 ) -36x y 33 c) 4x 3 y d) -4x 3 y e) -1xy 3. Calcular el cuarto térmio x 6 - x a) 10 ) - 10 c) 0 x d) - 0 e) 4. Calcular el térmio de lugar 13 e el desarrollo a) 4 C 4 d) C 1 4 C 4 C 1 5 x 1 P(x) = 5 x Idicar el valor de, si la expasió de (x 3 + y ), x P(x) = x 5 cotiee a: x 18 y 16. ) e) c) 4 C3 9. Hallar el lugar del térmio idepediete del desarrollo siedo par. a) + 1 ) c) - 1 d) + e) - 10.Saiedo que el desarrollo x 3 1 x 3 tiee 15 térmios. Hallar el sexto térmio. a) 0x 4 ) 15x c) 840 d) 360x 3 e) N.A. a) 5x 61 ) 455x -54 c) 15x -8 d) 30x 6 e) 4x Si el décimo térmio del desarrollo de (x + x c ) d es x 18, calcular c + d. a) 1 ) c) 9 d) 11 e) Calcular el úmero de térmios que tedrá el desarrollo P(x; y) = (x + y ) si se cumple que los térmios de lugares 4 y 5 tiee el mismo coeficiete. a) 6 ) c) 8 d) 9 e) 10. Señale el térmio cetral 1 8 x - x a) 0x 4 ) - 0x c) 0x d) - 0 e) 0 8. Hallar el térmio idepediete e el desarrollo (x 3 + x - 1 ) 4 Z + a) 6 ) 8 c) 14 d) 1 e) 15 1.Calcule el coeficiete de x 6 e el desarrollo (x - x + 1) 5 a) 30 ) 40 c) 10 d) 10 e) Qué lugar ocupa el térmio de grado 48 e el desarrollo (x + y 3 ) 18? a) 10 ) 11 c) 1 d) 13 e) Calcular el valor de para que el térmio doceavo del desarrollo cotega a: x x x 3 a) 15 ) 0 c) d) 5 e) 8 15.Si el grado asoluto del séptimo térmio del desarrollo P(a; ; c) = (a + c) es 30. Hallar el grado de su térmio cetral.

5 a) 16 ) 4 c) 8 d) 31 e) 4 16.Si e la expasió del desarrollo 1 x x x IR +, el térmio de lugar 1 es de la forma: T = C x. Calcular el valor de a) 16 ) 1 c) 18 d) 19 e) 0 1. Calcular si al desarrollar: F(x) = (x 6-1) 4 (x 4 + x + 1) (x - 1) se otiee 5 térmios. a) 8 ) 10 c) 1 d) 18 e) 0 18.Determiar m + si el cuarto térmio del desarrollo (x + ), es: 80x m. a) 5 ) 6 c) d) 8 e) 9 19.Idicar el valor de si e el desarrollo (x + 1) 36, los térmios de lugar ( - 4) y tiee coeficietes iguales. a) ) 6 c) 5 d) 9 e) 10 0.De las siguietes afirmacioes: I. El úmero de térmios del desarrollo de (a + ) es + 1. ( IN) II. Los térmios equidistates de los extremos e la expasió de (a + ) posee coeficietes iguales. ( IN) III. El lugar que ocupa el térmio cetral del desarrollo de (a + ) es: + 1. ( IN).E el desarrollo F(a) = (a + a) (a - 1) a se otiee 1 térmios. Halle el segudo térmio. a) 0a 38 ) - 0a 38 c) 5a 8 d) - 5a 8 e) 1 3. Cuál es el úmero de térmios e el desarrollo x y 8 si los coeficietes de los térmios de lugares y 8 so iguales? a) 45 ) 46 c) 4 d) 48 e) 49 4.E el desarrollo y 3 x 5 y x existe dos térmios cosecutivos, el primero idepediete de x y el segudo idepediete de y. Idique el úmero de térmios del desarrollo. a) 54 ) 60 c) 61 d) 6 e) 63 5.Hallar ( ZZ + ) para que uo de los térmios del desarrollo x y y sea de la forma: m(xy) p ; si se sae que el térmio aterior a éste, es idepediete de y. a) 4 ) c) 6 d) 8 e) 9 6.Determiar el coeficiete del térmio del desarrollo Idicar cuál es falsa a) Sólo I ) Sólo II c) Sólo III x - y z 4 d) II y III e) N.A. e el que los expoetes de x ; y ; z, e ese orde, 1.Idicar t e el desarrollo de (x + y) 10, tal que: forma ua progresió aritmética. t 1 t siedo t térmio de lugar. a) 10x 4 y 6 ) 00x 4 y 6 c) 190x 4 y 6 d) 0x 4 y 6 e) 11x 4 y 6 8x = 3y a) 36 ) 495 c) 5 d) 396 e) 48. Si el tercer térmio del desarrollo del iomio: ( + x 3 ) es veces el cuarto térmio del desarrollo de (x + x ). Hallar, si ZZ +.

6 a) d). E el desarrollo del iomio: ) c) x x e) idique el térmio cetral. 8. Cuál es el valor de m si el cuarto térmio del desarrollo de (a - ) m, cotiee la décima potecia de a? a) 0 ) 30 c) 40 d) 50 e) 60 a) 5 ) 8 c) Señale el lugar del térmio idepediete del desarrollo d) 13 e) 16 (x + x - 3 ) 55 9.Determiar a + e la expasió a) 0 ) 1 c) 4x a y d) 3 e) 4 P(x; y) = - -5 y x de modo que admita u solo térmio cetral cuya parte literal es: x 4 y 15. a) 5 ) 6 c) 11 d) 1 e) Si: C = C... (1) - además el iomio: (x + y) () 30.Si u térmio del desarrollo 4 x 4 4 m 1 B(x) = - x 4-1 x 4 x 4 es igual a: Calcular el valor de m. a) 1 ) c) 4 d) 6 e) 8 Calcular: t 9 t 1 x 6 x 4 x a) y 3 ) y 3 c) y 3 x y 3 d) y e) x 6 Autoevaluació 1. Hallar el cuarto térmio del siguiete desarrollo: (x + y) 5 a) 80x 4 y 3 ) 60x 4 y 3 c) 40x 4 y 3 d) 0x 4 y 3 e) x 4 y 3 5. Calcular el décimo térmio del desarrollo (x 5 + x - 1 ) 1 a) 0x 6 ) 0x 4 c) 0x 3 d) 0x e) 0x

7 Biomio de Newto II Propiedades adicioales 1. La suma de coeficietes e el desarrollo del iomio (ax + y) es: Reduciedo: ( + 1) = ( + 1) = 8 9 x = y = 1 dode x e y so las variales. (a + ). La suma de expoetes e el desarrollo del iomio (x + y ) es: ( )()( 1) De aquí: = 8 El úmero de térmios es 9.. Determiar a y e la potecia: a x y -5 y x de modo que admita u térmio cetral de la forma: 3. El coeficiete del valor máximo e el desarrollo de C x 3 y 15 (x + a) es el térmio cetral si es par y los dos térmios cetrales si es impar. Solució: Si: (x + y) coef. máx.: C Como hay u térmio cetral, el lugar es: + 1. Si: (x + y) coef. máx.: 1 y 1 C x a y C 1 t C 1 y -5 x 4. El úmero de térmios del desarrollo del triomio (x + y + z) es: a t C x y ( 1)( ). ; ZZ + 1 (-5) y x 5. E geeral, el úmero de térmios del desarrollo (x 1 + x + x x r ) es: Prolemas resueltos t 1 C x (a-1) (- 5).y ( r - 1)!!(r - 1)! ; ZZ+ t C (a-1) x.y (5)... (I) 1 1. Hallar el úmero de térmios e el desarrollo (x + y 5 ) si la suma de los expoetes de todos los térmios es igual a 5. Solució: La suma de expoetes será: ( 5)( 1) = 5 Como: (I) = (II) t 1 C x 3.y (II) C (a-1) x.y (5) C 3 x.y 15 Idetificado expoetes de x e y : - (a - 1) = 3; (a - 1) = 6 ÁLGEBRA 4 AÑO

8 Descompoiedo los factores: - (5) = 15; = 6 ( - 6)!! Resolviedo: a = ; = = 8 ( - 6)( - )!.6!.6!.( - )! Simplificado: 3. Hallar el expoete de a e el térmio idepediete de x e el desarrollo del iomio: 8-48 = 1 m a x m m = 8-48 = 48 x Número de térmios: = 49 Solució: Cálculo del térmio geeral: 5. Si: m m a (1 + x) = C 0 + C 1 x + C x C x Hallar el valor C 0 + C 1 + 3C + 4C ( + 1)C t + 1 = C (x m ) m + - x si es idepediete de x, el expoete de x dee ser cero, luego: m(m + - ) - = 0 m(m + ) - m - = 0 m(m + ) = (m + ) = m Solució: C 0 + C + 3C + 4C ( + 1)C Descomp ied co iet mete: o o ve e 1 3 (C C C... C ) (C C C... C ) (-1) (-1)(-) Factor comú: 4. Cuál es el úmero de térmios e el desarrollo ( - 1)( - ) + 1 ( - 1) x y 8 + (1 + 1) - 1 si los coeficietes de los térmios de lugares y 8 so iguales? Prolemas para la clase Solució: Cálculo del t : 1. E el iomio: P(x; y) = (x + y 3 ) -6 la suma de los coeficietes es 43. Calcular el úmero t = C 6. x.(y) 6 8 de térmios del desarrollo del iomio. el coeficiete del t es: -6.C 6 a) 4 ) 5 c) 6 d) e) 8 8 Cálculo del t 8 :. La suma de coeficietes - P(x; y) = (3 + y) t 8 = C. x.(y) Q(x; y) = (5x - 3y) 8 está e la relació de 18 : 1. Ecotrar. - el coeficiete del t 8 es:.c 8 a) 6 ) c) 8 d) 9 e) 10 Por codició del prolema: 3. E el desarrollo -6 -.C =.C (4x + y) la suma de expoetes es 110. Hallar. Simplificado se tiee: a) 8 ) 9 c) 10.C d) 11 e) = C Desarrollado: Si: Z +, 4.

9 calcular: 1 1 C 1 1 C C... C!! = 8 6!.( - 6)!!.( - )! R = C 0 C 1 C... C

10 a) ) + 1 c) d) 1 e) 0 5. Calcular: + C 1 + C + C C -1 ; ZZ a) ) c) - d) + e) 6. Calcule el valor de para que se verifique: - 3 C A partir oteer S S = C 0 + C 1 + C C -1 a) - 1 ) c) + 1 d) - 1 e) Determiar el térmio racioal e el desarrollo ( + 3 ) 5 + C -3 + C C - 3 = 6 a) 10 ) 0 c) 30 d) 40 e) 50 a) 4 ) 5 c) 6 d) e) Cuátos térmios racioales eteros posee el desarrollo. Si: B Hallar: A x y A = C m + C m + 3 C m m C m? 1 3 m y x B = C m + 4 C m + 6 C m m C m m a) 1 ) c) 3 d) 4 e) 5 15.Dado el iomio: tiee el a) 4 m + ) 4 m + 1 c) m + d) m + 1 e) m 5 1 x 10 3 x 8. Si el desarrollo del iomio para expoete atural es: cuátos térmios racioales e irracioales (x + a) = C x + x - 1 a + C 0 C x - a C a 1 desarrollo? Calcular: a) 9; 11 ) 10; 111 c) 11; C - 0 C 1 + C C 00 - C003 d) 1; 109 e) 13; 108 a) 1000 ) 003 c) 0 d) 001 e) Simplificar: S = C - 3 C + 3 C C C Calcular el valor E = C + 3 C + 9 C + C +... ( + 1) sumados a) ) 4 c) 6 d) e) Calcular el valor M = C C + 15 C 0 C ( + 1) sumados a) 104 ) 65 c) 15 d) 5 0 e) N.A. 11.Calcular el equivalete reducido C + C + 3 C C 1 3 a) - 1 ) c). - 1 d). e). a) - 3 ) - c) d) - 1 e) Ecotrar el lugar que ocupa el térmio idepediete oteido al desarrollar: 6 15 x 3 4 x a) ) 10 c) 13 d) 16 e) No existe tal térmio 18.Para qué valor de e el desarrollo x 3 1 x el séptimo térmio es idepediete. a) 8 ) 6 c) 10 d) 1 e) 14

11 19. Qué lugar ocupa el térmio idepediete e el desarrollo x? x 5.Calcular el coeficiete de x 5 e el desarrollo P(x) = (1 + x - x ) 5 a) - 10 ) 10 c) - 80 d) 30 e) - 30 a) segudo ) tercero c) cuarto d) quito e) sexto 0.Si el producto de la suma de los coeficietes de los desarrollos (a + ) m ; (c + d) ; (a + 1) p es 4096 siedo m, y p pares cosecutivos, hallar el valor m + p + pm a) 48 ) 44 c) 1 d) 38 e) 60 6.U térmio que se otiee e el desarrollo P(x; y; z; w) = (x + y + z + w) 6 es: mx y zw. Hallar m. a) 10 ) 180 c) 10 d) 16 e) 163. Calcular: C 30 C 30 C 30 C 30 S = Cuátos térmios fraccioarios admite e su desarrollo: - 1 a) ) c) P(x) = x x 31 d) e) a) 15 ) 5 c) 50 d) 65 e) 5.Calcular el coeficiete del térmio cuya parte literal es x 6 y 4 e el desarrollo (x - xy + y ) 5 a) 99 ) 105 c) 14 d) 130 e) Idicar el coeficiete del térmio e x 10 del desarrollo (1 + 3x + 3x 4 ) a) 80 ) 918 c) 154 d) 198 e) La suma de coeficietes de los térmios oteidos e la expasió es 64. Calcular: [( x + y ) 4 - ( x - y ) 4 ] 4 t 5 t 13 8.Calcular e: C 0 3C 1 5C... ( 1)C 51 = C C 3C... C a) 44 ) 49 c) 50 d) 51 e) 5 9.Calcular: S = 1 + C + C + C a) ). c) - 1 d). - 1 e) No se puede determiar 30.E el siguiete iomio: 3 1 B(x) = 84 x 4 x Calcular el úmero de térmios racioales, irracioales, eteros y fraccioarios e ese orde. Idique la respuesta correcta. x a) y a) 8; ; 5; 3 ) ; 8; 4; 3 x x 6 c) 6; 9; ; 3 d) ; 83; 1; 1 ) c) y y e) 6; 8; 5; 3 x 4 d) y x 5 e) y

12 Autoevaluació 1. La suma de los coeficietes e el desarrollo a) 104 ) 103 c) 10 P(a; ) = (a + 3) 5 d) 101 e) 100 es: a) 30 ) 3 c) E el desarrollo d) 43 e) 315 (x + y) la suma de expoetes es 30. Hallar.. Calcular: C 1 + C + 3 C C a) ) 3 c) 4 d) 5 e) 6 a) - 1 ). - 1 c). d) e) Calcular para que se verifique: C 1 + C + C C = 1 3. Calcular: a) 6 ) c) 8 10 C 0 + C 10 + C C 10 d) 10 e) 9 10

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