Luis González Abril y Luis M. Sánchez-Reyes {luisgon, - Dpto. Economía Aplicada I Universidad de Sevilla

Transcripción

1 ETUDIO OBRE EL EXCEO DE AMPLITUD EN LA CONTRUCCIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL CON VARIANZA DECONOCIDA EN UNA POBLACIÓN NORMAL Luis Gozález Abril y Luis M. áchez-reyes {luisgo, luiss-rf}@us.es - Dpto. Ecoomía Aplicada I Uiversidad de evilla Palabras clave: Itervalos de Cofiaza, Distribució t, Distribució Normal Resume E este trabajo se compara los itervalos de cofiaza que puede obteerse aplicado los métodos estádar para estimar la media poblacioal e u modelo geerador de datos ormal e las dos situacioes posibles, (co variaza poblacioal coocida y descoocida), cuatificado la probabilidad de que el itervalo que se obtiee e el segudo caso sea más estrecho que e el primero, y aalizado el sigificado que tiee que esto pueda llegar a ocurrir.

2 1. Itroducció al problema. Itervalos de cofiaza que proporcioa los métodos estádar Cosideremos la siguiete situació: la característica de iterés de ua població se distribuye segú ua variable aleatoria X N ( µ,1), y dos ivestigadores que trabaja por separado desea costruir u itervalo de cofiaza al 90% para la media poblacioal µ a partir de ua muestra aleatoria simple de tamaño = a la que ambos va a teer acceso. Obteida la muestra ésta resulta ser x 1 = 0.95 y x = 1.05, de forma que la media y variaza muestrales so X = 1 y = respectivamete. El primer ivestigador ha teido acceso a la mecioada iformació sobre la distribució de la característica de iterés, por lo que platea el correspodiete itervalo de cofiaza de la muestra, que como es sabido para u grado de cofiaza 1-α supuesto coocida la variaza es: X z < µ < X + z dode z1 α es el correspodiete percetil del modelo ormal tipificado. Este itervalo co los datos obteidos se covierte e: 0.163< µ <.163 El segudo ivestigador posee meos iformació que el primero y sólo cooce que X N ( µ, ), por lo que costruye el itervalo de cofiaza segú la expresió X t 1, < µ < X + t 1, 1 1 dode t 1,1 α es el correspodiete percetil del modelo t tudet co -1 grados de libertad y es la raíz cuadrada de la variaza muestral. Este itervalo al sustituir los valores correspodietes queda: 0.684< µ < Págia

3 de forma que el segudo itervalo es mucho más preciso debido a su meor amplitud. La preguta que surge es: cómo es posible que el segudo ivestigador utilizado meos iformació haya obteido u itervalo más preciso que el primero co el mismo ivel de cofiaza? (de hecho puede comprobarse que el itervalo 0.163< µ <.163 a uestro segudo ivestigador llegaría a proporcioarle ua cofiaza bastate superior al 95%). Así pues si el primer ivestigador tuviese coocimieto del itervalo obteido por el segudo, debería desechar su resultado y adoptar el del compañero? La respuesta es egativa, y co este trabajo vamos a justificar que si uestro ivestigador actuase de esta maera estaría iterpretado equivocadamete la cofiaza. Recuérdese que la cofiaza se etiede como la probabilidad, previa a la obteció de la muestra, de que el itervalo que se va a costruir cotega al verdadero valor del parámetro, pero tégase tambié presete que el itervalo es aleatorio y depede de la muestra obteida. E este caso la muestra es tal que ha ocurrido el suceso raro de que la amplitud del primer itervalo es mayor que la del segudo.. Aálisis de los itervalos de cofiaza E esta secció se compara las amplitudes de los itervalos que proporcioa los dos métodos de costrucció de itervalos de cofiaza ates descritos. PLANTEAMIENTO GENERAL: ea X u modelo geerador de datos que sigue u modelo ormal de media µ y variaza, es decir, X N ( µ, ). A partir de este modelo obteemos ua realizació muestral Págia 3

4 de tamaño { } x x x. Puesto que el itervalo de cofiaza de la : 1,,..., muestra co u grado de cofiaza 1-α supuesto coocida la variaza es: la amplitud de este itervalo vale: 1 1 X z, X + z z1 α Aálogamete, la expresió del itervalo de cofiaza de la muestra co u grado de cofiaza 1-α supuesto descoocida la variaza es: 1 1 X t, X + t 1 1 co amplitud: t 1 1, 1, 1, Para comparar las amplitudes de los itervalos que se puede obteer por ambos métodos coviee cosiderar el cociete etre la amplitud variable del itervalo basado e la distribució t y la amplitud fija del que se basa exclusivamete e la distribució N (0,1) lo visto ates es. Este cociete por t C = z 1, 1 1 y como características de iterés puede calcularse EC [ ] y Var[ C ]. Para determiar EC [ ] sólo cabe teer e cueta que por cumplirse etoces ( ) E Γ =, de maera que Γ( ( 1) ) χ 1 [ ] EC t 1, Γ( ) = z 1 Γ( ( 1) ) Págia 4

5 Var C t Γ( ) 1, [ ] = 1 z ( 1) Γ( ( 1)) E estas expresioes aparece la fució gamma, para la que se Γ ( x + 1) cumple la propiedad geeral lim = 1, lo que aplicado a uestro x + x Γ( x) caso sigifica que Γ( ) 1 Γ( ( 1) ) 1 por lo que para α fijo EC [ ] 1 y Var[ C] 0 de modo que para grade ambos métodos tiede a ser equivaletes. iguiedo esta costrucció se ha obteido la siguiete tabla, para u grado de cofiaza del 95% y variado el tamaño muestral E[C] Var[C] E[C] Var[C] 5,176 15, ,037 0, ,9455 1, ,0358 0, ,4960 0, ,0346 0, ,3316 0, ,0333 0, ,480 0, ,03 0, ,1977 0, ,031 0, ,1643 0, ,030 0, ,1404 0, ,093 0, ,16 0, ,084 0, ,1088 0, ,076 0, ,0978 0, ,068 0, ,0888 0, ,061 0, ,0813 0, ,054 0, ,0750 0, ,048 0, ,0695 0, ,041 0, ,0648 0, ,035 0, ,0608 0, ,030 0, ,0571 0, ,04 0, ,0539 0, ,019 0, ,0511 0, ,014 0,0114 1,0485 0, ,010 0, ,046 0, ,005 0, ,0441 0, ,001 0, ,041 0, ,0098 0, ,0404 0, ,0049 0, ,0387 0, ,0019 0,0010 Págia 5

6 3. Estudio del suceso raro Pese a que el valor esperado del cociete de amplitudes es superior a la uidad si embargo es posible, como se tuvo ocasió de comprobar e la itroducció del problema, que el itervalo de cofiaza proporcioado a partir del modelo t de tudet cuado descoocemos la variaza tega meor amplitud que el basado e el modelo ormal, cuado la variaza es coocida. Así, calculemos la probabilidad: P t < z 1 1, teiedo e cueta que todas las catidades ivolucradas so positivas y despejado coveietemete, esta probabilidad se expresa: P y si uevamete recordamos que Distiguimos dos casos: P χ z < ( 1) t 1, χ 1 1 < ( 1) t 1,1 α se ha de calcular: z a) upogamos que el tamaño muestral es grade: Es coocido que si el tamaño muestral es grade etoces: t, p z p y sustituyedo esta expresió e la probabilidad queda: y si teemos e cueta que: etoces: P ( χ 1 < 3) ( χ 1) ( χ 1) E = 1 Var = ( 1) Págia 6

7 P χ E Var ( χ ) ( χ 1 ) 1 1 < 1 y como es grade aplicado el teorema cetral del límite se sigue que la probabilidad aterior es aproximadamete igual a: P( Z < 0) = 0.5 co Z siguiedo u modelo ormal tipificado. Luego, como era lógico si el tamaño muestral es suficietemete grade los itervalos que se obtiee tiee ua probabilidad del 50% de ser uo mayor que otro. Esto se sigue tambié del hecho de que el modelo t cuado es grade se aproxima suficietemete bie por u ormal, o tambié del resultado aterior Var[ C] 0. b) upogamos que el tamaño muestral es pequeño: E este caso o existe relació secilla etre los percetiles del modelo ormal tipificado y el modelo t co grados de libertad y la úica solució pasa por implemetarlo es u ordeador y ver lo que ocurre. Así lo hemos hecho, seleccioado los grados de cofiaza más utilizados y calculado la correspodiete probabilidad para obteer la tabla siguiete: z P χ 1 < ( 1) t 1, 1 α = 0,90 0,95 0,99 z1 α = 1, ,95996,57583 t Probabilidad t Probabilidad t Probabilidad 6,3137 0,055 1,706 0,16 63,6559 0,033 3,900 0,719 4,307 0,1874 9,950 0,0651 4,3534 0,3098 3,184 0,31 5,8408 0,0998 5,1318 0,3340,7765 0,630 4,6041 0,1305 6,0150 0,3510,5706 0,856 4,031 0, ,943 0,3637,4469 0,3030 3,7074 0, ,8946 0,3737,3646 0,3168 3,4995 0, ,8595 0,3818,3060 0,380 3,3554 0, ,8331 0,3885,6 0,3375 3,498 0, ,815 0,394,81 0,3456 3,1693 0, ,7959 0,3991,010 0,355 3,1058 0, ,783 0,4034,1788 0,3586 3,0545 0, ,7709 0,407,1604 0,3641 3,013 0,66 Págia 7

8 15 1,7613 0,4105,1448 0,3689,9768 0, ,7531 0,4136,1315 0,3733,9467 0, ,7459 0,4163,1199 0,377,908 0, ,7396 0,4188,1098 0,3808,898 0, ,7341 0,411,1009 0,3841,8784 0, ,791 0,43,0930 0,387,8609 0, ,747 0,451,0860 0,3900,8453 0,3079 1,707 0,470,0796 0,396,8314 0,31 3 1,7171 0,486,0739 0,3950,8188 0, ,7139 0,430,0687 0,3973,8073 0, ,7109 0,4317,0639 0,3995,7970 0, ,7081 0,4331,0595 0,4015,7874 0, ,7056 0,4344,0555 0,4034,7787 0, ,7033 0,4356,0518 0,405,7707 0, ,7011 0,4367,0484 0,4069,7633 0, ,6991 0,4378,045 0,4085,7564 0, ,6973 0,4389,043 0,4100,7500 0, ,6955 0,4399,0395 0,4114,7440 0, ,6939 0,4408,0369 0,418,7385 0, ,694 0,4417,0345 0,4141,7333 0, ,6909 0,446,03 0,4154,784 0, ,6896 0,4434,0301 0,4166,738 0, ,6883 0,444,081 0,4178,7195 0, ,6871 0,4450,06 0,4189,7154 0, ,6860 0,4457,044 0,400,7116 0, ,6849 0,4464,07 0,410,7079 0, ,6839 0,4471,011 0,40,7045 0, ,689 0,4477,0195 0,49,701 0, ,680 0,4484,0181 0,438,6981 0, ,6811 0,4490,0167 0,447,6951 0, ,680 0,4495,0154 0,456,693 0, ,6794 0,4501,0141 0,464,6896 0, ,6787 0,4507,019 0,47,6870 0, ,6779 0,451,0117 0,480,6846 0, ,677 0,4517,0106 0,487,68 0, ,6766 0,45,0096 0,495,6800 0, ,6644 0,463 1,9905 0,4444,6395 0, ,6604 0,4664 1,984 0,4503,664 0, ,655 0,4763 1,970 0,4649,6008 0, ,6479 0,4850 1,9647 0,4779,5857 0,4603 E ésta, se puede observar que o es i mucho meos iusual que el itervalo de cofiaza de la media muestral co variaza descoocida sea más estrecho que cuado se supoe variaza coocida, es decir, el suceso raro o es ta extraño como a primera vista puede pareceros. Por ejemplo, cosiderado u grado de cofiaza del 95% (el más frecuete) co ua muestra de tamaño 7, esta probabilidad es superior al 30% y para =10 la probabilidad es superior a 1/3, subiedo esta probabilidad por ecima del 40% cuado el tamaño es de 6. Págia 8

9 4. Paradoja acerca de la cofiaza que merece los itervalos. Correcció de la cofiaza. La aparete cotradicció que se presetó e la itroducció estaba relacioada co la ocurrecia del suceso raro y cosistía e decidir si procede preferir el itervalo más estrecho frete al de mayor amplitud. Como ya idicamos desde el pricipio la respuesta es egativa y pasemos a examiar por qué. La cofiaza de que itervalo aleatorio que se obtiee aplicado la distribució t cotega a µ es el siguiete valor o lo que es igual 1 P X < t 1 µ 1, P X t 1 ( µ ) < 1,1 α Págia 9 Teiedo e cueta que X N( µ, ), para cada valor de la expresió derecha de la desigualdad será u determiado percetil de orde 1 p de la distribució N (0,1), es decir z = t 1 1 p 1, i se cooce puede calcularse z1 p y p. Además por la idepedecia etre las distribucioes X y, la probabilidad codicioada a del aterior suceso o cambia, es decir, ( µ ) < 1 p = 1 P X z p y por cosiguiete es 1 p el verdadero grado de cofiaza atribuible al itervalo; es decir, si se cooce se debe corregir la cofiaza. Nótese que la tetació de preferir el itervalo basado e la distribució t aparece cuado o lo que igual, si t < 1,1 1 1 α α z

10 z = t < z 1 1 p 1, de modo que etoces 1 p < 1 α y 1 p < 1 α, lo que sigifica que la cofiaza corregida es iferior al grado de cofiaza que se tomó iicialmete. Así pues, para u itervalo basado e la distribució t si se cooce se puede corregir su cofiaza que pasa a ser X µ t 1,1 1 p ( ) P α = < 1 y cabe pregutarse, será tambié 1 α el valor esperado de esta esperaza corregida e coherecia co el plateamieto del método estádar? Veamos que efectivamete es así. Abreviado la otació mediate X µ Z =, u ( ) = t 1, 1 y represetado por φ y etoces f las fucioes de desidad de Z y de + + u( s) E[1 p ( )] = P Z < u ( ) f() s ds= φ() z f() s dzds 0 0 u( s) y por ser Z y idepedietes etoces φ ( z) f () s es tambié la fució de desidad cojuta de ambas variables aleatorias, por lo que la última expresió coicide co X µ t X µ 1, P Z < u ( ) = P < = P < t 1, = 1 1 tal y como se había auciado. Nótese además que por su misma defiició 1 p ( ) = φ( u ( )) 1 5. Cuatificació del exceso de amplitud Págia 10

11 E la tabla de probabilidades dada e la secció 3 se podía observar que la probabilidad de obteer el suceso raro se aproxima al 50% cuado el tamaño muestral crece, es decir, cada vez deja de ser meos raro. i embargo, lo realmete importate es ver como difiere e térmios relativos las amplitudes de los itervalos de cofiaza cosiderados, y es claro que cuado crece ambas amplitudes tiede a cero (para la que se basa e la distribució t esa covergecia es e P probabilidad) y asimismo tambié para el cociete de ambas C 1 y por tato auque se tega la ocurrecia del suceso raro la diferecia etre las amplitudes es isigificate. La situació a cosiderar por tato tiee iterés cuado el tamaño muestral es pequeño, pues etoces puede que la probabilidad de que las amplitudes difiera sigificativamete sea importate. Cetremos uestro estudio sobre itervalos de cofiaza al 95% 1. i se dispoe de ua muestra de tamaño 10, la probabilidad de obteer u itervalo de cofiaza más estrecho cuado descoocemos la variaza que cuado la coocemos es de pero la preguta que pretedemos cotestar e esta secció es qué probabilidad existe de que e verdad las amplitudes sea cosiderablemete diferetes? Para ello se ha calculado para distitos valores de k la probabilidad que t (1 ) 1, < z1 α k 1 Así, para k=0.5 se estudia cuado el itervalo basado e la distribució t es meos de la mitad del itervalo basado e la ormal. De esta forma se ha costruido la siguiete tabla: k Probabilidades 0,0308 0,0615 0,091 0, ,019 0,0506 0,110 0, ,0049 0,0371 0,118 0, ,0019 0,063 0,1091 0, De forma aáloga se realizaría el estudio para cualquier otro grado de cofiaza. Págia 11

12 6 0,0007 0,0185 0,1030 0, ,0003 0,0130 0,0961 0, ,0001 0,0091 0,0891 0, ,0000 0,0064 0,084 0, ,0000 0,0045 0,0759 0, ,0000 0,003 0,0699 0, ,0000 0,00 0,0644 0, ,0000 0,0016 0,0593 0, ,0000 0,0011 0,0545 0, ,0000 0,0008 0,050 0,00 0 0,0000 0,0001 0,033 0, ,0000 0,0000 0,0148 0, ,0000 0,0000 0,0068 0, ,0000 0,0000 0,0031 0, ,0000 0,0000 0,0001 0, ,0000 0,0000 0,0000 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0005 E ella podemos observar como cuado el tamaño muestral crece, la probabilidad de que el itervalo basado e la t tega ua amplitud iferior al 50% de la amplitud del itervalo basado e la ormal está próximo a cero a partir de u tamaño de 15. i cosideramos como ua diferecia importate que el tamaño del itervalo basado e la t tega ua amplitud iferior e u 5% al tamaño del basado e la ormal, se sigue que estos sucesos o so e absoluto raros ya que para u tamaño muestral de 10 es del 7 59% y aú cuado el tamaño se duplica, esta probabilidad es relativamete alta (3 3%). Todo esto os sugiere de forma aalítica que la iterpretació de los itervalos de cofiaza de la media poblacioal basados e la distribució de t de tudet debe ser iterpretado co ua cierta cautela para cualquier tipo de ivestigació siempre que el tamaño de la muestra sea pequeño. Coclusioes E este trabajo hemos comprobado teóricamete que o es u hecho excepcioal el obteer itervalos de cofiaza de la media muestral más estrecho co meor iformació. Todo depede de la muestra cocreta y e Págia 1

13 todo caso la probabilidad de teer itervalos de cofiaza más estrechos despreciado iformació es relativamete alta e cotra de lo que se podría pesar, auque como fialmete se desprede del aálisis esa gaacia e la precisió del itervalo ha resultado ficticia. Igorar el valor de se paga obteiedo u itervalo que por térmio medio tedrá más amplitud que el que se hubiese obteido utilizado esa iformació. Además, a la luz del coocimieto de se puede corregir la cofiaza que merece el itervalo que se obtuvo basado e la distribució t. El hecho de que el valor medio de la cofiaza corregida siga siedo el mismo que el que fijó iicialmete el ivestigador se explica básicamete debido a que la cofiaza corregida viee dada por la fució cócava 1 p ( ) = φ( u ( )) 1, lo que sigifica que u icremeto positivo de tiee meos repercusió e el aumeto de la cofiaza corregida que la dismiució asociada al mismo icremeto egativo de (auque tambié es u factor a teer e cueta la propia distribució de ). Págia 13