UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Facultad de Ciencias - Departamento de Matemáticas TOPOLOGIA GENERAL

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Facultad de Ciencias - Departamento de Matemáticas TOPOLOGIA GENERAL G. PADILLA Resumen. Estas notas ueron realizadas entre 2006 y 2008, echa en la cual dicté dicho curso en la Universidad Central de Venezuela. Contenido 1. Espacios métricos Espacios métricos Conjuntos cerrados Sucesiones Funciones continuas entre espacios métricos Más ejercicios de espacios métricos 8 2. Espacios topológicos Espacios topológicos Continuidad Bases y sub-bases Topología producto Espacios cociente Axiomas de numerabilidad Subespacios topológicos Conexidad Componentes conexas Conexidad por arcos Separación Más ejercicios de topología Espacios compactos Compacidad Espacios Hlc Espacios paracompactos Convergencia en espacios topológicos Redes Sub-redes Redes universales Espacios completamente regulares Espacios metrizables Espacios totalmente acotados Separación de cerrados con unciones continuas El teorema de extensión de Tietze 38 Fecha: Julio 2008, actualizadas en marzo

2 2 G. PADILLA 5.4. Espacios acotados Convergencia puntual y uniorme El truco de Bredon Fibrados topológicos Amalgama de espacios topológicos Familias amalgamables y semigrupos de cociclos Fibrados Generales Ejemplos Morismos ibrados Unicidad de los espacios ibrados 46 Reerencias Espacios métricos Incluimos en este breve capítulo las propiedades más importantes de los espacios métricos y topológicos. Hemos seguido especialmente a [2] Espacios métricos. Un espacio métrico es un par (E, d) tal que E es un conjunto y E E d [0, ) es una unción real tal que para cualesquiera x, y, z E se tiene (a) Unicidad: d(x, y) = 0 x = y (b) Simetría: d(x, y) = d(y, x) (c) Desigualdad triangular: d(x, z) d(x, y) + d(y, z) Dado x E la bola abierta (resp. cerrada) con centro en x y radio δ > 0 es el conjunto B(x, δ) = {y E : d(x, y) < δ} (resp. el conjunto B(x, δ) = {y E : d(x, y) δ}). La distancia entre dos subconjuntos no vacíos A, B E se deine como el ínimo d(a, B) = in {d(x, y) : x A, y B} Un subconjunto A E es abierto para todo punto x A hay un δ > 0 suicientemente pequeño tal que B(x, δ) A. Lema Para cualesquiera x, y, z E se tiene d(x, z) d(y, z) d(x, y). Por la desigualdad triangular tenemos que d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Si d(x, z) d(y, z) entonces 0 d(x, z) d(y, z) d(x, y) y el enunciado vale. En caso contrario, si d(x, z) > d(y, z) entonces por la misma desigualdad triangular d(x, z) d(x, y) + d(y, z) y con el mismo procedimiento anterior 0 d(x, z) d(y, z) d(x, y). Lema En todo espacio métrico (E, d); (1) y E son abiertos. (2) Toda bola B(x, δ) es abierta en el sentido anterior. (3) A es abierto es unión de bolas abiertas. (4) La unión arbitraria de abiertos es un abierto. (5) La intersección inita de abiertos es un abierto. (1) Es trivial. Vamos por pasos.

3 TOPOLOGIA GENERAL 3 (2) Sean y B(x, δ), ρ = d(x, y) y δ = min{ρ, δ ρ}. Si d(y, z) < δ entonces por la desigualdad triangular d(x, z) d(x, y) + d(y, z) ρ + (δ ρ) = δ; luego B(y, δ ) B(x, δ). (3) Directo de la deinición. (4) Si A = i A i es unión de abiertos entonces, por el paso anterior, como cada A i es unión de bolas abiertas, luego A también es unión de bolas abiertas. Por el paso anterior A es abierto. (5) Por inducción y asociatividad de la intersección, es suiciente verlo para la intersección A B dos abiertos A, B E. Dado z A B como A es abierto existe δ > 0 tal que B(z, δ) A y, como B es abierto, existe δ > 0 tal que B(z, δ ) B. Entonces B(z, ρ) A B para ρ = min{δ, δ }. Dados un subconjunto Z E y un punto x E; diremos que Z es un entorno de x, o bien x es un punto interior de Z; si y sólo si existe un δ > 0 suicientemente pequeño tal que B(x, δ) Z. Diremos que x es exterior a Z x es un punto interior de E\Z. Dado otro subconjunto Y X diremos que Z es un entorno de Y Z es un entorno de todos los puntos de Y. Lema Dado un espacio métrico (E, d) y dos subconjuntos Y, Z E. (1) Z es entorno de Y existe algún abierto U E tal que Y U Z. (2) La unión de entornos de Y es un entorno de Y. (3) La intersección inita de entornos de Y es un entorno de Y. Para ver (1) tomamos, para cada y Y, una bola abierta de radio suicientemente pequeño δ y > 0 tal que B(y, δ y ) Z. Por (3) el subconjunto U = B(y, δ y ) es el abierto buscado. y Y Las propiedades (2) y (3) son consecuencia de la primera y las propiedades de los abiertos, c. de nuevo El interior de un subconjunto Z E en un espacio métrico (E, d) es el subconjunto de todos los puntos interiores de Z. Z = {z X : B(z, δ) Z para algún δ > 0} Lema Dado un espacio métrico (E, d) y subconjuntos Y, Z E; (1) Y Y es el abierto más grande contenido en Y. (2) Y Z Y Z. (3) (Y Z) = Y Z. (4) Y es abierto Y es entorno de todos sus puntos Y = Y. Vamos por pasos. (1) El interior Y es abierto: Si y Y entonces hay algún δ > 0 suicientemente pequeño tal que B(y, δ) Y. Por 1.1.2, B(y, δ) es abierta, luego para cualquier otro punto x B(y, δ) hay algún ɛ > 0 tal que B(x, ɛ) B(y, δ) Y, con lo cual x Y. Se deduce que en realidad B(y, δ) Y, con lo cual el interior Y es unión de bolas abiertas, luego es abierto por (3). Si A Y es cualquier abierto contenido en Y entonces, para cualquier a A, existe un δ > 0 tal que B(a, δ) A Y con lo cual a Y por deinición de los puntos interiores; luego A Y.

4 4 G. PADILLA (2) Si Y Z y x Y es un punto interior a Y, entonces existe un δ > 0 tal que B(x, δ) Y Z con lo cual x es un punto interior a Z. (3) Hay que ver una contención doble. Como Y Z Y y Y Z Z, por el paso anterior se tiene que (Y Z) Y Z. Para ver la otra contención suponga que x Y Z; sean ɛ, δ > 0 tales que B(x, ɛ) Y y B(x, δ) Z. Entonces B(x, min{ɛ, δ}) Y Z. (4) Es directa de las deiniciones. Lema Un punto x E es exterior a Y E d(x, Y ) > 0. Porque x es exterior a Y x es interior a E\Y. Esto último sucede existe algún δ > 0 tal que B(x, δ) E\Y ; es decir que B(x, δ) Y =, lo cual pasa si y sólo si d(x, Y ) > 0. Lema Para cada Y E y cada δ > 0 el subconjunto V (Y, δ) = {x E : d(x, Y ) < δ} es un entorno abierto de Y. Basta demostrar V (Y, δ) = B(y, δ). Ambas contenciones son obvias, pues un y Y punto x pertenece a V (Y, δ) si y sólo si existe algún y Y tal que d(x, y) < δ; y esto sucede si y sólo si x B(y, δ) para algún y Y Conjuntos cerrados. Un subconjunto C E es cerrado su complemento E\C es abierto. Lema En todo espacio métrico, (1) La intersección de subconjuntos cerrados es un subconjunto cerrado. (2) La unión inita de subconjuntos cerrados es un subconjunto cerrado. (3), E son cerrados. Es inmediato de y las operaciones de conjuntos. La adherencia Y de un subconjunto Y E se deine como el conjunto de los puntos no exteriores a Y ; es decir Y = {x E : d(x, Y ) = 0}. Proposición Dado un espacio métrico (E, d); y Y, Z E; (1) Y Y. (2) x Y toda bola abierta centrada en x intersecta a Y. (3) Y Z Y Z. (4) Y Z = Y Z. (5) Y es la intersección de todos los entornos de la orma V (Y, δ) con δ > 0. (6) Si x (Y \Y ) entonces la intersección de cualquier entorno de x con Y es un subconjunto ininito. (7) Y es cerrado Y = Y. (8) Y = Y. (9) Y es el cerrado más pequeño que contiene a Y. (10) La adherencia de toda bola abierta B(x, δ) es la bola cerrada B(x, δ). Procedemos por pasos. (1) Directa de la deinición de adherencia.

5 TOPOLOGIA GENERAL 5 (2) Como la distancia de x a Y es el ínimo de las distancias d(x, y) variando a y Y ; se tiene que d(x, Y ) = 0 para cada δ > 0, existe algún y Y tal que d(x, y) < δ; luego y B(x, δ) A. (3) Si Y Z y entonces, por propiedades de los ínimos, para cualquier punto x E se tiene d(x, Y ) = in{d(x, w) : w Y } in{d(x, w) : w Z} = d(x, Z) En particular, d(x, Y ) = 0 d(z, Z) = 0. (4) De las dos contenciones, es directa del paso anterior. Para ver vamos por contrarrecíproco. Si x Y Z entonces d(x, Y ) > 0 y d(x, Z) > 0. Existen pues ɛ 1, ɛ 2 > 0 tales que B(x, ɛ 1 ) Y = y B(x, ɛ 2 ) Z =. Basta tomar ɛ = min{ɛ 1, ɛ 2 }. Por construcción, B(x, ɛ) (Y Z) = ; luego x Y Z. (5) Para ver que Y = V (Y, δ) demostramos las dos contenciones. De ellas, es directa de las deini- δ>0 ciones. Ahora bien, x V (Y, δ) si y sólo si x V (Y, δ) para cada δ > 0; es decir, si y sólo si para δ>0 cada δ > 0 existe algún y δ Y tal que d(x, y δ ) < δ. Ello implica que, para todo δ > 0, la bola abierta centrada en x con radio δ intersecta a Y, pues y δ B(x, δ) Y. Entonces x Y por deinición. (6) Sea x Y \Y. La bola B(x, 1) intersecta a Y en algún punto y 1 x. Como 0 < δ 1 = d(x,y 1 ) 2, la bola B(x, δ 1 ) intersecta a Y en algún punto y 2 x. Por construcción, y 2 y 1. Como 0 < δ 2 = d(x,y 2 ) 2, la bola B(x, δ 2 ) intersecta a Y en algún punto y 3 x y por construcción, y 3 es dierente de y 1, y 2. Si continuamos el proceso de modo inductivo, por el axioma de elección es posible construir una sucesión y 1,..., y n,... de puntos dierentes en Y tales que d(x, y n+1 ) < d(x, y n )/2 para cada n. (7) Por el paso (1) de este lema, basta ver una sola contención. Es decir, Y es cerrado Y Y. Ahora bien, Y es cerrado si y sólo si E\Y es abierto; ello sólo sucede todo punto de E\Y es un punto interior: x Y si y sólo si existe un δ > 0 tal que B(x, δ) E\Y, luego B(x, δ) Y =. Se concluye que Y es cerrado si y sólo si vale el condicional x Y x Y ; o dicho de otro modo, Y Y. (8) La contención Y Y sale del paso (1). Para ver la otra contención tome un punto x Y. Dado cualquier δ > 0, la bola centrada en x con radio δ intersecta a Y. Sea z B(x, δ) Y y ɛ = min{d(x,z),δ d(x,z)} 2. Entonces B(z, ɛ) B(x, δ) y B(z, ɛ) Y ; luego B(x, δ) Y. De la arbitrariedad de δ se deduce que x Y por el paso (2). (9) Por (7) y (8) Y es cerrado. Si Y C y C es cerrado, por los pasos (3) y (7) tenemos que Y C = C. (10) si z es un punto en la adherencia de B(x, δ) y z B(x, δ) entonces, para cada entero positivo n > 0 podemos elegir y n B(z, 1 n ) B(x, δ). Por la desigualdad triangular d(z, x) d(x, y n ) + d(y n, x) < 1 n + δ Tomando el límites para n se tiene d(z, x) δ. Por otro lado, como z B(x, δ) tenemos que d(z, x) δ; luego d(z, x) = δ. Dados Y, Z E decimos que Y es denso en Z si Z Y ; en particular, decimos que Y es denso si es denso en E, es decir, si Y = E. El espacio E es separable si existe posee algún subconjunto denso y numerable. Lema Si X es denso en Y y Y es denso en Z entonces X es denso en Z.

6 6 G. PADILLA Si X Y y Y Z entonces, por (8) tenemos que X Z = Z. La rontera Y de Y se deine como el conjunto de puntos que son adherentes a Y y a E\Y ; es decir Y = {z E : d(x, Y ) = d(x, E\Y ) = 0}. Dado cualquier espacio métrico (E, d) y un subconjunto Y E; la métrica de subespacio de Y es la restricción de d a Y Y Sucesiones. Fijamos un espacio métrico (E, d). Una sucesión en E es la imagen de una unción x cualquiera N E; escribimos xn = x(n). Usualmente escribimos también a la sucesión x como un subconjunto numerable {x n : n = 0, 1,... } E en el cual pueden haber repeticiones. Si {x n } n N es una sucesión en E, una sub-sucesión es la composición de x con cualquier unción inyectiva y creciente N k N; es decir, i < j ki < k j. Una sucesión converge si existe algún x E tal que, para cada ɛ > 0, hay un entero N ɛ tal que n > N ɛ d(x, x n ) < ɛ; es decir, la cola de la sucesión a partir de N ɛ está contenida en la bola de centro x y radio ɛ. En tal caso escribimos Lim n x n = x y decimos que la sucesión {x n } n diverge. converge a x. Si una sucesión no converge a ninún punto decimos que Lema En un espacio métrico toda sucesión convergente posee un único límite. Si {x n } n converge a x, x entonces para cada ɛ hay un entero N ɛ tal que valen los dos condicionales siguientes: n > N ɛ d(x, x n ) < ɛ; y n > N ɛ d(x, x n ) < ɛ. Si x x entonces, por deinición de las métricas, d(x, x ) 0. Basta tomar ɛ = d(x,x ) 3. Entonces las bolas B(x, ɛ) y B(x, ɛ) son disjuntas, por lo cual no pueden ser válidos ambos condicionales al mismo tiempo. Una sucesión {x n } n en E es de Cauchy para cada ɛ > 0 existe un entero N ɛ tal que vale el siguiente condicional m, n > N ɛ d(x m, x n ) < ɛ Lema Toda sucesión convergente contiene una sub-sucesión de Cauchy. siguiente: Si {x n } n converge a x entonces para cada ɛ hay un entero N ɛ tal que vale el condicional n > N ɛ d(x, x n ) < ɛ 2 Entonces, si m, n > N ɛ tenemos que d(x m, x n ) d(x m, x) + d(x, x n ) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. De este modo, dada cualquier sucesión convergente, podemos asumir salvo ajustes que se trata de una sucesión de Cauchy. Un espacio métrico E es completo si toda sucesión de Cauchy en E converge a algún punto en E.

7 TOPOLOGIA GENERAL Funciones continuas entre espacios métricos. Dados dos espacios métricos (E, d) y (E, d ) una unción E E es continua en un punto x E si y sólo si para cada ɛ > 0 hay algún δ > 0 (que depende de x y de ɛ) tal que d(x, y) < δ d ((x), (y)) < ɛ. Proposición Las siguientes airmaciones son equivalentes: (1) E E es continua en x E. (2) Para cada entorno V de (x) existe algún entorno V de x tal que (V ) V. (3) 1 (V ) es un entorno de x para cada entorno V de (x). (1) (2): Dado cualquier entorno V de (x) basta tomar cualquier ɛ > 0 suicientemente pequeño tal que B((x), ɛ) V. Como es continua, hay algún δ > 0 tal que vale el condicional d(x, y) < δ d ((x), (y)) < ɛ; en otras palabras (B(x, δ)) B((x), ɛ) V. El entorno buscado es V = B(x, δ). (2) (3): Si V es un entorno de (x), como existe un entorno V de x tal que (V ) V, tenemos que x V 1 (V ) con lo cual 1 (V ) es un entorno de x. (3) (1): Si tomamos en particular V = B((x), ɛ) para cualquier ɛ > 0, como 1 (B((x), ɛ)) es un entorno de x; existe un δ > 0 tal que B(x, δ) 1 (B((x), ɛ)). Entonces (B(x, δ)) B((x), ɛ) o, en otras palabras, vale el condicional d(x, y) < δ d ((x), (y)) < ɛ. Decimos que es continua es continua en todo punto de E. Proposición Las siguientes airmaciones son equivalentes: (1) E E es continua. (2) 1 (A ) es abierto en E para cada abierto A E. (3) 1 (C ) es cerrado en E para cada cerrado C E. (4) (Y ) (Y ) para todo Y E. (5) Si x = Lim x n entonces (x) = Lim (x n ). n n (1) (2): Es directa de (2) (3): Por propiedades de las imágenes inversas, un cerrado C E tenemos que A = E \C es abierto; por (2) su imagen inversa A = 1 (A ) = 1 (E \C ) = E\ 1 (C ) es abierto; luego C = 1 (C ) es cerrado. (3) (4): La imagen inversa 1 ((Y )) es un cerrado que contiene a Y. Por (9) la adherencia de Y es el menor cerrado que lo contiene, luego Y 1 ((Y )) o, lo que es lo mismo, (Y ) (Y ). (4) (1): Supongamos que (1) no es cierta. Entonces existen x E y ɛ > 0 tales que para cada entero positivo n 1 se puede conseguir algún y n E tal que d(x, y n ) < δ y d((x), (y n )) ɛ. Por construcción x está en la adherencia de Y = {y n : n 1}; sin embargo (x) (Y ),. Esto contradice (4). (1) (5): Si {x n } n es una sucesión que converge a x entonces, puesto que es continua, para cada ɛ > 0 existe un δ > 0 tal que vale el condicional d(x, y) < δ d ((x), (y)) < ɛ. Ahora bien, sea N δ un entero tal que vale el condicional n > N δ d(x, x n ) < δ; entonces de ambos condicionales deducimos que vale n > N δ d ((x), (x n )) < ɛ. De la arbitrariedad de ɛ se deduce que {(x n )} n converge a (x). (5) (1): Supongamos que {x n } n converge a x en E y {(x n )} n no converge a (x) en E. Entonces existe algún ɛ > 0 tal que el conjunto de los enteros n tales que d ((x), (x n )) ɛ es ininito. Al mismo tiempo para cada δ > 0 existe algún entero N δ tal que vale el condicional n > N δ d(x, x n ) < δ. De

8 8 G. PADILLA este modo, es posible conseguir algún n > N δ tal que valgan ambas a la vez, vale decir, d(x, x n ) < δ y d ((x), (x n )) ɛ. De este modo, ɛ es un número tal que para todo δ > 0 es also el condicional d(x, y) < δ d ((x), (y)) < ɛ. Se concluye que no es continua en x. Proposición La composición de unciones continuas es continua. Sean E E y E g E continuas, z = g((x)) para algún x E. Dado cualquier ɛ > 0 existen δ 1, δ 2 tales que se satisacen los siguientes condicionales d ((x), w) < δ 1 d (g((x)), g(w)) < ɛ. d(x, y) < δ 2 d ((x), (y)) < δ 1. Combinando ambos condicionales deducimos que d(x, y) < δ 2 d (g((x)), g((y))) < ɛ. De la arbitrariedad de x, ɛ deducimos que g es continua. Una unción E E entre espacios métricos es uniormemente continua para cada ɛ > 0 existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ d ((x), (y)) < ɛ para todo x, y E. Proposición (1) Toda unción uniormemente continua es continua. (2) La composición de unciones uniormemente continuas es uniormemente continua. (1) es directa. Para (2) vale la misma demostración de con ligeros ajustes. Proposición Si D E es denso y E (a) es continua en E; y (b) es uniormemente continua en D; entonces es uniormemente continua. E es una unción entre espacios métricos, tal que Para cada ɛ > 0 existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ d ((x), (y)) < ɛ para todo x, y D. Como D es denso en E tenemos que D = E luego, para cualquier x X, se tiene que d(x, D) = 0. De este modo, dados cualesquiera x, y E siempre 1.5. Más ejercicios de espacios métricos. (1) Veriica que los siguientes son ejemplos de espacios métricos: E = R n y d la distancia usual. E = R n y d(x, y) = x 1 y x n y n. E = R n y d(x, y) = máx { x 1 y 1,..., x n y n }. X cualquier conjunto, E es el conjunto de unciones acotadas en R X y d(, g) = sup { (x) g(x) : x X}. E cualquier conjunto y d es la distancia discreta dada por d(x, y) = 0 si x = y y d(x, y) = 1 en caso contrario. E es el conjunto de sucesiones de números reales x = (x n ) n tales que la serie correspondiente Σ x n 2 n converge; y d(x, y) = Σ x n y n 2. n (2) Para n = 2, haga un dibujo de la bola abierta centrada en el origen, con radio δ = 1; para los casos (a), (b) y (c) del problema anterior.

9 TOPOLOGIA GENERAL 9 (3) Muestra que d(, g) = 1 (t) 0 g(t) 2 dt es una distancia en el espacio E de todas las unciones reales continuas deinidas en [0, 1]. Sigue siendo d una distancia si en lugar de unciones continuas tomamos unciones integrables de Lébèsgue? (4) Dos distancias d, d deinidas en E son equivalentes deinen los mismos abiertos, es decir, si y sólo si todo d-abierto es un d -abierto y viceversa. Muestra que las siguientes airmaciones son equivalentes: (a) d, d son distancias equivalentes. (b) Toda d-bola abierta es unión de d -bolas abiertas; y toda d -bola abierta sea una d-bola abierta. (c) Dados ɛ > 0, y B d (x, ɛ) y y B d (x, ɛ); existe un δ > 0 tal que B d (y, δ) B d (x, ɛ) y B d (y, δ) B d (x, ɛ). (5) Muestra que si y B(x, δ) entonces d(y, B(x, δ)) d(y, x) δ. Vale para la bola cerrada B(x, δ)? (6) Si (E, d) es un espacio métrico y A E; muestra que d(x, A) d(y, A) d(x, y). (7) Veriica cada una de las propiedades de 1.1. (8) Muestra que en la recta real con la distancia usual, el conjunto de los naturales N no posee un sistema undamental numerable de entornos. (9) (E, d) es un espacio métrico discreto todo subconjunto es abierto. (10) Prueba que toda d esera unitaria S(x, 1) = {y E : d(x, y) = 1} es un conjunto cerrado. (11) Muestra que si A E es abierto entonces A Y A Y para cada Y E. (12) Mostrar que en general es alsa la igualdad A B = A B para cualesquiera A, B E en un espacio métrico (E, d). Más aún; da un ejemplo para E = R con la distancia usual, de subconjuntos A, B tales que A B, A B, A B y A B son todos dierentes, y A B no está contenido en A B. (13) Muestra en todo espacio métrico (E, d), un punto x es adherente a A x es el límite de alguna sucesión de puntos en A. (14) Veriica cada una de las propiedades de 1.2. (15) Muestra que R n con la métrica usual es un espacio separable. (16) Prueba que en un espacio métrico E la unión de un subconjunto abierto y de su exterior es densa. (17) Un punto x A E es aislado en A si existe un entorno V de x tal que V A = {x}. Muestra que si E es separable entonces el conjunto de puntos aislados en E es a lo sumo numerable. (18) Si E E entonces E es un espacio métrico con la distancia restringida d (x, y) = d(x, y) para todo x, y E. La inclusión E i E es continua. (19) Toda unción constante entre espacios métricos es continua. (20) Si (E, d) es un espacio métrico entonces, para cada y E, la unción (x) = d(x, y) es continua. (21) Si (E, d) es un espacio métrico entonces, para cada A E, la unción (x) = d(x, A) es continua. Seguimos en esta sección a [1, 4, 6]. 2. Espacios topológicos 2.1. Espacios topológicos. Un espacio topológico es un conjunto X al cual asociamos una amilia de subconjuntos T de X, que llamaremos la topología de X; y que satisace: (a) y X pertenecen a T. (b) La unión de toda colección de conjuntos en T pertenece a T. (c) La intersección de toda colección inita de conjuntos en T pertenece a T. Notemos que los subconjuntos que pertenecen a la amilia T satisacen en X propiedades análogas a las que poseen los subconjuntos abiertos en un espacio métrico cualquiera, 1.1.2; sólo que ahora no hay una distancia a la cual se remitan dichas propiedades. Esta sencilla abstracción permite pensar en abiertos o cerrados de manera conjuntística, sin tener una métrica preijada. En adelante diremos que un subconjunto A X es abierto pertenece a T. Un subconjunto C X es cerrado su complemento X\C es abierto. Dado un punto x X y un subconjunto Y X diremos indistintamente que Y un entorno de x o x es un punto interior de Y si exsite algún abierto A

10 10 G. PADILLA tal que x A Y. El interior de Y es el conjunto Y de todos los puntos interiores de Y. Un entorno de Y X es un abierto A tal que Y A. Proposición En todo espacio topológico (1) La unión (resp. intersección inita) de entornos de Y es un entorno de Y. (2) Y Y y es el abierto más grande contenido en Y. (3) Y Z Y Z. (4) (Y Z) = Y Z. (5) A es abierto A es entorno de todos sus puntos A = A. (6) La intersección (resp. unión inita) de subconjuntos cerrados es un cerrado. (7), X son cerrados. (8) Para cada Y X existe un cerrado minimal Y Y dado por la intersección de todos los cerrados que contienen a Y. Un punto x X pertenece a Y todo entorno de x intersecta a Y. (9) Y es cerrado Y = Y. (10) Si Y Z Y Z. (11) Y Z = Y Z. (1) Por las propiedades 2.1-(b) y (c). (2) Que Y Y es inmediato. Dado cualquier abierto A tal que A Y ; por la deinición de puntos interiores todo punto x A es interior a Y, es decir x Y ; luego A Y. (3) Es directa. (4) Por el paso anterior se tiene la contención. Vemos la otra: Suponga que x Y Z. Si A, B son abiertos tales que x A Y y x B Z entonces x A B Y Z. Como A B es abierto, obtenemos x es un punto interior en Y Z. (5) Si A es abierto entonces todos sus puntos son interiores y él es entorno de todos sus puntos. Recíprocamente, si A es entorno de todos sus puntos entonces, para todo x A existe un abierto B x tal que x B x A. Luego A es unión de la amilia de abiertos {B x : x A}, y por la propiedad 2.1-(b) A es abierto. Esto da el primer ; el segundo es trivial. (6) Es consecuencia de las leyes de De Morgan para las uniones e intersecciones de complementos, más las propiedades 2.1-(b) y (c). Por ejemplo: Si {C i } i es cualquier amilia de cerrados entonces cada A i = X\C i es abierto. Por la propiedad 2.1-(b) se tiene que A i es abierto, luego su complemento [ ] i C i = (X\A i ) = X\ A i es cerrado. De modo similar se procede con las uniones initas de cerrados. i i i (7) Directa de la propiedad 2.1-(a). (8) Deina Y como el conjunto de puntos x X que satisacen el siguiente condicional: A T (x A) A Y Un punto z Y si y sólo si existe algún abierto A tal que z A y A Y =. En tal caso, por el mismo condicional de arriba, es inmediato que A Y = ; es decir, A está contenido en el complemento de Y. Por el paso (5) se deduce que el complemento de Y es abierto; luego Y es cerrado. Para ver que es el cerrado más pequeño que contiene a Y suponga que Y C y C es cerrado. Entonces el abierto A = X\C no intersecta a Y, e.d. A Y = de donde, por la misma observación anterior, A Y =. Deducimos

11 TOPOLOGIA GENERAL 11 que (X\C) Y = ; ello implica que Y C. (9) Veamos el condicional doble. ( ): Siempre se tiene que Y Y para cualquier Y X. Si Y es cerrado, por el paso anterior, como Y es el cerrado más pequeño que contiene a Y, se tiene Y Y ; luego son iguales. ( ): Si Y = Y entonces, por el paso anterior, Y es cerrado. (10) Si x Y entonces, para todo abierto A se tiene que x A A Y. Cuando Y Z esto implica que, para tdo abierto A, si x A entonces A Y A Z. Luego x Z. (11) El paso anterior implica la contención. Para ver la otra vamos por contrarrecíproco. Si x Y Z entonces, por la deinición de adherencias, existen dos abiertos A, B que contienen a x y además satisacen A Y =, B Z =. Entonces A B es un entorno de x y (A B) (Y Z) =. Deducimos que x Y Z Continuidad. Una unción X X entre espacios topológicos (X, T ) y (X, T ) es continua 1 (A ) T para cada A T. Resumimos esta situación diciendo que 1 (abierto) = (abierto), o bien que 1 [T ] T. Proposición Las siguientes airmaciones son equivalentes: (1) X X es continua. (2) 1 (C ) es cerrado en X para cada cerrado C X. (3) (Y ) (Y ) para todo Y X. Vamos por pasos: (1) (2): Si C X es cerrado entonces A = X \C es abierto. Como es continua, X\ 1 (C ) = 1 (X \C ) = 1 (A ) es abierto, luego 1 (C ) es cerrado. (2) (1): Es análoga al paso anterior. (2) (3): Como (Y ) es cerrado en X, su preimagen 1 ((Y )) es cerrado en X y contiene a Y. Por (8), Y 1 ((Y )) o, en otras palabras, (Y ) (Y ). (3) (2): Sea C X cerrado y C = 1 (C ). Como C = C por (9); tenemos que (C) (C) = C = C ; de donde C 1 (C ) = C. Ahora bien, por la deinición en (8) tenemos que C C, luego son iguales. Proposición La composición de unciones continuas es continua. Sean X g Y Z unciones continuas entre espacios topológicos. Dado cualquier abierto A Z; puesto que g es continua se tiene que g 1 ( ) (A) es abierto en Y. Puesto que es continua se tiene que (g) 1 (A) = 1 g 1 (A) es abierto en X. Un homeomorismo es una biyección X X tal que es continua y su inversa g = 1 también es continua. Proposición Una biyección continua X X es homeomorismo (Y ) = (Y ) para todo Y E.

12 12 G. PADILLA Es inmediata de Una base de entornos de un punto x X es una amilia V de entornos de x tal que, dado cualquier entorno Y de x, existe algún V V tal que x V Y. Si V T decimos que es una base de entornos abiertos. Diremos que X X es continua en x X para cada entorno V de (x) existe algún entorno V de x tal que (V ) V. Lema En todo espacio topológico (X, T ); (1) V(x) = {A : A T, x A} es una base de entornos abiertos de x. (2) Si A y A son dos bases de entornos abiertos de x entonces {A A : A A, A A } es una base de entornos de x. Trivial. Lema Las siguientes airmaciones son equivalentes: (1) X { X es continua en} x. (2) 1 [A] = 1 (V ) : V A es una amilia de entornos de x; para cada base de entornos A de (x). (1) (2): Si V A es un entorno de (x) entonces, como es continua en x, existe algún entorno U de x tal que (U) V. En tal caso x U 1 (V ) de donde 1 (V ) también es un entorno de x. Se deduce que 1 [A] es una amilia de entornos de x. (2) (1): Dado cualquier entorno V de (x); sea A la amilia de todos los entornos de (x). Puesto que V A; por (2) se tiene que 1 (V ) es un entorno de x. De la arbitrariedad de V se deduce que es continua en x. Lema X X es continua es continua en todo punto de X. ( ) Dado x X y un entorno V (x) en X ; sea A (x) cualquier abierto tal que A V. Como es continua, W = 1 (A) es abierto en X y x W. Por construcción (W ) V. ( ) Sea A X cualquier abierto. Si 1 (A) = entonces es abierto. Supongamos que 1 (A). Entonces, para cada x 1 (A) se tiene que A es un entorno abierto de (x). Puesto que es continua en x, existe algún entorno V X de x tal que (V ) A, luego x V 1 (A). Se deduce que todo punto de 1 (A) es un punto interior. Por (5), 1 (A) es abierto Bases y sub-bases. Lema La intersección T = T i de cualquier amilia de topologías {T i } i de X es una topología de i X. Es inmediato de los axiomas de topología, c Proposición Dado un conjunto X y una amilia de subconjuntos S P(X) hay una topología minimal T (S) que satisace: (1) S T (S).

13 TOPOLOGIA GENERAL 13 (2) Si T es cualquier topología de X y S T entonces T (S) T. (3) A T (S) A =, ó A = X, ó A se puede escribir como unión de intersecciones initas de elementos de S. Sea T = {T P(X) : S T y T es una topología de X} Esta amilia no es vacía pues P(X) T. Tomamos como T (S) a la intersección de todas las topologías en T. Entonces (1) y (2) son inmediatas. Para demostrar (3) sea Entonces T 0 = {, X} { uniones arbitrarias de intersecciones initas de elementos de S} T 0 es una topología: Que T 0 es cerrada por uniones arbitrarias se deduce directamente de la deinición. Veamos que T 0 es cerrada por intersecciones initas. Sea A 1,..., A n una colección inita de conjuntos en T 0 ; y apliquemos inducción en n. Para n = 1 es trivial. Para n > 1 podemos asumir por hipótesis inductiva que A = ( ) A 1 A n 1 T0. Sea B = A n y escribamos ( ) A = Si,1 S i,mi i I B = j J (S j,1 S j,mj ) donde I, J son dos conjuntos arbitrarios de índices y S k,l S para cualesquiera k, l. Entonces, por las leyes de DeMorgan, A B = ) )] [(S i,1 S i,mi (S j,1 S j,mj i I j J es unión arbitraria de intersecciones initas de elementos de S; luego A 1 A n = A B T 0. Si S T y T es una topología entonces T 0 T : Si T es cualquier topología que contiene a S ( ) entonces todo conjunto A T 0, que se escribe de la orma A = Si,1 S i,mi, pertenece i I a T por los axiomas de topología. Se deduce que T 0 T. T 0 = T (S): La contención es consecuencia del paso anterior. La contención se deduce de que T (S) satisace la propiedad (2). Fijemos a continuación un espacio topológico (X, T ). Diremos que S es una sub-base de X T = T (S). Una amilia de subconjuntos B P(X) es una base de (X, T ) B T. Todo abierto se escribe como una unión de subconjuntos de la amilia B. Si B es una base, los subconjuntos de la amilia B se llaman abiertos básicos. Lema Toda base es una sub-base. Por otra parte, si S es una sub-base, entonces la amilia B dada por todas las intersecciones initas de subconjuntos en S es una base. La primera airmación es inmediata de y la deinición de una sub-base; si B es una base de (X, T ) entonces T (B) = T. Por otra parte, si S es una sub-base entonces T = T (S). Por 2.3.2, todo abierto se escribe como uniones arbitrarias de intersecciones initas de subconjuntos de la amilia S. Si B es la amilia de las intersecciones initas de subconjuntos de la amilia S entonces B T pues las intersecciones initas de abiertos son abiertas. Más aún, todo abierto se escribe como unión arbitraria de subconjuntos de la amilia B; luego B es una base.

14 14 G. PADILLA Proposición Sea (X, T ) un espacio topológico y B T una amilia de abiertos. Las siguientes airmaciones son equivalentes (1) B es una base. (2) Dado cualquier entorno V de x existe algún U B tal que x U V. (1) (2): Sea V un entorno de x. El interior V es un abierto de X que contiene a x; luego se puede escribir como unión arbitraria de algunos abiertos básicos, digamos V = U i tales que i cada U i B es un abierto básico. Entonces x U i para algún i; luego x U i V. (2) (1): Sea A abierto. Para cada x A sea U x B algún abierto tal que U x A. Entonces A = U x. Luego todo abierto se escribe como arbitraria de subconjuntos de la amilia B; es decir B es x A una base Topología producto. Dado un espacio topológico (Y, T ), un conjunto X y una unción cualquiera X Y ; la amilia T = { 1 (A) : A T } es la topología más pequeña en X tal que es continua, llamamos a T la topología inicial inducida por. Más en general, una situación similar se puede reproducir para cualquier amilia de espacios topológicos no vacíos. Proposición Dado un conjunto X, una amilia {(X i, T i : i I)} de espacios topológicos y { } unciones X i Xi para cada i; y sea S = 1 (A) : A T i i, i I. Entonces T (S) es la topología más pequeña en X tal que todas las i son continuas. Que T (S) es una topología es inmediato de y esta es la topología más pequeña que contiene a S. Si T es cualquier otra topología en X tal que todas las unciones i son continuas entonces, por la de. de continuidad 2.2 y la de. de S se tiene trivialmente que S T. Por construcción T (S) T. Esta T (S) dada en el enunciado de es la topología inicial inducida por las { i, i I}. En particular, para cada amilia de espacios topológicos no vacíos {(X i, T i )} i, la topología producto en X = i X i es la topología inicial inducida por las proyecciones coordenadas X π i Xi, π i (x) = x i. Dotado de dicha topología llamamos a X el espacio producto de los X i -es. Proposición Sea X = i X i el espacio producto de una amilia {(X i, T i ) : i I} de espacios topológicos no vacíos. Una base de X es dada por todos los subconjuntos de la orma [ Aj1 A jn ] j I\{j 1,...,jn} X j n N; j 1,..., j n J ; A jk abierto en X jk k = 1,..., n Dado i I y cualquier abierto A i en X i, notemos que A i X j = π 1 (A i i ) es j i un subconjunto de la amilia S que genera la topología inicial en el producto cartesiano c Por una base B de X es dada por la amilia de las intersecciones initas de estos subconjuntos. Un

15 TOPOLOGIA GENERAL 15 subconjunto de B, e.d. un abierto básico cualquiera, se escribe entonces de la orma ( ) A = π 1 1 ( ) [ Aj1 π Ajn = Aj1 A ] jn para cierta amilia inita de subíndices. j 1 jn j I\{j 1,...,jn} X j Corolario Si X = X 1 X n es un producto inito de espacios topológicos, entonces todo abierto en X se escribe de la orma A = A 1 A n donde cada A j es abierto en X j para j = 1,..., n. A continuación estudiamos las unciones continuas en espacios producto. Proposición Sea X = i X i el producto cartesiano de una amilia {(X i, T i ) : i I} de espacios topológicos no vacíos, dotado de la topología producto. Una unción Y X es continua para cada i la composición con la i-ésima proyección Y X π i Xi es continua. ( ) Es directa de ( ) Basta ver la continuidad de sobre la amilia de abiertos básicos dada en Sea ( ) A = π 1 1 ( ) [ Aj1 π Ajn = A ] Aj1 jn X j j 1 jn j I\{j 1,...,jn} un abierto ( básico de X. Dado que cada composición π i es continua para todo i, tenemos que B jk = ( )) 1 π 1 A j jk es abierto en Y para cada k = 1,..., n. Luego k ( ( ) 1 (A) = 1 π 1 1 ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) Aj1 π Ajn = 1 π 1 Aj1 1 π 1 Ajn = B B j1 jn es abierto en Y. j 1 jn Por la proposición anterior solemos decir que una unción en un espacio producto es continua si y sólo si es continua coordenada a coordenada Espacios cociente. Dado un espacio topológico no vacío (X, T ), un conjunto Y y una unción cualquiera X Y ; T = {A Y : 1 (A) T } es la topología más grande en Y tal que es continua. Esta T es la topología inal inducida por las. En particular j 1 jn Proposición Dado un espacio topológico no vacío (X, T ), y una unción sobreyectiva X Y ; (1) La relación a b (a) = (b) es una equivalencia en X. (2) Si X π X/ es la proyección cociente que manda a cada punto x en su clase de equivalencia [x]; entonces (X/, T π ) = (Y, T ). (1) Es trivial. (2) Veamos que la biyección inducida X/ Y dada por [x] = (x) es un homeomorismo. Dado un subconjunto A Y notemos que 1 (A) = π 1 ( 1 (A)) es unión de clases de equivalencia (es un conjunto saturado ). Ahora bien, A es abierto en Y 1 (A) es

16 16 G. PADILLA abierto en X 1 (A) es abierto en X/ ; de aquí se deduce que es continua. La continuidad de la inversa de se ve de modo similar. La proposición anterior garantiza que, cuando es sobreyectiva, la topología inal inducida por se puede obtener de un cociente en X por clases de equivalencia. Por ello la llamamos topología cociente. En adelante, dado un espacio topológico (X, T ) y una relación de equivalencia cualquiera en X; siempre dotamos a X/ de la topología cociente T π inducida por la proyección X π X/ y hablamos del espacio cociente X/. Un subconjunto A X es π-saturado A es unión de clases de equivalencia A = π 1 (B) para algún B X/. Proposición Principio de trasgresión: Sea X/ un espacio cociente. Una unción cualquiera X/ g Z es continua la composición X gπ Z es continua. ( ) Es directa de ( ) Supongamos que gπ es continua y sea A Z abierto. Entonces (gπ) 1 (A) = π 1 (g 1 (A)) es abierto en X. Como X/ tiene la topología cociente, g 1 (A) es abierto en X/. Si R, R son dos relaciones de equivalencia en X, decimos que R reina a R y escribimos R R si y sólo si vale el siguiente condicional (x, y) R (x, y) R. En otras palabras: R R toda clase de equivalencia en R es unión de clases de equivalencia en R. Vistas en términos de las particiones inducidas, R R la partición inducida por R reina a la partición inducida por R. Corolario Si R, R son equivalencias en X y R reina a R entonces es continua. X/R π X/R [x]r [x] R Si π R, π R son las proyecciones de X en X/R y X/R respectivamente, entonces π R π = π R Axiomas de numerabilidad. Dado un espacio topológico (X, T ) diremos que X satisace el primer axioma de numerabilidad o es 1-numerable todo punto en X posee una base numerable de entornos abiertos. X satisace el segundo axioma de numerabilidad o es 2-numerable X posee una base numerable Ejemplos. Notemos que (1) Todo espacio 2-numerable es 1-numerable. (2) Todo espacio métrico (E, d) es 1-numerable: La topología es dada por las bolas abiertas. En todo punto x E una base de entornos de x es dada por las bolas abiertas B(x, δ) con radio racional no negativo δ Q +. (3) El espacio euclídeo R n es 2-numerable: Una base de R n es dada por las bolas de radio racional centradas en puntos de coordenadas racionales.

17 TOPOLOGIA GENERAL Subespacios topológicos. Dado un subconjunto Y X la topología relativa de Y en X es la amilia T Y = {Y A : A T }. Dotado con la topología T Y decimos que Y es subespacio de X; y escribimos Y X. Un embebimiento es una unción continua Z X tal que Z (Z) es un homeomorismo de Z en su imagen (Z) como subespacio de X. Si existe un embebimiento de Z en X decimos que Z es embebible en X y escribimos Z X. Lema Sea (X, T ) espacio topológico y Y X un subespacio. Entonces (1) C Y es cerrado en Y C = Y C con C X cerrado en X. (2) Para cada Z Y X escribamos Z Y para la adherencia de Z como subconjunto del espacio (Y, T Y ). Entonces Z Y = Z Y. (1) C es cerrado en Y A = Y \C es abierto en Y A = A Y donde A X es abierto en X. Entonces C = X\A satisace C Y = (X\A) Y = Y \A = Y \A = C. (2) Por el paso anterior y las propiedades de la adherencia, se tiene directamente que Z Y = {C : Z C, C cerrado en Y } = {C Y : Z C, C cerrado en X} = {C : Z C, C cerrado en X} Y = Z Y Lema Sea (X, T ) espacio topológico. (1) Dado un subconjunto Y X dotado de alguna topología T : (a) La inclusión (Y, T ) ı (X, T ) es continua TY T. (b) La inclusión (Y, T ı ) (X, T ) es un embebimiento TY = T. (2) Y X Y X. (3) Z X Z = Y para algún Y X. (1) Para cada subconjunto Z X la preimagen ı 1 (Z) = Z Y es la intersección de Z con Y. De este modo, ı es continua A Y T para todo abierto A X; es decir T T Y. Esto demuestra (a), (b) es inmediata. (2) Es consecuencia de (1)-(b). (3) Directa de la deinición. La rontera topológica de un subconjunto Y X es la intersección de su adherencia con la adherencia de su complemento relativo: Y = Y X\Y. Diremos que Y es denso en X Y = X. Diremos que Y es nunca denso en X Y = Conexidad. Fijemos un espacio topológico (X, T ). Una disconexión de X es una partición de X en dos subconjuntos disjuntos, abiertos y no vacíos X = A B; A, B T, A, B. Decimos que X es conexo si no existe ninguna disconexión de X. Proposición X es conexo Los únicos subconjuntos abiertos y cerrados de X son y el propio X.

18 18 G. PADILLA ( ): Si A X es un conjunto abierto y cerrado entonces X = A (X\A) es una partición de X en dos conjuntos abiertos. Por hipótesis X no posee disconexiones, luego A = ó (X\A) =, en este último caso A = X. ( ): Si X = A B es una partición cualquiera de X en dos abiertos disjuntos; como B = X\A es abierto se tiene que A es cerrado. Entonces por hipótesis A = ó A = X, en este último caso B =. Se deduce que X no posee disconexiones. Un espacio discreto es un espacio topológico (Z, P(Z)) tal que la topología en Z es toda la amilia de partes de Z. Una unción discreta en X es una unción continua X Z en algún espacio discreto Z. Proposición X es conexo toda unción discreta en X es constante. Para cualquiera de los casos X = ó X = {x} la equivalencia es trivial. Podemos asumir que X posee más de un punto. Veriicamos ambos condicionales por contrarrecíproco. ( ): Supongamos que existe alguna unción X Z discreta y no constante. Fijemos algún z (X). Entonces (X) Z posee más de un punto, por lo cual Z\{z}. Tomando las preimágenes A = 1 (z) y B = 1 (Z\{z}) obtenemos una disconexión X = A B; luego X no es conexo. ( ): Si X no es conexo ijemos alguna disconexión X = A B. Puesto que A, B son abiertos disjuntos no vacíos, si consideramos el espacio 2 = {0, 1} con la topología discreta, entonces la unción característica { 1 A : X 1 x A 2 1A (x) = 0 x A es continua. En eecto 1 1 (2) = X, 1 1(1) = A, 1 1(0) = B y ( ) =. Se deduce que A A A A A unción discreta no constante. es una Corolario La adherencia de un subespacio conexo es conexa. Sea Y X un subespacio conexo. Por la de. de la topología de subespacio, una disconexión de Y es dada por un par de abiertos A, B X tales que Y A B. A B Y = Puesto que Y Y notemos que Y A B, y A B Y A B Y =, luego A B Y =. Se deduce que A, B son una disconexión de Y. Puesto que Y es conexo, se tiene que A Y = Y o B Y = Y. Sin pérdida de generalidad supongamos que A Y = Y, es decir, que Y A. Entonces, por la de. de adherencia, Y A. Se deduce que A, B son una disconexión trivial de Y, luego Y es conexo. Proposición [Propiedades de la conexidad] (1) La imagen de un espacio conexo por una unción continua es conexa. (2) La unión de subespacios conexos no disjuntos 2 a 2 es conexa. (3) En todo espacio topológico X, la relación a b Y X tal que Y es un subespacio conexo y a, b Y ; es una equivalencia en X. (1) Sea X conexo y X Y cualquier unción continua. Si (X) g Z es

19 TOPOLOGIA GENERAL 19 cualquier unción discreta entonces la composición g también es discreta; puesto que X es conexo g es constante; luego g es constante. (2) Sea {Y i : i I} cualquier amilia de subespacios conexos de X, tales que Y i Y j para cualesquiera i, j I; y escribamos Y = Y i. Si X Z es cualquier unción discreta entonces las restricciones i i = Yi son constantes para cada i I. Es inmediato que i Yi Y j = j Yi Y j para cada i, j; de donde Y es constante. Se deduce que toda unción discreta deinida en Y es constante. Por la arbitrariedad de se tiene que Y es conexo. (3) La relación es relexiva pues para todo x X el átomo {x} es conexo. La simetría es trivial. Para la transitividad supongamos que a b y b c. Sean Y, Z X subespacios conexos tales que a, b Y y b, c Z. Puesto que b Y Z, por el paso enterior, Y Z es un subespacio conexo que contiene a a, c; luego a c Componentes conexas. Una componente conexa de X es un subespacio conexo de X que es maximal por contenciones. Toda componente conexa de X es una clase de equivalencia de la relación deinida en (3). anterior. Por toda componente conexa es cerrada. Una equivalencia más débil es la siguiente: (1) a b (a) = (b) X Z discreta Una casi-componente de X es una clase de equivalencia de la relación anterior. Lema [Propiedades de las componentes conexas] (1) Toda componente conexa es cerrada. (2) Toda casi-componente es cerrada. (3) Toda componente conexa de X está contenida en una casi-componente. (4) Toda casi-componente es unión de componentes conexas. (5) X es la unión disjunta de sus componentes conexas (resp. de sus casi-componentes). Procedemos por pasos: (1) Por (2) Dado x X la casi-componente que contiene a x es su clase de equivalencia por la relación 2.9-(1); es decir, C x = {y X : (x) = (y) X Z discreta } Es suiciente notar que C x = 1 ((x)) es intersección de cerrados en X. discreta (3) Por (4) De nuevo por Por 2.8.2, la relación de equivalencia (3) es más uerte que (reina a) la equivalencia de arriba 2.9-(eq equivalencia casi-componentes). (5) Trivial. Diremos que X es localmente conexo si todo punto de X posee una base de entornos conexos.

20 20 G. PADILLA Lema Si X es localmente conexo entonces (1) Toda componente conexa es abierta. (2) Las componentes conexas coinciden con las casi-componentes. (1) Sea C X una componente conexa y x C. Dado cualquier entorno abierto conexo U x x, por la maximalidad de las componentes, tenemos que U x C. Entonces C es la unión de los abiertos U x variando a x C; luego C es abierto. (2) Por (4); si C es una casi-componente entonces es unión de componentes conexas; digamos C = C i. Por el paso (1) de esta demostración cada componente conexa C i es abierta; luego C es i abierta. Ahora bien; por (2) C es cerrada. Puesto que en X los subconjuntos cerrados y abiertos maximales son precisamente sus componentes conexas, se deduce que C es ella misma una componente conexa Conexidad por arcos. La relación a b [0, 1] X continua, tal que (0) = a y (1) = b es una equivalencia. Una componente arco-conexa de X es un clase de equivalencia de la relación anterior. Diremos que X es arco-conexo para todo par de puntos a, b X se tiene a b; es decir X posee una sola clase de equivalencia por dicha relación. Con un procedimiento similar al de (2) se puede veriicar que la unión de subespacios arcoconexos no disjuntos 2 a 2 es un subespacio arcoconexo, luego una componente arco-conexa de X es un subespacio arco-conexo maximal de X. Un espacio X es localmente arco-conexo todo punto de X posee una base de entornos arco-conexos. Lema [Propiedades de la conexidad por arcos] (1) El intervalo [0, 1] es conexo. (2) Todo espacio arco-conexo es conexo. (3) Todo espacio localmente arco-conexo es localmente conexo. (4) Toda componente arco-conexa está contenida en alguna componente conexa. (5) Toda componente arco-conexa es abierta y cerrada. (6) Si X es localmente arco-conexo entonces toda componente arco-conexa es una componente conexa. (1) Vamos por reducción al absurdo: Supongamos que existe una unción discreta y no constante [0, 1] 2 = {0, 1}. Como [0, 1] es un espacio métrico la continuidad se expresa en términos de límites y sucesiones. Supongamos sin pérdida de generalidad que (0) = 0. Ya que no es constante, 1 ({1}) es un subconjunto no vacío y acotado, contenido en [0, 1]. Sea a = in{t [0, 1] : (t) = 1}. Por construcción a > 0 y (t) = 0 para todo t [0, a). Pero entonces existe un entero positivo n > 0 suicientemente grande tal que la sucesión {t m = a 1 m : m > n} está contenida en [0, a) y converge a a. Sin embargo (t m ) = 0 para todo m, y (a) = 1. En términos de límites, para todo δ < 1/n existe m > n tal que t m a < δ y sin embargo (t m ) (a) = 1; es decir, no es continua en a; luego no es una unción discreta. (2) Sea X un espacio arcoconexo y X Z una unción discreta. Dados cualesquiera a, b sea [0, 1] σ X un camino continuo tal que σ(0) = a y σ(1) = b. Por el paso anterior [0, 1] es conexo.

21 TOPOLOGIA GENERAL 21 Puesto que la composición g = σ es continua, es una unción discreta deinida en [0, 1]; luego es constante. Se deduce que (a) = g(0) = g(1) = (b). Dejando ijo a a X y moviendo arbitrariamente a b X se deduce que (a) es la unción constante de valor (a). Por y la arbitrariedad de, se deduce que X es conexo. (3) Consecuencia del paso (2). (4) Consecuencia del paso (2). (5) Sea C 0 una componente arco-conexa. Por la condición de arco-conexidad local C 0 es abierta (la dem. es análoga a la de (1) para componentes conexas). Veamos que C 0 es cerrada; para ello, sea C la componente conexa que contiene a C 0. Escribamos a C = C 0 C j como unión de algunas componentes j arco-conexas en X. Con el mismo argumento de antes, cada C j es abierta. Por el paso (3) de esta demostración X es localmente conexo; por (1) C es cerrado. Entonces ( ) C 0 = C\ C j = C X\ C j j 0 j 0 es intersección de dos cerrados, luego es cerrado. (6) Es consecuencia del paso anterior; la demostración es análoga a la de (2) Separación. Estos son los axiomas de separación en un espacio topológico (X, T ): T 0 T 1 Dados dos puntos dierentes en X, existe un abierto que contiene a sólo uno de los dos. Dados dos puntos x y en X, existe un abierto que contiene a x y no a y; y otro entorno que contiene a y y no a x. T 2 Propiedad de Hausdor: Dados dos puntos x y en X, existen dos abiertos disjuntos A B = tales que x A, y B. T 3 Regularidad: X es T 1 y dado un cerrado C X y un punto x X\C, existen dos abiertos disjuntos A B = tales que x A, C B. T 4 Normalidad: X es T 1 y dados dos cerrados disjuntos C, D X, C D = existen dos abiertos disjuntos A B = tales que C A, D B. Por ejemplo: En un espacio T 0 los puntos se pueden distinguir por los abiertos a los que pertenecen. En un espacio T 1 todo conjunto unitario es cerrado. Esta es otra manera de caracterizar la regularidad y la normalidad: Lema Si X es un espacio T 1 entonces (1) X es regular dado x X y un entorno abierto U de x existe un abierto A tal que x A A U. (2) X es normal dado un cerrado C X y un entorno U C existe un abierto A tal que C A A U. (1) Vemos el doble condicional: ( ) El cerrado C = X\U es disjunto de x. Por regularidad existen abiertos disjuntos A, B X que separan a x de C. Es decir, A B =, x A y C B. De ello se deduce que A C =, es decir, A U. ( ) Recíprocamente, si vale la propiedad citada, C es cualquier cerrado y x C es un punto uera de C; entonces U = X\C es un entorno abierto de x. Basta tomar cualquier abierto A x tal que A U. Por construcción C = X\U X\A = B y B es un abierto disjunto de A. (2) Se procede de modo similar al primer paso sustituyendo a x por un cerrado D disjunto de C.