Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 5. Funciones reales de variable real Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Transcripción

1 Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad. Funciones reales de variable real Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

2 CONCEPTO DE FUNCIÓN. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN. A partir de los siguientes enunciados determina: a Las variables que intervienen, considerando la unidad de su medida. b Las variables dependientes e independientes y la unción que establece dicha dependencia. El coste de consumo de electricidad se actura con la siguiente regla: un coste ijo de,78 euros por la potencia contratada y 0,098 euros por kwh. El importe a pagar en una gasolinera en la que cada litro de gasolina se cobra a, euros. La longitud de una circunerencia y la longitud de su radio. El volumen de un cilindro de radio cm y altura h. La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden cm y cm respectivamente. El precio de un artículo y la rebaja de un % que realiza un determinado centro comercial sobre dicho artículo. El coste de consumo de electricidad se actura con la siguiente regla: un coste ijo de,78 euros por la potencia contratada y 0,098 euros por kwh. Variables que intervienen: : consumo de electricidad en kwh y: importe en euros La unción que establece la dependencia sería: y,78 0, 098 El importe a pagar en una gasolinera en la que cada litro de gasolina se cobra a, euros. Variables que intervienen: : número de litros de gasolina y: consumo en euros La unción que establece la dependencia es: y, La longitud de una circunerencia y la longitud de su radio. Variables que intervienen: : longitud del radio de la circunerencia, por ejemplo en cm. y: longitud de la circunerencia, en cm. La unción que establece la dependencia es: y El volumen de un cilindro de radio cm y altura h. Variables que intervienen: : altura en cm del cilindro h en el enunciado y: volumen del cilindro en centímetros cúbicos. La unción que establece la dependencia es: y 9 La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden cm y cm respectivamente.

3 Variables que intervienen: : longitud de uno de los catetos en cm. y: longitud de la hipotenusa en cm. La unción que establece la dependencia es: y 9 El precio de un artículo y la rebaja de un % que realiza un determinado centro comercial sobre dicho artículo. Variables que intervienen: : precio del artículo en euros. y: rebaja que se realiza sobre el precio del artículo en euros. La unción que establece la dependencia es: y 0, 0 00 DOMINIO, RECORRIDO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 7. Calcula el dominio de las siguientes unciones: g a b d j e k c h a Como el cuadrado de un número se puede realizar siempre, al igual que la dierencia entre dos números reales, g Dom R b Los valores que anulan el denominador se obtienen resolviendo la ecuación 0 cuyas soluciones son, c h Dom h { R / 0} { R/ },,. Por tanto Dom g { R/, } R{, } d j Dom j { R / 0} Resolvamos la inecuación 0 Como Dom j R, y 0 para todos los valores de, tenemos que e k Dom k { R / 0, 0} { R/ /, /} /, 8. Dada la unción construye una tabla para los valores de :,,,,, 0,,,,, y representa dichos pares en los ejes de coordenadas. A partir de la representación, podrías perilar la gráica de la unción?

4 La tabla de valores es: y y su representación gráica: 9. Dadas las unciones: a b c Determina si las siguientes curvas son la gráica de alguna de las unciones anteriores: i ii iii La unción a tiene como gráica iii

5 La unción b tiene como gráica i La unción c tiene como gráica ii 0. Las siguientes curvas son las gráicas de varias unciones. Determina para cada una de ellas su dominio y su recorrido: a a b c Dom 0,, Rec, 0, b c 0,, Re c 0, Dom Dom,6 Re c, 0,

6 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LAS FUNCIONES.. Las siguientes curvas son las gráicas de tres unciones, g y h: Gráica de Gráica de g Gráica de h Determina en cada una de ellas los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máimos y mínimos, y si están acotadas. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: o Crecimiento:,0,. o Decrecimiento:, 0,. Máimo: 0,0. Mínimos: -,- y,-. Acotación: está acotada ineriormente por -. No está acotada superiormente. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: o Crecimiento: todo R. o Decrecimiento: no decrece. Máimos: no tiene. Mínimos: no tiene. Acotación: no está acotada inerior ni superiormente. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: o Crecimiento:,. o Decrecimiento:,. Máimos: no tiene. Mínimo:,0. Acotación: está acotada ineriormente por 0. No está acotada superiormente.. Estudia si las siguientes unciones son pares o impares e indica el tipo de simetría:

7 a 6 b g c h d j a Por tanto, se trata de una unción simétrica respecto del eje OY. Es una unción par. b g g g g luego no es una unción par ni impar. No tiene simetrías respecto del eje OY ni respecto del origen de coordenadas. c h h h h, luego no es una unción par ni impar. No tiene simetrías respecto del eje OY, ni respecto del origen de coordenadas. d j j j se trata de una unción impar, simétrica respecto del origen de coordenadas.. Construye la gráica de dos unciones periódicas, la primera de periodo y la segunda de periodo. De periodo : De periodo :

8 FUNCIONES POLINÓMICAS 0. Determina la epresión analítica de una unción lineal que veriica: =, =6, cuyo dominio de deinición es [,]. Representa gráicamente dicha unción. Sea la unción lineal a b Como =, ab, y como -=6, 6 a b Resolvamos el sistema de ecuaciones: a b 9 b 9 / a b 6 b. Deducimos el valor de a: a b a 9/ / Por tanto la unción lineal que veriica las dos condiciones iniciales es: / 9/ Como su dominio está limitado al intervalo, entonces deinimos la unción de la siguiente orma: / 9/ si, La gráica de la unción es:. Determina la epresión analítica de una unción aín que veriica: =7 y cuya pendiente es, deinida en [0,. Sea la unción lineal a b. Como la pendiente es -, entonces a=-. Por otro lado como =7, tenemos que 6 b 7b. Por tanto la unción pedida es: 0,. si

9 . Representa las siguientes unciones cuadráticas y determina su recorrido: 8 a b c d 9 6 e a Como a=/>0, es una parábola abierta hacia arriba. / / 8 Vértice: v, yv v, luego el vértice es / /,-. Cortes con el eje X: resolvemos la ecuación de segundo grado: 8 0 y obtenemos como soluciones: =, =-, por lo que la parábola corta al eje X en los puntos,0, -,0. Cortes con el eje Y: si =0 entonces y=-8/. Representamos la unción: 6 b a=>0. Por tanto, es una parábola abierta hacia arriba. v Vértice: yv v / 9 /,, luego el vértice es -/,-9/. Cortes con el eje X: resolviendo la ecuación 0 obtenemos como soluciones =-, =-, luego los puntos de corte son -,0, -,0. Cortes con el eje Y: si =0 entonces y=, luego pasa por 0,. Representando la unción: c 6 a=>0, luego la parábola es abierta hacia arriba. Vértice: v /, yv v, por tanto el vértice es -,.

10 Cortes con el eje X: si intentamos resolver la ecuación 6 0, observamos que no tiene soluciones reales; por tanto, la parábola no corta al eje X. Cortes con el eje Y: 0,6. Representamos la unción: d a=-<0, luego la parábola es abierta hacia abajo. / / / v Vértice:. Cortes con el eje X: resolvemos la ecuación 0 ; sus soluciones son,. Así pues, la parábola corta aproimadamente por los puntos -0,7, 0,,7,0. Cortes con el eje Y: 0,. La representación gráica es: e 9 6 a=>0, luego la parábola es abierta hacia arriba. Vértice: v /, y v / 7/ Cortes con el eje X: resolviendo la ecuación obtenemos que no eisten soluciones reales, por lo que no corta al eje X. Cortes con el eje Y: 0,6. La representación gráica es:

11 6 a=>0 por lo que la parábola es abierta hacia arriba. Vértice: v 0 y, v luego el vértice es 0, Cortes con el eje X: resolviendo la ecuación 0 no obtenemos ninguna solución real, por lo que no corta al eje X. Cortes con el eje Y: 0, el vértice. La representación gráica es:. Representa las unciones:, [, a b 9,,,6 c, 0, d,,0 a, [, Representamos en primer lugar la unción cuadrática en todo el dominio: a=-<0 por tanto es una parábola abierta hacia abajo Vértice: v /, v, luego el vértice es -,-. Puntos de corte con el eje X: como la ecuación 0 no tiene soluciones reales, no eisten puntos de corte con el eje X. Puntos de corte con el eje Y: 0,-. La representación gráica de la parábola es:

12 Teniendo en cuenta que la unción está deinida en el intervalo [, y que los valores en los etremos son, 6, limitamos la curva a dicho intervalo. Puesto que el punto -,- está en la gráica pero,-6 no, obtenemos: b 9,,,6 Representamos en primer lugar la unción cuadrática en todo el dominio: a=>0; se trata de una parábola abierta hacia arriba. Vértice: v 0, y v 9, luego el vértice es 0,-9. Puntos de corte con el eje X: resolviendo la ecuación 9 0, obtenemos como soluciones =, =-. Por tanto corta al eje X en los puntos,0, -,0. Puntos de corte con el eje Y: 0,-9, el propio vértice. La representación gráica de la parábola es: Teniendo en cuenta que el dominio de deinición de la unción es,,6, y considerando el valor de la epresión cuadrática en los etremos de los intervalos: si =-, y=-8; si =, y=-; si =, y=0; y si =6, y=7. Dibujamos los dos trozos de parábola comprendidos entre los puntos -,-8,,- y,0, 6,7, sin incluir dichos puntos en la representación gráica, y obtenemos:

13 c, 0, Representamos en primer lugar la unción cuadrática en todo el dominio: a=>0, luego es una parábola abierta hacia arriba, Vértice: v /, y v 9/. Puntos de corte con el eje X: las soluciones de la ecuación 0 son =, =; por tanto la parábola corta al eje X en los puntos,0 y,0. Puntos de corte con el eje Y: 0,. La representación gráica de la parábola es: Teniendo en cuenta que la unción está deinida en el intervalo [0,], y como el valor de la epresión cuadrática que la deine en =0 es y= y en = es y=0, entonces la representación gráica de la unción es el trozo de parábola comprendida entre los puntos 0, y,0 inclusive, es decir: d,,0 Representamos en primer lugar la unción cuadrática en todo el dominio: a=¼ > 0 luego es una parábola abierta hacia arriba. Vértice: / /, y v, luego el vértice es -,-. v Puntos de corte con el eje X: si resolvemos la ecuación 0 obtenemos como soluciones,, aproimadamente =-,6 y =,6. Luego la parábola completa corta al eje X en los puntos,0 y,0. Puntos de corte con el eje Y: 0,-.

14 La representación gráica de la parábola es: Teniendo en cuenta que la unción está deinida en el intervalo -,0, y como el valor de la epresión cuadrática en =- es y=- y en =0 es y=-, entonces la gráica de la unción es el trozo de parábola comprendida entre los puntos -,- y 0,- sin incluir dichos puntos, es decir: FUNCIONES RACIONALES. Calcula el dominio de deinición de las siguientes unciones: a 0 7 b 6 c 6 0 d e 8 a 0 Dom { R / 0 0} Las soluciones de la ecuación 0 0 son =-6, =, entonces Dom { R/ 6, } R { 6,}. b 7 6 Dom { R / 6 0}

15 Para revolver la ecuación 6 0, sacamos actor común en el primer miembro y obtenemos: 0 Luego una solución es =0, y las otras dos se obtienen de resolver 0, que arroja =- y =. Por tanto: Dom { R/ 0,, } R {,0,} c 6 0 Dom { R / 6 0 0} Resolviendo la ecuación obtenemos como soluciones =, =-, =, por lo que: Dom { R /,, } R,, d Factorizando el denominador de la unción tenemos: 7 por tanto Dom R{,, } e Factorizando el denominador:, luego Dom R{,8 } Representa gráicamente las siguientes unciones: a c e 7 g 9 i a b b 6 d h j 0 c d Representaremos las gráicas de estas unciones en los mismos ejes de coordenadas, de modo que es la curva dibujada en rojo, la dibujada en verde, la dibujada en azul y la dibujada en morado. 6

16 6 e 6 g 7 h 8 Las gráicas de estas unciones las representamos en los mismos ejes de coordenadas, con la curva dibujada en rojo, 6 la dibujada en verde, 7 la dibujada en amarillo y la dibujada en azul. 8

17 i 9 : j : 0 FUNCIONES IRRACIONALES 7. Determina el dominio de deinición de las siguientes unciones: a b c 0 d 6 a Dom { R / 0}, /] [0,. b

18 Como se trata de una unción irracional con índice impar, Dom R. c 0 Dom { R / 0 0} R d 6 Dom { R / 0}, [0, Dada la unción, determina su dominio y recorrido, construye una tabla de valores y realiza una representación aproimada de la unción. Representa en el mismo sistema de ejes la unción g. Dom { R / 0} [0, Rec [0, y 0 0,00,00,07,,,7 6,0 7, 8, 9, 0,6 Si representamos estos puntos podemos trazar un peril de la gráica. En los mismos ejes se ha representado la unción.

19 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Representa las siguientes unciones y determina en cada una de ellas su dominio y recorrido: a b / c 0 d e 0 0 / 6 a, Dom, Rec, b / R Dom,, / Rec

20 c 0 Dom 0,, Rec, d e 0 0,, Dom, Rec, Dom,, Rec,0 {},9

21 / 6 Dom 6 R, Rec 6,0 INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL.. El número de alumnos matriculados en las universidades de España en el curso 00/00 ue 0; en el curso 006/007, 8 8. Estima cuántos alumnos se matricularon en el curso 00/006 y el número de alumnos que se espera se matriculen en el curso 008/009. Los datos que orece el problema podemos recogerlos en la siguiente tabla: Curso académico Número de alumnos matriculados 00/ /006? 006/ /009? Consideremos los cursos con el valor variable asignado en el cuadro. Hallamos la unción de interpolación lineal que pasa por los puntos ; 0 y ; 8 8: y 0 y 0 Luego la unción de interpolación lineal es: Por INTERPOLACIÓN podemos obtener el valor estimado del número de alumnos que se han matriculado el curso 00/006, teniendo en cuenta que el valor que representa dicho curso es el valor de =: alumnos. Por EXTRAPOLACIÓN, teniendo en cuenta que el curso 008/009 se representa con el valor de =, tendríamos: alumnos.

22 6. Hemos realizado un eperimento con un muelle elástico y hemos anotado en una tabla los centímetros que se ha estirado el muelle según dierentes pesos: Peso kg Elongación cm 9, 7, a Calcula el polinomio interpolador. b Estima cuál sería la elongación para kg y kg. a Consideramos una unción deinida en dos trozos. La primera de ellas es la unción lineal que pasa por los puntos 0; 9, y 0;7: 7 9, 7, 8 y 9, 0 y 9, 0 9, 0,7 0 y 00 0 La segunda unción lineal pasa por los puntos 0; 7 y 0;,, luego la unción será:, 7 8, 7 y 7 0 y ,8 0 y luego la unción de interpolación es: b Por INTERPOLACIÓN, la elongación para kg será, cm; por 9 EXTRAPOLACIÓN la elongación para kg será 9, 7cm. VALOR ABSOLUTO 8. Representar y deinir como unciones deinidas a trozos: a 8 7 b c d a si si Como la solución de la inecuación trozos es: 8 7 si, [7, 8 7 si,7 La representación gráica es: es, [7,, la unción deinida a

23 b si si 0 0 Como la solución de la inecuación 0 es, la unción deinida a trozos es: si, si,, La representación gráica es: c / / si / 0 si / 0 Como la solución de la inecuación / 0 es [ 0,, la unción deinida a trozos es: / / si [0, si,0 La representación gráica es:

24 d / / si si / 0 / 0 Como la solución de la inecuación / 0 es [,, la unción deinida a trozos es: / si [, / si, La representación gráica es: