GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Transcripción

1 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll GEOMETRÍA DEL ESPACIO L geometrí pln estudi el onjunto de todos los puntos del plno, l geometrí del espio se refiere l onjunto de puntos del espio, es deir que entrmos hor en tres dimensiones, por lo que tendremos uerpos on volumen. ANGULOS DIEDROS Dos plnos que se ortn determinn utro regiones en el espio, d un de ls ules se llm ángulo diedro. A α β Existe un similitud entre los elementos de los ángulos plnos y los de los ángulos diedros: Ángulo plno Ángulo diedro o β A α Ángulo o Vértie o Ldos: semirrets o y o diedro αβ Arist A rs: semiplnos α y β 1

2 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll SECCIÓN NORMAL DE UN DIEDRO Vemos hor omo determinr l mplitud de un diedro. Se el diedro αβ de rist A y o un punto de l rist. β o α Por o se trzn ls perpendiulres l rist A en los A plnos α y β. El ángulo plno o que qued determindo se llm seión norml del diedro. L mplitud de un diedro es l mplitud de su seión norml. Así, si un diedro es reto, l seión norml es un ángulo reto. DIEDROS CONVEXOS Y CÓNCAVOS Ls definiiones de diedro onvexo y diedro ónvo son similres ls de los ángulos plnos onvexos o ónvos. β A onvexo α ónvo CLASIFICACIÓN DE DIEDROS: Los ángulos diedros se lsifin de mner similr los ángulos plnos β Diedro gudo: αβ < 1 reto β α Diedro reto: αβ = 1 reto Diedros onvexos α β α Diedro otuso: αβ > 1 reto β α Diedro llno: αβ = retos = 180º

3 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll Diedro ónvo α Diedro ónvo: α β > retos β ÁNGULOS TRIEDROS En d vértie onurren tres plnos que determinn un ángulo triedro s v t r Definiión: Dds tres semirrets no oplnres vr, vs, vt se llm ángulo triedro l figur formd por los puntos omunes los diedros onvexos de rists vr, vs y vt. Es deir, el ángulo triedro es l interseión de tres diedros uys rists onurren en un punto. Así omo existe un similitud entre ls definiiones y propieddes de ángulos diedros y de ángulos plnos, tmién existe un similitud entre ls definiiones y propieddes de triángulos y triedros. Oservemos l orrespondeni de elementos: triángulo triedro v 3

4 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll Triángulo Vérties:,, Ldos:,, Ángulos,, vértie opuesto ldo vértie opuesto ldo vértie opuesto ldo triedro tr. v, (v = vértie) rists v, v, v rs v, v, v diedros d.v d.v d.v rist v opuest r v rist v opuest r v rist v opuest r v ÁNGULOS POLIEDROS Así omo en el plno, l definiión de polígonos ontiene l de triángulo omo un so espeil, en el espio, l definiión de poliedro ontiene l de triedro omo so prtiulr. triedro poliedro v v e d 3 semirrets no oplnres que tienen 3 o más semirrets no oplnres un mismo origen v determinn un ángulo que tienen un mismo origen v detriedro. Terminn un ángulo poliedro. Tr. v. A ng. poliedro v. n Vértie v Vértie v Arists v, v, v Arists v, v, v, vd... vn Crs v, v, v Crs v, v, vd... nv 4

5 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll CUERPOS SÓLIDOS POLIEDROS Ddos utro o más polígonos onvexos tles que: dos ulesquier de ellos no están en un mismo plno. Cd ldos es omún solmente dos polígonos Y el plno de d polígono dej los demás en un mismo semiespio Se llm poliedro onvexo l figur formd por los puntos omunes los semiespios que ontienen dihos polígonos. Ejemplo: d En el poliedro d * polígonos onvexos, d, d, d * pl. pl.d pl.d pl.d es omún solo y d es omún solo d y es omún solo y d d es omún solo d y d d El plno de l r d dej los demás polígonos en un mismo semiespio. Los polígonos que genern el poliedro se llmn CARAS Los ldos de d polígono se llmn ARISTAS DEL POLIEDRO Los vérties de d polígono se llmn VÉRTICES DEL POLIEDRO 5

6 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll Otros ejemplos de poliedros son: Veremos lgunos poliedros prtiulres: PRISMA INDEFINIDO Consideremos un onjunto ordendo de tres o más Rets prlels, de modo que tres ulesquier de ells no sen oplnres y que el plno determindo por d pr de ret onseutivs deje los demás en un mismo semiespio. L interseión de los semiespios determindos por d pr de rets onseutivs, que ontienen ls restntes, se llm prism indefinido. 6

7 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll PRISMA Se llm prism l onjunto formdo por los puntos de un prism indefinido omprendidos entre dos seiones prlels y los puntos de dihs seiones, es deir que omprende todos los puntos de ls rs lterles y tmién los puntos de ls ses superior e inferior. d o Ls seiones prlels d y d se llmn BASES del prism. o Los udriláteros,, d d y dd se llmn CARAS LATERALES d h (y son prlelogrmos) o Los segmentos,, y dd se llmn ARISTAS LATERALES y por ser prlels entre plnos prlelos, son ongruentes, es deir que = = = dd Los ldos de ls ses se llmn ARISTAS DE LAS BASES (,, d, d,,, d,d ) Se llm ALTURA de un prism l distni de un punto ulquier de un se, l plno de l r opuest. Por ejemplo, ltur del prism = h = 7

8 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll PRISMA RECTO Un prism uys rists lterles son perpendiulres ls ses se llm prism reto. f Pr. def es prism reto d e d pl. e pl. f pl. Ls rs lterles de un prism reto son retángulos. Ls rists del prism reto son ongruentes l ltur. d e f En el so de que ls rists lterles no sen perpendiulres l plno de l se, tenemos un PRISMA OBLICUO Aquí ls rs lterles son prlelogrmos PRISMA RECTO REGULAR Si l se de un prism reto es un polígono regulr, se die que es un prism reto regulr. 8

9 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll PARALELEPÍPEDO Un prism uys ses son prlelogrmos se llm prlelepípedo. Como ls rs lterles son prlelogrmos, result que tods ls rs de un prlelepípedo son prlelogrmos. Designión: Si ls rists son perpendiulres l se es un prlelepípedo reto. Si ls ses son retángulos se llm prlelepípedo retángulo. Si ls rists son perpendiulres ls ses y ls ses son retángulos es un prlelepípedo reto retángulo, tmién llmdo ortoedro. Como so prtiulr del ortoedro se otiene el exedro o uo, uys rs son udrds. Prlelepípedo reto Prlelepípedo oliuo Prlelepípedo retángulo Prlelepípedo Reto retángulo (ortoedro) Exedro o uo ELEMENTOS DEL PARALELEPÍPEDO En el prlelepípedo distinguimos los siguientes elementos: rs opuests son los pres de rs sin puntos omunes 9

10 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll vérties opuestos son los que no perteneen un mism r rists opuests son ls rists prlels que no están inluids en un mism r d digonles de un prlelepípedo son los segmentos determindos por d pr de vérties opuestos plnos digonles de un prlelepípedo son los plnos determindos por d pr de rists opuests 10

11 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll PROPIEDADES Ls propieddes de ls digonles de los prlelepípedos son similres ls propieddes de ls digonles de sus rs. CARAS CUERPOS PARALELOGRAMO Ls digonles del prlelogrmo se ortn en el punto medio PARALELEPÍPEDO Ls digonles del prlelepípedo se ortn en el punto medio d o d o o o o o do o o od o o TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZADO AL ESPACIO En el plno es: A = B + C En el espio es: C A B D E D = A + E A B C Pero: A = B + C D = B + C + E 11

12 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll PIRÁMIDES Ddo un ángulo poliedro de vértie v y un plno π que ort tods sus rists, se llm pirámide l interseión del ángulo poliedro y el semiespio de orde π que ontiene l vértie v e d π ELEMENTOS DE LA PIRÁMIDE Bse: es el polígono de que se otiene omo interseión del ángulo poliedro y el plno π Vértie: el punto v se llm vértie de l pirámide. Crs lterles: v, v, vd, dve, ev Arists lterles: v, v, v, vd, ve Arists de l se:,, d, de, e 1

13 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll PIRÁMIDE REGULAR Si l se de un pirámide es un polígono regulr y el pie de l ltur oinide on el entro del polígono, se die que l pirámide es regulr. v A Ap d r o p d e r o p l l o es el entro de l se p es el potem de l se Ap es el potem de l pirámide r es el rdio de l se (rdio de l irunfereni irunsript l polígono de l se) l es el ldo o rist de l se A es l rist de l pirámide es l ltur de l pirámide El potem de l pirámide es l ltur de d un de ls rs lterles. Como ls rs lterles son triángulos isóseles, el potem es ltur y medin de l r. Vemos que Altur = Apotem - potem = Ap - p 13

14 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll Ejeriio: Un pirámide regulr exgonl tiene 4 metros. de ltur y el ldo de su se es de metros. Clul: ) el rdio de l se ) el potem de l se ) el potem de l pirámide d) l rist de l pirámide e) el áre de l se f) el áre de un de sus rs ) omo en un exágono el rdio es igul l ldo, será r = mts. ) r p p r l p = r ( ) = 1 = 3m l/ ) y d) A Ap A Arist de l pirámide = + r = 4 + = A = = 0m = 4, 47m r l/ Ap = l A ( ) = 4,47 1 = 19,98 = 4, 36m e) Áre de l se = 6 x áre de un triángulo Áre de un triángulo = l p l p Áre se = 6 l p 6 m = 3m = 10,39m 14

15 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll f) Áre de un r = l Ap m 4,36m = = 4,36m Ap l Ejeriio: El áre de l se de un pirámide regulr udrd es de 36 m. Ls rists de l pirámide son ongruentes on los ldos de l se. Clul: ) el potem de l se ) el rdio de l se ) el potem de l pirámide A Ap d) l ltur de l pirámide l/ l/ Áre se = l l = A = 36m = 6m p l = 6 m r l/ Arist de l se = 6 m l 6 ) potem de l se = = = 3m ) l l l l r = p + ( ) = ( ) + ( ) = ( ) = l r = = 3 m l ) Ap = A ( ) = 6 3 = 36 9 = 7 = 5, 0m Ap d) = Ap p = 5,0 3 = 18,04 = 4, 5m p 15

16 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll TRONCO DE PIRÁMIDE v d e d e π Si un pirámide se seion on un plno π, prlelo l plno de l se, se llm trono de pirámide l interseión de l pirámide y el semiespio de orde π que no ontiene l vértie. Si l pirámide es regulr, se otiene un trono de pirámide regulr. Bses: el polígono de se llm se myor del trono de pirámide. El polígono d e se llm se menor del trono de pirámide. Ls ses del trono de pirámide son seiones prlels del poliedro de vértie v y en onseueni son polígonos semejntes. d Altur: Los entros de ls ses o y o e perteneen l mism perpendiulr o ls ses. El segmento oo es l ltur Ap d A del trono de pirámide. e oo = o p Arist: el segmento determindo por dos vérties orrespondientes de ls ses se llm rist del trono de pirámide (A) Apotem: El segmento determindo por un pr de puntos medios de dos ldos orrespondientes de ls ses se llm potem del trono de pirámide (Ap) 16

17 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll Ejeriio: Un trono de pirámide regulr tiene ses udrds de 4 m y m de ldo y un ltur de 3m. Clul: ) los rdios de ls ses m ) ls rists lterles ) el potem del trono de pirámide 3 m d 4 4 m 4 ) (en se myor) d= = = 3 = 5,66m p l/ r d 5,66 r = = =,83m p = l r ( ) =,83 = 4 = m ) (en se menor) r A d + 8 r = = = = 1, 41m A = 3 + (,83 1,41) = 3,3m Ap r p p = Ap = l r ( ) = 1,41 1 = 1m + ( 1) = = 10 = 3,16m p-p p 17

18 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll POLIEDROS REGULARES Se die que un poliedro onvexo es regulr si sus rs son polígonos regulres ongruentes y en d vértie onurre el mismo número de rs. Vemos ontinuión los poliedros regulres y sus elementos: ) on rs tringulres Tetredro Tiene utro rs. En d vértie onurren 3 rs. Otedro Tiene oho rs. En d vértie onurren 4 rs. Iosedro Tiene veinte rs. En d vértie onurren 5 rs. 18

19 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll No pueden onurrir ms de 5 rs en un vértie, pues l sum de los ángulos es igul o myor que 4 retos (360º). En onseueni no es posile formr un ángulo poliedro, y que l figur qued iert en un solo plno. Por eso no hy más poliedros regulres on rs tringulres. 60º ) on rs udrds Exedro o uo Tiene seis rs. En d vértie onurren 3 rs. 90º No pueden onurrir más de 3 rs en un vértie porque d l sum de ángulos igul o myor que 360º y qued l figur iert. 19

20 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll ) on rs pentgonles Dodeedro Tiene doe rs. En d vértie onurren 3 rs. d) rs poligonles de 6 o más ldos 3 exágonos y totlizn 360º en el vértie, por lo que no se puede otener un poliedro regulr. 10º En onseueni solo existen 5 poliedros regulres 0

21 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll CONSTRUCCIÓN DE POLIEDROS REGULARES 1

22 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll CUERPOS REDONDOS CILINDRO B B G G = B Cilindro irulr oliuo B Cilindro irulr reto Elementos: Bses: son ls seiones prlels Genertries: son los segmentos de ls rets omprendids entre los plnos de ls ses. Altur: es l distni entre los plnos de ls ses Si ls seiones prlels (ses) son írulos, el uerpo se llm ilindro irulr Si demás, ls genertries son perpendiulres ls ses, se otiene un ilindro irulr reto. CONO G v G v Se llm ono l uerpo sólido limitdo por l superfiie óni omprendid entre el vértie y l se. B o R o B Cono irulr oliuo Cono irulr reto

23 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll Si l se es un írulo, el uerpo generdo se llm ono irulr. Si demás, el vértie pertenee l perpendiulr l se que ps por su entro, se gener un ono irulr reto. Elementos: Bse: B Altur: Genertriz: G Rdio de l se: R Centro de l se: o Vértie: v TRONCO DE CONO DE BASES PARALELAS v R G o π Si un ono se seion on un plno prlelo l plno de l se, se llm trono de ono l interseión del ono y el semiespio de orde π que no ontiene l vértie. R o B Bses: el írulo de entro o y rdio R se llm se myor del trono de ono. El írulo de entro o y rdio R se llm se menor del trono de ono. Si el ono es reto, se otiene un trono de ono reto. Altur: el segmento oo se llm ltur del trono de ono. Genertriz: los segmentos de genertries del ono omprendidos entre ls ses son ls genertries del trono de ono = genertriz 3

24 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll Ejeriios: 1) Esrie l relión entre l ltur, l genertriz y los rdios de un trono de ono reto. R G = + (R R ) G R R R ) Un trono de ono tiene un ltur de 1 m. Los rdios tienen 9 m y 4 m. Clul l genertriz. R G = + (R R ) G R R G = + ( R R = G = 1 + (9 4) = 13m R CÀLCULO DEL VOLUMEN DE UN CONO O UNA PIRÁMIDE R R R 4

25 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll En generl, podemos deir que el volumen de un ono, es un terio del volumen del ilindro en el que se hll insripto. Así, el volumen del ono es: Superfiie de l se x ltur = π R π R Entones, el volumen del ono será: 3 Con l pirámide ps lo mismo, solo que su volumen será un terio del volumen del prism que lo onteng. Ejeriio: Tenemos un pirámide regulr ret de se pentgonl en l que ls rists de l se miden l terer prte de l ltur de l pirámide. Clulr: ) Superfiie de l se ) Apotem de l pirámide ) Superfiie lterl de l pirámide = 6 m d) Superfiie totl de l pirámide e) Volumen de l pirámide Pr resolver este prolem deemos primero nlizr l se, pr poder otener dtos que nos permitn resolver el resto. ) Superfiie de l se El pentágono de se es regulr, por lo que todos sus ldos serán igules, y por dto es: β α β 6m = ldo = = = m º α = ángulo entrl = = 7º 5 180º α 180º 7º β = 180º - α β = = = 54º β p Sup. Bse = 5 x Sup. Triángulo 5

26 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll S tring = p tg β = p p tgβ tg54º m = p = = = 1,376m Sup. Bse = m 1,376m 5 ( ) = 6,88m ) Apotem de l pirámide Ap p Si oservmos un orte de l pirámide, veremos un triángulo retángulo uyos ldos son l ltur de l pirámide, el potem de l se y l ltur del triángulo lterl (r de l pirámide) que es el potem de l pirámide (Ap). Por el teorem de Pitágors será: Ap = p + = 1, = 6, 156m ) Superfiie lterl de l pirámide. Ap L pirámide tiene 5 rs, por lo que pr lulr su superfiie lterl deemos lulr l superfiie de un de sus rs y multiplirl por 5. S lt = 5. Sup r = Ap m 6,156m 5 ( ) = 5 ( ) = 30,78m 6

27 Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll d) Superfiie totl de l pirámide Sup totl = Sup. se + Sup. lterl = 6,88 m + 30,78 m = 37,66 m e) Volumen de l pirámide V = Sup. se ltur 3 6,88m 6m = = 13,76m 3 3 7