CÁLCULO INTEGRAL. HOJA 1. v(q) = Π n i=1(b i a i ). Definimos también el volumen de un rectángulo cerrado como el volumen de su interior.

Transcripción

1 CÁLCULO INTEGRAL. HOJA 1. MEDIDA EXTERIOR DE LEBESGUE. CONJUNTOS MEDIBLES EN R N. MEDIDA DE LEBESGUE. Si Q = (a 1, b 1 )... (a n, b n ) es un rectángulo abierto de R n, definimos el volumen de Q como el producto de las longitudes de sus lados, es decir v(q) = Π n (b i a i ). Definimos también el volumen de un rectángulo cerrado como el volumen de su interior. 1. Para cada subconunto A de R n, definimos la medida exterior de A como m e (A) = ínf{ v(q ) : (Q ) sucesión de rectángulos abiertos en R n tales que A Q }. 2. Probar que en la definición anterior lo mismo da considerar rectángulos abiertos que cerrados. ε/2. Indicación: para cada rectángulo cerrado Q existe un rectángulo abierto R Q tal que v(r ) v(q ) + 3. Proposición. Demostrar lo siguiente: 1. A B = m e (A) m e (B) 2. m e ( ) = 0 3. (Subaditividad) Para toda sucesión (A i ) de subconuntos de R n se tiene m e ( i A i ) i m e (A i ). 4. Probar que para cada rectángulo Q se tiene m e (Q) = v(q). 5. Probar que m e (A) = m e (x + A) para todo x R n, A R n, y que m e (ra) = r n m e (A) si r > 0. También puede probarse que m e es invariante por rotaciones. 6. Definición. Se dice que un subconunto A de R n tiene medida cero si m e (A) = 0. Es decir, si para cada ε > 0 existe una sucesión de rectángulos (Q ) tales que A Q y v(q ) ε. 7. Probar que: 1. la unión numerable de conuntos de medida cero tiene medida cero; 2. cualquier subconunto numerable de R n tiene medida cero; 3. si A B y B tiene medida cero, entonces A también tiene medida cero; 4. todo hiperplano en R n tiene medida cero en R n. 8. Probar que cualquier circunferencia de R 2 tiene medida cero en R 2.

2 9. Definición. Diremos que un subconunto A de R n es medible (en el sentido de Lebesgue) si para cada E R n se tiene que m e (E) = m e (E A) + m e (E A c ). Por la subaditividad de la medida exterior siempre se verifica, para cualesquiera A, E R n, que m e (E) m e (E A) + m e (E A c ). Por tanto, para probar que un conunto A es medible, basta ver que se tiene m e (E A) + m e (E A c ) m e (E) para todo E. Si A es medible, definiremos la medida (de Lebesgue) de A por µ(a) = m e (A). 10. Probar que todos los conuntos de medida cero son medibles. 11. Probar que y R n son medibles. 12. Proposición. Demostrar que A es medible si y sólo si para todo rectángulo Q se tiene que m e (Q) = m e (Q A) + m e (Q A c ). Indicación: si R Proposición 3. E, usar que m e (E A) m e(r A) y m e (E A c ) m e(r A c ) por la 13. Probar que si A y B son medibles entonces: 1. A B es medible; 2. A B es medible; 3. A \ B es medible; 4. todos los conuntos obtenidos por la combinación de un número finito de operaciones de unión, intersección y complementación son medibles. Indicación: para 1., tener en cuenta que E (A B) = (E A) (E B A c ), luego m e (E (A B)) + m e (E (A B) c ) m e (E A) + m e (E B A c ) + m e (E A c B c ), y usar ahora que B es medible y luego que A también lo es. 14. Demostrar que si A, B son medibles y disuntos, entonces µ(a B) = µ(a) + µ(b), y generalizar el resultado para una cantidad finita de conuntos medibles disuntos. 15. Demostrar, usando lo anterior, que todo rectángulo es medible. 16. Demostrar que un conunto es medible si y sólo si su complementario es medible. 17. Teorema. Sea (A ) una sucesión de conuntos medibles de R n. Entonces A y A son medibles. Indicación: Para la unión, definir B k = k =1 A si k 1, B 0 =, y probar que m e (E B k ) = k m e (E (B i \ B i 1 )),

3 luego usar que B k es medible, tomar límites y usar la subaditividad de la medida exterior. 18. Proposición. Sea (A ) una sucesión de conuntos medibles de R n tales que A i A = si i. Probar que µ( A ) = µ(a ). 19. Proposición. Sea B una sucesión creciente de conuntos medibles (es decir, B B +1 para todo ). Probar que µ( B ) = lím µ(b ). 20. Proposición. Sea (C ) una sucesión decreciente de conuntos medibles (es decir, C +1 C para todo ), y supongamos que µ(c 1 ) < +. Probar que µ( C ) = lím µ(c ). 21. Dar un eemplo que muestre que la hipótesis de que µ(a 0 ) < + para algún 0 es necesaria para tener la igualdad de la proposición anterior. 22. Observar que todo abierto en R n es una unión numerable de rectángulos. 23. Definición. Se dice que G R n es un conunto G δ si es una intersección numerable de conuntos abiertos de R n. Se dice que F R n es un conunto F σ si es unión numerable de conuntos cerrados de R n. 24. Observar que los abiertos (y también los cerrados) son simultáneamente G δ y F σ. 25. Teorema. Sea A R n. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A es medible 2. para todo ε > 0 existe G abierto tal que A Gy m e (G \ A) < ε 3. para todo ε > 0 existe F cerrado tal que F A y m e (A \ F ) < ε 4. existen G G δ y Z tales que A = G \ Zy µ(z) = existen F F σ y Z tales que A = F Zy µ(z) = Corolario. Probar que si A es medible entonces µ(a) = ínf{µ(g) : G abierto, A G} = sup{µ(f ) : F cerrado, F A} = sup{µ(k) : K compacto, K A}. 27. Se define el conunto de Cantor C como el conunto que queda al dividir el intervalo [0, 1] en tres subintervalos iguales, quitar el del medio, después repetir la operación en los dos intervalos subsistentes, y así sucesivamente... una cantidad numerable de pasos. Demostrar que el conunto C así obtenido es compacto, tiene medida cero, y no es numerable. 28. Modificar la construcción del conunto de Cantor para demostrar que existen un conunto abierto y denso en [0, 1] con medida estrictamente menor que uno.

4 29. Observación. Existen conuntos no medibles. El siguiente resultado, conocido popularmente como Paradoa de Banach y Tarski, es uno de los teoremas más sorprendentes de la matemática, y prueba en particular que no puede encontrarse una definición coherente y satisfactoria de volumen susceptible de ser aplicada a cualquier conunto de R 3. Lo que nos dice este teorema es que podemos romper la bola unidad del espacio R 3 en una cantidad finita de trozos disuntos y, mediante movimientos rígidos (rotaciones más traslaciones), recomponer estos trozos de manera también disunta para obtener dos bolas idénticas a la original. 30. Teorema. [Banach-Tarski, 1932] Sea B la bola unidad de R 3. Existen cinco subconuntos A 1,..., A 5 de B que forman una partición de B, es decir, B = 5 A i, con A i A = si i, y existen cinco movimientos rígidos f 1,..., f 5 : R 3 R 3 tales que 2 5 f i (A i ) = B = f i (A i ), i=3 siendo los miembros de cada una de estas dos uniones disuntos dos a dos. De hecho, este teorema es equivalente al siguiente resultado de apariencia más general. 31 (Banach-Tarski). Sean X e Y subconuntos acotados y con interior no vacío de R 3. Entonces existen una partición de X en subconuntos disuntos dos a dos, X = X 1... X m, y movimientos rígidos f i : R 3 R 3, 1 i m, tales que los f i (X i ) son disuntos dos a dos, y m Y = f i (X i ). Por muy extraño que pueda parecer, este resultado, si bien contraviene el sentido común, no viola ninguna ley de la lógica o las matemáticas; simplemente nos indica que existen conuntos tan patológicos que no pueden tener ni volumen ni medida. Una demostración relativamente elemental del teorema de Banach-Tarski puede encontrarse en el siguiente artículo: K. Stromberg, The Banach-Tarski paradox, American Mathematical Monthly, vol. 86 (1979) no. 3, p Por todo esto, ninguna teoría de la medida o de la integral puede ser lo suficientemente rica y coherente a la vez para dar cuenta de todos los subconuntos del espacio R n. Sólo podrá definirse medida, volumen o integral para determinados conuntos o funciones. Hay diversas teorías de la medida y de la integral. En este curso desarrollaremos la teoría de la integral de Lebesgue, que es la más flexible de todas (y la meor desde casi cualquier punto de vista excepto que lleva más tiempo construirla).

5 Resumen Hemos construído la medida de Lebesgue, que asigna a determinados (no todos) subconuntos A de R n, llamados medibles, su medida µ(a), y esta asignación tiene las siguientes propiedades: 1. Todos los conuntos abiertos, todos los cerrados, y todos los que se obtienen de estos por medio de una cantidad contable de operaciones de unión, intersección y complementación son medibles. 2. Para cada A R n medible se tiene µ(a) = ínf{µ(g) : G A abierto } = sup{µ(k) : K A compacto }. 3. Si (A ) es una sucesión de conuntos medibles disuntos dos a dos, entonces µ( A ) = µ(a ). 4. Si (B ) es una sucesión creciente de conuntos medibles entonces µ( B ) = lím µ(b ). 5. Si (C ) es una sucesión decreciente de conuntos medibles y alguno de ellos tiene medida finita, entonces µ( C ) = lím µ(c ). 6. Un subconunto A de R n tiene medida cero si para cada ε > 0 existe una sucesión de rectángulos (Q ) tales que A Q y v(q ) ε. 7. La unión numerable de conuntos de medida cero tiene medida cero; 8. Cualquier subconunto numerable de R n tiene medida cero. 9. Si A B y B tiene medida cero, entonces A también tiene medida cero.