Mantenimiento Eléctrico

Transcripción

1 Universidad Tecnológica de Pereira - 1/27 Mantenimiento Eléctrico Probabilidad: modelos, introducción y definiciones Mauricio Holguín Londoño Programa de Ingeniería Eléctrica 2016

2 Universidad Tecnológica de Pereira - 2/27 Presentación Objetivos Objetivos Se presenta una introducción sobre probabilidad. Se introducen los conceptos básicos relacionados con modelos matemáticos, teoría de conjuntos, conceptos básicos de probabilidad y estimadores univariados.

3 Universidad Tecnológica de Pereira - 3/27 Presentación Contenido Contenido 1 Presentación Objetivos Contenido Bibliografía 2 Introducción a probabilidad Modelos matemáticos Conjuntos Operaciones y propiedades de conjuntos 3 Espacio muestral, evento, variable aleatoria. Espacio muestral, evento. Variable aleatoria 4 Población, muestra, estimadores univariados Población y muestra Estimadores univariados

4 Universidad Tecnológica de Pereira - 4/27 Presentación Bibliografía Bibliografía [1] Meyer Paul L. y otros. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas, Edición Revisada. Addison-Wesley Iberoamérica, 1992, ISBN: [2] Applied Statistics and Probability for Engineers. Third Edition. Douglas C. Montgomery, George C. Runger. 2003, John Wiley & Sons, Inc. ISBN [3] Engineering Maintenance:A Modern Approach. B.S. Dhillon, Ph.D. CRC Press. ISBN [4] Estándar UNE EN [5] Life cycle reliability engineering. Guangbin Yang, Ford Motor Company. 2007, John Wiley & Sons. ISBN-13: [6] Reliability, Maintainability and Risk. Practical methods for engineers. Sixth Edition. David J Smith. 2001, Butterworth-Heinemann. ISBN

5 Universidad Tecnológica de Pereira - 5/27 Introducción a probabilidad Modelos matemáticos El modelo determinístico Modelo que estipula que las condiciones bajo las cuales se verifica un experimento determinan el resultado del mismo. Ejemplo: La ley de Ohm. Si se repite el experimento cierto número de veces, empleando las mismas condiciones se espera el mismo valor cada vez. Algunos modelos que antes no eran determinísticos ahora lo son (el genético), lo cual muestra que se está en una constante búsqueda del modelo que mejor representa a un fenómeno y sus observaciones.

6 Universidad Tecnológica de Pereira - 6/27 Introducción a probabilidad Modelos matemáticos El modelo no determinístico Modelo donde al repetir un experimento, bajo condiciones controladas, el resultado no es siempre el mismo con datos que parecen ser aleatorios. Sin embargo, al repetir un gran número de veces el experimento aparecen ciertas regularidades que se pueden emplear para describir los resultados.

7 Universidad Tecnológica de Pereira - 7/27 Introducción a probabilidad Conjuntos Notaciones I Extensión: enumera expĺıcitamente cada elemento 0, 1, 2, 3 Descripción: lenguaje natural, no formalizado: naturales menores que 4 Compresión: descripción formalizada, sin listar: { x N x < 4} Letras mayúsculas nombran un conjunto: A = {2, 4, 6} Letras minúsculas nombran elementos Un conjunto se puede formar de otros conjuntos: B = {a, {b, c}, {d, e}}. U, es el conjunto universal /O, es el conjunto vacío Si C = {}, C = /O

8 Universidad Tecnológica de Pereira - 8/27 Introducción a probabilidad Conjuntos Notaciones II A B, quiere decir A es subconjunto propio de B. { a i A a i B} A B, quiere decir A es subconjunto impropio de B. A = B, quiere decir A es igual a B, esto ocurre cuando A B y B A o { a i A b i B a i B b i A}

9 Universidad Tecnológica de Pereira - 9/27 Introducción a probabilidad Conjuntos Tuplas En la notación previa el orden de los elementos no importa Si el orden importa, se les denomina tuplas y se emplean paréntesis en lugar de llaves. Así, (7, 3, 9, 1) es una 4-tupla; una n-tupla de cinco elementos recibe el nombre de quíntupla, una de cuatro el nombre de cuádrupla, una de tres se denomina tripla o tripleta y una de dos elementos recibe el nombre par o dupla. En una n-tupla, además del orden de los elementos, también importa si un elemento está repetido, por lo que (1, 2, 3) (2, 3, 1) y (1, 2, 3) (1, 2, 3, 3).

10 Universidad Tecnológica de Pereira - 10/27 Introducción a probabilidad Operaciones y propiedades de conjuntos Operaciones con conjuntos Unión: C = A 1 A 2... A n = {x x A 1 x A 2... x A n } Intersección: C = A 1 A 2... A n = {x x A 1 x A 2... x A n } Diferencia: C = A B = {x x A x / B} Complemento: C = U A = {x x U x / A} Potencia: 2 A = {x x A}, consta de todos los posibles subconjuntos de A. Si, A = {w, x, y}, 2 A = { /O, w, x, y, {w, x}, {w, y}, {x, y}, {w, x, y} }. Producto cartesiano: C = A 1 A 2... A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a 1 A 1 a 2 A 2... a n A n }

11 Universidad Tecnológica de Pereira - 11/27 Introducción a probabilidad Operaciones y propiedades de conjuntos Propiedades con conjuntos Ley conmutativa: A B = B A y A B = B A Ley distributiva: B (A 1 A 2... A n ) = (B A 1 ) (B A 2 )... (B A n ) y B (A 1 A 2... A n ) = (B A 1 ) (B A 2 )... (B A n ) Involución: A = (A C ) C. Leyes de De Morgan: (A 1 A 2... A n ) C = (A C 1 AC 2... AC n ) y (A 1 A 2... A n ) C = (A C 1 AC 2... AC n ) Idempotencia: A A... A = A y A A... A = A

12 Universidad Tecnológica de Pereira - 12/27 Introducción a probabilidad Operaciones y propiedades de conjuntos Relaciones Todo subconjunto del producto cartesiano, formalmente: R A 1 A 2... A n. Implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas. Unaria: conjunto, R(a) A. Binaria: dos conjuntos, R(a, b) A B. Ejemplo de relación: para A = {2, 4, 6} y B = {1, 3, 5}, la relación menor que (<), es: R(a, b) = {(2, 3), (2, 5), (4, 5)} A B

13 Universidad Tecnológica de Pereira - 13/27 Espacio muestral, evento, variable aleatoria. Espacio muestral, evento. Espacio muestral E, Experimento aleatorio: experimento que al ser repetido indefinidamente, sin cambiar las condiciones, no se puede decir nada sobre el resultado, pero si se puede describir el conjunto de todos los posibles resultados. Parece no tener un comportamiento predecible, pero cuando se realizan un gran número de repeticiones aparece la regularidad. En un experimento aleatorio con reemplazo, en cada repetición están disponibles todos los posibles resultados. En un experimento aleatorio sin reemplazo, en cada repetición el elemento que sale no está disponible para la siguiente repetición. S, Espacio muestral: conjunto universal de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

14 Universidad Tecnológica de Pereira - 14/27 Espacio muestral, evento, variable aleatoria. Espacio muestral, evento. Evento Evento o suceso: conjunto de posibles resultados de un experimento definidos sobre un espacio muestral. Un evento o suceso es todo subconjunto de un espacio muestral.

15 Universidad Tecnológica de Pereira - 15/27 Espacio muestral, evento, variable aleatoria. Espacio muestral, evento. Ejemplos I 1 E 1, se lanza dado de 6 caras y se anota el valor de la cara superior. S 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A 1 = {4, 5, 6}, A 2 = {1, 3, 5}, A 3 = {2, 4, 6} 2 E 2, se anota el tiempo en horas que ha operado adecuadamente una cierta máquina. S 2 = {t t 0}. B 1 = {t 0 t 20}, B 2 = {t 40 t 80} 3 E 3, se sacan balones de una caja donde solo hay balones blancos o negros, hasta que se obtengan 2 de color negro. S 3 = {2, 3, 4, 5, 6,...} = {n n 2}. Un evento es que salgan los dos balones negros en su primera oportunidad: C 1 = {n n = 2}. Otro evento es que no salgan en su primera oportunidad, pero si hasta en 5 oportunidades: C 2 = {n 3 n 5}

16 Universidad Tecnológica de Pereira - 16/27 Espacio muestral, evento, variable aleatoria. Espacio muestral, evento. Ejemplos II 4 E 4, se anota el estado de una máquina durante su revisión de rutina. S 4 = {Fallo, Defecto, Operable, Bien}. Un evento es encontrar la máquina en necesidad de mantenimiento: D 1 = {Fallo, Defecto}. Otro evento es encontrar la máquina en su mejor estado: D 2 = {Bien}

17 Universidad Tecnológica de Pereira - 17/27 Espacio muestral, evento, variable aleatoria. Variable aleatoria Variable aleatoria Función X que asigna a cada uno de los elementos de un espacio muestral, definido sobre un experimento aleatorio, un número real X (s). Una variable aleatoria es: X : s S X (s) R. Este nuevo espacio muestral recibe el nombre de recorrido R x. Si s ya es un número, X (s) = s. A cada elemento de S le corresponde un único X (s), aunque para diferentes valores de s puede corresponder un mismo valor X (s). Para el experimento aleatorio E 4, donde S 4 = {Fallo, Defecto, Operable, Bien} R x = {1, 2, 3, 4}.

18 Universidad Tecnológica de Pereira - 18/27 Espacio muestral, evento, variable aleatoria. Variable aleatoria Clasificación de variables aleatorias Variable aleatoria discreta: el recorrido es un conjunto discreto de valores definidos en un conjunto finito numerable. Variable aleatoria continua: el recorrido en un conjunto infinito de valores definidos en un conjunto no numerable.

19 Universidad Tecnológica de Pereira - 19/27 Espacio muestral, evento, variable aleatoria. Variable aleatoria Clasificación de espacios muestrales Finitos: definidos en un conjunto finito de elementos. S 1 y S 4 Infinitos contables: definidos en un conjunto con infinito número de elementos para los cuales se puede hacer una relación uno a uno con los enteros positivos. S 3 Infinitos incontables: definido en un conjunto con infinito número de elementos que no se pueden enumerar o relacionar con los enteros positivos. S 2 En la práctica, todo conjunto infinito contable o incontable puede ser llevado a un conjunto finito, al asumir inicialmente que no existe un sistema de medición con resolución infinita y además si los ĺımites superior e inferior están previamente establecidos.

20 Universidad Tecnológica de Pereira - 20/27 Población, muestra, estimadores univariados Población y muestra Población y muestra I Población: conjunto que involucra a todos los elementos seleccionables para un experimento Muestra: subconjunto de la población seleccionado para estudio y desde el cual se infieren características para toda la población Individuo: cada uno de los elementos que hacen parte de una muestra, y por tanto de la población. Muestreo: técnica empleada para la selección de la muestra desde la población. En el muestreo probabiĺıstico todos los individuos de una población tienen probabilidad de hacer parte de una muestra. Muestreo aleatorio simple: muestreo probabiĺıstico donde a cada individuo le corresponde la misma probabilidad de ser seleccionado.

21 Universidad Tecnológica de Pereira - 21/27 Población, muestra, estimadores univariados Población y muestra Población y muestra II Muestreo aleatorio estratificado: muestreo probabiĺıstico donde se desea que exista representación, en la muestra, de todas las subpoblaciones (estratos) contenidas en la población.

22 Universidad Tecnológica de Pereira - 22/27 Población, muestra, estimadores univariados Estimadores univariados Estimadores univariados I Definiendo sobre una población un experimento aleatorio E, su respectivo espacio muestral S, y una muestra con N individuos tenemos los siguientes estimadores univariados principales para la variable aleatorio X : MEDIA: medida de la tendencia central de un conjunto de datos (individuos). Se relaciona con el centro geométrico o de gravedad de los datos: x = 1 N N i=1 x i

23 Universidad Tecnológica de Pereira - 23/27 Población, muestra, estimadores univariados Estimadores univariados Estimadores univariados II DESVIACIÓN ESTÁNDAR: medida del grado de centralización, o dispersión, de los datos respecto a la media. La fórmula es: σ = 1 N (x i x) 2 N 1 En esta fórmula se emplea en el denominador el término N 1 en lugar de N. Este cambio se conoce como la corrección de Bessel lo cual ocurre cuando la media de muestra se utiliza para centrar los datos, en lugar de la media de la población. i=1

24 Universidad Tecnológica de Pereira - 24/27 Población, muestra, estimadores univariados Estimadores univariados Estimadores univariados III VARIANZA: medida del grado de centralización, o dispersión, de los datos respecto a la media que es el cuadrado de la desviación estándar: σ 2 = 1 N 1 N (x i x) 2 COEFICIENTE DE SIMETRÍA DE FISHER: medida del grado de asimetría respecto a un eje de simetría que pasa por la media. Una distribución es asimétrica a la derecha, o con asimetría positiva, si la cola de la distribución al lado derecho es la más larga. De lo contrario será asimétrica a la izquierda o con asimetría negativa: i=1 CA = g = 1 N i=1 (x i x) 3 N 1 σ 3

25 Universidad Tecnológica de Pereira - 25/27 Población, muestra, estimadores univariados Estimadores univariados Estimadores univariados IV

26 Universidad Tecnológica de Pereira - 26/27 Población, muestra, estimadores univariados Estimadores univariados Estimadores univariados V COEFICIENTE DE HOMOGENEIDAD, KURTOSIS: medida del grado de concentración de los individuos en la región central. Según el grado de concentración las distribuciones se clasifican en Leptocúrticas, Mesocúrticas o Platicúrticas. Si K 7 existen datos atípicos. Se calcula: CH = K 1 = 1 N i=1 (x i x) 4 N 1 σ 4 1

27 Universidad Tecnológica de Pereira - 27/27 Población, muestra, estimadores univariados Estimadores univariados Ejercicio Se ponen en operación 10 bombillos hasta que se funden y se anota el tiempo de funcionamiento en valores enteros de hora. Los resultados son los siguientes: {5, 6, 4, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 15}. Definir el experimento aleatorio, el espacio muestral, la población, la muestra, el tipo de muestreo empleado y los estimadores univariados.