Deflexión de rayos luminosos causada por un cuerpo en rotación

Transcripción

1 14 Defleión de ayos luminosos causada po un cuepo en otación 114 Intoducción Cuando un ayo luminoso pasa po la cecanía de un cuepo se ve obligado a abandona su tayectoia ectilínea y cuvase más o menos según la masa del cuepo Se tata de un fenómeno gavitatoio estático pedicho po Einstein y medido epeimentalmente po Eddington Lo que tatamos de estudia en este capítulo es la modificación de la cuva descita po el ayo luminoso a consecuencia de la otación del cuepo Es deci, vamos a estudia la influencia que tiene el gavitomagnetismo en la defleión del ayo Consideemos un ayo que incide po el bode de un asto que tiene un momento angula J Vamos a elegi un sistema de coodenadas con oigen en el cento del asto, tal que el ayo se encuente inicialmente en el plano -y y que sea paalelo al eje El momento angula de otación del asto tendá las componentes J J i J j J k y Debemos de distingui cuato poblemas difeentes: el gavitoeléctico estático, cuya causa es el potencial escala, y los efectos gavitomagnéticos poducidos po cada una de las tes componentes del momento angula del asto Dado el caácte lineal de las ecuaciones de campo gavitoelectomagnético podemos estudia los cuato efectos po sepaado y luego sumalos El potencial escala poduce una cuvatua del ayo luminoso que pasa a una distancia mínima b del cento del asto de masa M, que es dada po la fómula 4GM 4GM 1 n b c b c b donde n es la vaiación que epeimenta el vecto unitaio paalelo al ayo Este es un efecto de segundo oden especto a la invesa de c y coesponde al conocido efecto de Einstein 14 Rayo incidente po el plano ecuatoial del asto 114 Lagangiana del ayo Con elación al ayo eisten tes situaciones difeentes según la disposición que mantenga especto al momento angula del asto: ayo incidente que viaja po el plano ecuatoial del asto; ayo incidente paalelo al eje de otación y ayo incidente pepen- 159

2 16 GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH dicula al eje de otación del asto peo que pasa po uno de sus polos En efecto, la figua 114 epesenta un plano que pasando po el cento del asto es pependicula a la diección de popagación del ayo luminoso que incide po el punto P cecano al asto cental, que tiene un momento angula de otación J Establecemos un sistema de coodenadas con oigen en el asto que ota, con sus ejes tal como indica la figua Respecto a este sistema se descompone el vecto J, esultando que el ayo incidente pasa po el plano ecuatoial asociado a la componente J ; está alineado con la componente J y pasa po el polo de la componente J y, tal como antes habíamos advetido y P Figua 114 Analicemos el pime caso, po lo que suponemos que el ayo se desplaa po el plano ecuatoial Elegimos el eje como el de otación, es deci J es la única componente que eiste del momento angula En geneal el vecto de posición del ayo luminoso es sin cosi sin sinj cos k, entonces el elemento de línea cuando solo se tiene en cuenta el efecto gavitomagnético poducido po el momento angula es 4GJ ds c dt sin cdtd d sin d d c La ecuación geodésica paa la segunda coodenada angula es d dp d d dp dp i k ik donde p es un paámeto afín sin significación física alguna La ecuación geodésica es d d GJ sin cos d d sin cos, dp dp c dp dp si inicialmente 9º y (es deci, el movimiento del ayo se encuenta en el plano -y), * entonces, lo que significa que no vaiaá, que seguiá siendo y seguiá siendo 9 º Lo que viene a significa que el ayo pemaneceá en el plano - y Entonces el elemento de línea nos quedaá como * Las pimas epesentan deivación especto al paámeto afín p

3 Defleión de ayos luminosos causada po un cuepo en otación 161 4GJ ds c dt cdtd d d c de donde se deduce la lagangiana a la que obedece el ayo de lu donde hemos hecho 1 ds 1 dp f 4GJ f, c hay que nota que J es la componente del momento angula del asto, es deci que puede se positivo o negativo, según su sentido de otación 14 Ecuaciones pimeas del movimiento del ayo Los «momentos lineales» asociados a las distintas coodenadas tienen po componentes covaiantes 1 p f p 1 p f ahoa bien, como las coodenadas y son ignoadas, sus momentos asociados seán constantes, po lo que hacemos E y L son constantes positivas Los dos signos en la última ecuación nos distingue si el ayo incide po una pate u ota del asto que está otando Si el «momento angula» del ayo se diige hacia la pate positiva del eje es necesaio toma el signo menos poque de esta foma la vaiación del ángulo es positiva, tal como debe se, al habe definido su sentido positivo como el dado po el sentido contaio a las agujas del eloj; mientas que el signo mas coesponde al caso de un ayo que incide con un «momento angula» que se diige hacia la pate negativa del eje De las anteioes ecuaciones se obtiene 1 E f ; L f c y esolviendo el sistema anteio L fe c (114) c donde el pime signo hay que tomalo cuando el «momento angula» de la lu tenga el sentido positivo del eje Las componentes contavaiantes del tenso mético hasta la apoimación de tece oden son

4 16 GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH g g g 1 f 1 ij G g g g g 1 g g g f 1 como se puede compoba po sustitución diecta Ahoa podemos obtene las componentes contavaiantes de los «momentos» del ayo luminoso f 1 1 p g p g p g p f f p p con lo que se puede fomula la ecuación pimea del movimiento del ayo o bien k p p k, c c utiliando las ecuaciones (114) obtenemos una ecuación que nos elaciona con, d L fe L E fel d c c c tas algunas opeaciones y despeciando téminos de oden mayo que tes especto a la invesa de c se encuenta c L (14) 14 Ecuación de la tayectoia Paa esolve la ecuación (14) debemos tene en cuenta que el punto de mayo acecamiento de la lu al asto coesponde a un mínimo de la función po tanto d d donde es el punto de meno acecamiento Hay que señala que este punto es ligeamente difeente del paámeto de impacto b Po la anteio popiedad encontamos 1 E (14) c L que es una ecuación de tece oden especto a E cl El subíndice significa que el valo está tomado a la meno distancia del asto, es deci en La solución de (14) se puede obtene po apoimaciones sucesivas Como pimea solución se tiene E 1 cl

5 Defleión de ayos luminosos causada po un cuepo en otación 16 y la siguiente apoimación es entonces la ecuación de la tayectoia (14) queda Manipulando la anteio ecuación se llega a donde hemos hecho 1 d 1 1 g 4GJ c La ecuación de la tayectoia se obtiene haciendo la integal de d d d Como entonces 1 1 con lo que la integal queda d 1 1 g De los dos signos que posee la aí del integando, es necesaio toma el negativo cuando el «momento angula» de la lu tiene el sentido positivo (o sea, está a lo lago de la pate positiva del eje ); es deci, cuando el ayo incide po la deecha del asto, en el supuesto de que el eje esté diigido hacia aiba Hecha esta elección, de la anteio integal se compueba que a medida que avana el ayo, va aumentando el valo del ángulo, como en efecto debe de ocui Si además suponemos que el ayo incide paalelo al eje y en el sentido de las dececientes, entonces y la integal nos queda 1

6 164 GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH donde hemos asociado el signo menos de la aí con el pimeo de los signos del témino gativomagnético, pues tal como ya habíamos dicho este signo coesponde a la incidencia del ayo con «momento angula» positivo La solución de la integal es 1 1 sin g 1, (414) de nuevo indica que el pime signo del pime sumando coesponde al ayo que incide con «momento angula» positivo Obsévese que g puede se positivo o negativo, según la otación del asto cental sea hacia la pate positiva o negativa del eje El pime sumando de (414) coesponde al tayecto del ayo en ausencia de gavitación, es deci, el que coesponde a una tayectoia ectilínea; mientas que el segundo nos da el gio que epeimenta a consecuencia de la otación del asto Como la tayectoia es simética especto al punto de mayo acecamiento, el ángulo de defleión es donde eliminamos (o añadimos, según sea el sentido del ayo) los 18º asociados a la tayectoia ectilínea, po tanto el ángulo de defleión es 4GJ c g el mismo signo se da ya sea el ayo incidiendo po uno o po oto lado del asto La anteio fómula viene a indica que siempe la defleión del ayo tiene sentido contaio a la otación del asto, en lo que podíamos denomina un efecto antimachiano, indicando con ello que la otación del asto no aasta al ayo en su mismo sentido de gio, sino en el sentido contaio Combinando las dos epesiones que apaecen en (114) se encuenta d Lc dt E peo clásicamente d v bc dt donde b es el paámeto de impacto Po tanto Lc b E con lo que podemos establece la elación ente el paámeto de impacto y la mínima distancia del ayo al asto po la elación (14) 1 1 b es deci b y se difeencian en téminos de tece oden, po lo que se puede pone sin eo apeciable 4G J m (514) b c donde m es el vecto unitaio en la diección y sentido del «momento angula» de la lu

7 Defleión de ayos luminosos causada po un cuepo en otación 165 La fómula (514) también se puede pone como 4G 1 n b b c b n J b donde n es la difeencia ente el vecto unitaio en la diección del ayo deflectado y el vecto unitaio en la diección en la que incide 14 Rayo incidente paalelo al eje de otación Estudiemos el segundo caso, en el cual el ayo luminoso incide con diección paalela al momento angula del asto Supongamos que J está diigido hacia la pate positiva del eje y que el ayo de lu incide po el plano -y, siendo paalelo al eje y llevando el sentido de las dececientes El elemento de línea en esta situación es 4GJ ds c dt dy yd cdt d dy d, c siendo las componentes significativas del tenso mético 4GJ 4GJ g ; g y c c Los símbolos de Chistoffel de inteés son 6GJ GJ 6GJ GJ 1 ; 5 1 ; 1 y; 5 1 c c c c Con estos datos se obtiene que la ecuación de la geodésica del ayo luminoso paa la coodenada y es d y d d d d 1, dp dp dp dp dp d dp epesenta la defleión po efecto gavitomagnético que epeimenta la coodenada, que es de tece oden, como es también de tece oden, el último témino es de oden seis y po tanto despeciable, quedando la ecuación de la geodésica d y 1GJ d, dp c 5 dp en las poimidades del cuepo en otación, cuando es pequeño, es la medida de la defleión, que es de tece oden, po tanto de nuevo el segundo sumando de la anteio ecuación es supeio al tece oden y po tanto despeciable Como d y dp e inicialmente habíamos supuesto que el ayo es pependicula al eje y, entonces y pemanece constante y la podemos toma con buena apoimación como el paámeto de impacto b Lo anteio nos dice que la defleión del ayo po causa gavitomagnética debe se eclusivamente paa la componente La ecuación de la geodésica paa esta componente es d d d dy d 1 1, dp dp dp dp dp el último sumando es nulo en nuesta apoimación po selo dy dp Tomando como

8 166 GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH paámeto afín el tiempo coodenado, la anteio ecuación queda d 1GJ d y, dt c 5 dt nótese que en este caso el segundo miembo no se puede despecia, ya que es del mismo que se espea paa la defleión de la lu Tas una pimea integación d 4GJ 1 dt c b 1 b en la que se ha supueto que a distancia infinita del asto d dt es nula Lo que nos inteesa es la tayectoia del ayo luminoso, es deci paa lo que tenemos en cuenta d d d d c dt d dt d entonces d 4GJ 1 d c b 1 b La pendiente de la tayectoia descita po la anteio epesión a gan distancia ( b ) del asto otante es nula, lo que indica que la tayectoia seguida po el ayo cuando ya La epesentación gáfica de la tayectoia es la siguiente ayo entonces el asto otante lo único que hace es taslada paalelamente al ayo que pasa po sus cecanías, no poduciendo defleión En el dibujo anteio, el ayo se mueve (despeciendo el efecto gavitoeléctico) en un plano paalelo al - y a una distancia b del asto La sepaación que alcana el ayo especto al plano -y es dada po 4GJ d 8GJ d c b 1 b c b 414 Rayo incidiendo po uno de los polos de asto 1414 La tayectoia del ayo Vamos a considea el último caso posible, en cuanto a la elación ente el ayo incidente y el momento angula del asto Ahoa el ayo incide po uno de los polos del

9 Defleión de ayos luminosos causada po un cuepo en otación 167 asto y su diección es pependicula al eje de otación Podemos supone un sistema de coodenadas tal que el eje de otación se encuente hacia la pate positiva en el eje y que el ayo se encuenta en el plano - y pependicula al eje Vamos pimeamente a demosta que el ayo pemanece siempe en el mismo plano hoiontal Utiliando coodenadas ectangulaes se encuenta que el elemento de línea es 4GJ ds c dt dy yd cdt d dy d c Las únicas componentes de los símbolos de Chistoffel que inteesan son 6GJ 6GJ y; c c con lo que la ecuación geodésica toma la foma d 6GJ d d dy y 5 dp c dp dp dp y poniendo la epesión ente paéntesis en coodenadas esféicas d 6GJ d d sin 5 dp c dp dp La vaiación del ángulo es de segundo oden paa el efecto gavitoeléctico y de tece oden paa el gavitomagnético Po tanto, el segundo sumando es de oden 5 especto a la invesa de c y po tanto despeciable, quedando la ecuación de la geodésica d dp Como al pincipio d dp, seguiá con ese valo, es deci mantendá siempe su valo que es igual al paámeto de impacto b 414 Cálculo de la defleión pola El elemento de línea es 4GJ ds c dt sin dcdt d sin d d c Peo como cos cte, entonces además y b cos d sin d d d, b sin cos b d d d b Haciendo el cambio de coodenadas el elemento de línea se tansfoma en ˆ b

10 168 GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH 4GJ ds c dt ˆ dcdt dˆ ˆ d c La lagangiana es fomalmente la misma que la obtenida paa el pime caso (epígafe 14) Po lo que volvemos a enconta la ecuación 1 ˆ f L (614) donde L es una constante positiva y las pimas epesentan deivación especto al paámeto p Nótese que f es definida ahoa como 4GJ f ˆ c De (614) se obseva que a gan distancia, antes de acecase el ayo al asto, tanto f como son nulas po lo que L, entonces d f dp ˆ La coodenada también es ignoada y po tanto 1 E f c peo como es de tece oden podemos despecia el segundo sumando del pime miembo de la ecuación anteio y pone simplemente E c, po tanto d fe dp ˆ c k De la ecuación pimea de movimiento p pk y teniendo en cuenta que L es nulo se encuenta dˆ E dˆ E dp c dp c A medida que se aceca el ayo al asto, la distancia va disminuyendo hasta llega a la mínimo distancia Como vamos a hace la integación paa la pimea mitad de la tayectoia del ayo, tendemos que toma el signo negativo en la anteio epesión Ya estamos en condiciones de elaciona y GJ GJ dˆ d dˆ, c c ˆ b que nos viene a deci que si J es positivo, o sea la otación del asto se diige hacia la pate positiva del eje, entonces el ángulova disminuyendo, o sea, la defleión del ayo luminoso es de mismo sentido que la otación del asto La distancia de meno acecamiento del ayo al eje es ˆ Ahoa bien, como el ángulo de defleión poducido po la otación es de tece oden, no se comete eo apeciable si en los límites de la integación ponemos en ve de ˆ GJ dˆ d, c ˆ b donde es la coespondiente coodenada angula del ayo en el punto de meno

11 Defleión de ayos luminosos causada po un cuepo en otación 169 acecamiento Nótese que la tayectoia de la lu es simética con especto al punto de meno acecamiento, entonces donde es un valo coespondiente a la desviación del ayo, definido de tal foma que es positivo cuando la defleión del ayo tiene el mismo sentido que la otación del asto, entonces 4GJ c b donde hemos tenido en cuenta el cambio consideado de 18º que apaece en la fómula, puesto que solo epesenta el cambio busco que epeimenta el ayo al pasa del lado positivo al negativo del eje En notación vectoial el ángulo de defleión queda 4G n n J c b Reagupando todos los esultados se llega a la siguiente fómula que nos da la defleión que sufe un ayo que pasa con un paámeto de impacto b po la cecanía de un asto que se encuenta en otación 4GM 4G n b b n J b n J (714) c b b c b 614 Defleión de ayos que pasan po el inteio de una esfea hueca Consideemos una esfea hueca de adio R, masa M y que gia con una velocidad anguladiigida hacia la pate positiva del eje Analicemos el caso en que un ayo de lu incide po el plano ecuatoial de la esfea, paalelo al eje y hacia las dececientes; vamos a detemina la defleión que sufe este ayo po su paso po el inteio de la concha esféica; sin tene en cuenta la defleión duante su movimiento en el eteio En el inteio de la esfea hueca, el potencial gavitomagnético es (45), de donde se deiva que A GM d sin d c R haciendo uso de coodenadas esféicas Entonces el elemento de línea es 8GM ds c dt sin d cdt d sin d d, c R al igual que en 4 solo tenemos en cuenta el efecto gavitomagnético Al utilia el mismo aonamiento que en el epígafe 14 se encuenta que el ayo luminoso pemanece en el plano ecuatoial cuando viaja a tavés del inteio de la esfea, es deci que 9º Entonces sólo tenemos que considea la geometía del plano -y que viene dada po el elemento de línea donde hacemos la definición ds c dt fdcdt d d 8GM f c R (814)

12 17 GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH Al segui el mismo aonamiento que en 14 se llega a las mismas ecuaciones paa la tayectoia del ayo, con ecepción del nuevo valo de f dado po (814) Ahoa definimos g 8GM 1, c R al igual que antes, es la mínima distancia del ayo al cento de la esfea Con esta definición de g la ecuación de la tayectoia del ayo queda 1 d d Manipulando la anteio epesión y limitándonos hasta téminos de tece oden, se encuenta d 4 d 1 g, (914) 1 el pimeo de los sumandos anteioes coesponde al movimiento ectilíneo del ayo, mientas que el segundo nos da la defleión que sufe el ayo a su paso po el inteio de la esfea y po causa del gavitomagnetismo Al hace la integación hay que tene pesente que el témino gavitomagnético solo eiste dento de la esfea; fuea de ella sólo eiste el pimeo de los sumandos de (914), que descibe el movimiento ectilíneo Po esta aón la integal la vamos a descompone en dos pates donde hemos puesto el doble signo delante de las integales paa epesenta así el movimiento del ayo que se diige hacia la pate negativa del eje y hemos puesto de acuedo con la elección de las coodenadas Al hace la integación se obtiene R sin g 1 g 1 Al igual que hicimos en 14, utiliamos la popiedad de la simetía de la tayectoia especto al punto de meno acecamiento, po tanto la defleión viene dada po o bien R 8 1 GM R g 1, (114) c R compobamos que la defleión que sufe el ayo es del mismo sentido que la otacion de la esfea, lo que entendemos como un efecto machiano Nótese que puede se positivo

13 Defleión de ayos luminosos causada po un cuepo en otación 171 o negativo, peo en cualquiea de estos dos casos el sentido de la defleión seá coincidente con el de otación de la esfea Démonos cuenta que, como ocue con otos fenómenos ya estudiados, los efectos inductivos dento y fuea de la esfea otante son de sentidos contaios Po un pocedimiento simila al ealiado en 14 encontamos que, al oden de apoimación consideado, podemos identifica la mínima distancia con el paámeto de impacto Entonces la ecuación (114) se epesa vectoialmente po 8GM R n 1 c Rb b b n ω b 714 Refeencias 1- EPSTEIN, R; SHAPIRO, I: «Pos-post-Newtonian deflection of ligth by the Sun», Physical Review D (198) IBÁÑEZ, J; MARTÍN, J: «Gavitational scatteing of spinning paticles: Linea appoimation», Physical Review D 6 (198) 84-89

14 GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH