DIVISIBILIDAD. - DIVISOR DE UN NÚMERO: Un número es divisor de un número dado, cuando al dividir el número entre el divisor, nos da resultado exacto.

Transcripción

1 DIVISIBILIDAD La divisibilidad es la parte de las matemáticas que nos enseña la relación entre los números, sus múltiplos y divisores. Lo primero que hemos de conocer es por tanto qué es un múltiplo o un divisor. - MÚLTIPLO DE UN NÚMERO: Es aquél que obtenemos al multiplica ese número por cualquier número natural, es decir 1,2,3, es decir, aquellos que conocemos desde pequeños y utilizamos para contar. Por ejemplo, los múltiplos de un número cualquiera, por ejemplo, 7, serán aquellos que obtendremos al multiplicar ese número, es decir, el 7 por cualquier número natural: 7 x 1 = 7 7 x 2 = 14 7 x 3 = 21. Y así sucesivamente. Por eso, como podemos ver, los múltiplos de un número han de cumplir: Un número siempre será múltiplo de sí mismo. Es decir, en nuestro caso, 7 es múltiplo de 7. Esto se debe a que al multiplicar cualquier número por 1, nos dará ese mismo número. Los múltiplos de un número SIEMPRE serán MAYORES O IGUALES que ese número, ya que al multiplicar por números naturales, obtenemos siempre un número igual o mayor. Por lo tanto, ningún MÚLTIPLO de un número puede ser menor o igual que ese número. El número de múltiplos de un número es INFINITO, no tiene límite. - DIVISOR DE UN NÚMERO: Un número es divisor de un número dado, cuando al dividir el número entre el divisor, nos da resultado exacto. Es decir analizando los divisores de 12, podemos decir que un número es divisor suyo, cuando al dividir 12 entre el divisor, nos dé un resultado exacto. Por ejemplo: 2 Es divisor de 12, porque al dividir 12 entre 2 da exacto, 6. 3 Es divisor de 12, porque al dividir 12 entre 3 da exacto, 4. 4 Es divisor de 12, porque al dividir 12 entre 4 da exacto, 3. MARÍA DEL ROSARIO FERREIRA APARICIO 1

2 12 Es divisor de 12, porque al dividir 12 entre 12 da exacto, 1. Y lógicamente 1 Es divisor de 12, porque al dividir 12 entre 1 da exacto, 12. Así pues podemos deducir que siempre se cumple que: El número en cuestión siempre será divisor de sí mismo, y por otra parte, el 1 siempre será divisor de cualquier número. Por lo tanto, como mínimo un número cualquiera tendrá al menos dos divisores, el mismo, y 1, o la unidad, que es lo mismo. Estos números que sólo tienen como divisores, él mismo y la unidad, se llaman NÚMEROS PRIMOS. Ejemplo: el número 7, solo tiene como divisores el 7 y 1, por lo tanto es el número primo. El número 1, evidentemente sólo tiene un divisor, pues él mismo, es también la unidad. Su único divisor es 1. Un divisor de un número SIEMPRE será MENOR O IGUAL que ese número, ya que al dividir un número entre otro natural, siempre vamos a obtener un número menor o como mucho igual. El número de divisores es limitado, es decir existe un número concreto de divisores, no es un número infinito. Viendo el ejemplo de antes, los divisores del 12 son, 1, 2, 3, 4, 6, y 12. El número 12 tiene por tanto 6 divisores, no infinitos. REGLAS DE DIVISIBILIDAD Son aquellas que nos permiten saber a priori, es decir, antes de hacer la división, si da resultado exacto, o no. Es decir, nos permiten saber si un número es divisor de otro. Cuando un número se puede dividir entre otro, se dice que es divisible entre ese número. - Regla de divisibilidad del 2: Un número es divisible entre 2 si es par, es decir, si la cifra de sus unidades es 0, 2, 4, 6 u 8. El 2498, por ejemplo es divisible entre 2 porque es par : 2 = Regla de divisibilidad del 3: Un número es divisible entre 3, cuando al sumar el valor de todas sus cifras, el resultado es 3 o múltiplo de es múltiplo de 3 porque al sumar sus cifras = 9, 1350 : 3 = Regla de divisibilidad del 5: Un número es divisible entre 5 cuando la cifra de las unidades es 0 o es múltiplo de 5 porque acaba en 0, las unidades son = 134 MARÍA DEL ROSARIO FERREIRA APARICIO 2

3 - Regla de divisibilidad del 11: Un número es divisible entre 11, hemos de realizar los siguientes pasos, que vamos a aplicar en el ejemplo siguiente, ver si el número : 1. Sumamos las cifras que ocupan las posiciones pares, es decir, las decenas, las unidades de millar, las centenas de millar es decir una sí una no, las marcamos en azul =15 2. Y por otro lado, sumamos las cifras que ocupan las posiciones impares, es decir, las que ocupan las posiciones de unidades, centenas, decenas de millar las marcamos en rojo: =15 3. Ahora restamos estas dos cantidades que hemos obtenido y si el resultado es 0 u 11, ese número será divisible entre 11. Es decir, restamos = 0 Esto nos indica que el número será divisible entre 11. Lo comprobamos y en efecto, vemos que : 11 = Para ver si un número es divisible entre 7, probaremos si al dividir entre 7 da exacto. Es más fácil, que aplicar la regla que es algo compleja. También hemos de mirar si es divisible entre 13, o entre otros números primos, del mismo modo. Como curiosidad, comentaremos la regla de divisibilidad del 4, ya que nos permite de una forma rápida, saber si un año es o no, bisiesto, es decir, si tiene 366 días, con 29 de febrero. Sabremos que un año es bisiesto si es divisible entre 4, es decir, si sus dos últimas cifras, es decir, decenas y unidades, son un número que es múltiplo de 4 o bien que ambas sean cero. Por ejemplo, 2016, es un año bisiesto, ya que 16 es múltiplo de 4. MARÍA DEL ROSARIO FERREIRA APARICIO 3

4 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS Consiste en expresar un número como producto de factores primos, para lo cual seguiremos el siguiente procedimiento, que iremos ilustrando con un ejemplo. Descomponer el número en factores primos 1. Hacemos una línea vertical dejando el número a la izquierda, e iremos analizando los divisores (de menor a mayor),, aplicando las reglas de divisibilidad, situándolos a la derecha, y el resultado de esa división a la izquierda Vemos que es un número par, así que será divisible entre 2. Ponemos el 2 a la derecha de la barra, y el resultado de la división a la izquierda Seguimos buscando divisores y actuando del mismo modo. Vemos que el 3135 ya no es par, por lo que no será divisible entre 2. Vemos si lo es entre 3, y para ello, aplicamos la regla de divisibilidad del 3, sumando las cifras y viendo si suman 3 o múltiplo de 3. Así, =12, por lo que 3135 es múltiplo de 3, MARÍA DEL ROSARIO FERREIRA APARICIO 4

5 4. Seguimos y vemos que 1045, no es divisible entre 2 ni entre 3, por lo que vemos si es divisible entre 5, que lo es, al acabar en 5, El 209, ya no es divisible, entre 2, ni entre 3, ni entre 5, ni 7 pero sí lo es entre, ya que si aplicamos la regla del 11, y sumamos por un lado 2+9=11 y por otro, el 0, y luego los restamos, vemos que 11 0 =11, lo que nos indica que 209, es múltiplo de El 19, al ser un número primo, sólo es divisible entre él mismo y 1, por lo que dividimos entre sí mismo, y por último el 1, sólo es divisible entre él mismo. 7. A continuación expresaremos el número inicial 6270, como producto de los factores primos que encontramos en la columna de la derecha, así: 6270 = La expresión resultante, es la DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DEL NÚMERO 6270 Ahora practica tú: Realiza la descomposición factorial de 36 y 102. Solución: 36 = = MARÍA DEL ROSARIO FERREIRA APARICIO 5

6 CÁLCULO DEL MAXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS (m.c.m.) Vamos a explicarlo aplicando un ejemplo, que será el siguiente, calcular el MCD y mcm de los números 36, 102 y Lo primero que hemos de hacer es descomponer todos los números en factores primos, por lo que obtendremos lo siguiente: 36 = = = Ahora, la regla para calcular el M.C.D. es: Multiplicar, los factores comunes en todas las descomposiciones factoriales, elevados al menor exponente. HA DE ESTAR EL FACTOR EN TODOS LOS NÚMEROS PARA QUE SE CONSIDERE COMÚN. Es decir, el 2 está en todos los números descompuestos, luego es común, y el de menor exponente es 2. El 3 no está en una de las descomposiciones factoriales, por lo que no es válido, no lo cogemos, y lo mismo ocurre con el 17. Por lo tanto, el MCD de 36, 64 y 102, será el resultado de multiplicar 2 por 1, es decir En cuanto al mínimo común múltiplo, esta vez, multiplicaremos todos aquellos factores que sean comunes, eligiendo el de mayor exponente, y también los no comunes, obteniendo por tanto: m.c.m. (36, 64, 102) = = 9792 Por lo tanto, es el múltiplo menor, que lo es a la vez de 36, de 64 y de 102. En efecto, pues al dividir entre 36, nos da 272, entre 64 nos da 153 y entre 102 obtenemos 96. ALGUNAS APLICACIONES DEL MAXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) Utilizamos el MCD para simplificar fracciones, de un modo rápido y eficaz. Calculamos el MCD del numerador y del denominador de la fracción a simplificar, y dividimos numerador y denominador entre ese MCD, obteniendo así la fracción irreducible. Utilizamos el mcm para poder comparar y sumar fracciones, ya que han de tener el mismo denominador y esto lo conseguimos calculando el m.c.m. de los denominadores. (Ver apuntes de fracciones). MARÍA DEL ROSARIO FERREIRA APARICIO 6