Soluciones de ecuaciones de una variable

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1 Análisis Numérico Soluciones de ecuaciones de una variable CNM-425 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft Reproducción permitida bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU.

2 Contenido 1 Introducción 2 Método de bisección 3 Iteración de punto fijo 4 Método de Newton y otros

3 Descripción Dada una función f, buscamos valores de x que satisfagan f(x) = 0 (1) x es una solución de la ecuación (1) o un cero de f. El problema consiste en encontrar una raíz o encontrar un cero. Dependiendo de la naturaleza de la función f podemos tener: Problema lineal Problema no lineal Problema unidimensional (una ecuación) Problema multidimensional (un sistema de ecuaciones)

4 Problema unidimensional Problema unidimensional (una ecuación) f : R R Una solución del problema es un escalar x tal que f(x) = 0. Ejemplos: 2x 3y 6 = 0 posee una solución (problema lineal) e x + 2 = 0 no posee solución (problema no lineal) e x x 2 = 0 posee tres soluciones (problema no lineal) tan x = 0 posee infinitas soluciones (problema no lineal)

5 Problema multidimensional Problema multidimensional: sistema de n ecuaciones acopladas en n incógnitas. f : R n R n Una solución del problema es un vector x tal que f(x) = 0. Ejemplos: Problema lineal en tres dimensiones 2x + y z = 8 3x y + 2z = 11 2x + y + 2z = 3 Posee solución única x = [2 3 1] T. Problema no lineal en dos dimensiones x 2 + y 2 = 25 x 2 + y = 19 Posee cuatro soluciones.

6 Teoría Para el problema lineal hay teoremas que garantizan la existencia y unicidad de soluciones. El problema no lineal es más complicado. Para el caso unidimensional f(x) = 0 con f : [a, b] R continua y f(a) f(b) < 0 el teorema del valor intermedio garantiza la existencia de un x [a, b] tal que f(x ) = 0. Para el caso multidimensional no hay un resultado análogo sencillo.

7 Método de bisección El método aproxima una solución numérica de f(x) = 0 con f : [a, b] R continua y f(a) f(b) < 0 (2) Supondremos que sólo existe un p [a, b] tal que f(p) = 0 y además que f(a) 0 y f(b) 0. y 1 Hacemos a 1 = a, b 1 = b y p 1 = a 1+b 1 = a b 1 a Si f(p 1) = 0, entonces p = p 1. a = a 1 p 2 p 3 p 1 b = b 1 a 2 p 2 b 2 a 3 p 3 b 3 x 3 Si f(p 1) 0, entonces f(p 1) f(a 1) < 0 ó f(p 1) f(b 1) < 0. 4 Si f(p 1) f(a 1) < 0, entonces por (2) p [a 1, p 1]. 5 Hacemos a 2 = a 1 y b 2 = p 1 y se repite el proceso a partir de (1).

8 Pseudocódigo inicio leer a, b, tol y M; % a y b: extremos del intervalo % tol: tolerancia % M: es el número máximo de iteraciones i = 1; fa = f(a); mientras i M hacer p = a + (b a)/2; fp = f(p); si fp = 0 o (b a)/2 < tol entonces parar; fin si i = i + 1; Si fa fp > 0 entonces a = p; fa = fp; sino b = p; fin si fin mientras Escribir "Proceso terminado sin éxito" fin biseccion.m function y = biseccion(f,a,b,tol,m) % Ejemplo: % f = inline("x 3 + 4*x 2-10") % biseccion(f,1,2, ,100) end i = 1; fa = f(a); while i<=m end p = a + (b-a)/2; fp = f(p); if (fp==0) (abs(b-a)/2<tol) y = p; return end i++; if fa*fp>0 a = p; else b = p; end if i>m error("proceso terminado sin éxito \n"); end

9 Criterios de parada El procedimiento anterior genera una sucesión {p n} n=1 que aproxima a un cero p de f donde a n < p n < b n (teorema siguiente). En el algoritmo, la tolerancia tol puede se utilizada para modificar el criterio de parada: p n p n 1 < tol (3) p n p n 1 p n < tol (4) f(p n) < tol (5) Problema con el criterio (3): Por ejemplo para p n := P n 1 k=1, k p n p n 1 0 p n converge p n p n 1 = 1 n 0 y pn diverge.

10 Criterios de parada Problema con el criterio (5): f(p n) 0 p n converge Por ejemplo para f(x) = (x 1) 10 y p n := 1 + 1, con p1 = 1 n f(p n) = 1 n = 10 3 para n 2 > 10 3/10 mientras que p p n = 1 n < 10 3 n > 10 3

11 Convergencia del método Teorema Sea f C[a, b] y f(a) f(b) < 0. El método descrito en el algoritmo de bisección genera una sucesión {p n} que converge a un cero p de f y p n p b a 2 n (6) Demostración b 1 a 1 = b a b 2 a 2 = 1 2 (b1 a1) = 1 (b a) 2 b 3 a 3 = 1 2 (b2 a2) = (b1 a1) = 1 (b a) 22 b n a n = 1 (b a) (7) 2n 1

12 Convergencia del método Para todo n se tiene que y a n < p < b n Luego p n = an + bn 2 a n p n < p p n < b n p n a n an + bn 2 < p p n < b n an + bn 2 y por tanto y a n b n 2 < p p n < bn an 2 p p n < 1 1 (bn an) = (b a) 0 2 2n «1 p = p n + O 2 n

13 Ejemplo numérico Ejemplo 2.1 La función f(x) = x 3 + 4x 2 10 tiene un cero en el intervalo [1, 2]. Utilice la cota (6) del teorema visto para estimar el número de iteraciones necesarias para que el error relativo sea menor a Utilice el algoritmo de bisección implementado en la función biseccion.m Solución El número de iteraciones necesarias para que el error relativo sea menor a está dado por (6): p n p b a 2 n = 2 n < 10 4 nlog 2 < 4log 10 n > 4 log 2 = El programa biseccion.m implementa el algoritmo de la bisección y sus resultados son mostrados en la tabla dada a continuación.

14 Ejemplo numérico n p n f(p n) El valor correcto de p con nueve cifras decimales es p =

15 Conceptos básicos Definición de punto fijo Sea g : X X. Un elemento p X es un punto fijo de g si g(p) = p Ejemplo: la función g(x) = x 2 2, con 2 x 3, tiene como puntos fijos a x 1 = 1 y x 2 = 2: g( 1) = ( 1) 2 2 = 1 y g(2) = = 2. Problemas equivalentes El problema de búsqueda de raíces es equivalente al problema de búsqueda de puntos fijos: f(x) = 0 g(x) := x f(x) = x

16 Teorema Teorema de existencia y unicidad de puntos fijos Sea g C[a, b]. 1 2 (Existencia). Si g(x) [a, b] para todo x [a, b], entonces g tiene al menos un punto fijo en [a, b]. (Unicidad). Si adicional a (1), g es diferenciable en [a, b] y existe una constante 0 < k < 1 tal que g (x) k, para todo x (a,b), entonces el punto fijo en [a, b] es único. Demostración. Existencia. Si g(a) = a ó g(b) = b, entonces g tiene un punto fijo. Suponemos entonces que g(a) a y g(b) b y como g([a,b]) [a, b], entonces g(a) > a y g(b) < b.

17 Teorema La función h(x) := g(x) x es continua en [a, b] y por lo anterior: h(a) = g(a) a > 0 y h(b) = g(b) b < 0 Por el teorema del valor intermedio, existe un p [a, b] tal que h(p) = 0 y h(p) = g(p) p = 0 = g(p) = p Unicidad. Por contradicción, supongamos que g posee dos puntos fijos p 1 p 2 Por hipótesis, g (x) k < 1 y por el teorema del valor medio, existe un ξ entre p 1 y p 2 tal que g(p 1) g(p 2) p 1 p 2 = g (ξ)

18 Ejemplos Por tanto p 1 p 2 = g(p 1) g(p 2) = g (ξ) p 1 p 2 k p 1 p 2 < p 1 p 2 Ejemplo: la función g(x) = (x 2 1)/3 con x [ 1, 1] representa una parábaola desplazada verticalmente. Por el teorema del valor extremo: El mínimo absoluto de g se alcanza en x = 0 y g(0) = 1 3 El máximo absoluto de g se alcanza en x = ±1 y g(±1) = 0 Además g es diferenciable y g (x) = 2x para todo x (a, b). y por tanto g tiene un único punto fijo en [ 1, 1].

19 Iteración de punto fijo Problema: encontrar una aproximación numérica de un punto fijo de una función g. Elegimos un valor inicial o semilla p 0. Generamos mejores aproximaciones: p 1 = g(p 0) p 2 = g(p 1). p n = g(p n 1) Si p n p y g es continua: p = lím pn = lím g(pn 1) = g lím n n n pn 1 = g(p) De esta forma obtenemos una solución numérica de x = g(x).

20 Pseudocódigo inicio leer p 0, tol y M; % p 0 : aproximación inicial % tol: tolerancia % M: es el número máximo de iteraciones mientras i M hacer p = g(p 0 ); si p p 0 < tol entonces parar; fin si i = i + 1; p 0 = p; fin mientras Escribir "Proceso terminado sin éxito" fin pf.m function y = pf(g,p0,tol,m) % Ejemplo: % g1 = inline("x - x 3-4*x ") % g4 = inline("sqrt(10/(4+x))") % pf(g4,1,1e-4,30) end i = 1; while i<=m end p = g(p0); if abs(p-p0)<tol break; end i++; p0 = p; y = p;

21 Punto fijo Ejemplo 3.1 La función f(x) = x 3 + 4x 2 10 tiene un cero en el intervalo [1, 2]. Utilice el algoritmo de bisección implementado en la función pf.m Solución Observaciones: Después de 13 iteraciones el error relativo es menor a con el método de la bisección. Para aplicar el método de punto fijo x = g(x) a este problema podemos definir la función g de varias formas: «10 1/2 g 1 (x) := x x 3 4x g 4 (x) := 4 + x «10 1/2 g 2 (x) := x 4x g 3 (x) := 1 2 `10 x 3 1/2 g 5 (x) := x x3 + 4x x 2 + 8

22 Ejemplo numérico La tabla muestra los resultados del método de iteración de punto fijo con p 0 = 1.5 y tol = g 1 (x) := x x 3 4x «10 1/2 g 4 (x) := 4 + x pf(g1,1,1e-4,i) pf(g4,1,1e-4,i) e e e NaN NaN NaN NaN

23 Convergencia del método Teorema de punto fijo Sea g C[a, b] tal que g([a, b]) [a, b]. Suponga g diferenciable en (a, b) y que existe una constante 0 < k < 1 tal que g (x) k, para todo x (a,b). Entonces, para todo p 0 en [a, b], la sucesión definida por p n = g(p n 1), n 1, converge al único punto fijo p en [a, b]. Demostración. Por el teorema de existencia y unicidad de puntos fijos, la función posee un único punto fijo en [a, b]. Puesto que g([a, b]) [a, b], la sucesión p n = g(p n 1), n 1 está bien definida y p n [a, b] para todo n.

24 Convergencia del método Por el teorema del valor medio y la hipótesis g (x) k < 1, donde ξ [a, b]. p n p = g(p n 1) g(p) = g (ξ) p n 1 p k p n 1 p Al aplicar inducción sobre obtenemos p n p k p n 1 p (8) p n p k p n 1 p k (k p n 2 p ) = k 2 p n 2 p k 3 p n 3 p. k n p 0 p 0 puesto que k < 1 y por tanto p n p.

25 Convergencia del método Corolario Si g satisface las hipótesis del teorema de punto fijo, las cotas de error al aproximar p por p n están dadas por p n p k n máx{p 0 a, b p 0} y p n p kn p1 p0 1 k Demostración. De la desigualdad (8) obtenemos p n p k n p 0 p k n máx{p 0 a, b p 0} donde ξ [a, b]. Por inducción se puede demostrar que p n+1 p n = g(p n) g(p n 1) k p n p n 1 k n p 1 p 0. (9)

26 Convergencia del método Luego, para m > n 1, p m p n = p m p m 1 + p m 1 + p n+1 p n y por tanto p m p m 1 + p m 1 p m p n+1 p n k m 1 p 1 p 0 + k m 2 p 1 p k n p 1 p 0 por (9) = k n p 1 p 0 (1 + k + k 2 + k m n 1 ) m n 1 X = k n p 1 p 0 i=0 k n 1 p 1 p 0 1 k k i cuando m p n p kn p1 p0 1 k

27 Método de Newton También conocido como el método de Newton-Raphson es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real f(x) = 0. (10) Se puede derivar de varias formas: Gráficamente Utilizando polinomios de Taylor Buscando convergencia rápida Supongamos f C 2 ([a, b]) y x [a, b] un punto próximo a una raíz p de (10) tal que f(x ) 0. Expandiendo en Taylor en torno a x, f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + (x x ) 2 f (ξ(x)), 2 con ξ = ξ(x) entre x y x. Haciendo x = p y despreciando los términos de orden dos en la expresión anterior llegamos a 0 f(x ) + f (x )(p x ) = p x f(x ) f (x )

28 Método de Newton El método de Newton está dado por p n = p n 1 f(pn 1), para n 1 (11) f (p n 1)

29 Método de Newton Pseudocódigo inicio leer f, f, p 0, tol y M; % f: función % f : derivada % p 0 : aproximación inicial % tol: tolerancia % M: número máximo de iteraciones i = 1; mientras i M hacer p = p 0 f(p 0 )/f (p 0 ); si p p 0 / p 0 < tol entonces salida p; fin fin si i = i + 1; p 0 = p; fin mientras Escribir "Proceso terminado sin éxito" fin newton.m function y = newton(f,df,p0,tol,m) % Ejemplo: % f = inline("x 3 + 4*x 2-10") % df = inline("3x 2 + 8*x") % newton(f,df,1,5e-04,20) end i = 1; while i<=m end p = p0 - f(p0)/df(p0); if abs((p-p0)/p0) < tol y = p; return end i = i+1; p0 = p; error("proceso terminado... sin éxito \n");

30 Ejemplo 4.1 (Método de Newton) La función f(x) = x 3 + 4x 2 10 tiene un cero en el intervalo [1, 2]. Utilice el método de Newton implementado en la función newton.m Solución pf(g1,1,5e-04,i) pf(g4,1,5e-04,i) newton(f,df,1,5e-04,i) e e e NaN NaN NaN NaN f(x) = x 3 + 4x 2 10 g 1(x) := x x 3 4x f (x) = 3x 2 + 8x g 4(x) := x! 1/2

31 Convergencia del método Teorema Sea f C 2 [a, b]. Si p [a, b] es tal que f(p) = 0 y f (p) 0, entonces existe δ > 0 tal que el método de Newton genera una sucesión {p n} n=1 que converge a p para cualquier aproximación inicial p 0 [p δ,p + δ]. Demostración Consideremos la iteración p n = g(p n 1), para n 1, donde g(x) = x f(x) f (x). (12) La demostración es consecuencia directa del siguiente resultado. Lema Sea 0 < k < 1. Entonces existe un δ > 0 tal que y para todo x (p δ, p + δ), g([p δ, p + δ]) [p δ, p + δ] (13) g (x) k. (14)

32 Convergencia del método Demostremos entonces el lema. Como f es continua y f(p) 0, existe un δ 1 > 0 tal que f (x) 0 para todo x [p δ 1, p + δ 1] [a, b]. Por tanto g en (12) está definida y es continua en [p δ 1, p + δ 1]. También g (x) = x f(x) «= 1 f (x)f (x) f(x)f (x) = f(x)f (x) (15) f (x) f (x) 2 f (x) 2 para todo x [p δ 1, p + δ 1]. f C 2 ([a, b]) y (15) = g C 1 ([p δ 1, p + δ 1]) Por otra parte, f(p) = 0 y f (p) 0 (hipótesis) y al hacer x = p en (15) obtenemos g (p) = f(p)f (p) f (p) 2 = 0.

33 Convergencia del método Por ser continua g en [p δ 1, p + δ 1], en particular en x = p, para el k dado, existe un 0 < δ < δ 1 tal que y por tanto x p < δ = g (x) g (0) < k g (x) < k para todo x [p δ,p + δ]. Esto demuestra la parte (14) del lema. Demostremos ahora la parte (13) del lema: luego g([p δ, p + δ]) [p δ, p + δ]. y g([p δ,p + δ]) = y = g(x) para algún x [p δ, p + δ] y p = g(x) g(p) = g (ξ) x p k x p < x p < δ para algún ξ entre x y p (teorema del valor medio) y por tanto y p < δ = y [p δ,p + δ].

34 Convergencia del método Como consecuencia del lema, la función g definida en (12): g(x) = x f(x) f (x) satisface las hipótesis del teorema de punto fijo (1) y por tanto la sucesión {p n} n=1 definida por p n := g(p n 1) = p n 1 f(pn 1) f (p n 1) para n 1 converge a p para todo p 0 [p δ, p + δ]. Observaciones: El teorema garantiza convergencia siempre y cuando la aproximación inicial p 0 se elija lo suficientemente próxima a la raíz p. La constante k que acota la derivada (14) determina la rapidez de convergencia del método, aunque en la práctica no se usa... El método de Newton requiere conocer el valor de la derivada de la función f en cada iteración.

35 Método de la secante En el método de Newton p n = p n 1 f(pn 1) f (p n 1) (16) Con el fin de evitar evaluar la derivada, f (p n 1) = f(x) f(p n 1) lím x p n 1 x p n 1 f(pn 2) f(pn 1) p n 2 p n 1 = f(pn 1) f(pn 2) p n 1 p n 2. Podemos escribir entonces a (16) como p n = p n 1 f(pn 1)(pn 1 pn 2) f(p n 1) f(p n 2) (17) A la iteración (17) se le conoce como el método de la secante.

36 Pseudocódigo (Método de la secante) inicio leer f, p 0, p 1, tol y M; % f: función % p 0, p 1: aproximaciones iniciales % tol: tolerancia % M: número máximo de iteraciones i = 2; q 0 = f(p 0); q 1 = f(p 1); mientras i M hacer p = p 1 q 1(p 1 p 0)/(q 1 q 0); si p p 1 / p 1 < tol entonces salida p; fin fin si i = i + 1; p 0 = p; q 0 = q 1; p 1 = p; q 1 = f(p); fin mientras Escribir "Proceso terminado sin éxito" fin secante.m function y = secante(f,p0,p1,tol,m) % Ejemplo: % f = inline("x 3 + 4*x 2-10") % secante(f,1,2,5e-04,20) end i = 2; q0 = f(p0); q1 = f(p1); while i<=m end p = p1-q1*(p1-p0)/(q1-q0); if abs((p-p0)/p0) < tol y = p; return end i++; p0 = p1; q0 = q1; p1 = p; q1 = f(p); error("proceso terminado sin éxito \n");

37 Método de la secante Ejemplo 4.2 La función f(x) = x 3 + 4x 2 10 tiene un cero en el intervalo [1, 2]. Utilice el método de Newton implementado en la función newton.m Solución newton(f,df,1,5e-04,i) secante(f,1,2,5e-04,i) f(p) e e e e e e e-12

38 Referencias R.L. Burden, J.D. Faires. Análisis numérico Séptima Edición. Editorial Thomson faires/numerical-analysis/ J.W. Eaton GNU Octave: A high-level interactive language for numerical computations Network Theory Ltd.,

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