Convergencia Sucesiones convergentes

Transcripción

1 Lección 6 Convergencia Vamos a estudiar la noción de convergencia de sucesiones en un espacio métrico arbitrario, generalizando la que conocemos en R. La definimos de forma que quede claro que se trata de una noción topológica, y de hecho veremos que la topología de un espacio métrico queda caracterizada por las sucesiones convergentes. En R con la topología usual, veremos que la convergencia de una sucesión de vectores equivale a la de sus sucesiones de componentes, lo que nos llevará a discutir el producto de espacios normados o de espacios métricos Sucesiones convergentes Sabemos que una sucesión de elementos de un conjunto E /0 es una aplicación ϕ : E, que se denota por {x n, donde x n = ϕ(n) para todo n. Las sucesiones parciales de {x n son las de la forma {x σ(n) donde σ : es estrictamente creciente. En lo que sigue, E será un espacio métrico cuya distancia denotamos por d. Decimos que una sucesión {x n de puntos de E converge a un punto x E, y escribimos {x n x, cuando cada entorno de x contiene a todos los términos de la sucesión, a partir de uno en adelante. Así pues: {x n x [ U U(x) m : n m x n U ] (1) Tenemos claramente una noción topológica, sólo involucra los entornos de x. Por tanto, al hablar de convergencia de sucesiones en un espacio métrico E, no es necesario especificar la distancia concreta d que estemos usando en E, sino solamente la topología que genera. En particular, como en R usamos siempre la topología usual, para una sucesión de vectores de R, podemos hablar de su convergencia, sin ninguna ambigüedad. Por otra parte, es claro que en (1), en vez de entornos, podemos usar sólo bolas abiertas, {x n x [ ε > 0 m : n m d(x n,x) < ε ] (2) y si E = X es un espacio normado tendremos {x n x [ ε > 0 m : n m x n x < ε ] 31

2 6. Convergencia 32 Esto se aplicará a R con cualquier norma cuya topología sea la usual. Para = 1 será {x n x [ ε > 0 m : n m x n x < ε ] luego la única noción de convergencia que vamos a usar en R es la que ya conocíamos. Volviendo al caso general, la afirmación que aparece a la derecha de (2) significa, lisa y llanamente, que la sucesión {d(x n,x) converge a cero. Por tanto, la convergencia de una sucesión de puntos de un espacio métrico, equivale siempre a la convergencia a cero de una concreta sucesión de números reales no negativos: {x n x {d(x n,x) 0 (3) Esta equivalencia permite trasladar a cualquier espacio métrico propiedades conocidas de la convergencia en R, como hacemos enseguida. Decimos que la sucesión {x n es convergente, cuando existe x E tal que {x n x, en cuyo caso x es único. En efecto, si también {x n y, por ser d(x,y) d(x,x n ) + d(x n,y) para todo n, usando dos veces (3) vemos que d(x,y) = 0, luego x = y. Decimos que x es el límite de la sucesión {x n y escribimos x = lím{x n = lím x n. n Usando también (3), relacionamos la convergencia de una sucesión con la de sus sucesiones parciales. De {x n x se deduce que toda sucesión parcial de {x n también converge a x. Vemos igualmente que, fijado k, se tiene {x k+n x {x n x {x 2n 1 x y {x 2n x Por ejemplo, si existen x E y k tales que para n > k se tiene x n = x, entonces {x n x Caracterización secuencial de la topología Es muy importante observar que la convergencia de sucesiones determina la topología de cualquier espacio métrico: En todo espacio métrico E, un punto x E es adherente a un conjunto A E si, y sólo si, existe una sucesión de puntos de A que converge a x. Si x A, para cada n podemos tomar x n B(x,1/n) A, obteniendo una sucesión {x n de puntos de A tal que {d(x n,x) 0, luego {x n x. Recíprocamente, si {x n x con x n A para todo n, es obvio que U A /0 para todo U U(x), luego x A. Deducimos que un conjunto A E es cerrado si, y sólo si, A contiene a los límites de todas la sucesiones de puntos de A que sean convergentes: A = A [ x n A n, {x n x E x A ] Así pues, la topología de un espacio métrico queda caracterizada por la convergencia de sucesiones: si conocemos la convergencia de sucesiones, conocemos las conjuntos cerrados, luego conocemos la topología.

3 6. Convergencia 33 Por tanto, cualquier propiedad topológica de un espacio métrico E admitirá siempre una caracterización secuencial, es decir, en términos de convergencia de sucesiones. Para A E, vemos por ejemplo que A es denso en E si, y sólo si, todo punto de E es el límite de una sucesión de puntos de A. En la misma línea, deducimos también una cómoda caracterización de la equivalencia entre dos distancias: Si d 1 y d 2 son dos distancias en un conjunto E, equivalen las afirmaciones siguientes: (i) La topología generada por d 1 está incluida en la generada por d 2. (ii) Toda sucesión convergente para la distancia d 2 es convergente para d 1. Por tanto, d 1 y d 2 son equivalentes si, y sólo si, dan lugar a las mismas sucesiones convergentes. (i) (ii). Sea {x n una sucesión de puntos de E y supongamos que {x n x E para la distancia d 2. Si U es un entorno de x para la distancia d 1, aplicando (i) tenemos que U también es entorno de x para d 2. Por tanto, existe m tal que x n U para n m, y esto nos dice que {x n x para la distancia d 1. (ii) (i). Para A E, bastará ver que si A es cerrado para d 1, también lo es para d 2. Si x es un punto adherente al conjunto A para d 2, bastará ver que x A. Por el resultado anterior, existe una sucesión {x n de puntos de A tal que {d 2 (x n,x) 0. Tomamos entonces y 2n 1 = x n e y 2n = x para todo n, con lo que también tenemos {d 2 (y n,x) 0. Aplicando (ii) sabemos que la sucesión {y n es convergente para la distancia d 1, pero su límite no puede ser otro que x, puesto que y 2n = x para todo n. Así pues, tenemos {d 1 (x n,x) 0 y, por ser A cerrado para la distancia d 1, concluimos que x A, como se quería Convergencia en R Ha quedado claro que, para conocer la topología usual de R, basta conocer la convergencia de sucesiones de vectores de R, cuyo estudio se puede reducir al de la convergencia en R. Para ello, ni siquiera necesitamos usar una norma o distancia concreta en R, basta mirar a las componentes de los términos de la sucesión: Para toda sucesión {x n de vectores de R y todo x R, se tiene: {x n x {x n (k) x(k) k I Por tanto, {x n es convergente si, y sólo si, {x n (k) es convergente para todo k I. En efecto, basta pensar, por ejemplo, que para todo n se tiene x n (k) x(k) x n x k I y x n x 1 = x n (k) x(k) Si {x n x, tenemos { x n x 0 y la primera desigualdad nos da {xn (k) x(k) para todo k I. Recíprocamente, si ocurre esto último, la segunda desigualdad nos dice que { xn x 1 0, es decir, {xn x.

4 6. Convergencia 34 Usaremos a menudo este resultado para trasladar de R a R diversos resultados acerca de la convergencia de sucesiones. Pero antes, lo establecemos en un contexto más general Producto de espacios normados Los mismos procedimientos que, a partir del valor absoluto, nos permitieron definir tres normas equivalentes en R, sirven para definir otras tantas normas en cualquier producto de espacios normados. Por su relación más directa con el producto cartesiano, casi siempre es preferible usar la norma del máximo. Cuando se trabaja con varios espacios normados, es una sana costumbre denotar por a las normas de todos ellos. o hay peligro de confusión, pues según cual sea el vector cuya norma usemos en cada momento, estará claro en qué espacio calculamos dicha norma. Supongamos pues que, para cada k I tenemos un espacio normado X k, y consideremos el espacio vectorial producto X = X 1 X 2... X. Igual que hacíamos en R, para x X y k I denotamos por x(k) X k a la k-ésima componente de x. Las operaciones de X tienen entonces el mismo aspecto que las de R : para x,y X, λ R y k I, se tiene ( x + y ) (k) = x(k) + y(k) y ( λx ) (k) = λx(k) Convertimos X en un espacio normado, sin más que definir x = máx { x(k) : k I x X pues se comprueba sin ninguna dificultad que es una norma en X. Decimos que X con la norma es el espacio normado producto de los espacios normados X 1, X 2,..., X. También decimos que la topología de la norma es la topología producto de las topologías de la norma en X 1, X 2,..., X. Obviamente, la topología usual de R es un ejemplo de topología producto, en el que todos los factores son idénticos: R con la topología usual. También es fácil ver que, si para M pensamos que R +M = R R M, la topología usual de R +M es el producto de la usual de R por la usual de R M. Esto permite definir normas en R, con 3, que hasta ahora no han aparecido. Por ejemplo, si para x,y,z R definimos (x,y,z) = máx { x 2 + y 2, z, obtenemos una nueva norma en R 3, cuya topología es la usual de R 3. Las bolas para esta norma tienen forma cilíndrica: B(0,1) = { (x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 1, 1 z 1 Para trabajar con la topología producto, es muy cómodo usar la convergencia de sucesiones, que sabemos caracteriza a dicha topología. El mismo razonamiento que hemos usado en R nos dice que, conocer la convergencia en el producto, equivale a conocerla en los factores: Si X = X 1 X 2... X es un producto de espacios normados, para toda sucesión {x n de vectores de X y todo x X, se tiene: {x n x {x n (k) x(k) k I

5 6. Convergencia 35 En efecto, basta tener en cuenta que, para cualesquiera n y k I, se tiene x n (k) x(k) x n x x n ( j) x( j) j= Producto de espacios métricos Todo lo que hemos hecho con un producto de espacios normados puede hacerse, de forma enteramente análoga, con un producto de espacios métricos, así que lo repasamos brevemente. Supongamos que E 1, E 2,..., E son espacios métricos cuyas distancias denotamos todas por d, y consideremos el producto cartesiano E = E 1 E 2... E. Convertimos E en un espacio métrico sin más que definir d (x,y) = máx { d ( x(k),y(k) ) : k I x,y E pues se comprueba inmediatamente que d es una distancia en E. Con ella decimos que E es el espacio métrico producto de los espacios métricos E 1, E 2,..., E, y también que la topología generada por d es la topología producto de las generadas por las distancias de E 1, E 2,..., E. Entonces, para toda sucesión {x n de puntos de E, y todo x E, se tiene que {x n x si, y sólo si, {x n (k) x(k) para todo k I. Observemos finalmente la coherencia entre los dos productos que hemos considerado. Si X = X 1 X 2... X es un producto de espacios normados, entonces el espacio métrico X también es el producto de los espacios métricos X 1, X 2,..., X, puesto que la distancia asociada a la norma del producto de espacios normados, coincide obviamente con la distancia d del producto de espacios métricos Ejercicios 1. Sea E un conjunto no vacío con la distancia discreta. Qué sucesiones de puntos de E son convergentes? 2. Sea E un espacio métrico, A E y x E. Probar que x A si, y sólo si, existe una sucesión de puntos A, distintos de x, que converge a x. 3. Sean {x n e {y n sucesiones de puntos de un espacio métrico E. Supongamos que {x n x E y que {y n y E. Probar que {d(x n,y n ) d(x,y). 4. Sea {x n una sucesión de vectores de un espacio normado X. Probar que {x n 0 si, y sólo si, { x n 0. Probar también que si {x n x X, entonces { x n x, pero que en general el recíproco no es cierto. 5. Sean {x n e {y n sucesiones de vectores de un espacio normado X. Supongamos que {x n x X y que {y n y X. Probar que {x n + y n x + y.

6 6. Convergencia Sea {x n una sucesión de vectores de un espacio normado X tal que {x n 0, y sea {λ n una sucesión acotada de números reales. Probar que {λ n x n Sea {x n una sucesión de vectores de un espacio normado X tal que {x n x X, y sea {λ n una sucesión de números reales tal que {λ n λ R. Probar que {λ n x n λx. 8. Sean {x n e {y n sucesiones de vectores de un espacio pre-hilbertiano X. Supongamos que {x n x X y que {y n y X. Probar que { (x n y n ) (x y). 9. Sean E 1, E 2,..., E espacios métricos y E = A k E k para todo k I y A = E k A k. Probar que A = el espacio métrico producto. Sea A k y que A = Deducir que A es un abierto de E si, y sólo si, A k es un abierto de E k para todo k I, mientras que A es un cerrado de E si, y sólo si, A k es un cerrado de E k para todo k I. 10. Sean X 1, X 2,..., X espacios normados y X = Probar que definiendo X k A k. el espacio vectorial producto. x 1 = x(k) x X se obtiene una norma en X que es equivalente a la norma, es decir, la topología de la norma 1 es la topología producto. 11. Sean X 1, X 2,..., X espacios pre-hilbertianos con productos escalares denotados todos ellos por ( ), y sea X = X k el espacio vectorial producto. Probar que definiendo (x y) = (x(k) y(k)) x,y X se obtiene un producto escalar en X. Probar también que la norma asociada a dicho producto escalar es equivalente a la norma. 12. En el espacio vectorial C[0,1] de las funciones continuas de [0,1] en R se consideran las tres normas que ya conocemos, definidas para toda función x C[0,1], por ( 1 1/2 x = x(t) dt) 2, x 1 = 0 1 x = máx { x(t) : t [0,1] Para cada n sea x n C[0,1] la función dada por 0 x(t) dt y x n (t) = t n 1 t [0,1] Probar que {x n 0 tanto para la norma como para 1, pero no para.