Autómatas y Sistemas de Control

Transcripción

1 Autómatas y Sistemas de Control 3 o Ingeniería Industrial Soluciones problemas propuestos sobre diseño en el dominio de la frecuencia. PROBLEMA (Problema, apartado a), del examen de Junio de 2004) Dado un sistema continuo cuya función de transferencia en bucle abierto es: G(s) = s + 2 (s + 0.8)(s 2 + 3s + 5) Diseñar una red de atraso de fase que permita alcanzar las siguientes especificaciones en bucle cerrado: Solución: Error de posición < 5 %. Margen de fase de 35. El sistema en bucle abierto es: G(s) = Una red de atraso de fase tiene la siguiente fdt: s + 2 (s + 0.8)(s 2 + 3s + 5) G R (s) = + T s + β T s con β >. Debemos calcular los parámetros T y β, pero previamente habrá que calcular la ganancia K en bucle abierto para que se cumpla la especificación de error e p < 5 %: e p = + K p < 0.05 K p > 9 La constante K p del sistema G(s) en función de su ganancia es: s + 2 K p = lím K G(s) = lím K s 0 s 0 (s + 0.8)(s 2 + 3s + 5) = K = 0.5K Forzaremos que K p sea igual a 9 (su valor límite para cumplir la especificación): 0.5K = 9 K = 38 La ganancia del sistema deberá ser K = 38, por tanto a partir de ahora trabajaremos con la función de transferencia K G(s) = 38 G(s). El siguiente paso consiste en calcular el margen de fase γ 0 del sistema para comprobar si cumple la especificación pedida γ = 35. Para ello calculamos previamente la frecuencia de cruce de ganancia resolviendo la ecuación siguiente: 38 G(jω g ) =

2 38 jω g + 2 (jω g + 0.8)((jω g ) 2 + 3(jω g ) + 5) = 38 ω 2 g ω 2 g (5 ω 2 g) 2 + (3ω g ) 2 = Operando sobre esta última ecuación se obtiene: ω 6 g 0.36ω 4 g 49.64ω 2 g 5760 = 0 Resolviendo esta ecuación por tanteo o con ayuda de una calculadora, puede obtenerse la solución: ω g = 6.3 rad/s La fase del sistema a esta frecuencia es: ( ) jω g + 2 ϕ = (38G(jω g )) = 38 = (jω g + 0.8)((jω g ) 2 + 3(jω g ) + 5) arctan 6.3 ( 2 arctan arctan ) = Por tanto, el margen de fase es: ( ) = 6.8 γ 0 = 80 + ϕ = = 8.2 Este margen de fase es menor que el pedido (γ = 35 ), por tanto es necesario diseñar el regulador para aumentarlo. Calculamos la fase, φ, necesaria para obtener el margen de fase deseado, con un margen de seguridad de 0 : γ + 0 = 80 + φ φ = γ = 35 A continuación calculamos la frecuencia ω gk para la que el sistema tendrá la fase deseada ( 35 ): (38 G(jω gk )) = 35 ( ) 38 (jω gk + 2) = 35 (jω gk + 0.8)((jω gk ) 2 + 3jω gk + 5) ( ) arctan ω gk 2 arctan ω gk arctan 3ω gk 5 ω 2 gk = 35 Resolviendo esta ecuación por tanteo o con ayuda de una calculadora se obtiene: ω gk = 3.4 La frecuencia de corte T se situará una década previa a ω gk: T = 0. ω gk = = 0.34 T = 3.8 2

3 El parámetro β de la red es el módulo para la frecuencia ω gk : β = 38 G(jω gk ) = 38 (3.8j + 2) (3.8j + 0.8)((3.8j) j + 5) = = = 4.03 La red de atraso de fase diseñada resulta (incluyendo la ganancia): G R (s) = 38 + T s + β T s = s + 2.8s 3

4 PROBLEMA 2 Dado un sistema cuyos datos experimentales de la respuesta en frecuencia se muestran en la tabla siguiente, diseñar el controlador más sencillo posible que permita alcanzar las siguientes especificaciones en bucle cerrado: Error de posición 5 %. Margen de fase 40. Nota: Puede usarse la plantilla adjunta para el trazado del diagrama de Bode. Frecuencia (rad/s) Magnitud (db) Fase (grados) Solución: En la figura se muestra el diagrama de Bode aproximado, obtenido a partir de la tabla anterior. Como especificación de error se desea que e p < 5 %, por tanto deberá cumplirse: o, expresado en decibelios: e p = + K p < 0.05 K p > 9 K p > db (25.57 = 20 log 9) La constante de error de posición del sistema puede obtenerse a partir de diagrama de Bode de magnitud a bajas frecuencias: puede observarse que cuando ω 0 la curva de magnitud es una recta de pendiente cero y valor 7.6 db. Por tanto, la constante K p del sistema es K p = 7.6 db 4

5 Figura : Diagrama de Bode del sistema original con ganancia K =. o, en unidades de ganancia, 20 log K p = 7.6 K p = = 2.4 Kp = 2.4 El sistema necesita, al menos, un valor K p = 9. Por tanto, el regulador deberá aportar una ganancia adicional K para que el sistema tenga una constante de error de posición K p = 9. Calcularemos esta ganancia K a partir de la expresión: K p = lím s 0 K G(s) = K lím s 0 G(s) = 9 5

6 K = 9 lím s 0 G(s) = 9 = 9 K p 2.4 Por tanto, la ganancia que debe aportar el regulador es o, en decibelios, K = 7.9 K = 8 db = 7.9 = 8 db Con esta nueva ganancia la curva de magnitud del diagrama de Bode de la figura se desplazará K = 8 db hacia arriba, mientras que la fase no se modificará (ya que la fase de una constante positiva es 0 ). Por tanto, el margen de fase del sistema se deberá calcular con la curva de módulos desplazada hacia arriba 8 db (figura 2). La nueva frecuencia de cruce de ganancia se situará donde en el sistema original la ganancia era 8 db. Sobre esta última figura 2 puede calcularse, de forma aproximada, el margen de fase: La frecuencia de cruce de ganancia (frecuencia a la que la ganancia es 0 db) es ω g 7.5 rad/s. La fase a esta frecuencia ω g es, aproximadamente, φ = 25. Por tanto, el margen de fase del sistema es γ 0 = 80 + φ = = 55 Puesto que este margen de fase es superior al pedido (γ = 40 ), es suficiente con un regulador proporcional para cumplir todas las especificaciones: G R (s) = 7.9 6

7 Figura 2: Diagrama de Bode con ganancia K = 8 db. 7

8 PROBLEMA 3 Dado un sistema cuya respuesta en frecuencia obtenida experimentalmente se muestra en la tabla siguiente, se pide: (a) Calcular el margen de fase, margen de ganancia, frecuencia de cruce de fase y frecuencia de cruce de ganancia. (b) Diseñar una red de adelanto de fase de manera que el error de posición sea e p 0 % y el margen de fase γ 50. Nota: Puede usarse la plantilla adjunta para el trazado del diagrama de Bode. Solución: Apartado a) Frecuencia (rad/s) Magnitud (db) Fase (grados) En la figura 3 se muestra el diagrama de Bode obtenido a partir de los datos de la tabla anterior. A partir de este diagrama pueden calcularse de forma aproximada los parámetros pedidos : Frecuencia de cruce de ganancia: ω g 4.5 rad/s Realmente sólo sería necesario dibujar el diagrama de Bode en las proximidades de las frecuencias de cruce, aunque aquí se ha dibujado completo. 8

9 Margen de fase: Frecuencia de cruce de fase: Margen de ganancia: γ = 5 ω ϕ 6.5 rad/s K g 7 db Figura 3: Diagrama de Bode del sistema original. 9

10 Apartado b) Una red de adelanto de fase tiene la siguiente función de transferencia: G R (s) = + T s + αt s El primer paso es comprobar si el sistema cumple la especificación de error. Se pide e p 0 %, por tanto debe cumplirse: e p = + K p 0. K p 9 A partir de la magnitud a bajas frecuencias puede obtenerse la constante K p del sistema. En el diagrama de Bode de magnitud puede observarse que cuando ω 0, la magnitud es 20 db. Por tanto, la constante K p del sistema es 20 db o, en unidades de ganancia: 20 log K p = 20 K p = 0 Puesto que este valor es mayor que 9, no es necesario que el regulador añada ganancia adicional para cumplir la especificación de error (K = ). El margen de fase del sistema es γ 0 = 5, menor que el deseado (γ 50 ). El adelanto de fase que debe aportar el regulador es (incluyendo un margen de seguridad del 0 %): ϕ m = % = % = 38.5 El parámetro α del regulador se calcula a partir de la expresión: sen ϕ m = α + α α = sen ϕ m + sen ϕ m = 0.23 α = 0.23 La frecuencia ω m a la que se produce el desfase máximo en el regulador se calcula como la frecuencia a la que el módulo vale 20 log α db, es decir, G(jω m ) db = 20 log α G(jω m ) db = 6.38 db Usando el diagrama de Bode puede comprobarse que esta frecuencia es, aproximadamente: ω m = 6.4 rad/s A partir de ω m puede calcularse el parámetro T del regulador como: T = α ωm = 0.23 = Por tanto, la expresión final de la red de adelanto de fase queda: G R (s) = + T s + αt s = s s 0