4 Modelos del campo usando armónicos esféricos. p. 1

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Joaquín Reyes Flores
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1 4 Modelos del campo usando armónicos esféricos p. 1

2 4.1 Introducción Se pueden usar las observaciones para medir el campo geomagnético a ubicaciones específicas. Hay que considerar las ubicaciones (r, θ, φ) donde no hay mediciones. Idealmente, queremos usar todas las observaciones geomagnéticas juntas para definir un modelo del campo geomagnético global. Este modelo nos dará la mejor estimación posible a cualquier latitud, longitud y altitud. Para la construcción de un modelo del campo global, usaremos funciones con una geometría esférica ortogonales que suman a dar el potencial magnético. p. 2

3 4.2.1 Funciones periódicas en una dimensión Cualquier función f(t), que es periódica sobre un intervalo T, puede ser representada por una suma de sinusoides con un número de onda entero m. Este técnico es comúnmente conocido como una serie de Fourier: f(t) = m=0 ( a m cos 2πmt T + b m sin 2πmt ) T Las funciones sinusoidales son ortogonales. Es decir que la integración de su producto sobre el intervalo T es cero, a menos que su números de ondas son idénticos: T 0 cos 2πmt T cos 2πnt T dt = T 2 0 T, si m = n 0;, si m n;, si m = n = 0; Usando esta ortogonalidad, podemos fácilmente evaluar las coeficientes a m y b m si sabemos la función f(t). p. 3

4 4.2.2 La función para longitud Imagínese la función periódica f(t) alrededor de un círculo de longitud. t es equivalente a la longitud (φ), con T = 2π, y entonces: f(φ) = m=0 a m cosmφ + b m sinmφ Si la serie representa la función de longitud a cualquier latitud, entonces: f(θ,φ) = m=0 a m (θ)cosmφ + b m (θ)sinmφ Debemos encontrar una función para representar la co-latitud (θ) p. 4

5 4.2.3 La función para latitud Las funciones de co-latitud en una esfera no necesitan ser periódicas como las funciones de longitud. Entonces una base sinusoidal no es una buena elección. También, existen problemas porque las funciones latitudinales se convergen en los polos. Para la representación de variaciones latitudinales en una esfera necesitamos una base completa de funciones ortogonales. En principio, muchas funciones están posibles. En muchos problemas físicos que usan geometría esférica (incluyendo la ecuación de Laplace, resuelta por la separación de variables), la elección natural son las funciones de Legendre para representar las variaciones latitudinales en una esfera. p. 5

6 4.2.4 Las funciones asociadas de Legendre Las funciones asociadas de Legendre son definidas matemáticamente por la relación: P l,m (µ) = (1 µ 2 ) m 2 m µ m ( ) 1 d l 1) l l!2 l dµ l(µ2 donde µ = cosθ l es el grado del polinomio, corresponde al número de líneas nodales en la latitud (cuando el orden m = 0). p. 6

7 4.2.5 La definición de armónicos esféricos Con una suma de las funciones asociadas de Legendre para la representación de una variación latitudinal, obtenemos la siguiente representación para una función en una superficie esférica: f(θ,φ) = l (g m l cosmφ + h m l sinmφ)p m l (θ) l=0 m=0 Cada (l, m) representa una armónica esférica individual. Para m > 0 cada armónica esférica consiste de una parte coseno y una parte seno. p. 7

8 4.2.6 Las propiedades de armónicos esféricos Los armónicos están cero en (l m) líneas de latitud y 2m líneas de longitud. Si (l m) es par, los armónicos están simétricos alrededor del plano ecuatorial. Si (l m) es inpar, los armónicos están antisimétricos alrededor del plano ecuatorial. Existen (2l + 1) coeficientes para cada grado l. p. 8

9 4.2.7 La ortogonalidad de los armónicos esféricos Similarmente a las sinusoidales en la serie de Fourier, los componentes de armónicos esféricos están ortogonales: 2π π 0 0 2π π 0 0 cosmφp m l (θ).cosm φp m l (θ)sinθdθdφ = sinmφp m l (θ).sinm φp m l (θ)sinθdθdφ = { { 0 4π (2l+1) 0 4π (2l+1), si l l o m m ;, si l = l y m = m ;, si l l o m m ;, si l = l y m = m ; 2π 0 π 0 sinmφp m l (θ).cosm φp m l (θ)sinθdθdφ = 0 Si multiplicamos cualquier función de interés en una superficie esférica por un armónico esférico particular, y integramos sobre la esfera, la ortogonalidad de los armónicos nos deje determinar las coeficientes gl m y h m l : { g m l h m l } = (2l + 1) 4π 2π π 0 0 f(θ,φ)p m l (θ) { cosmφ sinmφ } sin θdθdφ p. 9

10 4.3.1 El campo geomagnético y armónicos esféricos En regiones libres de las fuentes del campo (sin corrientes eléctricas), y dado que no existen monopolos magnéticos (estable y macroscópico), entonces B = V y B = 0. El potencial magnético para el campo magnético terrestre entonces cumple la ecuación de Laplace en geometría esférica: 2 V = 1 r r ( r 2 V r ) + 1 r 2 sinθ θ ( sinθ V θ ) + 1 r 2 sin 2 θ 2 V φ 2 = 0 La solución general para el potencial magnético involucra los armónicos esféricos: V = a l l=1 m=0 + [ (a ( r a r ) l+1 (g m l cosmφ + h m l sinmφ)p m l (θ) ) l (q m l cosmφ + s m l sinmφ)p m l (θ) ] Las coeficientes son conocidos como las coeficientes de Gauss, medidas en nt. El constante a es el radio terrestre de referencia (6371 km). p. 10

11 4.3.2 El campo interno y el campo externo V = a l l=1 m=0 + r Fuentes internas {[ }}{ (a ) l+1 (g m l cosmφ + h m l sinmφ)p m l (θ) ( ) r l (q m l cosmφ + s m l sinmφ)p m l (θ) a }{{} Fuentes externas ] Noten que tenemos dos expansiones de los armónicos esféricos en la solución general a la ecuación de Laplace con geometría esférica. Los campos asociados con las fuentes internas y las fuentes externas tienen una diferente dependencia radial. Entonces campos internos (por ejemplo del núcleo) y campos externos (por ejemplo de la magnetosfera) pueden ser separados, si hay observaciones a diferentes alturas disponibles. El campo interno es 97% del campo total observado en la superficie de la Tierra (excepto cuando hay una tormenta magnética). p. 11

12 4.3.3 La relación entre armónicos y observaciones Usando B = V en geometría esférica, y la expresión para V usando armónicos esféricos, podemos escribir los componentes del campo. Por ejemplo, B r (para el campo interno, hasta grado L,) es: B r = V r = L l=1 m=0 l ( a (l + 1) r ) l+2 (g m l cosmφ + h m l sinmφ)p m l (θ) Junto con expresiones similares para B θ y B φ, podemos construir las expresiones para las componentes observables del campo: X = B θ H = (B 2 θ + B2 φ )1 2 F = (B 2 θ + B2 φ + B2 r )1 2 Y = B φ I = tan 1 B r donde π (Bθ 2 + B2 φ )1 2 2 I π 2 [ ] Z = B r D = tan 1 Bφ donde π D π B θ p. 12

13 4.3.4 Los polos geomagnéticos y el campo dipolar El momento magnético del dipolo geomagnético a un radio a es: m D = 4πa3 µ 0 (g 0 1 )2 + (g 1 1 )2 + (h 1 1 )2 m D mide la magnitud del dipolo (en unidades Am 2 ). La inclinación del dipolo en las direcciones meridional (θ) y azimutal (φ), relativo al eje geográfico de la Tierra, es: θ D = cos 1 ( mzd m D φ D = cos 1 ( ) = cos 1 ) m xd (mxd ) 2 + (m yd ) 2 g 1 0 (g 1 0 )2 + (g 1 1 )2 + (h 1 1 )2 = cos 1 g 1 1 (g 1 1 )2 + (h 1 1 )2 p. 13

4.3.4 Los polos geomagnéticos y el campo dipolar La figura muestra el eje dipolar de la Tierra debido a un modelo del campo geomagnético de 1990.

14 4.3.4 Los polos geomagnéticos y el campo dipolar La figura muestra el eje dipolar de la Tierra debido a un modelo del campo geomagnético de La componente dipolar explica un gran parte del campo magnético terrestre, pero las otras componentes están muy relevantes para muchos estudios geofísicos. El polo norte geomagnético es el polo del eje dipolar (donde el eje se cruza con la superficie de la Tierra). El polo norte magnético es el punto en la Tierra donde I = 90. Estos dos polos son distintos. p. 14

15 4.4 El espectro de las armónicas esféricas Se puede separar las partes del campo asociadas con el núcleo y la corteza. La potencia del campo magnético, en una superficie esférica, asociada con el grado armónico l es (Lowes, 1974): R l = ( a 2l+4 l [ r) m=0 (g m l )2 + (h m l )2] Existen dos pendientes distintos, que indican dos fuentes internas con profundidades muy diferentes. Tomando l < 14 para el núcleo, y l > 14 para la corteza, las dos fuentes internas pueden estar separados (parcialmente). p. 15

16 4.5.1 Propiedades del campo magnético de hoy Modelos globales (usando armónicos esféricos) están hoy día derivados de los datos de satélites y observatorios. Los modelos globales del campo geomagnético incluyen: 1. IGRF = International Geomagnetic Reference Field: Derivado cada 5 años por la colaboración internacional, disponible gratis y usado siempre en aplicaciones comerciales (por ejemplo GPS). Ese campo de referencia consiste de los armónicos esféricos hasta grado l = WMM = World Magnetic Model: Una colaboración EEUU/RU también publicado cada 5 años. p. 16

17 4.5.2 La declinación D p. 17

18 4.5.3 La inclinación I p. 18

19 4.5.4 La intensidad horizontal H p. 19

20 4.5.5 Componente al norte X p. 20

21 4.5.6 Componente al este Y p. 21

22 4.5.7 Componente vertical Z p. 22

23 4.5.8 La intensidad total F p. 23

24 4.6 Interrupciones de satélites p. 24

25 4.7 Conclusión Desviaciones significativas de un campo dipolar son observadas. La mayor intensidad es cerca Canadá, en Siberia y entre Antártica y Australia. La menor intensidad es cerca Sudamérica / El Atlántico del sur (South Atlantic Anomaly: SAA). El campo vertical generalmente es más fuerte que el campo horizontal. Pero cerca el ecuador, el campo horizontal tiene mayor intensidad. Los armónicos esféricos son útiles para representar el campo. Se puede separar el campo del núcleo y el campo de la corteza usando una representación de armónicos esféricos para el campo. La determinación precisa de las coeficientes de Gauss g m l y h m l estará en la próxima clase. p. 25

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