Variedades Lineales. Se puede generalizar el concepto de dependencia e independencia lineal de R 2 y R 3. Así:

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1 Semana 3 - Clase 8 2/4/9 Tema 2: Espacios Vectoriales Variedades Lineales Dependencia, independencia lineal Se puede generalizar el concepto de dependencia e independencia lineal de R 2 y R 3 Así: = C v + C 2 v 2 + C 3 v 3 + C n v n = C i v i, Podemos afirmar que Si esta ecuación se cumple para algún conjunto de {C i } no nulos, se dirá que el conjunto de vectores correspondiente { v i } son linealmente dependientes por el contrario, si esta ecuación sólo puede ser satisfecha para todos los C i =, entonces se dirá que el conjunto de vectores correspondiente { v i } son linealmente independientes Por ejemplo, dados tres vectores en R 4 v = 3 2 ; v 2 = 2 3 ; v 3 = El criterio de independencia lineal se cumple si = C v + C 2 v 2 + C 3 v 3 y todos los {C i } son nulos Esto es C +2C 2 C 3 = 3C +C 3 = C +C 2 = 2C +3C 2 = de donde es claro ver que la única solución posible implica C = C 2 = C 3 = Ejemplos Si consideramos el espacio vectorial V = { v, v 2, v 3,, v n } serán ejemplos de independencia lineal: v k f (t) = t k para k =, 2, 3, es claro que un polinomio de grado n +, no podrá ser expresado en términos un polinomio de grado n en otras palabras, t n+ n i= C i t i Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad de Los Andes, Mérida

2 Semana 3 - Clase 8 2/4/9 Tema 2: Espacios Vectoriales v k f (t) = e a kt con a, a 2, a 3, coeficientes constantes También salta a la vista que no podremos expresar una de esas funciones exponenciales como uan combinación lineal Si consideramos v f (t) = cos 2 (t), v 2 = sen 2 (t) y v 3 = es claro que v, v 2, y v 3 son linealmente dependientes por cuanto v + v 2 = v 3 Nótese que si v = cos(t), v 2 = sen(t) y v 3 =, entonces v, v 2, y v 3 serán vectores linealmente independientes 2 Bases de un Espacio Vectorial Ahora bien, dado un espacio vectorial V = { v, v 2, v 3, v n }, encontramos que si el conjunto de { v n } es linealmente dependiente, entonces siempre es posible despejar uno de los vectores en términos de los demás, vale decir n v n = C v + C 2 v 2 + C 3 v 3 + C n v n = C i v i, seguidamente se procede a comprobar si { v, v 2, v 3, v n } son linealmente independientes, es decir si C = C 2 = C 3 = = C n = En caso de no serlo se procede otra vez a despejar uno de los vectores en términos de los anteriores y a aplicar el criterio de independencia lineal, n 2 v n = C v + C 2 v 2 + C 3 v 3 + C n 2 v n 2 = C i v i, C = C 2 = C 3 = = C n =? se repite este procedimiento hasta encontrar un conjunto { v, v 2, v 3, v n j } de vectores linealmente independientes Esto es C = C 2 = C 3 = = C n j =! y por lo tanto v n j+ = C v + C 2 v 2 + C 3 v 3 + C n j v n i = C = C 2 = C 3 = = C n j =? C = C 2 = C 3 = = C n j =! y por lo tanto n j C i v i, = C v + C 2 v 2 + C 3 v 3 + C n j v n j = n j C i v i, Héctor Hernández / Luis Núñez 2 Universidad de Los Andes, Mérida

3 Semana 3 - Clase 8 2/4/9 Tema 2: Espacios Vectoriales En este caso diremos que { v, v 2, v 3, v n j } es una base para V La dimensión de V sera el conjunto de vectores linealmente independientes, que para este caso es n j Así se puede comprobar que, dado x V entonces x = n j C i v i, x V y el conjunto {C, C 2, C 3, C n j } es único Diremos que el número mínimo de vectores, v, v 2, v 3, v n j que expanden V conforman una base de ese espacio vectorial, y que el número finito de escalares {C, C 2, C 3, C n j } constituyen las componentes de x relativas a la base v, v 2,, v n j Del ejemplo anterior se puede concretar la siguiente definición A un conjunto finito de vectores de un espacio vectorial, B V = { v, v 2, v 3, v n } V, se les denominará base de ese espacio V si los v, v 2, v 3, v n son linealmente independientes y expanden V El espacio vectorial se denominará de dimensión finita sí la base es finita y de dimensión infinita sí, por el contrario su base es infinita Es fácil darse cuenta que si V lo expanden n vectores linealmente independientes, cualquier otro vector x V será linealmente dependiente Igualmente, y será fácilmente demostrable que todas las bases de un espacio vectorial V, de dimensión finita, tendrán el mismo número de elementos y ese número de elemento será la dimensión del espacio Adicionalmente, puede ser que dentro de un espacio vectorial V se puedan encontrar subespacios y dentro de esos subespacios un conjunto de vectores base Vale decir x V : x = C v + C n j v n j +C }{{} n j+ v n j+ C n k v n k +C }{{} n k+ v n k+ C n v n }{{} S S 2 Entonces x = x + x 2 + x 3 con x S ; x 2 S 2 ; x 3 S 3, entonces diremos que V es la suma directa de S, S 2 y S 3 y lo denotaremos como V = S S 2 S 3 3 El determinante de Gram Existe una forma directa de comprobar la independencia lineal de una conjunto de vectores { v, v 2, v 3, v n } V, y es como sigue: dado x V entonces C v v + C 2 v v 2 + C 3 v v C n v v n = v x C v 2 v + C 2 v 2 v 2 + C 3 v 2 v C n v 2 v n = v 2 x x = C i v i C v n v + C 2 v n v 2 + C 3 v n v C n v n v n = v n x Héctor Hernández / Luis Núñez 3 Universidad de Los Andes, Mérida S 3

4 Semana 3 - Clase 8 2/4/9 Tema 2: Espacios Vectoriales donde las C, C 2, C 3, C n son las incógnitas, por lo cual para que este sistema tenga solución se impone que v v v v 2 v v 3 v v n v 2 v v 2 v 2 v 2 v 3 v 2 v n v n v v n v 2 v n v 3 v n v n Esto es que el determinante de Gram distinto de cero implica que el conjunto de vectores { v, v 2, v 3, v n } V es linealmente independiente La inversa también es cierta Ejemplos V n tendrá dimensión n y una de las posibles bases { v, v 2, v 3, v n } será v = (,,,, ) v 2 = (,,,, ) v 3 = (,,,, ) v n j = (,,,, ) Esta base se conoce con el nombre de base canónica El espacio de polinomios, P n, de grado g n tendrá como una de las posibles bases al conjunto {, t, t 2, t 3,, t n }, por que cualquier polinomio de grado n podrá ser expresado como combinación lineal de estos n + vectores Más aún, el espacio de todos los polinomios, P, tendrá como una posible base al conjunto de funciones {, t, t 2, t 3,, t n } En este caso P será infinito dimensional 4 Ortogonalidad y Bases Ortogonales En una espacio vectorial con producto interno, dos vectores e e 2 serán ortogonales si su producto interno se anula e e 2 e 2 e = Jorgen Pedersen Gram (85-96 Dinamarca) Matemático Danés, que alternaba su actividad de gerente de una importante compañía de seguros con las matemá ticas (Probabilidad, Análisis Numérico y Teoría de Números) Es conocido mayormente por el método de ortogonalización, pero se presume que no fue él quien primero lo utilizó Aparentemente fue ideado por Laplace y utilizado también por Cauchy en 836 Gram murió arrollado por una bicicleta a la edad de 6 años Más detalles Héctor Hernández / Luis Núñez 4 Universidad de Los Andes, Mérida

5 Semana 3 - Clase 8 2/4/9 Tema 2: Espacios Vectoriales Se denomina un conjunto ortogonal de vectores { e, e 2, e 3, e n } si e i e j = δ ij e j 2 i, j =, 2, 3,, n y con { δij = si i j δ ij = si i = j y se denominará conjunto ortonormal si e j 2 = Un conjunto ortogonal de vectores { e, e 2, e 3, e n } V es linealmente independiente, más aún, para el caso particular de un espacio euclidiano, { e, e 2, e 3, e n } conforman una base ortogonal para V La demostración es sencilla Para un determinado espacio vectorial una combinación lineal de los { e, e 2, e 3, e n } se anula C i e i = e [ n C i e i ] = n C i δ i = C = e 2 [ n C i e i ] = n C i δ 2i = C 2 = e 3 [ n C i e i ] = n C i δ 3i = C 3 = e n [ n C i e i ] = n C i δ ni = C n = con lo cual es claro que { e, e 2, e 3, e n } son linealmente independientes Si la dimensión de V es n tenemos n vectores linealmente independientes, entonces esos n vectores { e, e 2, e 3, e n } forman una base ortogonal para V, y por lo tanto las componentes de un vector en esa base se pueden expresar de manera simple x V x = C i e i e j x = e j [ C i e i ] C j = e j x e j e j En el caso de un conjunto ortonormal de vectores { ê, ê 2, ê 3, ê n } V n con ê j 2 =, las componentes de cualquier vector quedan determinadas de una forma todavía más simple y con consecuencias mucho más impactantes ( ) ê j 2 = C j = ê j x x = C i ê i = ê i x ê i ê i ê i x por lo tanto es bueno recalcar la relación de cierre ê i ê i = con lo cual es trivial demostrar la fórmula de Parseval ( ) x y V y x y ê i ê i x = y ê i ê i x = } {{ } y ê i x ê i Héctor Hernández / Luis Núñez 5 Universidad de Los Andes, Mérida

6 Semana 3 - Clase 8 2/4/9 Tema 2: Espacios Vectoriales la cual se concreta para el caso de x y en la generalización del Teorema de Pitágoras x x x 2 = x ê i 2 Ejemplos Funciones Trigonométricas: Uno de los ejemplos más emblemáticos es el caso de las funciones continuas, reales de variable real y definidas en [, 2π], C[,2π], con lo cual el producto interno viene definido por f g = 2π dx f (x) g (x), ésto es el conjunto de funciones { e, e 2, e 3,, e n } representadas por: e =, e 2n = cos(nx) y e 2n = sen(nx), con n =, 2, 3, Es claro que { e, e 2, e 3, e n, } es un conjunto de funciones ortogonales por cuanto 2π dx sen(nx) sen(mx) = si n m 2π dx cos(nx) sen(mx) = 2π dx cos(nx) cos(mx) = e n e m = δ nm e n 2 2π dx = 2π si n = m = e n 2 si n = m 2π dx cos 2 (nx) = π si i = j = 2l 2π dx sen 2 (nx) = π si i = j = 2l con l =, 2, 3, Por lo tanto, podremos construir una base ortonormal de funciones { e, e 2, e 3,, e n, } de la forma e = 2π, e 2n = π cos(nx) y e 2n = π sen(nx) Cualquier función definida en el intervalo [, 2π] puede expresarse en términos de esta base como 2π dx 2π f (x) = a si i = f = C i e i C i = e i f = 2π dx f (x) cos(nx) = a 2n si i = 2n donde los C i son los coeficientes de Fourier 2π dx f (x) sen(nx) = a 2n si i = 2n Héctor Hernández / Luis Núñez 6 Universidad de Los Andes, Mérida

7 Semana 3 - Clase 8 2/4/9 Tema 2: Espacios Vectoriales Otro de los ejemplos típicos lo constituye los llamados polinomios de Legendre Polinomios P n (x) definidos en el intervalo [, ] y generados a partir de la Fórmula de Rodrigues 2 P n (x) = d n n!2 n dx n (x2 ) n, n =,, 2, con P (x) = Los polinomios de Legendre son solución de la ecuación diferencial ( x 2 ) y 2x y + λ(λ + ) y = λ Ecuación de Legendre Solución ( x 2 ) y 2x y = y (x) = ( x 2 ) y 2x y + 2 y = y (x) = x 2 ( x 2 ) y 2x y + 6 y = y (x) = (3x 2 ) /2 3 ( x 2 ) y 2x y + 2 y = y (x) = (5x 3 3x) /2 4 ( x 2 ) y 2x y + 2 y = y (x) = (35x 4 3x 2 + 3) /8 Es fácil comprobar que los polinomios de Legendre P α = P α (x) son mutuamente ortogonales con un producto interno definido como con norma definida por P n P m = P n 2 = P n P n = P n (x)p m (x)dx = 2 2n + δ nm P 2 n(x)dx ˇ= 2 2n + Cualquier función en el intervalo [, ] puede ser expresada en esa base F = a k P k = k= k= P k F P k P k P k Varios ejemplos ilustrarán esta aplicación Si F es un polinomio F = m b n x n = n= a k P k = k= a n P n (x) 2 Benjamin Olinde Rodrigues (794 Burdeos, Francia - 85, París Francia) Banquero, Matemático y activista político solcialista Francés durante la Revolución Francesa De origen judío, y cuyas contribuciones fundamentales como la fórmula para la generación de Polinomios de Legendre, permanecieron olvidadas por mucho tiempo Más detalles Héctor Hernández / Luis Núñez 7 Universidad de Los Andes, Mérida n=

8 Semana 3 - Clase 8 2/4/9 Tema 2: Espacios Vectoriales no se requiere hacer ninguna integral por cuanto los coeficientes a n se determinan a través de un sistema de ecuaciones algebraicas Para el caso de f(x) = x 2 tendremos f(x) = x 2 = a P (x) + a P (x) + a 2 P 2 (x) f(x) = x 2 = a + a x + 2 a 2(3x 2 ) f(x) = x 2 = 3 P (x) P 2(x) Quedará como ejercicio demostrar que para el caso de con f(x) = x 2 = P k F = k= P k F P k P k P k = 2 3 P (x) 2 f(x)p k (x)dx = n= x P k (x)dx 2 P n (x) (2n ) (2n + 3) Ejercicio: Estudie la función generatriz para generar los polinomios de Laguerre, Hermite y Chebyshev Establezca los criterios de ortogonalidad para estos polinomios 5 Las Bases Recíprocas En el caso de R 2 y R 3 y cuando hablamos de los vectores geométricos, se puede recurrir a un método para generar un base a partir de otra conocida Sabemos que si tenemos un vector a y una base ortonormal { ê i = i i }, entonces a = (a i )i + (a i 2 )i 2 + (a i 3 )i 3 Es fácil ver que si las bases no son ortonormales, una generalización inmediata de lo anterior es a = a e e e 2 + a e 2 e 2 e a e 3 e 3 e 2 3 Una formulación más general consiste en considera que la base no es ortogonal, es decir que si se tiene un conjunto de vectores linealmente independientes {u, u 2, u 3 } entonces a = a u + a 2 u 2 + a 3 u 3 La cuestión principal radica en saber si es posible construir una base {e i } a partir de la base arbitraria {u i } Para ello se introduce el concepto de bases recíprocas Héctor Hernández / Luis Núñez 8 Universidad de Los Andes, Mérida

9 Semana 3 - Clase 8 2/4/9 Tema 2: Espacios Vectoriales Las bases {e i } y {u i } se llaman recíprocas si satisfacen e i u j = δ ij, es decir, cada vector de una base será perpendicular a los otros dos vectores de la otra base Aquí δ ij = si i = j y δ ij = si i j Se puede ver que si i = j, entonces al hacer coincidir e i y u i se tiene e i u i = e i u i cos(θ) = > Ahora bien, si tomamos a e como un vector perpendicular a u 2 y u 3, esto significa que e = α (u 2 u 3 ) donde la constante de proporcionalidad se puede determinar de la manera siguiente, como e u = α (u 2 u 3 ) u = por lo tanto α = u (u 2 u 3 ) Esto significa que u 2 u 3 e = u (u 2 u 3 ) puesto que sabemos que: V = u (u 2 u 3 ), por ser este conjunto una base Es fácil demostrar que cálculos similares llevan a la siguiente expresión general u j u k e i = u (u 2 u 3 ) donde i, j, y k son permutaciones cíclicas de, 2 y 3 Ecuaciones análogas para las bases {u i } en términos de las bases {e i } pueden ser halladas, resultando que e j e k u i = e (e 2 e 3 ) donde nuevamente se tiene que: V = e (e 2 e 3 ) Si las bases {u i } y {e i } son recíprocas, entonces el vector que teníamos anteriormente escrito en una base arbitraria es ahora: a = a u + a 2 u 2 + a 3 u 3 = (a e )u + (a e 2 )u 2 + (a e 3 )u 3 donde a i a e i (Aquí no estamos siendo respetuosos con la ubicación de los indices) Si queremos escribir el vector a en la base {e i } se tiene entonces que Ejercicio: Demuestre que V V = a = (a u )e + (a u 2 )e 2 + (a u 3 )e 3 Héctor Hernández / Luis Núñez 9 Universidad de Los Andes, Mérida