TEMA II: POSICIONES RELATIVAS ENTRE ELEMENTOS

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1 TEA II: POSICIONES RELATIVAS ENTRE ELEENTOS..D Ente dos ects Dos ects en el espcio pueden se: ) plels (sus poecciones homónims son plels) b) secntes (tienen un único punto en común) c) o cuse Ejemplo 4 (D) Dds ls ects s, detemin justific qué tipo de posición ocupn ente ells. Solución: Ls ects se cun poque ls poecciones veticles de mbs no tienen ningún punto en común. " "=A" s" B" s" s' s' ' ' A'=B' 5

2 ..A Ente dos ects Po geometí elementl, se sbe que ls posiciones de dos ects en el espcio son: ) ects secntes: tienen un punto en común b) ects plels: no tienen ningún punto en común mbs ects están en un mismo plno c) ects que se cun: no tienen ningún punto en común no están situds en un mismo plno d) ects coincidentes: tienen todos los puntos en común Vénse continución ls condiciones necesis suficientes p distingui cd uno de los csos hciendo un estudio nlítico:..a..- Deteminción de ls posiciones eltivs ente dos ects cundo están definids po sus ecuciones implícits Considéense ls ects dds po sus ecuciones implícits: L intesección de mbs ects seá el sistem en el que l mti de los coeficientes l mti mplid son: El mínimo ngo que puede tene es, que los dos pimeos plnos los dos últimos son secntes. Según los ngos de se tienen difeentes csos, cuo estudio se educe l discusión del sistem: Rngo de Rngo de Sistem Posición de ls ects Cso 4 Incomptible Rects que se cun Cso Comptible detemindo Rects secntes Cso Incomptible Rects plels Cso 4 Comptible indetemindo Rects coincidentes 6

3 ..A..- Deteminción de ls posiciones eltivs ente dos ects cundo están definids en fom pmétic Sen ls ecuciones pmétics de ls ects : donde son dos puntos de ls ects espectivmente un vecto diecto de l ect un vecto diecto de l ect. Se fom el vecto. Según l dependenci linel de los vectoes, se tienen los siguientes csos: Cso : Los vectoes no son plelos, luego ls ects pueden cuse o cotse. Como Cso :, ls ects están en distintos plnos, luego se cun. Los vectoes no son plelos, luego ls ects pueden cuse o cotse. Como, ls ects están en el mismo plno se cotn. El punto común de ls dos ects que se cotn se obtiene esolviendo el sistem fomdo l igul los vloes de ls ecuciones pmétics de mbs ects: Clculdos los vloes de λ, se sustitue culquie de ellos en l ecución de l ect coespondiente; de este modo se hlln ls coodends del punto intesección. Cso : Los vectoes son plelos, luego ls ects tmbién lo son. Como Cso 4:, ls ects no pueden coincidi; son plels distints. Los vectoes son plelos, luego ls ects tmbién lo son. Como, ls ects son coincidentes. 7

4 Ejemplo 5 (A) Estudi l posición eltiv de ls ects Solución: De ls ecuciones dds se obtienen los puntos vectoes diectoes de ls ects: se obtiene el vecto Se clculn los siguientes ngos: Como, ls ects son coincidentes. Ejemplo 6 (A) A pti de ls ecuciones implícits de ls ects, obtene los vloes eles de de mne que mbs ects se cucen en el espcio: Solución: Se clculn los ngos de ls mtices de coeficientes mplid del sistem que P obtene el ngo de l mti mplid, se clcul su deteminnte: P que ls ects se cucen en el espcio sin est en el mismo plno, se debe cumpli que este deteminnte no se nulo p que se 4. Po tnto, 8

5 .. Ejemplos comunes mbs mteis Ejemplo 7 (A) Se considen ls ects de ecuciones: Estudi su posición si tienen lgún punto en común. Solución: De ls ecuciones dds se obtienen un punto un vecto diecto de cd un de ls ects: se obtiene el vecto Se clculn los siguientes ngos: que Como, ls ects son secntes. A continución se obtiene el punto común mbs ects. P ello se clculn sus ecuciones pmétics Igulndo mbs ecuciones, esult el sistem de ecuciones: cu solución es. Sustituendo estos vloes en culquie de ls dos ects se obtiene el punto de intesección de mbs ects. 9

6 Ejemplo 7 (D) Detemin l posición eltiv de s Solución: Ls ects se cotn en un punto, donde se cotn ls poecciones hoiontles veticles...d Ente dos plnos Dos plnos pueden dopt dos posiciones: plelos secntes ) Plnos plelos (no tienen ningún punto en común)

7 Si dos plnos son plelos sus ts homónims tmbién lo son. De l mism fom ls poecciones homónims de sus hoiontles sus fontles tmbién. Ejemplo 8 (D) Ddo el punto B, defini el plno que lo contiene que es plelo l plno. b) Plnos secntes (se cotn medinte un ect, i en l figu)

8 L ect intesección de dos plnos en los csos geneles se detemin utilindo dos plnos uilies: Si se conocen ls ts de los plnos, se tomn como plnos uilies los dos plnos de poección XY XZ, po lo que bst con detemin l intesección ente ls ts. Si no se conocen ls ts se utilin dos plnos culesquie en genel plelos los plnos de poección o los ejes de coodends. Se define h de plno como el conjunto de plnos que se cotn en l mism ect. i

9 ..A Ente dos plnos Po geometí elementl se sbe que ls posiciones de dos plnos en el espcio son: ) plnos secntes: tienen en común los puntos de un ect b) plnos plelos: no tienen ningún punto en común c) plnos coincidentes: tienen todos sus puntos en común Vénse continución ls condiciones necesis suficientes p distingui cd uno de los csos hciendo un estudio nlítico según ls difeentes foms de epes el plno. Epesión nlític: Considéense los plnos ddos po ls ecuciones geneles: : A B C D : A B C D () Estudi ls posiciones de estos dos plnos equivle discuti el sistem fomdo po sus ecuciones lineles. L mti de los coeficientes,, l mplid, son: A B C ' A B C D A B C A B C D Según los vloes de los ngos de, se pesentn los siguientes csos: Cso : g()= g( )= El sistem es comptible indetemindo con un gdo de indeteminción. Ls infinits soluciones dependen de un pámeto. Po tnto, los dos plnos se cotn en un ect son secntes. Se tiene sí un nuev fom de epes un ect: como intesección de dos plnos secntes. Se dice que el sistem fomdo po los dos plnos secntes son ls ecuciones implícits de l ect que deteminn. El vecto dieccionl o diecto de l ect en que se cotn mbos plnos es

10 u n n ( A, B, C ) ( A, B, C ) n n n n Un punto de l ect se obtiene dndo, o un vlo culquie esolviendo el sistem esultnte p ls ots dos incógnits. Conocidos un punto el vecto dieccionl de l ect se puede escibi su ecución en fom vectoil, pmétic o continu. Cso : g()= g( )= El sistem es incomptible. Los plnos no tienen ningún punto en común; po tnto, son plelos distintos. Cso : g()= g( )= El sistem es comptible indetemindo. Ls dos ecuciones son linelmente dependientes tienen ls misms soluciones. Po tnto, los plnos tienen todos sus puntos en común; es deci, son coincidentes. Rngo de Rngo de Sistem Posición de dos plnos Cso Comptible Indetemindo Plnos secntes Cso Incomptible Plnos plelos Cso Comptible indetemindo Plnos coincidentes En l páctic, p ve l posición de dos plnos en fom genel se obsev l popocionlidd o no de los coeficientes de los téminos independientes:. Coeficientes no popocionles: plnos secntes.. Coeficientes popocionles téminos independientes no: plnos plelos.. Coeficientes téminos independientes popocionles: plnos coincidentes. H de plnos plelos Dd l ecución implícit de un plno A B C D 4

11 los plnos plelos l mismo son de l fom que todos ellos tienen el mismo vecto noml n ( A, B, C). Se llm h de plnos plelos l conjunto de plnos plelos uno ddo. El h de plnos qued detemindo po un plno culquie del mismo. Su ecución es Deteminción de plnos po hces de plnos plelos se utili cundo se dese conoce: ) L ecución de plno que ps po el punto P(,, ) demás es plelo l plno de ecución A B C D. b) L ecución de plno que ps po el punto P(,, ) es pependicul l vecto n ( A, B, C). c) L ecución del plno que ps po el punto P(,, ) es pependicul l ect H de plnos secntes Si dos plnos ddos po sus ecuciones se cotn en un ect un tece plno ps po es ect, entonces ls soluciones comunes de los dos pimeos plnos lo son tmbién del teceo, luego éste es combinción linel de ellos se puede escibi que: A B C D t( A B C D ) s( A B C D ) P s= se obtiene el pime plno p t= se obtiene el segundo de los plnos. Análogmente, l ecución de culquie plno que pse po l ect intesección tiene ls misms soluciones. 5

12 Se llm h de plnos secntes l conjunto de plnos que psn po un ect que se denomin ist del h. El h de plnos qued detemindo po dos plnos distintos del mismo. Su ecución es o tmbién, simbólicmente, ts Deteminción de plnos po hces Un poblem típico de plicción de los hces de plnos secntes es cundo se dese obtene l ecución del plno que ps po el punto P(,, ) contiene l ect detemind po los plnos : A B C D : A B C D Se supone que el punto no petenece ninguno de los dos plnos. Si el plno contiene l ect detemind po los plnos, entonces petenece l h detemindo po ellos, es deci, es de l fom ts L elción ente los pámetos t s en l ecución del h: se hll sustituendo ls coodends de P t( A B C D ) s( A B C D ) Opendo se obtiene un elción de l fom s kt, siendo k un númeo. Llevndo este vlo l ecución del h esult l ecución del plno pedido: t kt k P k 6

13 Ejemplo 9 (A) Estudi l posición eltiv de los plnos: : 5 4 : 5 Solución: En el sistem fomdo po ls ecuciones g()= g( )=; luego es comptible demás se educe un ecución po se ls dos ecuciones completmente popocionles. Los plnos son coincidentes... Ejemplos comunes mbs mteis Ejemplo (A) Estudi l posición eltiv de los plnos: : 5 4 : 5 Solución: Como el g()=g( )=, el sistem fomdo po los plnos es un sistem comptible. Los dos plnos se cotn en un ect, que es l ect de solución del sistem. Un vecto diecto de l ect es el detemindo po el poducto vectoil de los vectoes nomles de los plnos : n n i 7 j 4k Po último p obtene l ecución de l ect bst con tom un punto culquie de l intesección de mbos plnos. Si l vible vle 5, se esuelve un pequeño sistem linel del que se obtiene dmos los vloes e 8. Sólo flt po escibi l ect solución en fom continu: 8 5 : 7 4 Ejemplo (D) Estudi l posición eltiv de los plnos b Solución: Se cotn en l ect 7

14 Ejemplo (A) Estudi l posición eltiv de los plnos: : 5 4 : 5 Solución: Como el g()= g( )=, el sistem fomdo po los plnos es un sistem incomptible. Los plnos son plelos distintos pues ls dos ecuciones no son completmente popocionles. Ejemplo (D) Estudi l posición eltiv de los plnos b Son plelos poque sus ts tmbién lo son Ejemplo (A) Hll l ecución del plno que ps po el punto A (,,) es plelo l plno 5 5. Solución: L ecución de todos los plnos plelos l ddo son de l fom 5 K 8

15 Po petenece el punto A (,,) l plno esult: 5 K K Po tnto, l ecución del plno pedido es 5 Ejemplo (D) T el plno que contiene l punto A es plelo l plno..d Ente ect plno Un ect un plno pueden dopt ests tes posiciones: ) Est contenid en el plno (todos los puntos de l ect petenecen l plno) b) Cotse en un punto c) Se plelos (no tienen ningún punto en común) ) Como se h visto nteiomente p que un ect petenec un plno ls ts de l mism tienen que est en ls ts homónims del plno. b) Intesección de ect plno: p detemin l intesección de un ect un plno se utili un plno uili nomlmente poectnte (b) que conteng l 9

16 ect. Se hll l intesección (i) de los plnos b. intesección de ls ect i (coplnis) L solución (I) es l c) Un ect es plel un plno si lo es un ect s del mismo Ejecicio Dds ls ects t, defini el plno que contiene t es plelo. El pocedimiento segui es el siguiente:. Se hce ps po un punto (P) culquie de t, un ect (s) plel.. Detemin el plno fomdo po ls ects s t (solución) Ejecicio Dds ls ects t t po un punto P l ect que ls cot. El pocedimiento segui es el siguiente:. Detemin el plno que fom un de ls ects () el punto (P):. Hll l intesección del plno l ect s (S). S P definen l ect solución poque mbos puntos están en el plno l igul que l ect. Po se coplnis mbs ects o se cotn o son plels. En este cso se cotn en el punto R.

17 Ejecicio Dds tes ects, s t t un ect plel t que cote s. El pocedimiento es el siguiente. Po un punto culquie (P) de l ect, t un ect (m) plel l ect t.. Ls ects m definen un plno (). Detemin l intesección del plno l ect s: punto S. 4. Po el punto S, t un ect (d) plel l ect t. 5. Detemin l intesección ente l ect d l ect : punto R. 6. L ect d es l solución, R S son los puntos en los que cot ls ects s, espectivmente...a Ente ect plno..a..- Deteminción de ls posiciones eltivs ente ect plno cundo l ect el plno están definidos po sus ecuciones implícits Sen l ect A B C D : el plno : A B C D A B C D P estudi sus posiciones eltivs se estudi l viedd linel fín definid po:

18 : D C B A D C B A D C B A donde C B A C B A C B A D C B A D C B A D C B A El sistem linel de ecuciones lineles puede se: Cso : Comptible Detemindo ( º ) ( ) ( n g g incógnits ) El sistem tiene un únic solución, po lo que l intesección de l ect el plno es un punto que se obtiene esolviendo el sistem. Se epes diciendo que l ect el plno se cotn o son secntes. Cso : Comptible Indetemindo ( º ) ( ) ( n g g incógnits ) El sistem tiene infinits soluciones debido que l tece ecución es combinción linel de ls dos pimes. En este cso el plno petenece l h de plnos de eje, luego. Se epes diciendo que l ect el plno son incidentes o que l ect está contenid en el plno. Cso : Incomptible ( ) ( ) ( g g ) El sistem no tiene solución. Entonces, es deci l ect el plno son plelos...a..- Deteminción de ls posiciones eltivs ente ect plno cundo l ect el plno están definidos po sus ecuciones vectoiles o pmétics Se l ect definid po sus ecuciones pmétics : v v v p p p donde ),, ( p p p P es un punto culquie de l ect ),, ( v v v v su vecto diecto P Plno ect secntes Plno ect incidentes Plno ect plelos

19 se el plno definido po sus ecuciones pmétics q u w : q u w q u w donde Q ( q, q, q) es un punto culquie del plno u ( u, u, u) w w, w, ) sus vectoes diectoes. Se puede estudi l posición eltiv ente l ( w ect el plno en función de sus vectoes diectoes de l siguiente mne:. Rect plno secntes Si el vecto diecto de l ect los vectoes diectoes del plno son linelmente independientes, l ect el plno son secntes. En este cso v u w se cumple que g v u w v u w w v u b. Rect contenid en el plno ect plel l plno Si el vecto diecto de l ect es combinción linel de los vectoes diectoes del plno, l ect está contenid en el plno o es plel él. v u w En mbos csos se cumple que g v u w v u w P distingui los dos csos, se tom un punto culquie de l ect se sustituen sus coodends en l ecución del plno de fom que si se stisfce, l ect está contenid en el plno si no se stisfce, l ect es plel l plno. Plno ect incidentes P u w v

20 4 Plno ect plelos Ejemplo (A) Estudi ls posiciones eltivs del plno : l ect : según los vloes del pámeto el. Solución: Fommos el sistem : donde g ; ) )( ( Si ) ( ) ( g g l ect el plno se cotn en un punto Si g g ) ( l ect está contenid en el plno Si 9 ) ( g g l ect el plno son plelos u v w P

21 5.. Ejemplos comunes mbs mteis Ejemplo 4 (A) Indic l posición eltiv ente l ect : el plno : Solución: obtenemos ls ecuciones implícits de l ect: : : L intesección ente l ect el plno es : donde Estudimos el ngo de ls mtices g ; g g Po lo tnto, l ect está contenid en el plno Ejemplo 4 (D) Compob l posición de l ect el plno Solución: Como se obsev ls ts de l ect se encuentn en ls ts homónims del plno. Po lo tnto l ect petenece l plno ' " ' "

22 Ejemplo 5 (A) Detemin el vlo del pámeto el b p que l ect cote l plno : : no b Solución: P que un ect un plno no se coten deben se plelos, po lo que el vecto diecto de l ect el vecto socido o noml l plno deben se pependicules (su poducto escl debe vle ceo). El vecto diecto de l ect es u (, b,) el vecto noml l plno (, 4,5) u u (, b,) (, 4,5) 4b b Ejemplo 5 (D) Hll P p que se plel el plno. Detemin el pámeto que flt (coodend del vecto diecto de l ect). " " ' P P P" Ejemplo 6 (A) Detemin l intesección de l ect el plno 6

23 Solución: Clculmos l intesección de l ect el plno esolviendo el sistem de ecuciones lineles Ejemplo 6 (D) Detemin l intesección de l ect el plno ABC i" I" I' i' 7