GUÍA DE ESTUDIOS PARA EL EXAMEN A TITULO DE SUFICIENCIA DE FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA.

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1 GUÍA DE ESTUDIOS PARA EL EXAMEN A TITULO DE SUFICIENCIA DE FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA. INSTRUCCIONES El conjunto de ejercicios que a continuación se presenta tienen como objetivo proporcionarte orientación sobre los temas que debes estudiar para presentar el ETS de la asignatura Fundamentos de Álgebra. Es importante que tengas en cuenta que los problemas que resuelvas d esta guía no serán los mismos que se incluyen en el examen. NÚMEROS COMPLEJOS. 1. Efectúe cada una de las operaciones indicadas y exprese el resultado en forma rectangular. (a) 5 i 3 4i + 1 i 4 + 3i ( 4 i 11 i ) (c) 1 + i. Simplificar cada una de las siguientes expresiones. (b) i i i 3 + i 4 (1 + i) ( 1 + i ) 3 ( 1 i (d) 3 1 i 1 + i (e) (3 ) 3 (1 + ( i)(4 3i) (f) 3 i)(e iπ/ ) 1 i [( 1 (g) (4 + 5i) 4 + ) ( 1 3 i )] i ) (i). i 4 + i 7 i 1 4 i 5 + i 8 (ii). ( + i)(1 i)( 1 + i) ( + i) [ (iii). ( i) i ] i + i 3. Dados los números complejos Z 1 = 4e π/3 i, Z = 6, Z 3 = 1 + i. Calcule las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma polar. (a) Z = i5 (Z 3 ) 8 (Z ) 5 (b) Z = Z 1 + 4Z 3 Z 1 Z 1

2 4. Dados los números complejos, calcule las siguientes operaciones y exprese los resultados en forma rectangular, polar y exponencial. Z 1 = 5e iπ/4 Z = 3 15 Z 3 = + 4i (a) Z = Z 1 Z Z 3 (b) Z = Z 1 + Z + Z 3 (c) Z = Z 1 Z Z 3 (d) Z = (Z 1) 3 Z (Z 3 ) 5. Para Z 1, Z, Z 3 C, realizar las siguientes operaciones y expresarlas en forma rectangular, polar y exponencial. Z 1 = e iπ/6 Z = 3 3i Z 3 = 4(cos π/4 + i sen π/4) (i). (z 1 z 3 ) + z (Resp: i) (ii). 5z z z 3 (iii). ( z 1 z 3 ) ( z z 3 ) (iv). (z 1 + z 3 ) 3 6. Encuentre las raíces indicadas de las números complejos dados, exprese los resultados en forma rectangular y grafique las raíces en el plano complejo (a) Las raíces cúbicas de z = 8 + 8i (b) Las raíces cuadradas de z = i (c) Las raíces quintas de z = 3i (d) Las raíces cuadradas de z = 7 + 4i. (e) Las raíces quintas de z = i 7. Sea z = (3 6i)(4 ki), calcule el valor de k para que z sea un número imaginario puro. 8. Sea z = (3 6i)(4 ki), calcule el valor de k para que z sea un número real. 9. Sea z = (5 i)(4 ki), calcule el valor de k para que z sea un número imaginario puro. 1. Sea z = (3 3 )(3 ki), determine el valor de k para que z sea un número imaginario puro. 11. Sea z = 3 ki 1 i, calcule el valor de k de tal manera que arg(z) = π 4 1. Una raíz cúbica de un número complejo es 1+i. Halle dicho número complejo y sus otras dos raíces cúbicas. 13. De un pentágono regular centrado en el origen conocemos un vértice que es el punto (1, 3). Determinar los retantes vértices. MATRICES Y DETERMINANTES.

3 (a) Sean A = ( ) 4 1 Calcular el valor de k para que AB = BA. ( ) 4 B = 1 k (b) Obtener el valor de X de la expresión matricial siguiente, dadas las matrices i. Ecuación: ii. Ecuación: A = 1 B = X = A B + A X = (BA) B (c) Obtener la matríz X, de las ecuacones siguientes dada las matrices A, B. i. X = A 1 B + B 1 A ii. X = (A B) 1 Si (d) Para a R y Calcular A, A 3. (e) Dadas las matrices A = ( ) 1 1 A = B = ( ) 1 a a ( ) A = 3 B = 4 5 C = Calcular: A, A B, 3A + 8C y A + C(C A) (f) Mediante operaciones elementales transformar A en una matríz escalonada, e identificar el número de filas no nulas (ese valor es el rango de una matríz) ( ) A = 5 3 B = C = (g) Calcular la matríz inversa de cada una de ellas A = 1 B = 1 3 C =

4 (h) Comprobar que el producto de matrices no es conmutativo calculando ambos productos en las matrices A = 1 B = (i) Dadas la matríz A = Calcular: A, A 3, A 4 (j) Dadas las matrices A = ( 3 ) B = ( ) k Determinar el valor de k para que AB = BA. 4 1 (k) De la matriz A = a Calcular el valor de a para que la matríz A sea singular, es decir, su determinante sea cero. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. (a) Se tiene el sistema de ecuaciones lineales siguiente x + z = 1 x + 3y = 17 3x + 4y + z = 3 y además se sabe que la matríz de coeficientes A del sistema tienen como inversa: Cálcular la solución del sistema. 3/ 3/ A 1 = / 3/ (b) Utilize el método de Gauss-Jordan para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. 4

5 i. x 5y + 3z = 4 x y + z = 3 5x + y + 7z = 11 ii. x + 3y + z = 1 3x y 4z = 3 5x y z = 4 iii. x + y + z = 4 3x y + z = 8 y 7z = 8 iv. 3x + y + 4z = 1 5x y 3z = 7 4x + 3y + z = (c) Aplicando el método de Crammer, resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. i. x y + z = 3 x + y z = 3 x + 4y 5z = 6 ii. 5x + 8y + z = 15 x + 7y + 4z = 8 3x y z = iii. x + y + z = x y + 3z = 1 x + y + 9z = iv. 4x y + 5z = 5 7x + 5y z = 17 3x y + z = 1 5

6 v. x + y = 1x 5y + 9z = 48 y z = 4 VECTORES. 1. Determine vectores perpendiculares al vector (1, 1, 1) que no sean paralelos entre si.. Determine si alguno de los siguientes vectores es paralelo al vector 4i 6j. a) i 3 j Si c) (i j ) 3( 1 i 5 1 j ) No b) 8i + 1j Si d) (5i + j ) (7i + 4j ) Si 3. Calcule c (si existe) para que u y w sean paralelos (utilice el producto cruz) de no ser asi justifiquelo. a) u =5i + 3j w =i + cj c = 6 5 b) u =i cj w =i + 4j c = 8 c) u = ci + 5j w =8i j c = d) u = 1 i 1 5j w = ci j c =5 4. Dados u y w calcule: i) u + w ii) u w iii) 3u 5w iv) 4u w v) 3(u + w) (u w) en los siguientes problemas. a) u = i j w = i + j b) u = j w = 3i 3j c) u = i + 1 j w = 3 5 i 1 4 j d) u = i 5 j w = 1 3 i + 5j e) u = i j + 3k w = i k f ) u = i 4j + k w = 4i + 7j + 5k 5. Sea w el vector con dirección π 4 y magnitud, y v el vector con dirección π 3 y magnitud 3. Calcule w, v, w v, el vector unitario en la dirección de v y el vector unitario en la dirección de w. Dibuje los vectores de cada inciso. 6

7 a) w b) v 3 3 c) w v d) vector unitario en la direccion de w e) vector unitario en la direccion de v (, ) ( 1, ) 3 6. Determine en cada problema las variables a, b y c para que se cumplan las ecuaciones: a b c a) (8a, b, 13c) = (5, 1, 11) 6 13 b) ( 4a, b, 3c) = (5, 6, 1) c) ( 1 5 a, 3 b, 4 7 c) = ( 1 3, 7, 3 4 ) Encuentre números a y b tales u = av + bw a) u= i + j v= i 3j w= i + 5j a= 4 13 b= 5 13 b) u= i v= i + 4j w= 5i + 7j a= 5 34 b= Los puntos A = (1, ), B = (3, 4), C = (5, 1) forman un triángulo. Calcule el área del triángulo. 9. Determine en cada inciso si los puntos A, B y C son colineales. A =(1,, 3) B =(, 1, ) C =(4, 7, 6) Si son colineales A =( 5,, 4) B =( 3, 1, 5) C =(, 5, 6) No son colineales A =(1, 4, 5) B =(1, 3, 7) C =( 4, 1, 3) No son colineales A =(,, 3) B =(3, 4, 5) C =( 9, 4, 3) Si son colineales 1. Los siguientes puntos P = (, ), Q = (1, 1), R = (1, 5), S = (, 6) forman un trapezoide. Calcule el área de esta figura utilizando el producto cruz. 11. Un avión vuela en línea recta con vector de dirección 1i +6j +5k (en kilómetros por hora). En un momento el avión se encuentra en el punto (3, 4, 5). (a) En que posición se encuentra 1 hora después? 7

8 (b) En que posición se encuentra 1 minuto después? (c) Cuánto tarda en subir 1 metros y en que posición se encuentra? (d) Cuánto tarda en subir a una altura de 1 metros y en que posicion se encuentra? ESPACIOS VECTORIALES. 1. Determinar si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales sobre el campo de los números reales. a) P 5 (X; R), el conjunto de los polinomios de grado 5 en la variable x con coeficientes reales y con la operaciones usuales de suma entre polinomios y el producto por escalar siguiente; si α R y f(x) P 5 (R) con f(x) = a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a x + a 1 x + a, entonces αf(x) = a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + αa x + a 1 x + a. b) El conjunto de las matrices 3 3 de coeficientes reales (M 3 3 (R)) con las siguientes operaciones, si A, B M 3 3 (R) con A = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 y B = b 11 b 1 b 13 a 11 b 11 a 1 + b 1 a 13 b 13 b 1 b b 3, entonces A B := a 1 + b 1 a b a 3 + b 3. a 31 a 3 a 33 b 31 b 3 b 33 a 31 b 31 a 3 + b 3 a 33 b 33 αa 11 a 1 a 13 Y si α R, entonces el producto por escalar está definido como αa := a 1 αa a 3 a 31 a 3 αa 33 c) R 4 con las siguientes operaciones; si a, b R 4 con a = (a 1, a, a 3, a 4 ) y b = (b 1, b, b 3, b 4 ), entonces a + b := (a 4 +b 1, a 3 b, a +b 3, a 1 b 1 ) y el producto por escalar queda definido por αa = (a 1, a, a 3, αa 4 ), si α R. d) C {}, los números complejos menos el cero, con la el producto entre complejos y producto por escalar usuales, es decir; el producto entre complejos toma el papel de la suma de vectores y el producto por escalar es la multiplicación de un núemro real por uno complejo.. En las siguientes preguntas justifique su respuesta. a) Si R 3 es el R-espacio vectorial con las operaciones usuales y W es un sub-espacio vectorial de R 3, entonces W puede constar sólo de un elemento? b) Sea R el R-espacio vectorial con las operaciones usuales Toda recta que no pase por el origen es un sub-espacio vectorial de R? c) Si W es un sub-espacio vectorial de un espacio vectorial V, entonces W puede tener elementos que no tengan inverso aditivo? TRANSFORMACIONES LINEALES. 1. En los siguientes ejercicios demostrar o refutar que la función dada es una transformación lineal(todos los espacios vectoriales serán considerados con sus operaciones usuales). i) T : R 3 R 3 dad por T [(a, b, c)] = ( b, c, a). (( )) ii) T : M (R) R 4 a11 a, dada por T 1 = (a a 1 a 1, a, a 11, a 1 ). iii) T : P (X; R) R 3 donde, T (a x + a 1 x + a ) = (a + a 1, a, ). iv) T R R en donde T (x) = cos x. 8

9 Formulario básico de Fundamentos de Álgebra NO OFICIAL Si z, w C con z = a + ib y w = c + id, entonces 1. z + w = (a + c) + i(b + d). Números Complejos. z w = (ac db) + i(ad bc). 3. z = a ib. 4. z = a + b. 5. z w = z w w. 6. z = z [cos(arg(z)) + isen(arg(z))], donde Arg(z) [, π) n 7. z = n [ z cos Donde k =, 1,..., (n 1) ( ) Arg(z)+kπ n + isen ( )] Arg(z)+kπ n. Espacios vectoriales. Un espacio vectorial V sobre el campo escalar K, es un conjunto que contiene dos operaciones, una operación suma y un producto por escalar (V, +, ) que satisface los siguientes axiomas. 1. u + v es un elemento de V (propiedad de cerradura bajo la suma). u + v = v + u (propiedad de conmutatividad de la suma) 3. (u + v) + w = v + (u + w) (propiedad de asociatividad de la suma). 4. Existe un elemento en V denotado por, tal que + u = u, para todo elemento u de V (propiedad del neutro aditivo). 5. Para todo u en V existe un elemento denotado u tal que u + ( u) = u u = (propiedad del inverso aditivo). 6. α u es un elemento de V para todo α en K y para todo u en V (propiedad de cerradura bajo producto por reales). 7. α(u + v) = αu + αv (propiedad distributiva del producto real con respecto a la suma compleja). 9

10 8. (α+β)u = αu+βu (propiedad distributiva de la suama real con respecto al producto real con un complejo). 9. (αβ)u = α(βu)(asociatividad de la multiplicación por números reales). 1. Para cada elemento u V 1u = u. Ejemplo Sea V = R 3, entonces se tiene que R 3 es un espacio vectorial real con la suma y producto por un escalar clásicos. Ejemplo El conjunto de matrices n m es un espaco vectorial real con las operaciones de suma y producto por un número real clásicas. Sub-espacios Vectoriales Definición Sea V un espacio vectorial real y sea W un subconjunto de V diferente del vacio, entonces se dice que W es un SUB-ESPACIO VECTORIAL de V ; si W es un espacio vectorial real. Proposición Sea V un R espacio vectorial y W V diferente del vacio, entonces W es un subespacio vectorial de V si y sólo si: Dados u, v W y α R 1. u + v W.. α v W. 3. W. Ejemplo Si V = R, entonces cualquier recta que pase por el origen es un subespacio vectorial de R. Ejemplo El conjunto de todas las matrices n n reales triangulares (superiores o inferiores) es un sub-espacio vectorial del espacio vectorial de todas las matrices reales n n. Transformaciones Lineales Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el campo K, una función T : V W es una transformación Lineal si satisface las siguientes propiedades. 1. T (a + V b) = T (a) + W T (b). Para todo u, v V. T (α V a) = α W T (a) Ejemplo Sea V = R 3 y W = P (R) (los polinomios de grado de coeficientes reales). Sea T : R 4 P (R) dada por T [(a, b, c)] = cx + bx + a, entonces T es una transformación lineal. En efecto, sean u = (a 1, b 1, c 1 ) y v = (a, b, c ) elementos de R 3. Entonces 1. T [u + v] = T [(a 1, b 1, c 1 ) + (a, b, c )] = T [(a 1 + a, b 1 + b, +c 1 + c )] = (c 1 + c )x + (b 1 + b )x + (a 1 + a ) = c 1 x + c x + b 1 x + b x + a 1 + a = [c 1 x + b 1 x + a 1 ] + [c x + b x + a ] = T [u] + T [v]. 1

11 . Sea α R y u = (a, b, c), entonces T [α(u)] = T [α(a, b, c)] = T [(αa, αb, αc)] = (αc)x + (αb)x + (αc) = α[cx + bx + a] = α T [u]. Por lo que T es una transformación lineal. Lo que corresponde a matrices, sistemas de ecuaciones y vectores es responsabilidad del alumno 11