Coordenadas Generalizadas en el Espacio

Transcripción

1 Capítulo 3 Coordenadas Generalizadas en el Espacio Las coordenadas cartesianas usuales en R 3 pueden verse también como un sistema de tres familias de superficies en el espacio, de modo que cada punto físico P pueda describirse como la intersección de tres superficies: una de cada familia. F {x constante} {planos frontales paralelos al plano x 2 x 3 } F 2 {x 2 constante} {planos verticales paralelos al plano x x 3 } F 3 {x 3 constante} {planos horizontales paralelos al plano x x 2 } Tomando este punto de vista, dados tres campos escalares Q, Q 2, Q 3 en el espacio introducimos tres familias de superficies: las superficies de nivel de cada Q i, i,2,3. Ahora F {Q x, x 2, x 3 constante} F 2 {Q 2 x, x 2, x 3 constante} F 3 {Q 3 x, x 2, x 3 constante}. Ver por ejemplo la Fig. 3. Si el punto físico P se representa por x, x 2, x 3 en coordenadas cartesianas, entonces P se representa por q, q 2, q 3 en coordenadas generalizadas, con q Q x, x 2, x 3 q 2 Q 2 x, x 2, x 3 q 3 Q 3 x, x 2, x 3 x X q, q 2, q 3 o inversamente 2 x 2 X 2 q, q 2, q 3 x 3 X 3 q, q 2, q 3 7

2 F F 2 F 3 Figura 3.: Ejemplo de familias F, F 2, F 3 Geométricamente, esto significa que el punto P, además de ser la intersección de tres planos el frontal por x, el vertical por x 2 y el horizontal por x 3 también es la intersección de las superficies de nivel Q x, x 2, x 3 q, Q 2 x, x 2, x 3 q 2, Q 3 x, x 2, x 3 q 3 : Q2 q2 P Q3 q3 Q q Ejemplo 3.. Si q r, q 2 θ, q 3 ϕ, con 0 r, 0 θ < 2π y 0 ϕ π, dados por las relaciones x X r, θ, ϕ r sen ϕ cosθ x 2 X 2 r, θ, ϕ r sen ϕ sen θ x 3 X 3 r, θ, ϕ r cosϕ tenemos el sistema de coordenadas esféricas. Describir y dibujar F, F 2, F 3. Ejemplo 3.2. Si q ρ, q 2 θ, q 3 z, con 0 r, 0 θ < 2π y z R, dados por las relaciones x X ρ, θ, z ρ cosθ x 2 X 2 ρ, θ, z ρ sen θ x 3 X 3 ρ, θ, z z tenemos el sistema de coordenadas cilíndricas. Describir y dibujar F, F 2, F Vectores normales Denotaremos con a i a un vector normal a las superficies de la familia F i perpendicular a cada superficie y de longitud uno de manera que su dirección es la del crecimiento de Q i. Para hallar los vectores normales, lo más fácil es pensar desde un punto de vista geométrico o gráfico, y describirlos en las coordenadas generalizadas. Sobre todo teniendo 8

3 en cuenta que encontrar la fórmula de Q i x, x 2, x 3 no es en general tan sencillo, y sí tenemos a disposición las fórmulas de X i q, q 2, q Cálculo de longitudes en coordenadas generalizadas Sea rt una curva en el espacio que describe la trayectoria de una partícula. Si representamos la curva en coordenadas cartesianas ortogonales rt x ti + x 2 tj + x 3 tk, para calcular la longitud de un arco cualquiera de la curva, necesitamos conocer dr t ya que la longitud del arco que une ra con rb está dada por: C ds b a dr t b dx 2 dx2 2 dx a } {{ } ds Supongamos ahora que q j t Q j rt son las coordenadas generalizadas de la 2 curva, y tratemos de hallar una fórmula para dr t en términos de las coordenadas q j t. Observemos entonces que por la regla de la cadena dx i d X iq t, q 2 t, q 3 t X i dq j ; i, 2, 3. q j j Por lo tanto, i 2 dxi X i dq l l m X i X i q m i l m l m i h 2 dq l dq m lm, X i dq m q m dq l dq m con h 2 lm i X i X i q m. Veamos ahora cuánto vale h 2 lm. Observemos primero que si definimos los vectores V l por V l X i + X 2 j + X 3 k 9

4 entonces por un lado h 2 lm V l V m, y por otro lado: V V 2 V 3 es el vector tangente a la intersección de las superficies Q 2 constante y Q 3 constante, es el vector tangente a la intersección de las superficies Q 3 constante y Q constante, es el vector tangente a la intersección de las superficies Q constante y Q 2 constante. V 2 V Q 3 constante Si l m, al tomar las derivadas parciales que definen h 2 lm estamos pensando que la otra variable q j restante permanece constante. Por ejemplo, si l, m 2, tenemos Q 3 constante. El producto escalar de V l y V m es nulo si las superficies son perpendiculares las correspondientes a familias distintas, pero V l V m h 2 lm. Por consiguiente, bajo el supuesto de la perpendicularidad de las superficies de las familias F, F 2 y F 3, tenemos que h 2 lm 0 cuando l m. Entonces, denotando con h l h ll tenemos: drt 2 l h 2 l 2 dql 2 ; h 2 l Xi. q i l En forma sintética, la fórmula obtenida para calcular longitudes de curvas en las coordenadas generalizadas puede escribirse ds 2 dx 2 + dy 2 + dz 2 dx 2 + dx dx 3 2 h dq 2 + h 2 dq h 3 dq 3 2, donde ds representa el diferencial de longitud de arco. Lo que esta fórmula sintetiza es el hecho que si pretendemos calcular la longitud de una curva C que se describe por q t, q 2 t, q 3 t en coordenadas generalizadas, entonces el camino recorrido entre los instantes a y b está dado por b dq dq 2 dq 3 ds h C a 2 + h h 3 2 con h l 3 2 Xi. i Ejemplo 3.3. Considerar las coordenadas esféricas del Ejemplo

5 . Calcular h, h 2, h Calcular la longitud de un paralelo cualquiera en la esfera de radio 4 dado por ϕ constante, 0 θ 2π, y r 4. Notar que para obtener la longitud de cualquier paralelo, se debe calcular una integral entre 0 y 2π. Sin embargo los resultados dependen de q r y q 3 ϕ. Aquí queda un poco más claro lo que significa h 2 : mide cuánto se estira el segmento [0, 2π] cuando se deforma para describir un paralelo de la esfera. Ejemplo 3.4. Considerar las coordenadas cilíndricas del Ejemplo Calcular h, h 2, h Calcular la longitud de la hélice θt t, rt R, zt t, 0 t 2π. Algunas curvas son particularmente importantes en un sistema de coordenadas generalizadas. Por ejemplo, si q 2 y q 3 son constantes, tenemos la curva de intersección de dos superficies, una de la familia F 2 y otra de la familia F 3. C Q 3 constante curva intersección ds h dq. Q 2 constante Para una curva como C en el dibujo, el diferencial de longitud es ds h dq. Si q y q 3 son constantes tenemos ds 2 h 2 dq 2, y si q y q 2 son constantes tenemos ds 3 h 3 dq 3. La cantidad h i indica cuánto se estira o encoge la longitud de un intervalo cuando se deforma para describir una curva coordenada. Ejemplo 3.5. Describir todos los tipos de curvas coordenadas en los sistemas cartesianos, esféricos y cilíndricos. 2

6 3.3. Cálculo de áreas de superficies coordenadas en coordenadas generalizadas Si q 3 es constante y queremos aproximar el área de un rectángulo curvilíneo como el del dibujo, construido con curvas coordenadas dentro de la superficie Q 3 constante, tendremos dσ 2 ds ds 2 h h 2 dq dq 2. Q 3 constante De un modo análogo, si Q 2 constante, dσ 3 ds ds 3 h h 3 dq dq 3. Y si Q 3 constante, dσ 2 ds ds 2 h h 2 dq dq 2. La cantidad σ ij indica cuánto se estira o encoge el área de un rectángulo cuando se deforma para describir una superficie coordenada. Ejemplo 3.6. Calcular los tres dσ en coordenadas cartesianas, esféricas y cilíndricas. Ejemplo 3.7. Utilizando coordenadas esféricas.. Calcular el área de la superficie esférica de radio R. 2. Calcular el área del casquete esférico de apertura ϕ π/ Cálculo de volúmenes de cubos con aristas que sean curvas coordenadas Análogamente a lo anterior, ahora tenemos que dv dvol ds ds 2 ds 3 h h 2 h 3 dq dq 2 dq 3. La cantidad h h 2 h 3 indica cuánto se estira o encoge el volumen de un cubo cuando se deforma para describir un cubo coordenado. Ejemplo 3.8. Calcular dvol para las coordenadas cartesianas, esféricas y cilíndricas. Ejemplo 3.9. Utilizando coordenadas esféricas.. Calcular el volumen de la bola de radio R. 2. Calcular el volumen del cono esférico de apertura ϕ π/4. 22

7 3.5. Los operadores diferenciales en coordenadas generalizadas Gradiente. Si ψ es un campo escalar en el espacio, entonces ψq, q 2, q 3 a ψq, q 2, q 3 a + a2 ψq, q 2, q 3 a 2 + a3 ψq, q 2, q 3 a 3 a s + a 2 s 2 + a 3 s 3 a h q + a 2 h 2 q 2 + a 3 h 3 q 3. ds i h i dq i. Divergencia. Si V es un campo vectorial en el espacio, expresado en términos de los vectores normales a i, V V a + V 2 a 2 + V 3 a 3, entonces V q, q 2, q 3 h h 2 h 3 Esto se demuestra usando que V lím con lados coordenados tendiendo a cero. [ V h 2 h 3 + V 2 h 3 h + ] V 3 h h 2. q q 2 q 3 vol R R V ndσ, con R cubos coordenados Laplaciano. Si ψ es un campo escalar en el espacio, combinando las definiciones de gradiente y divergencia, recordando que 2 ψ [ ψ ], obtenemos 2 ψq, q 2, q 3 h h 2 h 3 [ h 2h 3 + h 3h + h ] h 2 q h q q 2 h 2 q 2 q 3 h 3 q 3 Rotor. Si V es un campo vectorial en el espacio a h a 2 h 2 a 3 h 3 V q, q 2, q 3 h h 2 h 3 q q 2 q 3 h V h 2 V 2 h 3 V 3 Ejemplo 3.0. Escribir el laplaciano de un campo escalar en coordenadas cartesianas, esféricas y cilíndricas. 23