determinante haciendo todos los productos, Tema 8. Determinantes.

Transcripción

1 Tem. Determinntes.. Definiión de determinntes.. Propieddes de los determinntes.. Cálulo de determinntes de orden myor que (No entr en seletividd).. Rngo de un mtriz.. Mtriz invers... Definiión del determinnte de un mtriz udrd. Se define produto pril en un mtriz udrd omo el produto que se form on elementos de l mtriz (siguiendo un orden en unto ls fils) on l ondiión de que por d fil y olumn exist oligtorimente "uno y solo un" elemento representnte. Diho produto estrá fetdo por un signo, que será positivo o negtivo según que l permutión de suíndies que indin olumn se pr o impr. - Se define el determinnte de un mtriz udrd A omo l sum de todos los produtos priles de A. Y se denot por A. Vemos de form práti omo lulr un determinnte, dependiendo del orden de l mtriz. ) Si l mtriz es de orden será de l form A -. entones A Por ejemplo: A A ) Si l mtriz es de orden será de l form A determinnte hiendo todos los produtos,,lulr el A Pr reordrlo de un form más ómod oserv que vn on signo positivo l digonl prinipl y sus prlels y on signo negtivo l digonl seundri y sus prlels, es l llmd regl de Srrus.

2 Ejeriio : Clul los siguientes determinntes: ) ) ) d) e) 9 f) - g) h) i) j) k) l) m) n) ñ) o) p) q) r) s) t) u) Págin, ejeriios: 9,,,,, 9, en lse y.. Propieddes de los determinntes. º) Si se min fils por olumns en un mtriz udrd, su determinnte no vrí. Es deir, el determinnte de un mtriz udrd es igul l de su mtriz trspuest. t A A

3 º) Si mimos entre sí dos fils o dos olumns de un mtriz udrd, el determinnte de l nuev mtriz es igul l opuesto del determinnte de l mtriz iniil. d e f - d e f, o ien, det (C, C, C ) - det (C, C, C ) Pr un número pr de intermios + y pr un nº impr -. º) Si un mtriz udrd tiene dos fils o dos olumns igules, su determinnte es nulo, es deir, det (C, C, C ). Demostrión: g h i - g h i g h i º) Si todos los elementos de un fil o olumn de un mtriz udrd vlen ero, el determinnte vle ero, y que en los produtos priles hy un elemento de d fil y olumn. º) Dd un mtriz udrd si multiplimos todos los elementos de un fil (ó olumn) por un ierto nº rel, entones el determinnte de l nuev mtriz es igul l determinnte de l mtriz iniil multiplido por diho nº. d e f d e f, o ien, d e f d e f, o ien, det (C, C, C ) det (C, C, C ) º) Si un fil de un determinnte está formd por términos que son sum de dos sumndos, el determinnte es igul l sum de determinntes del siguiente modo: ' ' ' d e f d e f ' ' ' + d e f, es deir, det (C, C, C +C ) det (C, C, C ) + det (C, C, C ) Pr su demostrión simplemente tommos un produto pril y plimos l propiedd distriutiv.

4 º) Si en un mtriz udrd un fil (o olumn) es ominión linel de otrs entones el determinnte es nulo, es deir, det (C, C, C + C ). º) Dd un mtriz udrd, si un fil se le sumn otrs fils multiplids por ftores ulesquiers, l nuev mtriz tiene el mismo determinnte que l mtriz iniil. (Análogo pr olumns). Dees tener en uent que l fil l que summos l ominión linel no puede estr multiplid por ningún número, es deir, det (C, C, C + C + C ) det (C, C, C ) 9º) Determinnte de un mtriz tringulr. El determinnte de un mtriz tringulr es igul l produto de los elementos de su digonl prinipl. º) A.B A B º) A - A, su demostrión se s en l propiedd nterior, A A - A. A - I, por tnto, A - A. De est propiedd deduimos que no tods ls mtries tienen determinnte, es evidente que ls mtries que tienen determinnte ero no tienen invers. Ejeriio : Clul los siguientes determinntes sin desrrollrlos, es deir, utilizndo ls propieddes de los determinntes: ) Siendo que p q r u v w Clul u w v, p r q p u p r w r q v q ) Siendo x y z Clulr x y z, x y z x y z x y z y x - y - z - ) Siendo det(f, F, F ). Clulr det(f, F, F ), det(f, F, F ), det(f + F, F, F ) y det(f, F, F - F ).

5 Ejeriio : Resuelve ls siguientes euiones: ) x ) x siendo, y no nulos x x x x x ) x x x x x x Ejeriio : Otener, simplifindo, el desrrollo del determinnte: Ejeriio : Clul los siguientes determinntes: / / / ) / / / ) / / / Ejeriio : Justifi, utilizndo ls propieddes de los determinntes: Págin, ejeriios:,, del l 9, en lse,. Algunos ejeriios del liro preen en el rhivo de tividdes de repso de est unidd... Regls prátis pr el álulo de determinntes de orden myor que : L form de álulo de determinntes pr mtries de orden y no es válido pr ls de orden superior, por ello deemos usr otro método. Dd A un mtriz udrd, se llm menor omplementrio de un elemento ij l determinnte de l mtriz que result de suprimir l fil i y l olumn j. Se llm djunto de ij, y se denot por A ij, l menor omplementrio de ij, fetdo de un signo que será + si i + j es pr y - si i + j es impr. El determinnte de un mtriz oinide on l sum de los produtos, produtos que resultn de multiplir los elementos de un fil o olumn por sus djuntos respetivos.

6 A A + A + A ó A A + A + A A A + A + A, Pr lulr un determinnte de orden > utilizremos ls propieddes de los determinntes pr onseguir eros en un fil o olumn y después pliremos el álulo por djuntos. - Por ejemplo: Ejeriio : Clul los siguientes determinntes: ) - ) ) d) - - e) f) - g) - x - - x x Ejeriios voluntrios: págin, ejeriios,,,.. Rngo de un mtriz: Dd un mtriz de orden mxn, se define mtriz menor de orden h (menor o igul que el mínimo entre m y n) omo l mtriz udrd formd por los elementos que resultn en l interseión de h fils y h olumns, elegids l zr en l mtriz dd. Definimos menor omo el determinnte de un mtriz menor. Se define rngo de un mtriz omo el orden del menor no nulo de myor orden posile. Al menor que determin el rngo de l mtriz se le llm menor prinipl. El rngo oinide

7 on el número de fils linelmente independientes, que oinide on el número de olumns linelmente independientes (por ls propieddes y ). Ejemplos del álulo de rngo: ) Clulemos el rngo de l mtriz ) Clulemos el rngo de l mtriz ) De un mtriz de rngo y de orden x, x d) De un mtriz de rngo y de orden x, x, x e) Un mtriz de rngo y de orden x y X Propieddes del rngo: Ls trnsformiones elementles de fils o olumns que dejn invrinte el rngo de un mtriz son: ª) Si se permutn dos fils o dos olumns el rngo no vrí. ª) Si se multipli o divide un fil o olumn de un mtriz por un nº rel no nulo, el rngo no vrí. ª) Si un fil o olumn se le sum o rest otr prlel, el rngo no vrí. ª) Podemos suprimir ls fils o olumns nuls. ª) Podemos suprimir ls fils o olumns proporionles. ª) Podemos suprimir ls fils o olumns ominión linel de otrs. A prtir de ests propieddes pr lulr el rngo de un mtriz podemos plir el método de Guss y por determinntes. Cundo en el rngo intervengn prámetros, es onveniente utilizr el álulo por determinntes. Ejeriio : Clul el rngo de ls siguientes mtries: ) ) ) d) por determinntes

8 e) 9 f) por determinntes g) h) i) - - j) Págin, ejeriios:,, Ejeriio 9: Clul el rngo de ls siguientes mtries en funión del vlor del prámetro o prámetros. A,,, - /, / Por tnto rg A pr todo vlor de. B C D E 9 F 9 t (mirr on ls propieddes) Págin, ejeriios: l, 9,,,, en lse.. Mtriz Invers : Cundo en el tem nterior estudimos l estrutur de un onjunto de mtries udrds on l operión multipliión de mtries [M n x n (IR), x], vimos

9 que diho onjunto on l operión produto de mtries qued dotdo de estrutur de "SEMIGRUPO CON ELEMENTO NEUTRO" (mtriz identidd); no ostnte quedó pendiente por nlizr l posiilidd de que exist elemento simétrio (mtriz invers) pr d mtriz. Al estudir ls propieddes de los determinntes, demostrmos que no tods ls mtries tienen mtriz invers. Por tnto [M n x n (IR), x] no lnz l estrutur de "Grupo". Pr demostrr l existeni de l mtriz invers, undo A, diremos ómo se onstruye y omproremos que verifi A A - A - A I. Por omodidd, vmos trjr on orden. Pr onstruir l mtriz invers seguiremos los siguientes psos: Primer Pso: Se onstruye l mtriz djunt de A que se otiene sustituyendo d elemento de l mtriz dd por el vlor de su djunto: A A A Adj A A A A A A A Segundo Pso: Se lul l mtriz trnspuest de l mtriz djunt: (Adj) t Terer Pso: Finlmente se multipli d elemento de l mtriz otenid: (Adj) t por el inverso del determinnte de l mtriz iniil (Aunque en el último pso es undo dividimos por el determinnte, lo primero que hremos es lulrlo. Serí inneesrio relizr los psos y si el determinnte es ero): A A A A A A A A A A A A A A A A A - A A A A A A A A A A A A L mtriz otenid se llm mtriz invers de l mtriz A y se denot por A -. *** Pr demostrr que se verifi que A A - A - A I, utilizremos l definiión de determinnte por djuntos. Ejemplo: Construye l mtriz invers de: A Primer pso AdjA Segundo pso 9

10 AdjA t lulmos el determinnte, y dividimos d elemento por. Oteniendo: / / / / A. Oserviones: ) Aunque en el terer pso dividimos por el determinnte, ntes de empezr lulr l mtriz invers deemos lulr su determinnte. De es form nos segurmos de que existe. ) El pso y el se pueden intermir. ) Si queremos her l omproión tn solo tenemos que multiplir A por su invers y ompror que su produto es l mtriz unidd. Ejeriio : Clul l invers de ls siguientes mtries, no olvides que lo primero es lulr su determinnte pr segurrnos de su existeni: A B C D Ejeriio : Dds ls mtries A y B, otener, si proede, (B.A) -. Ejeriio : Hllr los vlores de pr los que l mtriz A tiene invers. Clul su mtriz invers pr. Ejeriio : Pr qué vlores de no tiene invers l mtriz A? Siendo A Clulr l invers pr. Págin, ejeriio:,, (no her prtdo ),, 9. Ejeriio : Resolver l euión mtriil X.A B + C D siendo A -, B, C y D -.

11 Ejeriio : Hllr un mtriz X tl que. X. Propieddes de l mtriz invers: ) L invers es úni. Demostrión por reduión l surdo: Suponemos que existen dos inverss X e Y, distints. Por ser inverss, ms umplen AX XA I, AY YA I Por tnto AX AY multiplindo por l izqd por X otenemos X(AX) X(AY); (XA)X (XA)Y; IXIY; XY, surdo puesto que ern distints. Llegdo l surdo, onluimos que l suposiión es fls, por ello l invers es úni. ) L invers de A - es A. Es deir, (A - ) - A. ) (A t ) - (A - ) t ) (AB) - B - A - Demostrión: Tenemos que pror que B - A - es l invers de AB, pr ello ls multiplimos, (B - A - ).(AB) B - (A - A)B B - IB B - B I, es deir, B - A - es l invers de AB. Págin, ejeriios:,,,,,, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, en lse, 9. Si es posiles, onviene her los siguientes ejeriios: 9, 9,,, 9.