Índice General de Ventas en Grandes Almacenes y su logaritmo

Transcripción

1 En los gráficos y cuadros que se presentan en las páginas siguientes se presentan resultados relativos a la variable Índice General de Ventas en grandes superficies en España con periodicidad mensual desde 1995 a Para decidir el modelo ARIMA adecuado se pide que comente justificadamente las siguientes cuestiones: Índice General de Ventas en Grandes Almacenes y su logaritmo VENTAS LVENTAS Gráficos de las distintas transformaciones del logaritmo de la serie DLVENTAS D11LVENTAS D12LVENTAS D112LVENTAS 1

2 (1) Decidir la transformación estacionaria óptima: - A partir del análisis gráfico El gráfico de la serie original muestra evolución en el tiempo de la varianza lo que aconseja la transformación logarítmica de los datos. El gráfico del logaritmo de la serie muestra tendencia y una acusada estacionalidad, lo que podría indicar falta de estacionariedad. El gráfico de la primera diferencia del logaritmo muestra una acusada estacionalidad por lo que también podría indicar falta de estacionariedad. Igualmente con la segunda diferencia. El gráfico de la primera diferencia estacional del logaritmo muestra un perfil cíclico que nuevamente podría indicar falta de estacionariedad. La transformación que podría ser estacionaria es la diferencia regular y estacional del logaritmo de la serie. - A partir de las desviaciones típicas de las transformaciones. Transformación Desviación Típica Lventas DLVentas D11LVentas D12LVentas D112LVentas La mínima desviación típica se alcanza en la primera diferencia estacional del logaritmo de la serie, lo que sugeriría que es la transformación adecuada. La transformación elegida en el apartado anterior se muestra como la segunda mejor opción. - A partir de los contrastes de raíces unitarias. Lventas t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level DLVentas Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level DDLVentas 2

3 Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level Los contrastes de raíces unitarias mediante el contraste de Dickey-Fuller aumentado muestran que no se puede rechazar la presencia de una raíz unitaria, pero sí que se podría rechazar una segunda y tercera raíces unitarias. Lo cual apoyaría que la transformación estacionaria óptima podría ser la primera diferencia estacional. - A partir de los correlogramas de las transformaciones. LX LX 12 LX 12 LX El correlograma de la serie original corresponde claramente a un proceso no estacionario puesto que las correlaciones decaen muy lentamente. 3

4 El correlograma de la primera diferencia del logaritmo es no estacionaria porque los retardos correspondientes a las frecuencias estacionales decaen también muy lentamente. El correlograma de la primera diferencia estacional del logaritmo de la serie presenta un perfil dudoso, ya que las correlaciones no decaen tan lentamente como en el caso de la serie original, pero todavía se observa demasiada estructura. El correlograma de la diferencia regular estacional del logarimo de la serie corresponde al perfil de una serie estacionaria. Como conclusión, se deberían modelizar alternativamente la primera diferencia y la diferencia regular y estacional del logaritmo de la serie y comparar los resultado. (2) Proponga un modelo para la transformación estacionaria. Si se considera como transformación estacionaria la primera diferencia estacional, haría falta un polinomio autorregresivo suficientemente largo (p=5) para la parte regular, o alguna simplificación ARMA alternativa y para la parte estacional, quizás fuera suficiente con un autorregresivo de orden 1. También se incluiría una constante para poder captar el comportamiento tendencial de la serie. at = c + 5 (1 φ L! φ L )(1 φ ln 12 X t L Si se considera como transformación estacionaria la diferencia regular y estacional, la serie podría ser modelizada como un MA(1)MA(12) multiplicativo. ) ln X t = (1 θ1l)(1 θ12l ) a t (3) Discuta si el modelo (1) es adecuado: - son todos los parámetros significativos? Todos los parámetros son significativos, tal y como señalas sus correspondientes estadísticos t y sus p-valores. - son los residuos ruido blanco? Los residuos no son ruido blanco puesto que la autocorrelación residual de orden 5 sale fuera de las bandas de confianza y el p-valor del estadístico Q asociado a los distintos retardos es en todo momento inferior al 5%. - Proponga mejoras. Para corregir el problema de la autocorrelación residual sería conveniente aumentar el orden del polinomio autorregresivo. También sería necesario estudiar la posibilidad de introducir algún término de medias móviles para corregir las autocorrelaciones en los retardos 9 y 10. 4

5 Opción 1: Modelo en 12 (1) Dependent Variable: D(LVENTAS,0,12) Method: Least Squares Date: 09/03/04 Time: 11:21 Sample(adjusted): 1996: :07 Included observations: 100 after adjusting endpoints Convergence achieved after 9 iterations Backcast: 1995: :03 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C AR(1) AR(2) AR(3) MA(12) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Inverted AR Roots i i Inverted MA Roots i i i i -.99i -+.99i i i i i -.99 Verificación de que los residuos sean ruido blanco y gráfico de residuos: Residual Actual Fitted 5

6 (4) Discuta si el modelo (2) es adecuado: - son todos los parámetros significativos? Este modelo no presenta todos sus parámetros significativos. Se debería simplificar puesto que el parámetro correspondiente a la intervención en abril de 1999, al AR(2) y al MA(9) no son significativamente distintos de 0. Opción 1: Modelo en 12 (2) Dependent Variable: D(LVENTAS,0,12) Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C D(I9904,0,12) AR(1) AR(2) AR(3) AR(5) MA(9) SMA(12) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) 0 Inverted AR Roots i i i i Inverted MA Roots i i i i i i i i +.99i i i i i i i i i i

7 Verificación de que los residuos sean ruido blanco y gráfico de residuos: Residual Actual Fitted - son los residuos ruido blanco? A pesar de la parametrización introducida los residuos siguen sin ser ruido blanco, puesto que el estadístico Q sigue presentando un p-valor inferior al 5% en todos los retardos. - Proponga mejoras. El modelo está excesivamente parametrizado. Sería conveniente analizar la otra transformación para alcanzar la estacionariedad alternativa. (5) Discuta si el modelo (3) es adecuado: - son todos los parámetros significativos? En el modelo (3) todos los parámetros son significativamente distintos de 0. - son los residuos ruido blanco? No se puede rechazar la hipótesis de aucorrelación residual, todas las autocorrelaciones están dentro de las bandas de confianza y el p-valor asociado al estadístico Q es superior al 5%. - Proponga mejoras. El modelo parece bien especificado. 7

8 Opción 2: Modelo en 12 (3) Dependent Variable: D(LVENTAS,1,12) Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D(I9904,1,12) AR(1) AR(2) MA(1) MA(10) SMA(12) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Inverted AR Roots i i Inverted MA Roots i i i i i i i i -.99i -+.99i i i i i i i i i Verificación de que los residuos sean ruido blanco y gráfico de residuos: Residual Actual Fitted 8

9 (6) Qué otros elementos cree que debería incluir dadas las características de la serie? Dado que se trata de una serie de actividad, habría que estudiar la influencia del denominado Efecto Calendario y de la Semana Santa. La omisión del efecto calendario se puede ver reflejada en la necesidad de incluir en el modelo un AR(2) con raíces complejas. Dado que en esta serie ha sido precisa la inclusión de un AR(2) con raíces complejas, podría ser una indicación de la necesidad de modelizar el Efecto Calendario. 9