4.- ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO

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1 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO 4..- Efecto de los polos en el comportamiento del sistema Estabilidad Análisis de la respuesta de un sistema de er orden Análisis de la respuesta de un sistema de º orden Respuesta en frecuencia Análisis de Comportamientos.

2 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas EFECTO DE LOS POLOS EN EL COMPORTAMIENTODEL SISTEMA Polos reales ( s p ) Entrada escalón p>0 { (Ej: p3) p>0 (Ej: p-3) ss ( 3) ss ( + 3) -- ( + e 3t ) 3 -- ( e 3t ) 3 circulo virtuoso realim. negativa Polos imaginarios conjugados { ( Entrada escalón (Ej: ω ) j3 s jω)s ( + jω) ss ( -- ( cos ( 3t) ) + 9) 9 comportamiento oscilario

3 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 3 Polos complejos conjugados p > 0 (Ej : + j3 ) Entrada ( s p jω)s ( p + jω) escalón{ ss ( s + 0) ( + e t sin ( 3t + ϕ )) ) 0 circulo virtuoso p < 0 (Ej: + j3) ss ( + s + 0) ( + e t sin ( 3t + ϕ )) ) 0 realim. negativa

4 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas ESTABILIDAD Estabilidad Entrada-Salida (Descripción Externa) Definición: Un sistema, inicialmente en reposo, se dice estable si: Señal entrada acotada > señal salida acotada ESTABILIDAD BIBO Teorema de estabilidad: Si G(s) es la función de transferencia de un sistema, ésta será estable si todos los polos de G(s) están en el semiplano izquierdo del plano complejo

5 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas Estabilidad Descripción Interna Definición de Estado de Equilibrio: Sea la ecuación de estado x gxft (, ()) se denomina estado de equilibrio a la configuración que cumple: x gx ( e, ft ()) 0 t En un sistema L.T.I hay un solo estado de equilibrio si la matriz [A] no es singular Concepto de equilibrio estable Se dice que un estado de equilibrio x e es global y asintóticamente estable, si para un valor de la entrada constante o cero, toda solución converge asintóticamente hacia x e al incrementar indefinidamente la variable tiempo ( t ).

6 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 6 Condición de estabilidad sistema lineal Un estado de equilibrio de un sistema L.T.I es asintóticamente estable si los autovalores de la matriz A tienen parte real negativa. (salvo cancelación interna de polos). Autovalores de la matriz A: Raíces de la ecuación: det (I s-a) 0 Autovalores de la matriz A Polos del sistema

7 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas Tipos de respuesta y clasificación de comportamientos. -El comportamiento de un sistema viene dado por las trayectorias de sus variables de estado. -Las trayectorias seguidas por las salidas de un sistema reciben el nombre de respuesta temporal. -En algunos casos, es posible dividir la respuesta temporal en dos partes: -Respuesta estacionaria: Se corresponde con la respuesta del sistema cuando tiende el tiempo tiende a infinito, para sistemas estables: Representación externa.-teorema del valor final Representación interna.-punto de Equilibrio -Respuesta transitoria: Se corresponde con la respuesta del sistema desde que se aplica una señal hasta que alcanza un valor próximo a la respuesta estacionaria.

8 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 8 Los comportamientos suelen clasificarse en: Oscilatorio: La evolución de las variables de estado y la respuesta temporal consisten en oscilaciones que no decrecen con el tiempo, Ejemplo: el movimiento de un muelle sin fricción. Subamortiguado: La evolución de las magnitudes fundamentales del sistema realizan una serie de oscilaciones de amplitud decreciente antes de alcanzar el estado estacionario. Ejemplo: muelle con amortiguación. Sobreamortiguado: Se alcanza el régimen estacionario sin oscilaciones.

9 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas Esquema general de actuación - Diagrama causal > Identificación de estructuras. -Ecuaciones diferenciales: * Función de transferencia. * Modelo de estado. - Tipos de polos > estable inestable? - Respuesta transitoria, Respuesta estacionaria >tipos de polos - Simulación > respuesta temporal para la entrada deseada. - Coinciden las predicciones con lo obtenido?

10 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas Análisis de la respuesta de un sistema de er orden. { Función de Transferencia Xs ( ) dx Fs ( ) ( s+ a ) ax ft () P Modelo de estado dx ax+ ft () Ecuación diferencial Respuesta a la señal escalón ft () Pu 0 () t LPu [ 0 () t ] P --- s Si a < 0 (polo real positivo, equilibrio inestable): dx x Ej.- x e x e (Si x(0) > x e círculo virtuoso; si x(0) < x e círculo vicioso) P - a x(0). x(0) x(0) 0.9

11 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. Si a>0 (polo real negativo, equilibrio estable): x P e --- τ P a Teorema valor final: x P ( ) lim s s 0 ss ( + a ) P --- x a e Constante τ de tiempo ā - Ej.- dx x x e (Cualquiera que se el valor de x(0) la salida tiende a x e ) Respuesta forzada: xt () L P ss ( + a ) P --- ( e at ) ( e t ) a Respuesta Libre: xt () L x( 0) ( s+ a ) x ( 0 )e t x( τ) -- 3 Si x(0) x( τ) X e [ e ] X e 0, 63 --X 3 e x τ --x e 3

12 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. Puntos de Equilibrio en sistemas de er Orden dx Condiciones Iniciales: x(0) B f Punto de equilibrio x e A f cte A x + B f dx Punto de equilibrio dx Punto de equilibrio x(0) x(0) x x(0) x(0) x Equilibrio Estable A < 0 Equilibrio Inestable A > 0

13 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas Análisis de la respuesta de un sistema de o orden. { Ecuación diferencial d x a dx bx bf() t ω n a ξω d s + ξω n s + ω n x n dx + ξω n ω nx ωnxft () b ω n 0 x ω n x Función de Transferencia Modelo de estado x ξω n + 0 ft () x ω n Ecuación característica Punto de Equilibrio s f ω n + ξω n s + ω n 0 x x E f E 0 ω n

14 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 4 Típicos sistemas de º orden V. Entrada V. Salida v i (t) R L v 0 (t) L C d v R C dv v 0 v i C d v R dv v L LC v LC i ξω n R --- L ω n LC Vi V LC s R + ---s L LC V. Entrada V. Salida f(t) m x(t) µ ω n k m d y µ dy ky ft () m d y µ dy k f x --- m m m f f -- k K --- µ ξω m n --- m f f k d y µ --- dy k y m m Xs ( ) Fs ( ) k ---f m --- k m s ---s µ k m m

15 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 5 Respuesta a la señal escalón d x ζω x + + ω t n ω n ut () xt () L ω n s ( + ζω n s + ω n )s Ecuación característica s + ξω n s + ω n 0 a) Dos polos reales: Sobreamortiguado ζ > xt () L ω n ( s + a )s ( + b )s ω n + ab a be ( at b ae bt ) b) Un polo real doble: Críticamente amortiguado ζ xt () L ω n ( s + ) e ω nt ωte ω nt s ω n c) Dos polos complejos conjugados: Subamortiguado ζ < ζω n t xt () e ζ ω n ζ sin t + ϕ ; ϕ atan ζ ζ

16 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 6 c) Dos polos imaginario conjugados: Oscilatorio ζ 0 xt () L ω n ss cos ( t ω n) ( + ω n ) El sistema oscila con una frecuencia ω n ω n Frecuencia natural de oscilación La pate real de los polos es igual a cero, se dice que el sistema es Marginalmente Estable

17 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 7 ESPECIFICAIONES TEMPORALES SISTEMA SUBAMORTIGUADO Tiempo de subida Ts Sobreimpulso máximo π φ ζ ; φ atan ; ω ω d ζ d ω n ζ π tanφ M e Tiempo de pico T p π ω d 3 te ζω n Tiempo de establecimiento: al 5% al % te ζω n 474, te , 83 te ω ω n n Tiempo de establecimiento Critic. Amortiguado: al 5% al %

18 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 8 Puntos de Equilibrio en sistemas lineales de º Orden x A x + B U Condiciones Iniciales: x( 0)x, ( 0) x x( 0) x t x x ( 0) Condiciones Iniciales x(0) x x ( 0) Trayectoria en el Espacio de Estados Respuesta Temporal t

19 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 9 Puntos de Equilibrio Estable en sistemas lineales de º Orden Punto de Equilibrio: Configurción de Centro jw jw jw σ σ σ Dos Polos Reales Negativos Polos Complejos Conjugados Polos Imaginarios Conjugados

20 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 0 Puntos de Equilibrio Inestable en sistemas de º Orden inestable jw jw jw σ σ σ Polo Real Positivo Polo Real Negativo Polos Complejos Conjugados Dos Polos Reales Positivos

21 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. Teorema del valor final En el caso de estudiar sistemas estables, el valor de la salida en estado de equilibrio debe coincidir con el valor estacionario obtenido mediante un modelo externo. Para obtener el valor estacionario se aplica el Teorema del Valor Final: t lim ft () lim s Fs ( ) s 0 Ejemplo: Valor estacionario cuando se aplica la entrada escalón unitaria al sistema: s + s + 3 x x 0 x 0 f ft () x e x 3 x e 0 x( ) lim s ss s 0 + s

22 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas Respuesta en frecuencia Fs ( ) Gs ( ) Xs ( ) Xs ( ) Gs ( ) Fs ( ) Se puede demostrar que si f(t) se de la forma: ft () P sin ( ω t) x(t) es de la forma: xt () x t () t + x e () t Respuesta transitoria Respuesta estacionaria con x e (t) en la forma: x e t Con ϕ atan Imag Gj ( ω) Real Gj ( ω) ( ) ( ) () P Gj ( ω) sin ( ω t + ϕ) Gj ( ω) Sustitución de s por jω en G(s)

23 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 3 Representación de la respuesta en Frecuencia: Diagrama de Bode, Diagrama Polar Gjw ( ) ( jw) + ( jw) + winf arg(g(jw)) w0 Gjw ( ) ( jw) + (( jw) + 9.5) G(jw) Se representa: - El valor del módulo de G(jw), expresado en db, frente al valor de la frecuencia - El valor de la fase de G(jw) frente al valor de la frecuencia Se representa en el plano complejo el valor de G(jw) para cada frecuencia w

24 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas ANÁLISIS DE COMPORTAMIENTOS Sistemas Lineales Comportamiento Estable Punto de Equilibrio estable Estructura de relimentación negativa Comportamiento Oscilatorio Equilibrio Configuración de centro Relimentación negativa: *Polos imaginarios puros T R + D _ T + + P Comportamiento Inestable Punto de Equilibrio Inestable Estructura de relimentación positiva: *Círculos Viciosos *Círculos Virtuosos X _ X + _ C + _ D + F D _ F

25 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 5 Sistemas No Lineales Comportamientos más complejos: *Más de un punto de equilibrio *Alternancia de bucles de realimentación positiva y negativa dx Ecuación Logística: ( N M 0 + x 0 ) x x Otros Modelos: Despensación Crítica + Nacimientos Población + _ + Muertes + Contagios + Población Enferma + _ Población Sana

26 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 6 Puntos de Equilibrio en sistemas de er Orden No Lineales dx fx ( ) Condiciones Iniciales: x(0) Pueden existir más de un punto de equilibrio dx Punto de equilibrio estable Ejemplo: dx B + A x x Linealización en torno al equilibrio x dx x Punto de equilibrio inestable

27 ANALISIS DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 4. 7