Álgebra Lineal. Miguel A. Marmolejo L. & Manuel M. Villegas L. Departamento de Matemáticas Universidad del Valle

Transcripción

1 Álgebra Lineal Miguel A Marmolejo L & Manuel M Villegas L Departamento de Matemáticas Universidad del Valle

2 Índice general Introducción Índice de figuras iii Capítulo Preliminares Matrices Espacios vectoriales Transformaciones lineales Espacios fundamentales de una matriz Rango de una matriz Sistemas de ecuaciones lineales Capítulo Matrices Particionadas Traza de una Matriz Submatrices Operaciones con matrices particionadas Determinantes e inversas de algunas matrices especiales Traza de una matriz 8 Capítulo Valores propios y vectores propios Diagonalización Valores propios y vectores propios Diagonalización 9 Diagonalización de matrices simétricas 8 Diagonalización simultánea de matrices simétricas Capítulo Formas cuadráticas Clasificación de las formas cuadráticas Cambio de variable Diagonalización de formas cuadráticas Formas cuadráticas positivas, negativas e indefinidas 8 Anexo: Matrices no negativas Matrices idempotentes 89 Capítulo Inversa generalizada e inversa condicional de matrices 99 Inversa generalizada de una matriz 99 Cálculo de la g-inversa de una matriz Inversa condicional de una matriz Sistemas de ecuaciones lineales: g-inversa y c-inversa de una matriz mínimos cuadrados 9 Capítulo Factorización de matrices Descomposición LU Descomposición QR 8 Descomposición de Cholesky Descomposición en valores singulares (SVD) Capítulo Rectas e hiperplanos Conjuntos convexos Rectas Segmentos de recta Hiperplanos Conjuntos convexos

3 Índice general Índice alfabético 9 Bibliografía ii

4 Índice de figuras Transformación lineal Interpretación geométrica de vector propio Vectores propios de T (x, y) (x, x + y) Problema de los mínimos cuadrados Ajuste por mínimos cuadrados Ajuste lineal por mínimos cuadrados Ajuste lineal ejemplo Ajuste lineal ejemplo Ajuste cuadrático ejemplo 9 Esquema de la factorización LU Puntos y vectores en R Una recta en R 8 Gráfica de una recta que pasa por los puntos P y Q 9 Segmento de recta que une los puntos P y Q Gráfica de un plano en R Gráficas de un plano y una recta en R Ilustración de semiespacios abiertos Conjuntos convexos y no convexos iii

5 CAPÍTULO Preliminares En este capítulo se recopilan algunas definiciones y algunos resultados básicos que servirán de referencia en el desarrollo de los capítulos posteriores Se consideran aquí varios aspectos relacionados con matrices, espacios vectoriales y transformaciones lineales El orden en que se presentan los temas no corresponde al encontrado en la mayoría de textos utilizados en un primer curso de álgebra lineal (Grossman [], Nakos y Yoyner [], Strang [] y otros) Matrices Una matriz A de tamaño m n (o simplemente A m n) es un arreglo rectangular de escalares dispuestos en m filas ("líneas" horizontales) y n columnas ("líneas" verticales); el escalar que está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna se denota por a ij o A ij y se llama elemento ij de la matriz A Para indicar dicho arreglo usualmente se escribe A [a ij] m n, o en forma expandida a a a n a a a n () A a m a m a mn Si A i denota la i-ésima fila de A y A j la j-ésima columna de A; esto es, A i ˆ a i a i a in ; A j A a j a j a mj entonces el arreglo () se puede representar por filas o por columnas como sigue: A A A m ˆ A A A n Las matrices se denotan, como se ha sugerido, con letras mayúsculas A, B, C, etc El conjunto de todas las matrices m n con elementos reales se denotará por M m n(r) o simplemente M m n Los elementos de M n n se llaman matrices cuadradas de orden n; a la "diagonal" formada por los elementos a, a,, a nn de una tal matriz A, se le llama diagonal principal de A, A no ser de que se exprese lo contrario, todos los escalares serán números reales

6 Matrices Preliminares Toda matriz cuadrada A cuyos elementos fuera de la diagonal principal son nulos (a ij para i j, i, j,,, n), se denomina matriz diagonal y usualmente se escribe A diag(a, a,, a nn) Una matriz cuadrada se llamada triangular superior (inferior) si todos sus elementos abajo (arriba) de su diagonal principal son nulos La matriz diagonal de orden n, cuyos elementos en su diagonal principal son todos iguales a, se denomina matriz idéntica o matriz identidad de orden n; tal matriz se denota por I n (o simplemente I, cuando no sea necesario especificar el orden) Una matriz nula es una matriz cuyos elementos son todos nulos Una matriz nula será denotada por (o por m n cuando sea necesario especificar el tamaño de la matriz) Dos matrices A y B de igual tamaño m n son iguales si y sólo si sus componentes correspondientes son iguales Esto es, A ij B ij ; i,,, m, j,,, n La suma A + B de dos matrices A y B de tamaño m n, es la matriz m n tal que: A + B ij A ij + B ij ; i,,, m, j,,, n La multiplicación αa del número α por la matriz A de tamaño m n, es la matriz de tamaño m n, tal que: αa ij α A ij ; i,,, m, j,,, n El producto AB de la matriz A M m s por la matriz B M s n, es la matriz de tamaño m n, tal que: sx AB ij A ik B kj A i B j ; i,,, m, j,,, n k Inversa de una matriz Sea A M n n Si existe una matriz B M n n tal que AB I, se puede demostrar que BA I y que B es única Cuando existe una matriz B tal que AB I, a B se le llama la matriz inversa de A y se le denota por A Es este caso se dice que A es no singular o invertible; en caso contrario, se dice que A es no invertible o singular En el siguiente teorema se establecen algunas propiedades de la inversa de una matriz Teorema Si A, B M n n son matrices invertibles y si α es un número no nulo, entonces: La matriz A es invertible y `A A La matriz AB es invertible y (AB) B A La matriz αa es invertible y (αa) α A Transpuesta de una matriz Sea A una matriz m n La matriz transpuesta de A es la matriz n m, denotada por A T, cuya i-ésima fila corresponde a la i-ésima columna de la matriz A Esto es, la transpuesta de A es la matriz A T tal que A T ij A ji, para i,, m, y j,, n Sea A una matriz cuadrada Si A T A, se dice que A es una matriz simétrica, y si A T A, se dice que A es una matriz antisimétrica En particular, las matrices diagonales son simétricas Las propiedades más relevantes de la transpocisión se dan en el siguiente teorema Teorema Si A y B son matrices tales que las operaciones siguientes están bien definidas, entonces: (A T ) T A A T B T si y sólo si A B Si A es una matriz diagonal, entonces A T A Si α, β son números, entonces (αa + βb) T αa T + βb T (AB) T B T A T

7 Preliminares Matrices Las matrices A T A y AA T son simétricas Si A es invertible, entonces A T es invertible y (A T ) (A ) T Determinantes En este apartado se dan las definiciones de menor, cofactor, matriz de cofactores, matriz adjunta y determinante de una matriz cuadrada Además se presentan algunas propiedades del determinante En lo sucesivo, el determinante de una matriz A será denotado por A o por det(a) Se define el determinante de una matriz de manera inductiva Para una matriz A, que consta de un sólo elemento; digamos A [a], se define det(a) a El determinante de una matriz n n; n, se define en términos de determinantes de matrices (n ) (n ); para ello es necesario introducir los conceptos de menor y cofactor Sea A [a ij] n n; el menor del elemento A ij se denota por m ij y se define como el determinante de la matriz que resulta al suprimir la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de A El cofactor del elemento A ij se denota por C ij y se define como C ij ( ) i+j m ij La matriz C, cuyos elementos son los cofactores C ij de A se denomina matriz de los cofactores de A La transpuesta de la matriz de cofactores C, se denomina adjunta de A y se denota por adj(a), es decir, adj(a) C T El determinante de A se define entonces como el número nx det(a) A j C j, En particular, si A [a ij] entonces det(a) a a a a j En el siguiente teorema se dan expresiones para calcular el determinante de una matriz (cuadrada) en términos de sus cofactores Además, muestra que el valor del determinante no depende de la fila o columna a lo largo de la cual se haga la expansión Dicho teorema presenta también una forma para calcular la inversa de una matriz Teorema Sea A una matriz cuadrada de orden n Si C ij denota el cofactor del elemento A ij, entonces: nx a) det(a) A ij C ij, para cada i,,, n b) det(a) j nx A ij C ij, para cada j,,, n i Para cualquier matriz cuadrada A, se tiene que A adj(a) adj(a) A det(a) I La matriz A es invertible sii A, en este caso se tiene que A (det(a)) adj(a) Las principales propiedades del determinante de una matriz se recogen en el teorema que sigue Teorema Sean A, B y C matrices cuadradas de orden n, entonces: A A T Si A tiene una fila nula, entonces A

8 Matrices Preliminares Si A y B son matrices que difieren únicamente en la k-ésima fila y si A k α B k (con α ), entonces A α B Si α es un escalar, entonces αa α n A Si A, B y C difieren únicamente en la k-ésima fila y si C k A k + B k, entonces C A + B Si A tiene dos filas iguales, entonces A Si B se obtiene al intercambiar dos filas de A, entonces B A 8 El determinante de una matriz no cambia si los elementos de la i-ésima fila son multiplicados por un escalar α y los resultados son sumados a los correspondientes elementos de la k-ésima fila, para k i 9 AB A B Nota Por (), cualquier proposición sobre A que sea verdadera en las filas de A es también verdadera para las columnas de A Operaciones elementales Matrices elementales En este apartado se introducen las operaciones elementales y las correspondientes matrices elementales, que constituyen la herramienta básica para describir ciertos procesos de cálculo y para demostrar algunos resultados importantes del álgebra lineal relacionados con los sistemas de ecuaciones lineales, con la inversa generalizada de una matriz y con diversas descomposiciones de una matriz Para un desarrollo detallado ver Espinosa y Marmolejo [] Definición (Operaciones y matrices elementales) Dada una matriz A, cada una de las siguientes operaciones es llamada una operación elemental en las filas (columnas) de A (i) El intercambio de dos filas (columnas) de A (ii) La multiplicación de los elementos de una fila (columna) de A por un escalar no nulo (iii) Reemplazar una fila (columna) de A, por la suma de ella y un múltiplo escalar no nulo de otra fila (columna) de dicha matriz Una matriz elemental por filas (columnas) es aquella que resulta de efectuar una operación elemental sobre las filas (columnas) de una matriz identidad Teorema (Matrices elementales) Cada matriz elemental es invertible Además, la inversa de cada matriz elemental es una matriz elemental Sea A una matriz m n Si B es una matriz que resulta al efectuar una operación elemental sobre las filas de A y si E es la matriz elemental que resulta de efectuar la misma operación elemental sobre las filas de la matriz idéntica I m, entonces E A B Sea A una matriz m n Si B es una matriz que resulta al efectuar una operación elemental sobre las columnas de A y si E es la matriz elemental que resulta de efectuar la misma operación elemental sobre las columnas de la matriz idéntica I n, entonces A E B Definición (Forma escalonada reducida) Se dice que una matriz R tiene la forma escalonada reducida, si satisface las siguientes condiciones: (i) Si una fila de R es no nula, el primer elemento no nulo de dicha fila, de izquierda a derecha, es (ii) Si las filas i e i + de R son no nulas, el primer elemento no nulo de la fila i + está a la derecha del primer elemento no nulo de la fila i (iii) Si una columna de R contiene el primer elemento no nulo de una fila de R, los demás elementos de dicha columna son nulos (iv) Si R tiene filas nulas, éstas aparecen en la parte inferior de R El siguiente teorema relaciona los conceptos de matrices elementales y forma escalonada reducida para una matriz arbitraria

9 Preliminares Espacios vectoriales 8 Teorema Para toda matriz A existe una única matriz R que tiene la forma escalonada reducida y un número finito de matrices elementales por filas E, E,, E k tales que: E k E E A R La matriz R mencionada en el teorema anterior se denomina la forma escalonada reducida de A 9 Teorema Sea A una matriz cuadrada de orden n A es invertible sii la forma escalonada reducida de A es I n A es invertible sii A se puede expresar como el producto de un número finito de matrices elementales Los dos últimos teoremas dan lugar a un método para decidir cuándo una matriz cuadrada A es invertible y, simultáneamente, proveen un algoritmo para calcular su inversa El método consiste en lo siguiente: Forme la matriz [A I n] Seguidamente efectúe operaciones elementales sobre la filas de esta matriz hasta obtener su forma escalonada reducida; al final se obtiene una matriz que se representa como: [R P ]; donde R es la forma escalonada reducida de A Ahora: A es invertible sii R I n Si A es invertible entonces A P Espacios vectoriales El conjunto de matrices m n, junto con las operaciones suma de matrices y multiplicación de un escalar por una matriz, tiene una estructura algebraica denominada espacio vectorial Esta estructura es importante porque incluye otros conjuntos que se presentan frecuentemente en las matemáticas y sus aplicaciones Definición Un espacio vectorial (real) es un conjunto V, cuyos elementos son llamados vectores, junto con dos operaciones: suma de vectores (+) y multiplicación de un escalar por un vector ( ), que satisfacen las propiedades siguientes: (i) Si u V y v V, entonces u + v V (ii) Si u V y v V, entonces u + v v + u (iii) Si u V, v V y w V, entonces (u + v) + w u + (v + w) u + v + w (iv) Existe un vector V tal que para todo u V, u + + u u (v) Si u V, entonces existe un vector u V tal que u + ( u) ( u) + u (vi) Si u V y α es un escalar, αu V (vii) Si u V y α, β son escalares, entonces (αβ)u α(βu) β(αu) (viii) Si u V y α, β son escalares, entonces (α + β)u αu + βu (ix) Si u V y v V y α es un escalar, entonces α(u + v) αu + αv (x) Si u V, entonces u u Ejemplo Son espacios vectoriales: V R n {(x, x,, x n) : x i R, i,,, n} con las operaciones definidas así: (x, x,, x n) + (y, y,, y n) (x + y, x + y,, x n + y n) α (x, x,, x n) (αx, αx,, αx n) V M m n, el conjunto de matrices m n con las operaciones definidas en la sección

10 Espacios vectoriales Preliminares V F(R, R), el conjunto de funciones de R en R con las operaciones definidas así : (f + g)(t) f(t) + g(t), t R (αf)(t) αf(t), t R V P n, el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n con las operaciones definidas en el ejemplo anterior Como se establece en la definición, un espacio vectorial (real) es un tripla que consta de un conjunto V y de dos operaciones con ciertas propiedades Cuando no haya lugar a confusión o cuando no sea necesario explicar las operaciones mencionadas, se hará referencia simplemente al espacio vectorial V Definición Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V Se dice que un W es subespacio de V, si W, junto con las operaciones definidas en V, es un espacio vectorial Definición Sean V un espacio vectorial, v un elemento de V y W es un subespacio de V El subconjunto determinado así: es denominado una variedad lineal de V L {v V : v v + w, para w W }, El siguiente concepto es básico en el estudio de los espacios vectoriales En particular, servirá para caracterizar ciertos subespacios de un espacio vectorial Definición Sean v, v,, v n vectores de un espacio vectorial V Se dice que un vector v V es combinación lineal de los vectores v, v,, v n, si existen escalares α, α,, α n tales que: nx v α v + α v + + α nv n α iv i Teorema Sea W un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V Entonces, W es un subespacio de V sii W es cerrado bajo la operación suma de vectores y la multiplicación por un escalar, es decir, sii Si u W y v W, entonces u + v W Si u W y α R, entonces αu W Teorema Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V, entonces: La intersección de U con W ; U W es un subespacio vectorial de V La suma de U con W ; definida por es un subespacio vectorial de V i U + W {v V : v u + w, con u U y w W }, Teorema Sea C un conjunto no vacío de vectores de un espacio vectorial V El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de C; es un subespacio de V W {v V : v kx α iv i; k N, v i C y α i R, i,,, k} i

11 Preliminares Espacios vectoriales Sea C un conjunto no vacío de vectores de un espacio vectorial V El subespacio de V, de todas las combinaciones lineales de los vectores de C mencionado en el teorema anterior, es denominado el espacio generado por los vectores de C o simplemente, espacio generado por C Cuando C {v, v,, v n} (es finito), este espacio será denotado por v, v,, v n o por gen{v, v,, v n} Cuando consideramos un conjunto C de vectores de un espacio vectorial, es a veces importante determinar cuándo algún vector o algunos de los vectores de C se pueden expresar como combinaciones lineales de los restantes vectores en C Para ello, necesitamos de la definición de dependencia lineal de un conjunto de vectores y algunos resultados sobre ella 8 Definición (Independencia lineal) Sea C {v, v,, v n} un conjunto de vectores (distintos) de un espacio vectorial V Se dice que C es linealmente dependiente o que los vectores v, v,, v n son linealmente dependientes, si existen escalares α, α,, α n no todos nulos tales que: nx α v + α v + + α nv n α iv i, en caso contrario, se dice que C es linealmente independiente o que los vectores v, v,, v n son linealmente independientes Es decir; C es linealmente independiente, si para todos los escalares α, α,, α n; P n i αivi, implica α α, α n 9 Teorema En un espacio vectorial V se tiene: Todo conjunto que contenga el vector nulo,, es linealmente dependiente Todo conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente Todo subconjunto de un conjunto linealmente independiente, es linealmente independiente Un conjunto de vectores C {v, v,, v n}, n, es linealmente dependiente sii uno de los vectores de C es combinación lineal de los restantes vectores de C Bases y dimensión Dado un espacio vectorial V, es útil determinar un subconjunto B de V que sea linealmente independiente y que genere al espacio V ; un tal conjunto B se denomina base de V Se dice que un espacio vectorial V es de dimensión finita, si existe un conjunto finito C de vectores de V, tal que el espacio generado por C en V En caso contrario, se dice que dicho espacio tiene dimensión infinita Ejemplos de éstos últimos son: el conjunto de funciones de R en R, o el conjunto de todos los polinomios En lo que sigue, se consideran sólo espacios de dimensión finita Definición (Base) Sea B un conjunto de vectores de un espacio vectorial V Se dice que B es una base de V si se tienen las dos condiciones: (i) El espacio generado por B es V (ii) El conjunto B es linealmente independiente Si un espacio vectorial V tiene una base B {v, v,, v n} compuesta por un número ninito n de vectores, entonces se puede demostrar, que cualquier otra base B de V tiene exactamente n elementos A dicho número común se le llama dimensión del espacio V y se escribe dim V n El siguiente teorema resume algunos resultados importantes sobre espacios vectoriales (bases, conjuntos lienalmente independientes, conjuntos generadores, etc) Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión n Si B {v, v,, v n} es un conjunto de n vectores de V, entonces: a) B es una base de V sii B es linealmente independiente b) B es una base de V sii B genera a V i

12 Espacios vectoriales Preliminares Si C {u, u,, u r} es un conjunto linealmente independiente, entonces r n Si C {u, u,, u r} es un conjunto linealmente independiente, con r < n, entonces existen n r vectores de V ; w, w,, w n r, tales que B {u, u,, u r, w,, w n r} es una base de V Si C {u, u,, u r} genera a V entonces r n Si el conjunto C {u, u,, u r} genera a V y r > n, entonces existen n r vectores de C; denotados por w, w,, w n r, tales que B C \{w, w,, w n r} es una base de V Si W es un subespacio de V entonces dim W n Si dim W n, entonces W V Teorema Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V entonces dim(u + W ) dim U + dim V dim(u W ) Nota En el teorema anterior si U W {}, al espacio U + W de V se le denomina suma directa de U con W y se escribe U W en lugar de U + W En este caso, cada vector v U W se puede expresar de manera única como suma de un vector u U y un vector w W ; es decir existen vectores únicos u U y w W tales que v u + w Además se tiene que U W {} sii dim(u + W ) dim U + dim V Teorema Si U es un subespacio de un espacio vectorial V, entonces existe un subespacio W de V tal que U W V El subespacio W del teorema anterior no es necesariamente único y es llamado un complemento de U También se dice que U y W son subespacios complementarios Definición Sea W un subespacio de un espacio vectorial V, v un vector en V y L la variedad L {v V : v v + w, w W } Si dim W k, entonces se dice que la variedad lineal L tiene dimensión k Coordenadas El concepto de coordenadas de un vector respecto de una base es útil en el estudio de las transformaciones lineales Para introducir este concepto es necesario definir primero lo que es una base ordenada de un espacio vectorial V En la definición era irrelevante en qué orden apareciera los elementos de una base Sin embargo, a partir de ahora el orden será importante Definición (Base ordenada) Si v, v,, v n es una sucesión finita de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial V, que generan a V, entonces se dice que B {v, v,, v n} es una base ordenada de V Teorema Si B {v, v,, v n} es una base ordenada de V, entonces para cada vector v V existen escalares α, α,, α n únicos tales que nx v α v + α v + + α nv n α iv i, 8 Definición Sea B {v, v,, v n} una base ordenada de un espacio vectorial V Sea v un vector de V y sean α, α,, α n los escalares únicos tales que v P n i αivi, el vector (vector columna) de coordenadas de v respecto de la base ordenada B se denota por [v] B y se define así: α α [v] B 8 α n i

13 Preliminares Espacios vectoriales Si u y v son dos vectores de V y si α es un escalar, entonces [αu] B α [u] B y [u + v] B [u] B + [v] B De otro lado, a cada vector n (matriz n ) c [ α α α n] T le corresponde un único vector v de V tal que [v] B c, a saber v P n i αivi Así, cada base ordenada B de V determina una correspondencia biunívoca, v [v] B, entre los espacios V y M n, que preserva las suma de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector Más aún, preserva la independencia lineal; ésto es, el conjunto C {u, u,, u k } es un conjunto de vectores linealmente independientes de V sii el conjunto C {[u ] B, [u ] B,, [ u k ] B} es un conjunto de vectores linealmente independientes de M n En el caso en que V R n y B {e, e,, e n} sea la base canónica, es decir e (,,,, ), e (,,,, ),, e n (,,,, ), la mencionada correspondencia está dada por x x x (x, x,, x n) [x] B En algunas situaciones resulta conveniente tener presente esta correspondencia, la cual se usa en este texto identificando a x con [x] B x n Producto interno Bases ortonormales En este apartado se consideran los conceptos de producto interno y de bases ortonormales, lo que será particularmente útiles en el capítulo al tratar la diagonalización de matrices simétricas 9 Definición (Producto interno) Sea V un espacio vectorial Sean además u, v y w vectores arbitrarios de V y α un escalar real Un producto interno en V es una función ; : V V R que satisface las propiedades: (i) u; v v; u (ii) u; u y u; u si y sólo si u (iii) αu; v α u; v (iv) u + v; w u; w + v; w Observación Si B es una base ordenada de un espacio vectorial V, entonces la función ; : V V R definida por u; v [u] T B [v] B es un producto interno En particular, si V Rn y B es la base canónica de R n, se tiene que x; y [x] T B [y] B xy + xy + + xnyn, donde x (x, x,, x n) y y (y, y,, y n) En lo que sigue se considera a R n con este producto interno (producto escalar) y a veces se escribe x y o x T y para indicar a x; y Si ; es un producto interno sobre un espacio vectorial V, la norma o longitud de un vector v de V se denota por v y se define así: v p v; v Cuando v, se dice que v es un vector unitario Nota En lo que resta de este texto, cuando se use la norma v de un vector v R n se estará haciendo referencia a la norma euclidiada, es decir, si v es el vector de componentes v [ v v v n ] T, entonces q v v + v + + v n 9

14 Espacios vectoriales Preliminares Teorema (Desigualdad de Schwarz) Sea V un espacio vectorial con producto interno ; Para cada par de vectores u y v de V se satisface la desigualdad u; v u v Sean u y v vectores de un espacio vectorial V con producto interno ;, si u y v no son nulos, la medida del ángulo entre ellos se define como θ arc cos u; v u v Definición Sea V un espacio vectorial con producto interno ; : Se dice que dos vectores u y v de V son ortogonales si u; v Se dice que un conjunto C {v, v,, v n} de vectores de V es ortogonal si v i; v j para i j, i, j,,, n Se dice que un conjunto C {v, v,, v n} de vectores de V es ortonormal si C es ortogonal y cada vector de C es unitario, o sea si: ( si i j v i; v j δ ij ; i, j,,, n si i j Se dice que dos conjuntos no vacíos, C y C, de vectores son ortogonales, si para cada par de vectores u C y v C, u; v Teorema Sea V un espacio vectorial con producto interno ; Si C {v, v,, v n} es un conjunto ortogonal que no contiene al vector, entonces C es linealmente independiente Teorema (Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt) Sea W un subespacio no nulo de un espacio vectorial V de dimensión finita k con producto interno ; y sea B {w, w,, w k } una base de W Entonces C {v, v,, v k } es una base ortogonal de W y C {v, v,, v k} es una base ortonormal de W, donde: v w v w v w k X v k w k w; v v ; v v w; v w; v v v ; v v ; v v i w k ; v i v i; v i vi, y donde v i vi para i,,, k v i Teorema Sean v, v,, v k vectores no nulos de un espacio vectorial V de dimensión n > k, con producto interno ; Si C {v, v,, v k } es un conjunto ortogonal (respectivamente ortonormal), entonces existe un conjunto ortogonal (respectivamente ortonormal) C {w, w,, w n k } de vectores de V tal que B C C es una base ortogonal (ortonormal) de V Más aún, si U v, v,, v k y si W w, w,, w n k entonces V U W y además, U y W son ortogonales

15 Preliminares Transformaciones lineales Transformaciones lineales En esta sección se consideran los aspectos más importantes sobre las transformaciones lineales En lo que sigue; U, V y W denotarán espacios vectoriales Definición Una función T : U V es una transformación lineal, si para cualquier para de vectores u, u en U y todo escalar α, se tiene que: (i) T (u + u ) T (u ) + T (u ) (ii) T (αu ) αt (u ) Ejemplo Algunos ejemplos de transformaciones lineales son: Para cada U, la función idéntica I : U U, u I(u) u Para cada matriz A M m n, la función A : R n R m, definida por x y Ax Teorema Sean U y V espacios vectoriales, B {u, u,, u n} una base de U y T : U V es una transformación lineal Entonces T queda determinada por los vectores T (u ), T (u ),, T (u n) Asociados a toda transformación lineal hay dos subespacios importantes a saber; su núcleo y su imagen El primero de ellos corresponde a todos lo elementos del espacio U que son transformados en el elemento nulo del espacio V ; el segundo, corresponde a todos los elementos del espacio V que tienen al menos una preimagen en el espacio U En forma más precisa tenemos 8 Definición Sea T : U V es una transformación lineal El núcleo de T se denota por N (T ) y se define así: N (T ) {u U : T (u) } La imagen de T se denota por Img(T ) y se define así: Img(T ) {T (u) : u U} 9 Definición Sea T : U V una transformación lineal Se dice que T es inyectiva (biunívoca o uno a uno), si dos elementos distintos u, u U, tienen imagen distinta Esto es, si y sólo si u u implica T (u ) T (u ); para todo u, u U Se dice que T es sobreyectiva (o simplemente sobre), si cada elemento del espacio V posee al menos una preimagen en U Esto es si y sólo si Para todo v V existe un u U tal que T (u) v El siguiente teorema resume algunos aspectos básicos de las transformaciones lineales Teorema Sea B {u, u,, u n} un subconjunto de vectores de U y sea T : U V una transformación lineal: N (T ) es un subespacio vectorial de U T es inyectiva sii N (T ) {} Img(T ) es un subespacio vectorial de V Si B es una base de U, entonces {T (u ), T (u ),, T (u n)} genera al espacio Img(T ) Si T es inyectiva y B es linealmente independiente, entonces el conjunto {T (u ), T (u ),, T (u n)} es linealmente independiente en V dim N (T ) + dim Img(T ) dim U A la dimensión de N (T ) se le llama nulidad de T y a la dimensión de Img(T ) se llama rango de T

16 Transformaciones lineales Preliminares Matriz de una transformación lineal referida a un par de bases ordenadas A cada transformación lineal se le puede asignar una matriz A, la cual está determinada por las bases de los espacios vectoriales involucrados en dicha transformación Se verá en esta sección, que una tal asignación simplificará muchos cálculos Es decir, será más conveniente trabajar con la matriz asociada a una transformación lineal (referida a ciertas bases), que con la transformación lineal misma Definición Sean U y V espacios vectoriales, T : U V una transformación lineal y sean B {u, u,, u n} y B {v, v,, v m} bases ordenadas de U y de V respectivamente La matriz de T referida a las bases B y B se denotará por [T ] B B y corresponde a la matriz m n dada por: [T ] B B ˆ [T (u )] B [T (u )] B [T (u n)] B Teorema Sean U y V espacios vectoriales, T : U V una transformación lineal y sean B {u, u,, u n} y B {v, v,, v m} bases ordenadas de U y de V respectivamente Para cada u U se tiene que: [T (u)] B [T ] B B [u] B Nota Por el teorema anterior y por el teorema, la transformación lineal T queda completamente determinada por el conocimiento de las bases B y B, y de la matriz [T ] B B álgebra de transformaciones lineales Inversa de una transformación lineal En esta sección se consideran las operaciones de suma, multiplicación por un escalar y composición entre transformaciones lineales Así mismo se abordará la relación existente entre las matrices asociadas correspondientes En este apartado U, V y W denotan espacios vectoriales Teorema Sean T : U V y S : U V transformaciones lineales y α un escalar Sean además B y B bases ordenadas de U y V, respectivamente: La función suma de T y S; (T + S) : U V, definida por (T + S)(u) T (u) + S(u) es una transformación lineal Más aún [T + S] B B [T ] B B + [S] B B La función múltiplo escalar de T ; (αt ) : U V, definida por (αt )(u) αt (u) es una transformación lineal Más aún [αt ] B B α [T ] B B

17 Preliminares Espacios fundamentales de matrices Nota Sean U, V dos espacios vectoriales, se denota con L(U, V ) al conjunto de todas las transformaciones lineales entonces: El conjunto L(U, V ) junto con las operaciones mencionadas en el teorema anterior es un espacio vectorial además, si dim U n y dim V m entonces dim L(U, V ) m n De la misma forma como una base B de U determina la correspondencia biunívoca entre los espacios vectoriales V y M m, dada por, v [v] B ; las bases B y B de U y V, determinan la correspondencia biunívoca entre los espacios L(U, V ) y M m n, la cual está dada por T [T ] B B Esta correspondencia preserva la suma de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector, tal como se establece en el teorema anterior En otras palabras, esta correspondencia es una transformación lineal Teorema Sean T : U V y S : V W transformaciones lineales Entonces, la composición S T : U W es una transformación lineal Si además, B, B y B representan bases ordenadas para los espacios U, V y W respectivamente, entonces se tiene que: [S T ] B B [S] B B [T ] B B Teorema Si T : U V es una transformación lineal biyectiva, entonces la función inversa de T, T : V U es una transformación lineal y la matriz [T ] B B es invertible Además, ˆT ˆT B B B B Matrices semejantes Cambio de baseo por gen{v, v,, v n} Los conceptos de matrices semejantes y cambio de base serán particularmente útiles en el capítulo para el estudio de los valores propios y los vectores propios de una transformación lineal Definición [Matrices semejantes]sean A y B matrices cuadradas de orden n, se dice que A y B son semejantes, si existe una matriz invertible P tal que B P AP Definición [Matriz cambio de base]sean B y B bases ordenadas del espacio vectorial U, y sea I : U U la transformación lineal idéntica La matriz P [I] B B se denomina matriz de cambio de base de la base B a la base B, (ésto debido a lo enunciado por el teorema, [u] B [I] B B [u] B ) 8 Teorema Sean T : U U una transformación lineal y B y B bases ordenadas de U La matriz de cambio de base de la base B a la base B, P [I] B B, es invertible y su inversa es la matriz de cambio de base de la base B a la base B Las matrices A [T ] B B y B [T ] B B son matrices semejantes, además se tiene [T ] B B [I] B B [T ] B B [I] B B P [T ] B B P Espacios fundamentales de una matriz Rango de una matriz Sistemas de ecuaciones lineales En esta sección se consideran los llamados espacios fundamentales de una matriz A Dos de estos espacios son precisamente el núcleo y la imagen de la transformación lineal x y Ax, los cuales están relacionados con el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales Ax y El lector recordará de los resultados de un primer curso de álgebra lineal, que el espacio fila y es espacio columna de A tienen igual dimensión A ese número común se le denomina rango de A y se denota por ρ(a) Sea A una matriz m n El subespacio de R n generado por las filas de A se denomina espacio fila de A y lo denotamos por F(A); esto es, F(A) A, A,, A m El subespacio de R m generado por las columnas de A se denomina espacio columna de A y lo denotamos por C(A); esto es, C(A) A, A,, A n El

18 Espacios fundamentales de matrices Preliminares espacio formado todas soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales Ax se denomina espacio nulo de una matriz, esto es, el espacio nulo es el conjunto De otro lado, el subespacio de R n ; se denomina imagen de A N (A) {x R n : Ax } Img(A) {Ax : x R n } 9 Teorema Para cualquier matriz A se tiene que {y R m : y Ax para algún x R n } dim F(A) dim C(A) Teorema Sea A una matriz arbitraria entonces: F(A) y N (A) son ortogonales ésto es, sus elementos son ortogonales entre si C(A) y N (A t ) son ortogonales ésto es, sus elementos son ortogonales entre si Teorema Sean A y B matrices de tamaño adecuado, tales que las operaciones siguientes están definidas C(AB) C(A) y F(AB) F(B) Si P y Q son matrices invertibles de tamaño apropiado a) C(A) C(AQ) b) F(A) F(P A) C(A + B) C(A) + C(B) y F(A + B) F(A) + F(B) Para cualquier matriz A se tiene que: N (A) N (A T A) Nota Según el inciso (b) del teorema anterior y según el teorema 8, si R es la forma escalonada reducida de la matriz A, entonces F(A) F(R) Teorema Sea A una matriz m n La imagen de la transformación lineal A : R n R m, x y Ax, es el espacio columna de A; esto es, Img(A) C(A) {Ax : x R n } Nota De acuerdo con el inciso () del teorema y de acuerdo con los teoremas 9 y : si A es una matriz m n, entonces dim N (A) + dim F(A) n Análogamente, puesto que F(A t ) C(A), De otra parte, con base en la nota, dim N (A T ) + dim C(A) m R n F(A) N (A) y R m C(A) N (A T ), es decir, los subespacios F(A) y N (A) de R n son complementarios Así mismo, los subespacios C(A) y N (A t ) de R m son complementarios Esto implica entonces, que cada x R n y cada y R m se pueden expresar en forma única así: x f + n y y c + u, donde f, n, c y u pertenecen a F(A), N (A), C(A) y N (A T ), respectivamente (ver figura ) Nota Según las definiciones, el núcleo de la transformación lineal x y Ax es el espacio nulo de A

19 Preliminares Espacios fundamentales de matrices IR n IR m F(A) f xf+n n N(A) C(A) AxAf c yc+u u T N(A ) Figura Transformación lineal De otro lado, si definimos el rango de la matriz A, ρ(a), como el rango de la transformación lineal x y Ax, entonces se tiene que rango de A es la dimensión del espacio columna de A Teorema Sea A una matriz m n, entonces: ρ(a) es igual al número máximo de filas linealmente independientes de la matriz A ρ(a) es el número máximo de columnas linealmente independientes de la matriz A ρ(a) es el número de filas no nulas de la forma escalonada reducida de la matriz A Para cualquier matriz A, ρ(a) ρ(a T ) ρ(aa T ) ρ(a T A) Si A es una matriz m n y B es una matriz n k, entonces ρ(ab) ρ(a) y ρ(ab) ρ(b) Si P es una matriz invertible m m y Q es una matriz invertible n n, entonces ρ(a) ρ(p A) ρ(aq) ρ(p AQ) Si A y B son matrices m n, entonces ρ(a + B) ρ(a) + ρ(b) Teorema Sea A una matriz m n y sea y un vector m El sistema de ecuaciones Ax y tiene solución sii y C(A) El sistema de ecuaciones Ax y tiene solución sii el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz aumentada del sistema [A y], es decir sii ρ(a) ρ([a y]) Para el sistema de ecuaciones lineales Ax y se da una y sólo una de las opciones siguientes: a) El sistema no tiene solución, en cuyo caso y / C(A) b) El sistema tiene infinitas soluciones, en cuyo caso su conjunto solución es una variedad lineal de la forma S {x p + x h : x h N (A)}, donde x p es una solución particular del sistema; ésto es, Ax p y, además, dim N (A) > c) El sistema tiene una única solución En este caso se tiene que N (A) {} El teorema siguiente recoge, teóricamente, el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales Teorema Sean A una matriz m n y y un vector n Si P es una matriz invertible m m tal que P A R, donde R es la forma escalonada reducida de A, entonces Ax y sii Rx P y; esto es, los sistemas de ecuaciones lineales Ax y y Rx P y tienen el mismo conjunto solución En particular, si y ; Ax sii Rx Teorema (Resumen) Sea A una matriz cuadrada de orden n Las afirmaciones siguientes son equivalentes: det(a) A es invertible La forma escalonada de A en I n

20 Espacios fundamentales de matrices Preliminares Los vectores fila de A son linealmente independientes El espacio fila de A es R n, es decir, F(A) R n Los vectores columna de A son linealmente independientes El espacio columna de A es R n, es decir, C(A) R n 8 El rango de la matriz A es n 9 N (A) {} El sistema de ecuaciones lineales Ax tiene la única solución x Para todo y R n, El sistema de ecuaciones lineales Ax y tiene solución Por último, consideramos un método para calcular una base de cada uno de los espacios fundamentales de una matriz m n arbitraria A El método consiste en efectuar los pasos siguientes: Paso Forme la matriz [A T I n] Paso Efectúe operaciones elementales sobre las filas de la matriz anterior hasta obtener la forma escalonada reducida Al final se obtiene la matriz puede describir por bloques así: E r m P r n donde r ρ(a) (n r) m P (n r) n Los vectores fila de la matriz E r m conforman una base para C(A) y los vectores fila de la matriz P (n r) n conforman una base para N (A) Al llevar a cabo el paso con la matriz [A I m] se obtienen sendas bases para C(A T ) F(A) y N (A T )

21 CAPÍTULO Matrices Particionadas Traza de una Matriz Este capítulo consta de tres secciones Las dos primeras versan sobre matrices particionadas La tercera sección trata sobre la traza de una matriz En este capítulo se consignarán los principales resultados sobre la traza de una matriz Existen razones para querer particionar una matriz A, algunas de ellas son: (i) La partición puede simplificar la escritura de A (ii) La partición puede exhibir detalles particulares e interesantes de A (iii) La partición puede permitir simplificar cálculos que involucran la matriz A Submatrices Operaciones con matrices particionadas A veces es necesario considerar matrices que resultan de eliminar algunas filas y/o columnas de alguna matriz dada, como se hizo por ejemplo, al definir el menor correspondiente al elemento a ij de una matriz A [a ij] m n (véase el apartado del capítulo ) Definición Sea A una matriz Una submatriz de A es una matriz que se puede obtener al suprimir algunas filas y/o columnas de la matriz A Ejemplo Las matrices S, S y S dadas a continuación, son submatrices de la matriz A 8 9» S (suprimiendo en A la fila y la columna ) 9 S» 9 8 (suprimiendo en A la fila ) S» (suprimiendo en A la fila y las columnas y ) Dada una matriz A [a ij] m n ; mediante un sistema de rectas horizontales o verticales se puede "particionarla" en submatrices de A (Matriz particionada), como se ilustra en el siguiente ejemplo: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

22 Submatrices Matrices particionadas Hecho esto, se puede escribir, usando una notación obvia:» A A A A A A A donde A a a a, A a a a a a a, A a a a, A» a a» a a, A a a» a, A a Debe ser claro para el lector, que una matriz puede ser particionada de diferentes maneras, por ejemplo: A Tal vez, la principal conveniencia de particionar matrices, es que se puede operar con matrices particionadas como si las submatrices fuesen elementos ordinarios, tal como se establece en el teorema siguiente Teorema Si las matrices A y B están particionadas así: A A A n A A A n A, B A m A m A mn B B B n B B B n B m B m B mn y si las sumas A ij + B ij están definidas para i,,, m, j,,, n, entonces A + B A + B A n + B n A + B A + B A n + B n A + B A m + B m A m + B m A mn + B mn Si las matrices A y B están particionadas así: A A A n A A A n A y B A m A m A mn 8 B B B s B B B s B n B n B ns

23 Matrices particionadas Submatrices y si el número de columnas de cada bloque A ik es igual al número de filas de cada bloque B kj ; i,,, m, k,,, n, j,,, s, entonces donde C ij nx A ik B kj k C C C s C C C s AB, C m C m C ms Si la matriz A está particionada como en () y si α es un escalar, entonces αa αa αa αa n αa αa αa n αa m αa m αa mn Si la matriz A está particionada como en (), entonces A T A T A T A T m A T A T A T m A T n A T n A T mn Los incisos (), () y () del teorema anterior son fáciles de verificar La demostración del inciso () es laboriosa y no se haran Sin embargo, el lector interesado puede consultar una indicación de dicha demostración en [] página 9 A continuación se ilustrará el inciso () de dicho teorema Si y entonces A AB B A A A A A A B B B A B + A B + A B A B + A B + A B 9 8

24 Submatrices Matrices particionadas pues A B A B A B»»» ˆ»»» A B [] ˆ ˆ,»»,, A B ˆ» A B ˆ» ˆ, ˆ Ejercicios Dadas A M m n y B M n k, muestre que: a) La fila i de AB es igual a la fila i de A por la matriz B; en símbolos (AB) i A ib (Sug: Particione la matriz A por filas) b) La columna j de AB es igual a la matriz A por la columna j de B; en símbolos (AB) j AB j (Sugerencia: Particione la matriz B por columnas) c) Si A tiene una fila nula, entonces AB tiene una fila nula d) Si B tiene una columna nula, entonces AB tiene una columna nula Si A, B M n n son matrices triangulares superiores (inferiores), muestre que: a) AB es una matriz triangular superior (inferior) b) AB ii A ii B ii Considere las matrices triangulares superiores por bloques M» X Y Z y N» U V W Muestre que si el producto MN está definido, entonces MN es una matriz triangular superior por bloques Sean A, B M n n (R), X, Y M n (R) y α, β R Suponga que (A + B)X αx y (A B)Y βy» A B Si M, demuestre B A»» X X a) M α X X»» Y Y b) M β Y Y» A B Si A, B M n n (R) y A es simétrica, muestre que la matriz M B T es simétrica A Suponga que las matrices que abajo aparecen son de tamaño apropiado, donde I es la matriz identica y que A es una matriz invertible Encuentre matrices X y Y tales que el producto que

25 Matrices particionadas Determinantes sigue tiene la forma indicada Encuentre además B I A A X I A A Y I A A B B B B Determinantes e inversas de algunas matrices especiales En algunas situaciones es conveniente utilizar matrices particionadas para describir determinantes e inversas de ciertas matrices en términos de las submatrices En particular, los teoremas y, son usados en la deducción de las distribuciones condicionales de un vector aleatorio con distribución normal multivariante (véase el Teorema de []) Es bien conocido, que el determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es justamente el producto de los elementos de la diagonal principal La siguiente proposición enuncia un resultado análogo para matrices particionadas Proposición Sean A y C matrices cuadradas,» A B Si M, entonces M A C C» A Si M, entonces M A C B C M Demostración Para la demostración del literal () usamos inducción sobre el orden n de la matriz Si n se tiene que M ac A C donde» A B M C» a b c Suponga ahora que () es válida para n k y se demostrará que es válida para n k + Sea M una matriz cuadrada de orden n k+ particionada como en () Suponga además que B [b ij] r s y C [c ij] s s Si se denota por ˆB j a la submatriz de B que se obtiene suprimiendo en B la columna j y por Ĉj a la submatriz de C que se obtiene suprimiendo en C la columna j y la fila s, j,,, s Ahora, desarrollando el determinante de C por los cofactores de la fila s (véase el Teorema ()), se obtiene: C c s( ) s+ Ĉ + c s( ) s+ Ĉ + + c ss( ) s+s Ĉs Así mismo, desarrollando el determinante de M por los cofactores de la fila k + se obtiene: M c s( ) (k+) s+ A ˆB Ĉ + +c s( ) (k+) s+ A ˆB Ĉ + + c ss( ) (k+) s+s A ˆB s Ĉ s

26 Determinantes Matrices particionadas Utilizando la hipótesis de inducción se obtiene: M ( ) (k+) s c s( ) s+ A Ĉ + c s( ) s+ A Ĉ + + c ss( ) s+s A Ĉs A c s( ) s+ Ĉ + c s( ) s+ Ĉ + + +c ss( ) s+s Ĉs A C Lo que completa la demostración de () La demostración de () se sigue del hecho de que M M T (teorema ()) y del inciso () En efecto, se tiene: det(m) det(m T )» A T B T det C T det(a T ) det(c T ) det(a) det(c) Ejemplo Use partición de matrices y los resultados de la proposición anterior para calcular el determinante de cada una de las matrices siguientes: M 9 y N las cuales se pueden particionar respectivamente como sigue:, y Entonces M N 9 A B C A B C M 9 y N

27 Matrices particionadas Determinantes El siguiente teorema brinda una alternativa para calcular determinantes de matrices más generales particionadas por bloques» A B Teorema Sean A y D matrices cuadradas y sea M C D Si D es invertible, entonces M D A BD C Si A es invertible, entonces M A D CA B Demostración Se hará sólo la demostración del literal (), el segundo resultado se verifica de manera análoga y se deja como ejercicio al lector»» I A BD C B Sea S D Entonces MS Ahora por el teorema (9) y por la C I D proposición anterior, se tiene: M M I I M S MS D A BD C Los siguientes resultados son consecuencia inmediata de este teorema y sus verificaciones se dejan como ejercicio Corolario Sean A, B, C y D matrices cuadradas de orden n y sea M la matriz dada por» A B M C D Si D es invertible y si DB BD, entonces M DA BC Si A es invertible y si AC CA, entonces M AD CB Si D y A es invertible, entonces M ( ) n B C Si A y D es invertible, entonces M ( ) n B C 8 Ejemplo Utilizando los resultados del corolario anterior se encuentran los determinantes para las matrices M y N dadas por: M y N Se particiona ahora las matrices M y N de froma adecuada A B Para M tomamos, siendo D [] Puesto que D es una matriz invertible C D entonces, M D A BD C Similarmente para N A B», siendo A Dado que A es invertible C se tiene que M ( ) B C

28 Determinantes Matrices particionadas 9 Proposición Sean A y C matrices cuadradas» A B La matriz M es invertible sii las matrices A y C son invertibles Además, si M es C invertible entonces» A La matriz M B C invertible entonces» M A A BC C es invertible sii las matrices A y C son invertibles Además, si M es» M A C BA C La prueba de este resultado se propone como ejercicio El ejemplo siguiente, ilustra el inciso () de la proposición anterior Ejemplo Verifique que la matriz es invertible y calcule su matriz inversa M Observando la estructura de la matriz M se puede ver que una buena partición es: M A B C Puesto que las matrices A y C son invertibles, entonces M también lo es y además,» M A A BC C El siguiente teorema presenta una fórmula para calcular inversas de matrices más generales Teorema Sea B una matriz invertible particionada así:» B B B, con B B B y B matrices invertibles Si B está particionada así:» B A A, A A donde A ii (i, ), son matrices cuadradas de igual orden que la matriz B ii respectivamente entonces: Las matrices A y A son invertibles y sus inversas son las matrices B, B B B B y B, B B B B, respectivamente

29 Matrices particionadas Determinantes La matriz B se puede expresar en términos de B, y B, como sigue B B, B BB,, ó B B BB,, B, B, B, BB B, BB B, La matriz B también se puede expresar así: I k B + B donde k es el tamaño de B B B B, ˆ Ik B B, Demostración Partiendo de la definición de matrices inversas»»» BB B B A A I B B A A I se obtienen las igualdades () (a) B A + B A I (b) B A + B A (c) B A + B A (d) B A + B A I Premultiplicando ambos miembros de ((b)) por B, se sigue: I B B A + A, o sea, A B B A Sustituyendo A en ((a)) y factorizando A, por la derecha, se obtiene `B B B B A I Es decir, las matrices B, B B B B y A son inversas entre si Por otro lado, si se premultiplica ambos miembros de ((c)) por B, se sigue: A + B B A, o sea, A B B A Sustituyendo A en ((d)) y factorizando A, por la derecha, se obtiene: `B B B B A I Es decir, las matrices B, B B B B y A son inversas una de la otra Por lo anterior, A B, A B BB, A B BB, A B, La segunda expresión para B del literal se obtiene procediendo de forma análoga, pero partiendo de la igualdad»»» B A A B B I B I A A B B I La demostración del literal se deja como ejercicio

30 Determinantes Matrices particionadas A continuación enunciamos y demostramos un teorema que involucra matrices particionadas y el rango de una matriz» A A Teorema Sea A, donde A A A es una matriz invertible r r Si ρ(a) ρ(a ), entonces A A A A Demostración Puesto que A es una matriz invertible, entonces ρ(a ) r (ver teorema ) I Ahora, las matrices P y Q I A A son invertibles, puesto que P A A I I Q En consecuencia, por el teorema, la matriz A y la matriz» A P AQ A A A A tienen rango r Puesto que el número máximo de filas linealmente independientes de las matrices P AQ y A es r (véase el teorema ()), entonces necesariamente A A A A, o sea A AA A Ejercicios Utilice matrices particionadas para calcular el determinante y la matriz inversa (si existe) de cada una de las matrices siguientes: M M Demuestre el inciso () del teorema Demuestre el corolario Demuestre la proposición 9 Sean a, b, c y d escalares no nulos y sea n N Calcule el determinante y la matriz inversa, cuando exista, de la matriz» ain bi n M ci n di n Sean A» una matriz cuadrada» de orden n y B una matriz cuadrada de orden k Demuestre que si A C A M o si M, entonces M ( ) nk A B (Sug: Efectúe operaciones B C B elementales por columnas y use la proposición ) Sean A y B matrices cuadradas a) Dar condiciones necesarias y suficientes para que la matriz» A M B C sea invertible Si M es invertible, exprese M en términos de las matrices A, B y C b) Dar condiciones necesarias y suficientes para que la matriz» C A M B sea invertible Si M es invertible, exprese M en términos de las matrices A, B y C