Matemáticas Discretas Relaciones y funciones

Transcripción

1 Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE Matemáticas Discretas y funciones Cursos Propedéuticos 2010 Ciencias Computacionales INAOE y funciones Propiedades de relaciones Clases de equivalencia Conjuntos parciales y totalmente ordenados Funciones Dr. Luis Villaseñor Pineda villasen@inaoep.mx 2 Producto cartesiano Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano AxB se define por: A B = { (x, y) x A, y B} : {a,b} {1,2,3} = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} Note que los elementos (x, y) son pares ordenados: hay una diferencia entre (a, 2) y (2, a) En general: A B B A Dados dos conjuntos A y B, una relación binaria R de A a B es determinada por un subconjunto R A B Se dice que arb si y solo si (a, b) R Si A=B, se dice que R es una relación en A 3 4 1

2 Sea U={1, 2, 3,,7}, A={2, 3, 4} y B={4, 5}, las siguientes son ejemplos de relaciones de A a B: Ø {(2, 4), (2, 5)} {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} {(2, 4), (3, 4), (4, 4)} La relación de menor que < en el conjunto de números naturales N se describe por el conjunto: {(0,1),(0,2),(1,2),(0,3), } N N La relación de igualdad = en R se define por el conjunto: {(x, x) x R} R R 5 6 Propiedades de las relaciones Una relación R en A es reflexiva si: Si (a, a) R para toda a A Una relación R en A es antireflexiva si: Si (a, a) R para toda a A Se A={1, 2, 3, 4}, considere las siguientes relaciones R sobre A y determine si son reflexivas: R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)} No es reflexiva R={(x, y) x, y A, x y} Es reflexiva 7 8 2

3 Propiedades de las relaciones Una relación R es simétrica si: Si (a,b) R entonces (b,a) R Una relación R en A es antisimétrica si: Si (a,b) R y (b,a) R entonces a=b Una relación R es transitiva si: Si (a,b) R y (b,c) R entonces (a,c) R Sea A={1, 2, 3} y R una relación en A R={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} Simétrica y no reflexiva R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)} Reflexiva y no simétrica R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)} Simétrica y reflexiva R={(1,1),(2,3),(3,3)} No Simétrica y no reflexiva 9 10 Sea A={1, 2, 3, 4} R={(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)} Es una relación transitiva en A R={(1,3),(3,2)} No es transitiva Sea A={1, 2, 3} R={(1,2),(2,1),(2,3)} No simétrica y no antisimetrica R={(1,1),(2,2)} Simétrica y antisimetrica

4 Ordenamientos comunes tales como definen ordenamientos Una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva (A, R) es un conjunto ordenado parcialmente o poset si R es un ordenamiento parcial en A Ordenamientos Si a b ó b a, entonces los elementos a y b son comparables Si todos los pares a y b posibles son comparables, es un ordenamiento total o cadena Sea A={1, 2, 3, 4, 6, 12} y sea R la relación en A dada por (x, y) R si x divide exactamente a y R es reflexiva R es transitiva R es antisimétrica Por lo tanto R define un ordenamiento parcial en A de equivalencia Una relación R en A es una relación de equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva La notación común para una equivalencia en A es = Dada una relación de equivalencia R en A, para cada a A la clase de equivalencia [a] se define por { x (x,a) R }

5 Equivalencias modulo 3 en Z tal que: [0] = {, 6, 3,0,3,6, } y [1] = {, 5, 2,1,4,7, } Sea A={1, 2, 3} R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)} R={(1,1),(2,2),(3,3)} R={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)} Son relaciones de equivalencia Particiones Una partición de un conjunto A es un conjunto de subconjuntos {A j } tal que: A i A j = para todo i j A = j A j Sea A={1, 2, 3,,10}, las siguientes son ejemplos de particiones de A: A={1, 2, 3, 4, 5}, B={6, 7, 8, 9, 10} A={1, 3, 5, 7, 9}, B={2, 4, 6, 8, 10} A={1, 2, 3}, B={4, 6, 7, 9}, A={5, 8, 10} A i ={i, i+5}, 1 i 5 Composiciones La composición T = S R A C de dos relaciones S A B y R B C se define como T = { (a,c) tal que existe b B con (a,b) S y (b,c) R } La composición de relaciones es asociativa Para relaciones R en A se pueden definir potencias: R 1 = R y R n+1 = R R n para todo entero n

6 Matrices y relaciones Una relación R de A = {a 1,,a m } a B = {b 1,,b n } puede representarse por una matriz M(R) de dimensión m n de 0/1 : Si a i Rb j R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 1, Si a i Rb j R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 0. Matrices y relaciones Si se utiliza la adición booleana 1+1=1, entonces la composición de dos relaciones se puede calcular mediante la matriz producto: M(R S) = M(R) M(S) Producto Cartesiano Un repaso de lo visto hasta ahora EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3,..., 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Entonces, a) A B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}. b) B A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}. c) B 2 =B B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} d) B 3 =B B B = a, b, c a, b, c B ; (4, 5, 5) B

7 Producto Cartesiano EJEMPLO Si U =R, R R = se conoce como el plano real de la geometría coordenada y del cálculo bidimensional. El subconjunto R + R + es el interior del primer cuadrante de este plano. Así mismo, R 3 representa el espacio euclidiano tridimensional donde las superficies tridimensionales, como esferas y planos, son subconjuntos importantes. Producto Cartesiano EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la siguiente forma: se lanza un sólo dado y se anota el resultado; a continuación, se lanza una moneda al aire y se anota el resultado. Determínese un espacio muestral M para E. Denótese por E 1 la primera parte del experimento E y sea M 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un espacio muestral para E 1. Así mismo sea M 2 ={CA,CZ} un espacio muestral para E 2, la segunda parte del experimento. Entonces, M = M 1 M 2 es un espacio muestral para E Producto Cartesiano Este espacio muestral se puede representar gráficamente con un diagrama de árbol. Producto Cartesiano EJEMPLO En el torneo de tenis de Wimbledon, las mujeres juegan a lo sumo 3 sets en un partido. Triunfa quien gane primero 2 sets. Si N y E representan a las 2 jugadoras, el diagrama de árbol refleja las 6 maneras en que puede ganarse el encuentro

8 EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3,..., 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Las siguientes son relaciones de A a B. a) b) {(2,4)} c) {(2, 4), (2, 5)} d) {(2, 4), (3, 4), (4, 4)} e) {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} f) A B. cuántas relaciones de A a B existen? Como A B = 6, por la definición se deduce que hay 2 6 relaciones posibles de A a B. En general, para conjuntos finitos A, B donde A = m y B = n, hay 2 mn relaciones de A a B, incluyendo la relación vacía y la propia relación A B EJEMPLO Sea B = {1, 2} N, U = P(B) y A = U ={, {1}, {2}, {1, 2}}. El siguiente es un ejemplo de relación binaria en A: R = {(, ), (, {1}), (, {2}), (, {1, 2}), ({1}, {1}), ({1},{1,2}), ({2}, {2}), ({2}, {1,2}), ({1,2}, {1,2})}. Se puede decir que la relación R es una relación de subconjunto donde (C, D) R si y sólo si C, D B y C D. EJEMPLO Si A = U =Z +, se define una relación binaria R en el conjunto A como x, y x y. Se trata de la conocida relación es menor o igual que para el conjunto de los enteros positivos, Se observa que (7,7),(7,11) R, y (8,2) R, (7,11) R también se puede denotar como 7R 11; (8,2) R se transforma en 8R 2 son ejemplos de notación infija en una relación

9 Para cualquier conjunto A U, A =. Así mismo A =. Para cualquier conjunto A U, A =. Así mismo A =. Si A, sea (a, b) A. Entonces, a A y b, lo cual es imposible El producto cartesiano y las operaciones binarias de unión e intersección están interrelacionados con el siguiente teorema. Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C U. EJEMPLO Dado un conjunto finito A con A =n, resulta que = n 2 2 A A, de modo que hay 2 n relaciones en A. a) b) c) d) A A B C A B A C B C A B A C A B C A C B C A B C A C B C Cuántas son reflexivas?

10 Si A ={a 1, a 2,...,a n }, una relación R en A es reflexiva si. a, a 1 i n R. Al considerar los otros n 2 n pares i i ordenados de A A (los de la forma a, a i j, 1 i, j n, i j) conforme se construye una relación reflexiva R en A, se incluye o excluye cada uno de estos pares 2 n n ordenados, hay 2 relaciones reflexivas en A. Recordando una relación R en un conjunto A se llama simétrica si (x, y) R (y, x) R para x, y A. Cuántas son simétricas? Para contar las relaciones simétricas en A={a 1,a 2,...,a n }, se escribe A A como A 1 A 2, donde A 1 = a, a 1 i n y i i A 2 = a, a 1 i, j n, i j de modo que cada par en A A i j está exactamente en uno de los conjuntos A 1, A 2. Para A 2, A 2 = A A A 1 = n 2 n = n(n 1), un entero par. El conjunto A 2 contiene (1/2)(n 2 n) subconjuntos de la forma {(a i,a j ),(a j,a i )},1 i j n. Al establecer una relación simétrica R en A, para cada par ordenado de A 1, se dispone de la selección usual de exclusión o inclusión. Para los (1/2)( n 2 n) subconjuntos de pares ordenados en A 2, se dispone de las mismas opciones. Por tanto, por 2 n 1 / 2 la regla del producto, hay n n 1 / 2 n n 2 2 = 2 2 relaciones simétricas en A. Cuántas son reflexivas y simétricas?

11 Cuántas son reflexivas y simétricas? Se tiene sólo una opción para cada par ordenado en A 1. 1 / 2 De modo que hay n n 2 2 relaciones en A que son reflexivas y simétricas. de Orden Recordando una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva Sea A un conjunto y R una relación en A. El par (A, R) se llama conjunto parcialmente ordenado si la relación R en A es un orden parcial, o una relación de ordenamiento parcial. Si a A se le denomina conjunto parcialmente ordenado, se sobre entiende que hay un orden parcial R en A que convierte a A en este conjunto parcialmente ordenado de Orden EJEMPLO Sea A el conjunto de cursos ofrecidos en una universidad. Defínase la relación R en A mediante x R y si x e y son el mismo curso o si x es un requisito previo para y. Entonces, R transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado. EJEMPLO Defínase R en A = {1, 2, 3, 4} por x R y, si, es decir, x divide a y. Entonces, R ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial y (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado. de Orden EJEMPLO En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, la relación R en A, definida por x R y si x y, es un orden parcial, que transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado que se puede denotar por (A, ). Si B = {1, 2, 4} A, el conjunto ={(1, 1), (2, 2), (4, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial en B

12 de Orden de Orden En general si R es un orden parcial en A, entonces para cualquier subconjunto B de A, B B R convierte a B en un conjunto parcialmente ordenado, donde el orden parcial de B se induce de R. Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento max A se llama maximal de A si para toda a A, max R a max = a Un elemento min A se denomina minimal de A si para toda b A, b R min b = min de Orden EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3} y A = P(U). Sea R la relación de subconjunto en A. Entonces U es maximal, mientras que es minimal para este conjunto parcialmente ordenado. Para B, la colección de subconjuntos propios de {1, 2, 3}, sea R la relación de subconjunto en B. En el conjunto parcialmente ordenado (B, ), {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} son elementos maximales, mientras que es el único elemento minimal. de Orden Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento x A se denomina elemento mínimo si x R a, para todo a A. El elemento y A se denomina máximo si a R y para toda a A

13 de Orden de Orden EJEMPLO Sean U = {1, 2, 3} y R la relación de subconjunto. a) Con A = P(U), (A, ) tiene a como elemento mínimo y a U como máximo. b) Para B = la colección de subconjuntos no vacíos de U, (B, ) tiene a U como elemento máximo. No existe elemento mínimo, pero si tres elementos minimales. Para un conjunto parcialmente ordenado (A, R), es posible tener varios elementos maximales y minimales. Qué sucede con los elementos mínimo y máximo? de Orden Teorema Si el conjunto parcialmente ordenado (A, R) tiene algún elemento máximo (mínimo), ese elemento es único. Demostración Supóngase que x, y A y que ambos son elementos máximos. Como x es un elemento máximo, yr x. Así mismo, x R y, pues y es un elemento máximo. Como R es antisimétrico, x = y. de equivalencia Recordemos que R en un conjunto A es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. EJEMPLO Sea n Z +. Para x, y Z, se define la relación R de módulo n por medio de x R y si y sólo si, x y es un múltiplo de n. Con n = 7, se halla que 9 R 2, -3 R 11, (14,0) R pero 3 R

14 de equivalencia Para cualquier conjunto A, A A es una relación de equivalencia en A, y si A = {a 1, a 2,..., a n }, la relación de equivalencia más pequeña en A es R = a, a 1 i n. Si R es una relación en A, R será una relación de equivalencia y un orden parcial en A si y sólo si es la relación de igualdad en A. i i de equivalencia EJEMPLO Sea A=R y para cada i Z, sea A i =[i, i+1). Entonces constituye una partición de R. Definición Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Para cualquier x A, la clase de equivalencia de x, denotada por [x], se define mediante [ x] y A yrx de equivalencia Teorema Si R es una relación de equivalencia en un conjunto A y x, y A, entonces: a) x [x]; b) x R y si y sólo si [x] = [y] y c) [x] = [y] o [x] [y] =. EJEMPLO Defínase la relación R en Z, por xry, si 4 divide a (x y). Para esta relación se encuentra que Demostración a) Este resultado se obtiene de la propiedad reflexiva de R [0] = {..., -8, -4, 0, 4, 8, 12,...} = {4k k Z} [1] = {..., -7, -3, 1, 5, 9, 13,...} = {4k + 1 k Z } [2] = {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14,...} = {4k + 2 k Z } [3] = {..., -5, -1, 3, 7, 11, 15,...} = {4k + 3 k Z } {[0], [1], [2], [3]} proporciona una partición de Z. 57 b) Si x R y, sea w [x]. Entonces, w R x; además como R es transitiva, w R y. Por tanto, w [y] y [x] [y]. Con R simétrica, x R y y R x. De este modo, si t [y], entonces t R y y por la propiedad transitiva, t R x. De ahí que t [x] e [y] [x]. Por tanto [x] = [y]. A la inversa sea [x] = [y]. Como por el apartado a) x [x], entonces x [y] o x R y. c) Esta propiedad plantea que las clases de equivalencia sólo se pueden relacionar de dos maneras: son idénticas o disjuntas 58 14

15 de equivalencia de equivalencia c) Continuación... partimos de que [x] [y] y [x] [y]. Si [x] [y], entonces sea v A con v [x] y v [y]. Por tanto, v R x, v R y x R y. Además por el apartado b), x R y [x] = [y]. Esto contradice la hipótesis de que [x] [y], por tanto se rechaza la hipótesis de que [x] [y], y de ahí se obtiene el resultado. Obsérvese que si R es una relación de equivalencia en A, entonces, de acuerdo con a) y c) del teorema anterior, las distintas clases de equivalencia determinadas por R constituyen una partición de A. EJEMPLO Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}, entonces R es una relación de equivalencia en A, [1] = {1}, [2] = {2,3}=[3], [4]={4,5}=[5] y A = [1] [2] [4] Funciones Una función f:a B del conjunto A a B es la relación f A B tal que cada a A está relacionada con un único b tal que (a,b) f Notación f(a)=b, o f:a b A es el dominio de f y B es el codominio El valor f(a)=b es la imagen de a A bajo f El conjunto { f(a) a A } es el rango de f Sea A={1, 2, 3} y B={w, x, y, z}: Es f={(1, w), (2, x)} una función de A a B? No Es f={(1, w), (2, w), (2, x), (3, z)} una función de A a B? No Es f={(1, w), (2, x), (3, x)} una función de A a B? Si

16 Cuál es el dominio (dominio máximo ) de la función h dada por? h ( w ) 1 w w 2 6 Composición de funciones Sean f: A B y G: B C dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función: (g o f): A C tal que Para todo a A, (g o f)= g(f(a)) -2 < w < Tipos de funciones Una función es inyectiva o uno a uno si para cada x A tiene una única imagen f(a): Si f(x)=f(y) entonces x=y. Elementos distintos de A tienen siempre imágenes distintas Sea f: R R donde f(x)= 3x + 7 para toda x Es una función uno a uno Sea A={1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}. Es g={(1, 1),(2, 3),(3, 3)} una función uno a uno de A a B? No

17 Tipos de funciones Una función es sobre o suprayectiva si para cada y B existe una x A tal que f(x)=y: Si y B entonces existe una x A tal que f(x)=y Sea f: R R donde f(x)= x 3 para toda x Es una función sobre o suprayectiva? Si Tipos de funciones Una función es una biyección entre A y B si es una función uno a uno y suprayectica Sea A={1, 2, 3, 4} y B={w, x, y, z}. Es f={(1, w), (2, x), (3, y), (4, z)} de A a B una biyección? Si s La función lineal f:z Z, definida por f(x)=x+2 Es inyectiva Es suprayectiva Es biyectiva La identidad I:A A es siempre una biyección 69 17