Conjuntos, Relaciones Binarias y Funciones

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1 II UNIDAD Conjuntos, Relaciones Binarias y Funciones Ingeniero Julio Núñez Cheng 1

2 ESQUEMA VISUAL DE LA UNIDAD DIDÁCTICA Conjuntos Concepto Determinación de conjuntos Tipos de conjuntos Operaciones con conjuntos Problemas de conjuntos Autoevaluación Conjuntos, Relaciones binarias y Funciones Relaciones binarias y Funciones Concepto de Relaciones binarias Distancia entre Dos puntos Pendiente de la recta Gráfica de De funciones Autoevaluación Ingeniero Julio Núñez Cheng 2

3 Objetivos y Tiempo de Estudio Unidad de Aprendizaje Objetivo Específico Temas Ejes Objetivos Operacionales Tiempo de estudio Conjuntos, Relaciones binarias Funciones y Resolver ejercicios y problemas utilizando conjuntos o funciones. 1 Conjuntos. 2 Relaciones binarias. 3 Funciones. 1 Resolver ejercicios y problemas aplicando operaciones entre conjuntos. 2 Determinar el dominio y rango de una relación binaria. 3. Calcular la pendiente y distancia entre dos puntos. 3 semanas 4 Determinar el dominio y rango de una función, así como graficar una función en el plano cartesiano. Ingeniero Julio Núñez Cheng 3

4 INTRODUCCIÓN El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemática, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito. En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de conjuntos. En relaciones binarias y funciones estudiamos las principales funciones, para lo cual se usa el método gráfico que incluyen la localización de puntos en el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas en un plano por medio dos rectas coordenadas perpendiculares llamadas ejes coordenados, que se cortan en el origen O. La recta horizontal recibe el nombre de eje x y la vertical el de eje y ; se indican con X e Y respectivamente En esta unidad se estudian los conjuntos con soluciones de ejercicios y problemas tipos, así como una autoevaluación que debe ser desarrollado por el estudiante. Comprende asimismo el estudio del dominio y rango de las relaciones binarias y de las funciones, determinación de la distancia y pendiente entre dos puntos, graficar las principales funciones. Es importante mencionar que el estudiante debe resolver los ejercicios propuestos en las autoevaluaciones comparando con las soluciones dadas, así como los ejercicios propuestos en cada tema dentro de los contenidos, con la finalidad de enriquecer el aprendizaje. Ingeniero Julio Núñez Cheng 4

5 CONJUNTOS Matemática y Lógica Es uno de los temas más fáciles de entender debido a su simplicidad y a la disponibilidad de aplicaciones para la ilustración de la teoría. El desarrollo es enteramente intuitivo, pues las demostraciones dadas están basadas en conceptos intuitivos más que en axiomas formales. Elemento y Conjunto En Matemática hay incontables casos donde los conceptos de elemento y conjuntos de elementos tienen un papel decisivo. Todo principiante está familiarizado con el conjunto de los números enteros, el conjunto de triángulos, el conjunto de líneas perpendiculares a un plano dado y el conjunto de puntos sobre una línea. En cualquier materia de Matemática hay ciertos términos tan básicos que es imposible definirlos. En geometría plana, los términos punto y línea no se definen, aunque se alienta al estudiante para formarse una noción intuitiva del significado de estas palabras. Conjunto Es la Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un TODO. Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos de conjuntos. Ejemplos: A = {a, e, i, o, u} B = {matemática, lenguaje, inglés} C = {x/x es un número real} Ud. Proponga tres ejemplos de conjuntos! Ingeniero Julio Núñez Cheng 5

6 Diagramas de Venn Matemática y Lógica Son curvas simples cerradas, las cuales encierran los elementos de un conjunto. Determinación de Conjuntos: Los conjuntos pueden determinarse por extensión y comprensión. Recuerda Ud. estos conceptos de determinación? Por Extensión Cuando se nombra uno a uno sus elementos Por Comprensión Cuando se establece una propiedad que cumplen todos sus elementos Ejemplo: Indicar la determinación por extensión o comprensión de los conjuntos: A = {a, e, i, o, u} B = {matemática, lenguaje, inglés} C = {x/x es un número real} D = {0, 1, 2, 3} E = {x/x es un alumno de la Uladech} F = {x/x es un Dpto. del Perú} Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. CLASES DE CONJUNTOS Finito Cuando el conjunto tiene un determinado número de elementos. Ejemplo: Infinito A = {x/x es un día de la semana} B = {1, 2, 3, 4} Cuando tiene una cantidad ilimitado de elementos y cuyo último elemento no se puede señalar. Ingeniero Julio Núñez Cheng 6

7 CONJUNTOS NUMÉRICOS Son los números naturales, los números enteros, los números racionales, los números irracionales, los números reales y los números complejos. Conjuntos de Números Naturales Es el conjunto denotado por N y cuyos elementos son empleados para realizar las operaciones de contar. N = { 1, 2, 3, 4, , n } Conjuntos de Números Enteros Es una extensión del conjunto de los números naturales, se denota por. Z = {....., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.....} Cuando se desea designar a los enteros positivos o negativos, se designa por: + = { 1, 2, 3, 4,......} - = {...., - 5, - 4, -3, - 2, - 1} Conjuntos de los Números Racionales Es el conjunto que se denota por Q y que es la solución de la ecuación ax + b = 0, donde a y b son enteros, con a 0. Q = {x/ax + b = 0 a, b Z} o bien Q = { - b/a , - 1/2, 0, 1/2, 1, b/a} Todo número racional puede también ser representado mediante una expresión decimal exacto o periódico. Ejemplo: Ingeniero Julio Núñez Cheng 7

8 Conjuntos de los Números Irracionales Matemática y Lógica Es el conjunto que se denota por I y está formado por los números que no son racionales, es decir, aquellos que no pueden expresarse en la forma b/a. I = { -, - 5, 3, 2,, 7 } Conjunto de los Números Reales Es el conjunto que se denota por R y está formado por los conjuntos Q I. R = {..., -, - 5, -1/2, 0, 3/2,, 7,..... } Conjunto de los Números Complejos Es el conjunto que se denota por C y cuyos elementos son de la forma a + b i, donde: a, b R, i = -1 Ejemplo: C = { a + b i/ a, b R, i = -1 } 5 + 3i, 6 2i, i Es conveniente introducir los nombres de los dos conjuntos especiales que serán importantes en toda aplicación. Conjunto Universal Es el conjunto que se denota por U y que contiene a todos los conjuntos que podemos mencionar. El conjunto universal se designará con el símbolo 1.- Debe notarse que todo conjunto es sub conjunto del conjunto universal. El segundo conjunto especial, llamado conjunto vacío. Conjunto Vacío Por Definición, el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto. Es el conjunto sin elementos, se denota por la letra griega (Phi). Ingeniero Julio Núñez Cheng 8

9 Conjunto Unitario Matemática y Lógica Es el que contiene uno y sólo un elemento. Ejemplo: A = {x/x vocales de la palabra vals} B = {x/x capital del Perú} C = {x/x números impares entre 6 y 8} Después de haber revisado los fundamentos y clasificación de los conjuntos, ahora se revisarán las operaciones y problemas de conjuntos. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Diferencia de Conjuntos La diferencia de dos conjuntos A y B, se define como el conjunto de todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B. Se Denota: A B A B = {x/x A x B} Complemento de un Conjunto Dados los conjuntos A y B, tal que A es un subconjunto de B, se define el complemento de A respecto a B, a la diferencia de B A. El caso particular del complemento de A respecto del universal U, se denota por: CA = A = A C Un ejercicio sencillo de demostrar: Usar la definición de complemento de un conjunto para demostrar que: (X ) = X Para cualquier conjunto X Ingeniero Julio Núñez Cheng 9

10 Demostración: Sea el Conjunto: X Por Definición de Complemento de X X = U X Ahora el Complemento del Complemento de X será (X ) = U - X Reemplazando (X ) = U (U X) = U U + X (X ) = X L. Q. Q. D. También se puede usar los diagramas de Venn para realizar está demostración. DEMUESTRELO! Unión Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B. Intersección Se denota: A B Se define como el conjunto de los elementos que son comunes a A y B. Se denota: Diferencia Simétrica A B Dado los conjuntos A y B, se define la diferencia simétrica y se simboliza por A Δ B, al conjunto: Se denota: A Δ B = A B B A Resolución de Problemas con Conjuntos a. De 30 alumnos se obtuvo la siguiente información: 12 de ellos practican el voley, 20 practican el fútbol y 14 practican básquet; además 8 practican voley y básquet, 9 practican fútbol y básquet, 7 practican fútbol y voley y 5 practican los 3 deportes. Cuántos alumnos no practican ningún deporte? A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 7 Ingeniero Julio Núñez Cheng 10

11 30 Voley: Basket 14 4 Fútbol 20 En el cuadro se han colocado los datos: Considerando que como 5 practican los tres deportes se ha colocado: 3, como diferencia de 8 que practican voley y basket. 2, como diferencia de 7 que practican fútbol y voley. 4, como diferencia de 9 que practican fútbol y basket. Los que practican solo voley será: 12 - (3+5+2) = 2 Los que practican solo fútbol será: 20 - (2+5+4) = 9 Los que practican solo Basket será: 14 - (3+5+4) = 2 Entonces los que practican un solo deporte será: = 13 Los que no practican ningún deporte será: 30-( ) = = 3 b. En una competencia participaron 42 atletas, siendo los resultados: 4 conquistaron medallas de oro, plata y bronce; 6 de oro y plata, 8 de plata y bronce y 7 de oro y bronce. Cuántos atletas conquistaron al menos dos medallas? A) 10 B ) 11 C ) 12 D) 25 E) Oro 4 2 Plata 3 4 Bronce Ingeniero Julio Núñez Cheng 11

12 Por un procedimiento similar al anterior problema: 4, representa la intersección, es decir el número de atletas que consiguieron las tres medallas de oro, plata y bronce. Cómo sale 2, 3, y 4 por diferencia con la intersección 4, pues : 6, conquistaron medallas de oro y plata. 8, conquistaron medallas de plata y bronce. 7, de oro y bronce. La pregunta cuántos conquistaron al menos dos medallas? Será la suma de: = 13 Matemática y Lógica En este caso se considera, la intersección, pues no limita a que puedan ser mas de dos. Una aclaración y si la pregunta hubiera sido: Cuántos conquistaron solo dos medallas? La respuesta sería: = 9 sin considerar la intersección c. De los 600 bañistas se supo que 250 iban a la playa, 220 iban a la piscina, 100 iban a la playa y a la piscina, Cuántos no iban a la playa ni a la piscina? A) 2 30 B) 240 C) 250 D) 210 E) Playa: 250 Piscina: Del cuadro se aprecia que: Ingeniero Julio Núñez Cheng 12

13 Como 100 van a la playa y a la piscina, entonces = 150 son sólo los que van a la playa. De igual Forma, = 120 son sólo los que van a la piscina. Del total que es 600, se resta ( ) = = 230 son los que no van a la playa ni la piscina. d. De un grupo de 40 personas se sabe que: - 15 no estudian ni trabajan - 10 no estudian - 3 estudian y trabajan Cuántos realizan solo una de las dos actividades? A) 20 B) 23 C) 21 D) 24 E) No estudian No trabajan x Estudian y trabajan: 3 Del cuadro se puede observar: El valor de x, representa los que sólo no trabajan, entonces: x + 3 = 40, de donde x = 12 La pregunta es cuantos realizan solo una de las dos actividades, se refiere a los que no trabajan ni estudian, por lo tanto será la suma de: = 22 Ingeniero Julio Núñez Cheng 13

14 AUTOEVALUACIÓN 1. De 120 alumnos se obtuvo lo siguiente: 45 aprobaron lenguaje, 46 inglés y 38 matemática; además 7 aprobaron lenguaje e inglés, 8 inglés y matemática, 10 matemática y lenguaje y 4 aprobaron las 3 asignaturas. Cuántos no aprobaron ninguna asignatura? Cuántos aprobaron solo dos asignaturas? A) 12 y 15 B) 13 y 14 C) 12 y 13 D) 12 y De un grupo de turistas: 26 visitaron Ancash, 8 visitaron solo el Cuzco y 2 visitaron solo Cajamarca. Además 13 visitaron Ancash y Cuzco, 20 visitaron Cuzco y Cajamarca, 16 visitaron Ancash y Cajamarca y 6 visitaron las 3 ciudades. Cuántos visitaron solo Ancash? A) 3 B ) 2 C) 8 D) 4 E) 5 3. De un grupo de 65 alumnos: 30 prefieren lenguaje, 40 prefieren Matemática y 5 prefieren otros cursos Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje? A) 12 B) 5 C) 15 D) 10 E) 8 4. De una encuesta a 50 estudiantes: de los cuales 20 practican solo fútbol, 12 practican fútbol y básquet y 10 no practican ninguno de estos deportes Cuántos practican básquet? A) 8 B) 12 C) 32 D) 18 E) En un fundo hay 93 agricultores que cultivan uvas y plátanos, 55 cultivan uvas, 10 cultivan uvas y plátanos Cuántos agricultores cultivan solo una de las dos frutas? A) 58 B) 72 C) 83 D) 60 E) En una encuesta a 500 amas de casa sobre el consumo de pollo y pescado, se obtuvo que: 100 no consumen ninguno de estos productos, 250 no consumen pollo, 300 no consumen pescado Cuántos consumen pescado y pollo? A) 18 B) 22 C) 32 D) 50 E) 40 Ingeniero Julio Núñez Cheng 14

15 alumnos salen al recreo, 45 bebieron Inka kola, 30 bebieron Coca Cola y 10 bebieron ambas bebidas Cuántos alumnos bebieron solo una de estas bebidas? A) 23 B) 28 C) 32 D) 40 E) De 60 alumnos se obtuvo la siguiente información: 30 de ellos practican el voley, 37 practican el fútbol y 25 practican básquet; además 12 practican voley y básquet, 15 practican fútbol y básquet, 20 practican fútbol y voley. Además 8 practican los 3 deportes. Cuántos alumnos no practican ningún deporte? A) 8 B) 7 C) 5 D) 6 E) 4 SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN 1. Clave C 2. Clave A 3. Clave D 4. Clave A 5. Clave C 6. Clave D 7. Clave E 8. Clave B Julio Núñez Cheng Celular Rpm: Numeral junuche@hotmail.com Ingeniero Julio Núñez Cheng 15