xdx 10. e dx 2 x x.ln dx x dx 7. x.cosh 15. x.(ln x) dx 9 x *Ver soluciones de los números impares en el libro de Leithold
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- María Jesús Valdéz Poblete
- hace 6 años
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1 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO BARINAS Contnido: Intgrals impropias Primra spci-unidad III -Matmática II Scción F Smstr - Lcdo. Elizr Montoya (7.9-Ejrcicios dl tto Louis Lithold El cálculo) En los jrcicios a 8, dtrmin si la intgral impropia s convrgnt o divrgnt, y si s convrgnt valúla. Apoy gráficamnt la rspusta... 5 / cosh ( + ) ( + 9).ln (ln ) ln 8. cos *Vr solucions d los númros impars n l liro d Lithold Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias
2 . lim lim a a a a La grafica d la izquirda mustra como la función cuando tind a mnos infinito convrg a.78 Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias
3 ..5 Intgrando por sustitución o camio d varials la varial muda Sa: u u u du 5 du C C + + ln 5 ln 5 du Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias
4 ..5 Solución: Elizr Montoya.5 lim.5 lim lim a a a ln 5 + a ln 5 ln 5 a a lim + lim a ln 5 a ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 ln ln 5 ln 5 a Solución: Elizr Montoya lim lim lim.7 a a ln + + a ln ln ln ln ln Graficando y + tnmos: ln ln ln + Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias 4
5 La figura adjunta confirma gométricamnt l hcho d qu cuando tind a más infinito la curva convrg a.7 ln 5.. Intgrando la varial muda a través d la técnica d intgración por parts: Solución: Elizr Montoya. uv vdu u dv u du dv t t dv v dt + C ln v + C ln.. + C C u dv ln ln ln ln ln ln ln Lugo: a.. lim. lim a a ln ln ( ) ( ) a a a a a.. a. lim lim lim a ln ( ln ) ln a ( ln ) ln a ( ln ) ( ln ). + ln ln ln ln ( ) ( ) ( ).8 a Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias 5
6 7..cosh Solución- Elizr Montoya Calculmos primro la intgral d la varial muda (la intgral indfinida) usmos intgración por parts.cosh uv vdu u du Por dfinición samos qu: dv cosh v sinh + C.cosh sinh sinh sinh cosh + C + sinh y cosh Usmos dicha dfinición n la antidrivada ncontrada. + cosh sinh cosh + C + C + C + ( ) ( ) + C.cosh.cosh +.cosh lim.cosh + lim.cosh a a El primr sumando Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias 6
7 lim.cosh lim ( ) ( ) a a + a a a a lim ( ) ( ) lim ( a ) ( a ) a + + a + + Por lo tanto divrg a como vmos n la grafica adjunta 8.. Solución: Elizr Montoya Apliqumos intgración por parts rcurd la rgla nmotécnica ILATE Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias 7
8 . uv vdu u du dv v C +.. dv v + C () nuvamnt intgrando por parts l sgundo trmino d () u du + + C () sustituimos la cuación ( ) n la cuación (), sacando factor común ( ) C + + C ( + ). lim. lim a a a a a a ( ( a a )) ( a a ) lim.() + lim () lim + ()( + ) + a a a Como s osrva n la grafica adjunta Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias 8
9 Rsolvamos la intgral muda por mdio d sustitución o camio d varials Solución: Elizr Montoya u 9. du u u 9 u / 4 du / / / du u du + C + C. 9 / (9 ) (9 ) + C + C lim lim (9 ) lim (9 ) lim (9 (5) ) (9 ( ) ) + ( 6) + (( ) ) Por lo tanto la intgral impropia s divrgnt 9. ( ) + 5 Solución: Elizr Montoya Usmos la intgración por sustitución o camio d varials para la intgral indfinida u + du u 6 du u du C u C ( ) u du + C ( ) ( ) Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias 9
10 La intgral impropia n todo R qudaría dscompustas n: lim lim + + a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) El primr trmino qudaria asi: lim lim lim lim ( + ) + + 4( + ) a 6 a 4( a ) a a a a El sgundo trmino qudaria así: lim lim ( ) 4( ) En conclusión lim lim a a + + ( + ) ( + ) 6 6 Por tanto, s convrgnt ( ) + Como vrás n la grafica adjunta Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias
11 . ( + 9) Intgrando por dfinición o intgración dircta vr talas.. arctan ( + 9) ( + 9) ( + ) π. arctan arctan arctan + C arctan + C 6 π π. lim arctan lim arctan lim ( 9) π π π π π π π ( arctan ( ) ) rad 6º sagsimals Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias
12 ..ln Intgrando la varial muda, s dcir, la intgral indfinida por la técnica d camio d varial o sustitución tnmos u ln du ln u + C ln ln + C.ln du u lim lim ln ln lim ( ln ln ) lim ( ln ln ).ln.ln ( ( ) ) ( ) ln ln ln Podmos vr la tndncia d la gráfica n la mdida qu aumnta, l valor y ln(ln) s pird al infinito si. Rcordmos qu la función valor asoluto f ( ) si < Al dividir los limits d intgración n dos: ( ) ( ). + lim lim ( ) ( ) a a Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias
13 4.. Intgrando la varial muda a través d intgración por sustitución o camio d varials tnmos: u u u. du du C C + + du.. +. lim. + lim. a a a lim + lim lim a + + lim + a a ( ) ( ) 5..(ln ) Intgrando por sustitución o camio d varials u ln du u u du C C + +.(ln ) du u ln Evaluando la intgral impropia lim lim lim.(ln ).(ln ) ln ln ln ln( ) Podmos vr qu ocurr n la gráfica adjunta cuando nos movmos hacia mas infinito dsd, l valor d y +, convrg ln Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias
14 Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias 4
15 El prolma siguint s muy smjant al prolma aquí plantado + ( 6 + ) ( 6 + ) ( 6 + ) ( 6 + ) lim arctan lim ar ctan a a lim arctan ( ) arctan + lim arctan arctan ( ) a π π π π π π rad 45º Sagsimals π 7. ln 4 Rsolvmos la intgral d la varial muda. Usando la técnica d intgración por parts u ln y dv. ln uv vdu u ln du dv dv v ln.ln.ln.ln + C Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias 5
16 ln lim ln lim ln lim [ ln ] lim [ ln ] lim ln lim + [ ] [ ] [ ] Tnmos una indtrminación, apliqumos la conjugada,(matmática I) para pasarlo a una forma indtrminada,lugo dividimos por l mayor ponnt ln [ ] [ ] ln ln + lim ln lim lim [ ln + ] [ ln + ] ln + Nos sigu qudando una forma,apliqumos L Hopital, sdcir, calculmos la drivada dl numrador y dl dnominador ln ( ln ) lim lim lim lim ln ln + +..ln ln lim lim lim nuvamnt L hopital ln ln ln ( ) lim lim lim ( ln ) D sta manra: lim ln lim + [ ] [ ] En conclusión, la intgral impropia ln ;s divrgnt. Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias 6
17 8.- cos Nuvamnt rpasmos l calculo intgral indfinida cos Usando la técnica d intgración por parts, ya qu ist l producto d funcions, una ponncial y otra trigonométrica, y la rgla nmotécnica para considrar quin s u ( I-L- A-T-E) cos u. v vdu u cos du sn dv v + c cos cos sin ( ) nuvamnt intgramos por parts u sin du cos + dv v c sin sin sin + c os + C () Sustituimos () n ( ), y transponmos pasando al primr mimro términos smjants: ( ) cos cos sin + cos + C cos cos + sin cos + C cos + cos cos + sin + C cos (sin cos ) + C (sacamos factor común ) (sin cos ) + C (sin cos ) cos + C (dividindo por ) (sin cos ) cos + C Ahora podmos valuar la intgral impropia, Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias 7
18 t t ( sin cos ) cos lim cos lim t t ( sin cos ) ( sin cos ) t t t lim lim t t ( ) sin( ) cos( ) ( ) + Lcdo. Elizr Montoya Intgrals Impropias 8
La Integral Definida-Usando la técnica de Integración por Partes.- b u dv
a Dtrminar la intgral dfinida f ( ). g ( ) d, bosqjar l ára rprsntada por b la crva y las rctas a y b, con rspcto l j, aplicando l método d intgración por parts d cada no d los sigints problmas: Ejmplo
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