EXAMEN DE MATEMÁTICAS I. Test

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1 Primer Parcial 16 de febrero de 005 Test Sólo una respuesta a cada cuestión es correcta. Respuesta correcta: 0. puntos. Respuesta incorrecta: -0.1 puntos Respuesta en blanco: 0 puntos 1.- Considerando la Tierra como una superficie esférica, los triángulos esféricos sobre la misma se pueden formar con arcos de: a) paralelos y meridianos. b) meridianos. X c) ciclos y meridianos..- Sólo uno de los siguientes triángulos esféricos es posible cuál? a) a=130º, b=145º, c=100º. b) A=30º, B=45º, C=50º. X c) a=40º, b=70º, c=54º. 3.- Bajo las hipótesis adecuadas, la aproximación lineal de una función f en un entorno de un punto a es: a) El primer polinomio no nulo de Taylor en a. X b) La recta tangente a f en el punto a. c) El eje de abscisas. 4.- Si una función es par y verifica las hipótesis del teorema de Taylor en un entorno de un punto a, entonces: a) El polinomio de Taylor T n [f,a] solo tiene términos de grado par. X b) Si a=0, entonces el polinomio de Mac-Laurin T n [f,a] solo tiene términos de grado par. c) Ninguna de las anteriores. 5.- La función f(x)=tgx es: a) Periódica de periodo π y simétrica respecto del eje OX. X b) Periódica de periodo π y simétrica respecto del origen. c) Periódica de periodo π y simétrica respecto del eje OY. x = x(t) 6.- La curva de la figura tiene: y = y(t) X a) cuatro puntos críticos. b) dos puntos críticos. c) ningún punto crítico. 7.- La integral x 4 e x dx: 0 X a) es convergente y vale 4! b) es convergente y vale 5! Γ 4. c) es ( ) Unidad docente de Matemáticas 1

2 8.- La derivada de la función F(x) = sen t dt es: 3 X a) 3x sen ( x ) sen x. 3 b) sen ( x ) sen x. 3 3 c) sen( x ) cos( x ) senxcos x. 9.- El área encerrada por la función y=cosx y el eje OX para x [ 0, ] a) X b) π 0 π 0 cos x dx cos x dx π cosx dx c) Sea ( ) A M n X a) A = 0 3 x con r(a)<n se verifica: b) A es inversible. c) Existe un menor de orden n-1 distinto de cero. x π vale: 1.- Un navío parte del punto A y llega hasta el B, recorriendo un arco de circunferencia máxima. Las coordenadas geodésicas de ambos puntos son: Longitud = 55º48'10'' E Longitud = 0º30'40'' E A B Latitud = 55º45'13'' N Latitud = 48º50'0'' N Calcular la distancia recorrida por el navío y el rumbo del mismo (ángulo CAB, siendo C el polo más próximo A). Nota: Radio de la tierra R 6370 km. (1,3 puntos) SOLUCIÓN: C=Polo Norte Greenwich a B b A ecuador En el triángulo esférico CAB: Conocemos CA: (90º Latitud de A). b=90º-55º45 13 =34º14 47 Conocemos CB: (90º Latitud de B). a=90º-48º50 0 =41º09 58 Conocemos el ángulo C: C=55º º30 40 =35º17 30 Queremos calcular AB es decir c. Para ello aplicamos el teorema del coseno para lados. cos c = cos b cos a + sen b sen a cos C = 0, de donde c = º3 10 la distancia recorrida viene dada por D = c(radianes) * R siendo R el radio de la Tierra R=6370 km. Obteniéndose 489 km Unidad docente de Matemáticas

3 Ahora se calcula el rumbo: queremos calcular CAB. Para ello aplicamos el teorema del seno. sena=sena.senc/senc= 0, , luego el rumbo será 86º55 0 o bien, 93º Por el teorema del coseno: cos a cos b cos c cos a = cosb cosc + senb senc cos A cos A = = -0, senbsenc A = 93º Dada la matriz A = hallar: 4 7 p a) En función de los valores p y q, una matriz X tal que AX =. q b) Una matriz Y tal que A Y + AY = A. c) Un valor de λ tal que A λi = 0. d) El valor de los determinantes siguientes: 5 A, 5 A, SOLUCIÓN: 3 a) A =, A =, 4 7 b) A Y AY = A 1 A, A, t A A, 7 3 A 1 =, 1 t A + A. (1.3 puntos) 7 X = + A ( A + I) Y = A ( A + I) Y = I ( ) 1 λ 3 c) A λi = = λ 9λ + = λ 5 5 d) A =, A = A = 3. 5 A = 5 A = ± 73 λ =. 3 p 7 3 = p q 1 q p + q 1 Y = A + I.= A 1 = t t t 4 7 A = ( 1) A = AA = A A = 4, A + A = = Contestar sólo a una de las dos opciones A o B siguientes: A) 1) Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo (A=90º), un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos. ) Demostrar el Teorema fundamental del cálculo integral. Ver abajo (*). B) 1) Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo (A=90º), el lado a (hipotenusa) es agudo si y sólo si los dos catetos son ambos agudos o ambos obtusos. ) Demostrar la Regla de Barrow para el cálculo de una integral definida a partir del Teorema fundamental del cálculo integral. Ver abajo (*). (*) Teorema fundamental del cálculo integral: Sea f una función continua en [a,b], entonces, la función F(x) = f(t)dt es derivable en [a,b] y la derivada es F (x)=f(x). (1.3 puntos) 1 x a Unidad docente de Matemáticas 3

4 4.- Dada la función f(x) = xe x, se pide: a) Hallar una aproximación de f(1/) y estimar el error cometido al usar el polinomio de Taylor de f para a=1, n=7. b) Lo mismo que en el apartado a) tomando el polinomio de Mac-Laurin de grado 7 de f. c) Argumenta cuál de ambos polinomios es el más adecuado para aproximar f(1/). d) Obtener el polinomio de Mac-Laurin de grado n de la función f(x) a partir del polinomio de grado n de e -x que es el que sigue: 3 n x x x n x T n[e,0] = 1 x ( 1)! 3! n! (1.4 puntos) SOLUCIÓN: #1: - x x e - x #: TAYLOR x e, x, 1, 7 = ~ e (103 x x + 46 x x x x + ~ ~ 630 ~ 188 x + 58) x x x 3 #3: TAYLOR x e, x, 0, 7 = x + x 6 Las gráficas de las tres funciones son Apartado a) El valor aproximado de f en x=1/ con el polinomio de taylor: - x #4: TAYLOR x e, x, 1, 7 = ~ e (103 x x + 46 x x x x + ~ ~ 630 ~ 188 x + 58) ~ e ~ #5: ~ ~ 630 ~ Unidad docente de Matemáticas 4

5 #6: El error estimado en esta aproximación viene dado por la expresión #7: R ( ) max f(x) con < x < 1 7 8! d 8 #8: - x dx x e #9: - x x e (16 x - 88 x x - 50 x + 945) 1 - x #10: IF < x < 1, 16 x e (16 x - 88 x x - 50 x +945 Vemos que el máximo de la octava derivada de f(x) se alcanza en x= 1/, luego (1/) #11: max f (x) 16 e < #1: 1-7 = < 10 8! #13: R ( ) < = < Luego < f(1/) < Apartado b) El valor aproximado de f en x=1/ con el polinomio de taylor: x x x 3 #14: TAYLOR x e, x, 0, 7 = x + x #15: #16: El error estimado en esta aproximación viene dado por la expresión #17: R ( ) max f (x) con 0 < x < 7 8! Unidad docente de Matemáticas 5

6 1 - x #18: IF 0 < x <, 16 x e (16 x - 88 x x - 50 x + 945) En este caso el máximo no se alcanza en un extremo del interva lo sino en un punto interior y una cota de ese máximo es (ob tenida aproximadamente a partir de la gráfica), luego 1-7 #19: R ( ) < = < Luego < f(1/) < Apartado c) Con el primer polinomio (a=1) se fijan 3 cifras decimales y con el segundo solo, luego recomendar utilizar el primero de los polinomios es más adecuado. Apartado d) Escribimos el polinomio de Mac-Laurin de e^(-z) de grado r 3 r z z z r #0: 1 - z (-1)! 3! r! Sustituimos z=x^ 4 6 r x x x r #1: 1 - x (-1)! 3! r! Multiplicamos por x 5 7 r x x x r #: x - x (-1)! 3! r! Observamos que solo hay términos de grado impar (se trata de una función impar), luego el polinomio de Mac-Laurin de la función f(x)=xe^(x^) de grado n es: Si n es un nº impar n=r+1, luego r=(n-1)/ y el polinomio es: 5 7 n 3 x x x (n-1)/ x - x (-1) #3:! 3! n - 1! Si n es un nº par n=r, Tn[f,0]=Tn-1[f,0] Unidad docente de Matemáticas 6

7 5.- De la curva dada por sus ecuaciones paramétricas: cos( t ) xt () = e cos( t ) sen() t yt () = e Obtener: 1) Campo de variación de t ) Periodicidad 3) Simetrías 4) Asíntotas 5) Puntos críticos 6) Estudiar el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos 7) Representar aproximadamente la curva (1.4 puntos) SOLUCIÓN: 1) t { nπ, n } ) cos(t) es periódica de periodo π y tg(t) es periódica de periodo π. El periodo de la curva es el mínimo común múltiplo: π. Por tanto, basta estudiar el intervalo [-π, π]. 1 1 tg ( t) tg ( t) 1 1 3) x(-t)=x(t) pero y( t) = e = e = = que no coincide con y(t) ni con y(t). Por 1 yt () tg () t e tanto, la función no es simétrica. 4) Asíntotas Asíntotas horizontales y asíntotas oblícuas no puede haber pues x(t) es una función acotada. Cálculo de los límites en los puntos t=-π, 0,π. t=- π : lim yt ( ) =+ t π + 1 x(- π ) = 0,368 Asíntota vertical e lim yt ( ) = 0 t 0 t=0 : x(0) = e, 718 Asíntota vertical lim yt ( ) =+ + t 0 t= π: lim yt () = 0 t +π 5) Puntos críticos dx() t cos( t) x '( t) = = e sen( t) dt cos( t) sen() t x'( t) = 0 sen( t) = 0 t = π, 0, π x'( t), t [ ππ, ] dy() t e y'( t) 0, t [ ππ, ] y'( t) = = dt sen () t y '( t), excepto, t { π, 0, π} t π,0, π. Se denominará: rama 1: [-π,0] y rama : [0,π] puntos críticos: { } 6) Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos t -π + (-π,0) (0, π) π - (x,y) (1/e, ) (e,0) (e,+ ) (1/e,0) x (t) y (t) f (x)=y (t)/x (t) - + Unidad docente de Matemáticas 7

8 Tomando un punto dentro de cada rama x (-π/)=1 y (-π/)=-1 x (π/)=1 y (π/)=-1 7) Representar aproximadamente la curva Detalles del corte con el eje x (tangentes horizontales): Unidad docente de Matemáticas 8

9 6.- Hallar el área de la región común a las curvas de ecuaciones polares: r= cos(a), r=1, r= sen(a) (1.3 puntos) SOLUCIÓN: #1: r = COS(a) #: r = SIN(a) #3: r = 1 #4: SOLVE([r = SIN(a), r = 1], [a, r]) π 5 π 7 π #5: a = r = 1, a = r = 1, a = - r = #6: SOLVE([r = COS(a), r = 1], [a, r]) π π 5 π #7: a = r = 1, a = - r = 1, a = r = π #8: 0 < a < r < SIN(a) 6 π/6 1 #9: ( SIN(a)) da 0 π #10: 1 π π #11: < a < r < π/3 1 #1: 1 da π/6 π #13: 1 π π #14: < a < r < COS(a) 3 π/ 1 #15: ( COS(a)) da π/3 Unidad docente de Matemáticas 9

10 π #16: 1 π/6 π/3 π/ #17: ( SIN(a)) da + 1 da + ( COS(a)) da 0 π/6 π/3 5 π #18: 1 O bien, mediante sus ecuaciones cartesianas: #19: x + y = 1 #0: (x - 1) + y = 1 #1: x + (y - 1) = 1 #: SOLVE( x + y = 1, (x - 1) + y = 1, [x, y]) #3: x = y =, x = y = - #4: SOLVE( x + y = 1, x + (y - 1) = 1, [x, y]) #5: x = y =, x = - y = #6: SOLVE((x - 1) + y = 1, y, Real) #7: y = - (x ( - x)) y = (x ( - x)) SOLVE(x #8: + y = 1, y, Real) #9: y = - (1 - x ) y = (1 - x ) #30: SOLVE(x + (y - 1) = 1, y, Real) #31: y = 1 - (1 - x ) y = (1 - x ) + 1 #3: (x ( - x)) #33: (1 - x ) #34: (1 - x ) #35: (x ( - x)) dx 0 3/ #36: (1 - x ) dx 0.5 3/ #37: ( (1 - x ) + 1) dx 0 3/ 3/ 0.5 #38: (x ( - x)) dx + (1 - x ) dx - (1 - (1 - x )) dx Unidad docente de Matemáticas 10

11 5 π 3 #39: - 1 Unidad docente de Matemáticas 11