INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
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- Ángela Jiménez Plaza
- hace 6 años
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1 INTEGRCIÓN POR CMBIO DE VRIBLE Dada la inegral f( ) d, si consideramos como una función de ora variable, = g(), enonces d = g'() d, y susiuyendo en la inegral inicial se obiene f( g( )) g'( ) d. En el caso de que esa segunda inegral sea más sencilla que la primera, se resuelve en la variable y poseriormene se deshace el cambio de variable susiuyendo en función de. En resumen, para realizar un cambio de variable en una inegral se realizan los siguienes pasos:.- Se elige el cambio de variable que se quiere realizar indicando la epresión que relaciona la variable inicial con la nueva variable..- Se calcula d en función de la variable y d..- Se susiuye en la inegral la variable y d por las epresiones en la variable y d. La nueva inegral obenida solamene debe depender de..- Se resuelve esa inegral, obeniendo la solución en la variable..- Se deshace el cambio de variable, dando el resulado en la variable inicial. Ejemplo 7: a) d, esa inegral no es inmediaa ya que no se ajusa a ningún caso de la abla. Para resolverla se hace el cambio de variable =, elevando al cuadrado queda = y despejando, = + Diferenciando la igualdad anerior se obiene d = d. Susiuyendo el cambio en la inegral inicial y resolviendo la inegral obenida queda: + + d = d = d ( ) d d d C = + = + = + + d = + + C Deshaciendo el cambio resula e d b), para resolver esa inegral se hace el cambio de variable e = e + Diferenciando la igualdad anerior queda e d d d = d, es decir, d = = e e d d + = ln( ) = d = d = d = d d = + + C e ( + ) e d Deshaciendo el cambio de variable resula: = e ln( e + ) + C e + Observación: Las inegrales inmediaas generalizadas (segunda columna) ambién se pueden calcular mediane cambio de variable. Ejemplo 8: a) ( ) d, esa inegral es inmediaa como se ha comprobado en el ejemplo 6, pero ambién se puede resolver = realizando el cambio de variable d = d d ( ) d = = d = + C = ( ) + C 8 cos d b), esa inegral es inmediaa y se puede resolver aplicando la abla, ya que es fácil obener en el numerador la sen derivada del radicando. Proyeco de innovación RGÓN TRES
2 También se puede resolver mediane el cambio de variable = sen d d = cos d cos d = / / cos d = d = d = + C = + C = ( sen ) + C sen INTEGRCIÓN DE FUNCIONES RCIONLES Se denomina función racional a cualquier función de la forma: P a0 + a + + am = Q b + b + + b 0 n m n siendo a i,b j œ En ese aparado únicamene consideraremos funciones racionales en las que las raíces de Q() sean reales. lgunas funciones racionales se inegran de forma inmediaa; enre oras las fracciones simples de la forma (a + b) n con n Ejemplo 0: d a) = ln( ) + C b) ( ) ( ) c) d) e) ( ) + d = + d = + C = + C + + d = ln( ) + C ( ) d d d = = = ln( + ) + C ( + ) ( ) d = 7 + d = + d = + C = + C + P ( ) Si la inegral d Q( ) Caso I: Si grado P ( ) ( ) no es inmediaa, se procede de la siguiene forma: grado Q se realiza la división de los polinomios Sea C ( ) el cociene de la división y R( ) el reso, se cumple que: grado R Por ano, < grado Q ( ) P ( ) = + Q( ) R d C d d Q La inegral C ( ) d es inmediaa y la inegral resolver como se indica en el caso II. P R = C ( ) + Q Q con R d en caso de que no sea inmediaa, se puede Q Proyeco de innovación RGÓN TRES
3 Ejemplo : + a) d, como el grado del polinomio del numerador no es menor que el del denominador, se realiza la división: Por ano, = + / + Inegrando se obiene d = d + d = + ln( ) + C + b) d, como el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador, se realiza la división: / + + Por ano, + = Inegrando se obiene d = + + d = + + ln( ) + C grado P grado Q Caso II: Si P ( ) Q( ) < se facoriza Q() (Ver Unidad didácica ) para descomponer en suma de fracciones simples de la siguiene forma: - Por cada raíz real simple a, se considera una fracción del ipo a consane real a deerminar. donde es una - Por cada raíz real múliple a de muliplicidad r, se cosideran las r fracciones siguienes ( a) r..., ( a ) r donde,,..., r son consanes reales a deerminar. Para deerminar las consanes aneriores, se iguala el cociene P Q P simples consideradas. Una vez deerminadas, la resolución de la inegral Q de las inegrales de las fracciones simples, aplicando la propiedad de linealidad., a a la suma de las fracciones se reduce al cálculo Ejemplo : + a) d, como el grado del polinomio del denominador es mayor que el del numerador, en ese caso no hay que + 6 realizar la división. Se calculan las raíces del denominador para facorizarlo: ± ± + 6 = 0, = = =, por ano, + 6 = ( )( ) Se descompone como suma de fracciones simples + B ( ) + B( ) = + = + 6 ( )( ) Para deerminar las consanes y B, al ser iguales los denominadores se igualan los numeradores: + = ( ) + B( ) y en esa igualdad se dan dos valores a la variable (preferenemene los valores de las raíces de Q() por simplicidad en los = = = cálculos): = = B Proyeco de innovación RGÓN TRES
4 + d = d + d = ln( ) + ln( ) + C + 6 b) = d + ( ) Se descompone el cociene de polinomios como suma de fracciones simples eniendo en cuena que es raíz doble del polinomio del denominador: B ( ) + B = = B = + = = ( ) + B ; ( ) ( ) ( ) = 0 0 = + B = B = ( ) = d + d = ln( ) + ( ) d = ln( ) + + C = ln( ) + C + ( ) c) d +, facorizando el polinomio del denominador queda + = ( + ) Teniendo en cuena que =0 es una raíz doble y =- es simple, la descomposición en fracciones simples de B C ( + ) + B( + ) + C = + + = = ( + ) + B( + ) + C + + ( + ) + es Dando valores a la variable obenemos un sisema de ecuaciones cuyas soluciones son las consanes a deerminar: = 0 = B B = = = C( ) C = 8 = = + B + C = B + C = + = = B d = d + d + d = ln + + ln( + ) + C = ln + ln( + ) + C d) d Se calculan las raíces del denominador para facorizarlo: ± + 0 ± 9 = 0, = = =, por ano, = ( ) ( ) = + Se descompone como suma de fracciones simples B ( + ) + B( ) = + = + ( )( + ) Para deerminar las consanes y B, al ser iguales los denominadores se igualan los numeradores: = ( + ) + B( ) Dando dos valores a la variable : = = 9 = 9 9 = = B B = 9 d d d d d d = = + = = ln( ) ln( + ) + C ( )( + ) Proyeco de innovación RGÓN TRES
5 B Observación: En ese ejercicio se ha considerado la descomposición en fracciones simples = + + B lugar de = + para que sea más sencillo el cálculo de las consanes. + en Proyeco de innovación RGÓN TRES
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