MEDIDAS DE DISPERSION

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Uiversidad del Perú, DECANA DE AMERICA) MEDIDAS DE DISPERSION 14/06/008 Ig. SEMS

2 .3 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Todos los valores represetativos discutidos e las seccioes precedetes, ha sido ua especie de proedio o edida de posició. Si ebargo, el uso de u solo valor para describir ua distribució oculta uchos hechos iportates. Por ejeplo, dos grupos separados de datos puede coteer la isa edia, pero u grupo puede estar ás disperso o esparcido alrededor del valor proedio que el otro. Por lo que es ecesario ua edida de la dispersió, esparciieto o variació para ayudar a defiir ás copletaete la distribució. 14/06/008 Ig. SEMS

3 A.- AMPLITUD TOTAL (A) Se defie coo la diferecia etre el valor áxio (Váx) y el valor íio (Ví), es decir: A Váx Ví Represeta la edida de variació ás siple y la que preseta ayor valor ituitivo. Ua desvetaja de la aplitud coo edida de variació es su edida a auetar a edida que aueta el taaño de la uestra (úero de observacioes). Sería deseable que para edir la variació, dicho valor peraezca lo ás estable posible, idepediete del úero de observacioes. Adeás, sobre ua base ituitiva, la aplitud sólo utiliza las dos observacioes extreas desestiado toda la iforació relacioada co la variació que puede obteerse a partir de las restates observacioes. 14/06/008 Ig. SEMS

4 Ejeplo 1: Deteriar la aplitud de la siguiete serie de datos: 139, 149, 159, 179 De acuerdo a la defiició, se tiee que el V áx 179 y el M i 139, por cosiguiete: A A veces se acostubra ecioar solaete el valor íio y el valor áxio. E relació a uestro ejeplo, teeos que los datos está uy cocetrados o apiñados e dicho itervalo. 14/06/008 Ig. SEMS

5 B.- VARIANZA [V()] Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR (σ) La variaza es ua edida de dispersió que cuatifica la variabilidad de los datos co respecto a la edia aritética. Se defie coo el proedio de las desviacioes al cuadrado de cada uo de los datos co respecto a la edia. Sibólicaete podeos expresarlo coo: Dado u cojuto de datos 1,,..., co ua edia aritética S i 1 ( ) i i 1 i 14/06/008 Ig. SEMS

6 14/06/008 Ig. SEMS Esta fórula la podeos expresar de la siguiete aera: S 1 i i O tabié: S 1 i 1 i i i Las tres fórulas ateriores os coduce al iso resultado

7 CÁLCULO DE LA VARIANZA PARA DATOS NO AGRUPADOS Ejeplo 13: Cosidereos la siguiete serie de datos: 4, 7, 8, 3, 5, 9, 10, Se pide calcular la variaza de este cojuto de datos. Solució Toado la fórula (1) de la variaza, priero la edia aritética, es decir: /06/008 Ig. SEMS

8 Ahora ecotrareos la variaza de acuerdo a la defiició: S S (4 6) (7 6) + (8 6) ( 6) 14/06/008 Ig. SEMS

9 a.- Utilizado la fórula () de la variaza, priero ecotraos: S 348 8* b.- Utilizado la fórula (3) de la variaza, toado los isos resultados hallados previaete para la fórula (), es decir: S / /06/008 Ig. SEMS

10 Coo podeos observar, la variaza puede calcularse por cualquiera de las tres fórulas y obteer el iso resultado. La desvetaja que tiee la variaza es que hay dificultad e su iterpretació por que las uidades que utiliza está elevadas al cuadrado. Por otro lado, cuado se trabaja co uestra, se hace ua correcció co el deoiados y e lugar de cosiderar, cosideraos -1, por cosiguiete la variaza uestral se calcula co: s i 1 ( ) i -1 14/06/008 Ig. SEMS

11 A pesar que la variaza cuatifica correctaete la variabilidad de las observacioes de los datos co respecto a la edia, si ebargo hay dificultades e su iterpretació, por que sus uidades está expresadas al cuadrado, por cosiguiete ua edida alterativa es la DESVIACIÓN ESTÁNDAR (σ) y se defie coo la raíz cuadrada de la variaza, es decir: S S Sibólicaete será: S i 1 ( ) i 14/06/008 Ig. SEMS

12 Ejeplo 14: Supógase que se tiee la estacia e días de 6 pacietes que fuero aditidos e u hospital 3, 4, 7,, 6, 5 Se pide calcular la desviació estádar ediate la fórula (6) Solució Prieraete ecesitaos calcular: s /06/008 Ig. SEMS

13 14/06/008 Ig. SEMS E este caso iterviee las arcas de clase i co su respectiva frecuecia fi, etoces la variaza quedará defiida coo: CÁLCULO DE LA VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS ( ) f S 1 Dode es el úero de itervalos. f f S 1 1 La variaza expresada e fórula de trabajo está dada por:

14 Por cosiguiete, la desviació estádar está dada por S S Sibólicaete será: S f 1 1 f 14/06/008 Ig. SEMS

15 Ejeplo 15: Toado los datos del ejeplo 11, calcular la desviació estádar co la fórula (10). Edad x i f i f i x i f i x i Total /06/008 Ig. SEMS

16 Solució Reeplazado e la fórula: S S 4.94, quiere decir que los datos se dispersa e proedio, 4.94 co respecto al valor cetral. La variaza será: S /06/008 Ig. SEMS

17 Propiedades de la variaza: a.- El valor de la V () es ayor o igual que cero cualquiera sea su distribució. b.- La variaza de ua variable que toa el iso valor es cero. c.- La variaza de la sua de ua variable y ua costate es igual a la variaza de la variable V ( + K) V (). c.- La variaza del producto de ua costate por ua variable es igual al producto del cuadrado de la costate por la variaza de la variable V () V (). d.- Cosidereos u ejeplo que os perita deostrar las propiedades ecioadas ateriorete 14/06/008 Ig. SEMS

18 Ejeplo 16: A cotiuació se tiee la siguiete serie de datos: 4, 5, 7, 6, 3 co edia aritética 5 y variaza. A cada uo de los datos de la serie le vaos a agregar el valor de, iteresa ecotrar la variaza de los uevos datos. Se tiee que la serie origial es: Solució x i x i + y i y i y i -7 (y i -7) M (y) 7 10 S 5 V(x) V(y) 14/06/008 Ig. SEMS

19 Coo se puede apreciar la variaza de los uevos datos sigue siedo la isa de los datos origiales (se cuple la propiedad 3). Caso: Si a los datos origiales le ultiplicaos por la costate, se pide ecotrar la variaza de estos uevos datos. x i x i y i y i y i -10 (y i -10) M(y) S 5 V(y) V(x) V(x) *8 8 14/06/008 Ig. SEMS

20 14/06/008 Ig. SEMS V() c V(d ) ( ) ( ) 1 '' 1 '' d d f d f S ' ' ( ) V() V(d ) ( ) 1 ' 1 ' d d f d f S ' 0 d' c c d d'' 0 '

21 V() V(d ) ( ) ( ) ' ' f d f d S ' d 1 1 i-1 i i f i d' d' f i d' f i , , , ,5 18-5, , ,5 3 4, , ,5 0 14, , ,5 15 4,5 367,5 9003, ,5 5 34,5 17,5 5951,5 Total ,00 Media 7, 7,55 Variaza 175,71 D. Estad 13,6 Me Sup 30 d' 0 14/06/008 Ig. SEMS

22 V() c V(d ) S d '' 1 f ( '' ) ( '' d f d ) 1 i-1 i i f i d'' d'' f i d'' f i ,5 10 -,0-0 40, ,5 18-1, , ,5 3 0,0 0 0, ,5 0 1,0 0 0, ,5 15, , ,5 5 3, ,00 Total ,00 Media 0,7 1,83 Variaza 175,71 D. Estad 13,6 ' d d'' c c 0 14/06/008 Ig. SEMS

23 E J E M P L O S Calcular la desviació estádar de la distribució de frecuecia que aparece a cotiuació. 1 i-1 i i f i i f i ( i - 37.) ( i - 37.) f i , ,0 515,9 515, , ,0 161,9 903, , ,0 7,9 33, , ,0 53,9 1065, , ,5 99,9 4489, ,5 5 3,5 745,9 376,45 f ( ) 14/06/008 Ig. SEMS Total , ,00 Media 37,0 Variaza 175,71 D. Estad 13,6 S 1 f 1 f

24 E J E M P L O S ' Calcular la desviació estádar por el prier étodo siple de la distribució de frecuecia que aparece a cotiuació. d i-1 i i f i d' d' f i d' f i , , , ,5 18-5, , ,5 3 4, , ,5 0 14, , ,5 15 4,5 367,5 9003, ,5 5 34,5 17,5 5951,5 Total ,00 Media 7, 7,55 Variaza 175,71 D. Estad 13,6 ( ) ( ) ' ' d f d f V() V(d ) /06/008 Ig. SEMS

25 E J E M P L O Calcular la desviació estádar por el segudo étodo siple de la distribució de frecuecia que aparece a cotiuació. S '' d i-1 i i f i d'' d'' f i d'' f i ,5 10 -,0-0 40, ,5 18-1, , ,5 3 0,0 0 0, ,5 0 1,0 0 0, ,5 15, , ,5 5 3, ,00 f Total ,00 Media 0,7 1,83 Variaza 175,71 D. Estad 13,6 ( ) ( ) '' '' d f d 1 1 V() c V(d ) 14/06/008 Ig. SEMS

26 D. COEFICIENTE DE VARIACIÓN Es ua edida de dispersió relativa de la desviació estádar co respecto a la edia, es decir: El coeficiete de variació o tiee uidades. Este coeficiete se utiliza para coparar la dispersió o variabilidad de dos cojutos de datos expresados e diferetes uidades. Es ás, auque se use la isa uidad de edició, las dos edidas de dispersió usadas puede ser uy diferetes. Así si se copara la desviació estádar de los pesos de los iños de prier grado co la desviació estádar de los jóvees de 1 de facultad de ciecias, es posible que se ecuetre que la desviació estádar de estos últios sea uéricaete ayor que la de los prieros, por que los propios pesos so ayores y o por que la dispersió sea ayor. E esta situació hay que utilizar ua edida relativa de dispersió que sería el coeficiete de variació. 14/06/008 Ig. SEMS CV S *100

27 Ejeplo 17: Supogaos que e dos grupos se ha deteriado los siguietes resultados: GRUPO 1 GRUPO Año Pro años Peso Pro Kg s 5 5 Kg Qué grupo es ás hoogéeo o eos variable co relació al peso? 14/06/008 Ig. SEMS

28 Solució Para idetificar qué grupo tiee eor variabilidad e relació a la variable peso, se tiee que utilizar el coeficiete de variació, por que los grupos está costituidos por sujetos co distitas edades proedio. El coeficiete de variació para la uestra 1 es: 5 CV % 7.5 El coeficiete de variació para la uestra es: 5 CV % 40 De acuerdo a los resultados, la uestra 1 posee eos dispersió de los pesos co respecto a la edia e relació a la uestra. 14/06/008 Ig. SEMS

29 Nota: Si el C.V. es eor del 10% se dice que hay poca dispersió, si el C.V. oscila etre el 10% y el 33% la dispersió existete es aceptable; si el C.V. oscila etre el 33% y el 50% se dice que hay alta dispersió; pero si el C.V. es ayor del 50% se dice que la dispersió es uy alta. 14/06/008 Ig. SEMS

30 Ejercicio 1.- Se realizó u estudio sobre la edad de las ujeres que utiliza aticoceptivos. Los resultados fuero: 0, 1, 1, 19, 17,, 3, 4, 1, a.- Calcular la edia aritética, ediaa y oda. b.- Explique las evetuales diferecias. 14/06/008 Ig. SEMS

31 Ejercicio.- Los siguietes datos so los resultados de la calificació de 85 estudiates e u exae de Estadística, e ua f i CALIFICACION A.- Calcular la edia aritética, la ediaa y la oda. B.- Calcular la desviació estádar y el coeficiete de variació. C.-Si la ota íia aprobatoria del curso es 55 Cuátos aluos aprobaro el curso? 14/06/008 Ig. SEMS

32 ASIMETRIA Y APUNTAMIENTO Ua tercera aera de describir la fora de las distribucioes de variables cotiuas u discretas es a través de los ídices de asietría y de aputaieto 14/06/008 Ig. SEMS

33 ASIMETRIA : Heos coetado que el cocepto de asietría se refiere a si la curva que fora los valores de la serie preseta la isa fora a izquierda y derecha de u valor cetral (edia aritética) El ídice de asietría idica si la distribució es siétrica. Vale cero si la distribució es igual a abos lados de edia Es positivo cuado los datos está a la izquierda co cola a la derecha. Es egativo cuado los datos está a la derecha co cola a la izquierda. 14/06/008 Ig. SEMS

34 ASIMETRIA : Para edir el ivel de asietría se utiliza el llaado Coeficiete de Asietría de Fisher, que viee defiido: s 3 3 Cof de Sesgo 3 ( ) /06/008 Ig. SEMS

35 ASIMETRIA : Variable Frecuecias absolutas (Valor) Siple Acuulada *f (i - ) *f (i - ) 3 *f f F E E E E E E E TOTAL edia Cof.As.Ficher /06/008 Ig. SEMS

36 ASIMETRIA : Sesgo El sesgo es el grado de asietría o falta de sietría de ua distribució Sesgo Media Moda desviacio.tipica M S O Sesgo 3(Media Mediaa) desviacio.tipica 3( M e) S Coeficietes de Pearso 14/06/008 Ig. SEMS

37 APUNTAMIENTO : (curtosis) El Coeficiete de Curtosis aaliza el grado de cocetració que preseta los valores alrededor de la zoa cetral de la distribució. El ídice de aputaieto o curtosis os idica si el histograa de la distribució es: Vale cero si la fora de la distribució coicide co la distribució oral ( esocúrtica ) Es positivo cuado se produce u abultaieto e el cetro. Mas altura de la oral ( leptocúrtica ). Es egativo cuado tiee eos altura que la oral e el cetro. ( platicúrtica ). 14/06/008 Ig. SEMS

38 APUNTAMIENTO : (curtosis) El Coeficiete de Curtosis viee defiido por la siguiete fórula: E la forula si o se resta 3 la curtosis de ua oral es 3. 4 Cof de Curtosis 3 4 s /06/008 Ig. SEMS

39 APUNTAMIENTO : (curtosis) Variable Frecuecias absolutas (Valor) Siple Acuulada *f (i - ) *f (i - ) 4 *f f F E E E E E E E E E E E E E-05 edia CURTOSIS /06/008 Ig. SEMS

40 N Válidos Asietría Error típ. de asietría Curtosis Error típ. de curtosis /06/008 Ig. SEMS

41 14/06/008 Ig. SEMS CURTOSIS : Es el grado de aputaieto de ua distribució, oralete se toa e relació a la distribució oral. E la forula si o se resta 3 la curtosis de ua oral es 3. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 j j j 4 1 j 4 j j f f S curtosis de e Coeficiet

42 Ejeplo : Supógase que se tiee las arcas de clases de ua distribució de edades y sus frecuecias absolutas hallar los coeficietes de Sesgo y curtosis. Coetar. i f i Fi i*fi (i - ) *f (i - ) 3 *f (i - ) 4 *f ,4-1149, , ,96-584,0 686, ,08-140,61 365, ,40-3,4 1, ,5 3,93 46, ,48 314, , ,96 944, , ,76 405, 998, ,40-180, ,55 14/06/008 Ig. SEMS

43 Media 11,600 Var 11,773 DS 3,431 Sesgo -0, Curtosis -0, /06/008 Ig. SEMS

44 ASIMETRIA Y APUNTAMIENTO EN ECEL Asietria ( 1)( ) s 3 COEFICIENTE.ASIMETRIA($D$:$D$46) Curtosis ( + 1) ( 1)( )( 3) s 4 3( 1) ( )( 3) CURTOSIS($D$:$D$46) 14/06/008 Ig. SEMS

45 Trabajo.- Los salarios seaales (e uevos soles) de u grupo de obreros so los siguietes: Calcule la variaza de los datos origiales..- Agrupe los datos e u cuadro de frecuecias co seis itervalos 3.-Calcule la variaza : - A base del prier étodo abreviado. - A base del segudo étodo abreviado. - Aplicado propiedades. 14/06/008 Ig. SEMS